工程電磁場第二章

工程電磁場第二章1第1頁，共76頁，2023年，2月20日，星期一第二章靜電場的基本原理2.1庫侖定律與電場強度兩個點電荷之間的作用力用下式表示在真空中，兩個靜止點電荷q1及q2之間的相互作用力的大小和q1與q2的乘積成正比，和它們之間距離R的平方成反比；作用力的方向沿著它們的聯(lián)線，同號電荷相斥，異號電荷相吸。2第2頁，共76頁，2023年，2月20日，星期一

ε0是真空中的介電常數(shù)

電荷量的單位庫侖，C

距離的單位米，m

力的單位牛，N

ε0的單位是法/米，F(xiàn)/m庫侖定律是靜電場的基礎(chǔ)，也是電磁場的基礎(chǔ)點電荷：只帶電荷而沒有形狀和大小的物體。3第3頁，共76頁，2023年，2月20日，星期一2.電場強度電荷在其周圍產(chǎn)生電場，產(chǎn)生電場的電荷稱為電場的源。相對于觀察者靜止的電荷產(chǎn)生的電場，稱為靜電場。

真空中放置一個點電荷q，在其附近放置一個試驗電荷q1。在靜電場中的某一點（x,y,z），q1受到的作用力F與q1的電荷量成正比，而作用力F與q1電荷量的比值與試驗電荷無關(guān)，我們定義表征靜電場的基本場矢量電場強度為：單位伏/米，V/m點電荷q產(chǎn)生的電場強度R是從點電荷所在的源點(x’,y’,z’)到場點(x,y,z)的距離；eR為源點到場點的單位矢量4第4頁，共76頁，2023年，2月20日，星期一5第5頁，共76頁，2023年，2月20日，星期一3.分布電荷的電場強度電場力的疊加原理兩個點電荷共同產(chǎn)生的電場強度N個點電荷共同產(chǎn)生的電場強度6第6頁，共76頁，2023年，2月20日，星期一線密度面密度體密度電荷元電荷元產(chǎn)生的電場強度與點電荷相同，是一個無窮小的量，積分可得整個源區(qū)所有電荷產(chǎn)生的電場強度7第7頁，共76頁，2023年，2月20日，星期一線電荷、面電荷、體電荷產(chǎn)生的電場強度例2-1-1真空中長度為2l的直線段，均勻帶電，電荷線密度為τ。求線段外任一點P的電場強度。解根據(jù)對稱性分析，采用柱坐標系分析比較方便。坐標的源點位于線段的中心，z軸與線段重合。場點P的坐標為（r,α,z），取電荷元τdz’，源點坐標為（0,α’,z’）8第8頁，共76頁，2023年，2月20日，星期一電荷源在p點產(chǎn)生的電場強度的各分量為場點坐標（r,α,z）是不變量，源點坐標（0,α’,z’）中z’是變量，統(tǒng)一用θ表示9第9頁，共76頁，2023年，2月20日，星期一總的電場強度若為無限長直導(dǎo)線10第10頁，共76頁，2023年，2月20日，星期一11第11頁，共76頁，2023年，2月20日，星期一12第12頁，共76頁，2023年，2月20日，星期一13第13頁，共76頁，2023年，2月20日，星期一14第14頁，共76頁，2023年，2月20日，星期一例2-1-2如圖所示，真空中圓形線電荷半徑為a，均勻帶電，電荷線密度為τ，求在其軸線上任一點的電場強度。解根據(jù)電荷分布的對稱性，采用圓柱坐標系。設(shè)坐標原點在圓形線電荷的圓心，z軸與線電荷圓心軸線重合。場點P的坐標為(0,α,z)，取一個電荷元τadα‘，源點坐標為（a，α‘，0)。再取一個電荷元τadα‘,源點坐標為(a，α‘+π，0)。這樣，兩對稱電荷元在P點產(chǎn)生的電場強度沿er方向兩個分量符號相反，相互抵消;沿eα方向的電場強度為零;沿ez方向的兩個分量符號相同。因此，由這兩個對稱電荷元產(chǎn)生的電場強度為計算P點電場強度時，場點坐標(0,α,z)不變，源點坐標（a，α‘，0)中只有α‘是變量。15第15頁，共76頁，2023年，2月20日，星期一16第16頁，共76頁，2023年，2月20日，星期一17第17頁，共76頁，2023年，2月20日，星期一2.2電位與靜電場的環(huán)路定理1.電位場點的坐標是(x,y,z)，用距離矢量r表示;源點的坐標是(x`,y`,z`)，用距離矢量r`表示；R是以上兩距離矢量之差，也就是從源點到場點的距離矢量，且可見，R與(x,y,z)和(x`,y`,z`)都有關(guān)系。當(dāng)源點不變，場點變化時，的梯度表示為。當(dāng)場點不變，源點變化時，的梯度表示為

18第18頁，共76頁，2023年，2月20日，星期一電場強度計算公式梯度是對場點進行的，ρ是電荷密度，是源點的函數(shù)，與場點無關(guān)式中，體積分是對源點進行的，源點變化；求梯度是對場點進行的，場點變化，故兩種運算相互獨立，可以交換次序由上式可知，電場強度可表示為某個標量函數(shù)的負梯度。我們把這個標量函數(shù)定義為電位，并用來表示，則19第19頁，共76頁，2023年，2月20日，星期一體電荷面電荷線電荷N個點電荷

電位的表示式中有常數(shù)C，說明電位數(shù)值不是惟一的。但由電位求負梯度得到的電場強度卻是惟一的。電位的惟一性問題，可以由選擇電位參考點來解決。電位的參考點就是強迫電位為零的點。在電荷分布于有限區(qū)域的情況下，選擇無窮遠處為電位參考點，計算比較方便。這時，前面電位計算式中的常數(shù)C為零。20第20頁，共76頁，2023年，2月20日，星期一21第21頁，共76頁，2023年，2月20日，星期一2.電位與電場強度的關(guān)系由電位計算電場強度，是求梯度的運算，也就是求微分的運算由電場強度計算電位，是相反的運算，也就是求積分的運算?？紤]電場強度的線積分Q點電位已知Q點為參考電位，且=0，則這就是說，P點的電位等于電場強度從P點到參考點的線積分。電場強度是單位電荷受到的電場力。所以，P點的電位表示將單位電荷從P點移動到參考點，電場力所做的功。電位和電壓的單位是伏，V。22第22頁，共76頁，2023年，2月20日，星期一3.靜電場環(huán)路定理對電場強度求旋度，可得即電場強度的旋度為零，這是靜電場環(huán)路定理的微分形式根據(jù)斯托克斯定理，有電場強度的閉合線積分為零，是靜電場環(huán)路定理的積分形式23第23頁，共76頁，2023年，2月20日，星期一對閉合曲線acbda，應(yīng)用環(huán)路定理可見，ab兩點之間的電位差與積分路徑無關(guān)，這是靜電場環(huán)路定理的具體體現(xiàn)。旋度處處為零的場稱為無旋場。靜電場是無旋場。24第24頁，共76頁，2023年，2月20日，星期一4等電位面與電場強度線等電位面和電場強度線是對電場的形象表示。等電位面就是由電位相同的點組成的曲面，其方程為電場強度線是一族有方向的線。電場強度線上每一點的切線方向就是該點的電場強度方向。設(shè)dl為P點電場強度線的有向線段元，則電場強度可表示為E=kdl。在直角坐標系中，有電場強度線方程點電荷電場25第25頁，共76頁，2023年，2月20日，星期一

例2-2-1如圖所示，在位于直角坐標系坐標原點的點電荷q所產(chǎn)生的靜電場中，求P1(0,0,1)到P2(0,2,0)的電位差。解（1）由電位公式直接計算，P1和P2點的電位分別為（2）由電場強度積分計算，根據(jù)點電荷的電場強度公式26第26頁，共76頁，2023年，2月20日，星期一2.3高斯通量定理1.高斯通量定理的微分形式在體電荷情況下，討論電場強度的散度:上式的散度運算是對場點進行，體積分運算對源點進行，兩種獨立運算可以交換次序，即由于ρ是電荷密度，是源點的函數(shù)，與場點無關(guān)，所以27第27頁，共76頁，2023年，2月20日，星期一式中，體積分的被積函數(shù)在R=0(即源點與場點重合這一點)之外的區(qū)域上全為零。因此，積分區(qū)域可縮小到場點附近的小區(qū)域。假定小區(qū)域是以場點為球心，以R為半徑的球體，因為R可以任意小，所以可認為小體積中的ρ為常數(shù)，并將其移到積分號之前。根據(jù)散度定理，有28第28頁，共76頁，2023年，2月20日，星期一高斯通量定理的微分形式即靜電場中任一點上電場強度的散度等于該點的體電荷密度與真空的介電常數(shù)之比29第29頁，共76頁，2023年，2月20日，星期一2.高斯通量定理的積分形式由高斯通量定理的微分形式，利用散度定理可得式中，S為任意閉合面，q為該閉合面內(nèi)電荷總量。這就是高斯通量定理的積分形式。30第30頁，共76頁，2023年，2月20日，星期一

例2-3-1真空中半徑為a的均勻帶電球，若其電荷體密度為ρ，求球體內(nèi)外的電場強度和電位。解如圖所示，根據(jù)電荷分布的對稱性，作半徑為r的球面S，則在S上電場強度量值處處相等，方向都沿半徑方向。根據(jù)高斯通量定理當(dāng)r≤a時31第31頁，共76頁，2023年，2月20日，星期一當(dāng)r>a時設(shè)無窮遠處為電位參考點，則當(dāng)r≥a時當(dāng)r<a時32第32頁，共76頁，2023年，2月20日，星期一

例2-3-2如圖所示，真空中，半徑為A的大圓球內(nèi)有一個半徑為a的小圓球，兩圓球面之間部分充滿體密度為ρ的電荷，小圓球內(nèi)電荷密度為零(空洞)。求小圓球(空洞)內(nèi)任一點的電場強度。解根據(jù)疊加原理，空洞內(nèi)P點的電場強度，可以看作是由充滿電荷、電荷體密度為ρ的大球和充滿電荷、電荷體密度為-ρ的小球在P共同產(chǎn)生的電場強度。因為大球內(nèi)電荷產(chǎn)生的電場強度為33第33頁，共76頁，2023年，2月20日，星期一小球內(nèi)電荷產(chǎn)生的電場強度為34第34頁，共76頁，2023年，2月20日，星期一2.4電偶極子1.電偶極子所謂電偶極子就是兩個相距很近的等量異號電荷組成的整體。設(shè)電偶極子兩電荷的電荷量分別為q和-q，從負電荷到正電荷的距離矢量為d，則可以用一個矢量來表示電偶極子。這個矢量叫做電偶極矩，記為p，且2.電偶極子的電位電偶極子產(chǎn)生的電場，就是電偶極子的兩個點電荷共同產(chǎn)生的電場。在如圖所示的直角坐標和球坐標系情況下，設(shè)電偶極矩的方向與二軸一致，且電偶極子位于坐標原點，則電偶極子的電位為35第35頁，共76頁，2023年，2月20日，星期一R遠大于d電偶極子產(chǎn)生的電場與單個點電荷產(chǎn)生的電場的空間分布規(guī)律有明顯不同。點電荷的電位與R成反比，而電偶極子的電位與R2成反比。36第36頁，共76頁，2023年，2月20日，星期一37第37頁，共76頁，2023年，2月20日，星期一3.電偶極子的電場強度在球坐標系中，電偶極子的電場強度38第38頁，共76頁，2023年，2月20日，星期一39第39頁，共76頁，2023年，2月20日，星期一2.5導(dǎo)體和電介質(zhì)靜電場中的導(dǎo)體在靜電平衡條件下，導(dǎo)體內(nèi)部電位的梯度為零，導(dǎo)體內(nèi)部電位各處相等，即導(dǎo)體是一個等電位體，導(dǎo)體表面是一個等位面。導(dǎo)體外表面電場強度只有法向分量，其切向分量為零，即導(dǎo)體外表面上電場強度的方向與外表面垂直。

例2-5-1無限長同軸電纜截面如圖所示，內(nèi)導(dǎo)體半徑為R，單位長度所帶電荷為τ外導(dǎo)體內(nèi)半徑R2，外半徑R3，單位長度所帶電荷為-τ

。假定內(nèi)外導(dǎo)體之間為真空。求各區(qū)域的電場強度。40第40頁，共76頁，2023年，2月20日，星期一2.靜電場中的電介質(zhì)與導(dǎo)體不同，電介質(zhì)中的電荷不能自由運動。這些電荷束縛在分子或原子范圍之內(nèi)，只能作微小的移動，因此叫做束縛電荷。3.電介質(zhì)內(nèi)電偶極子產(chǎn)生的電場電介質(zhì)極化后，其內(nèi)部存在大量按一定規(guī)律分布的電偶極子。將電偶極子偶極矩的密度定義為極化強度P,用來表示電介質(zhì)極化的程度，即電偶極子元PdV所產(chǎn)生的電位為41第41頁，共76頁，2023年，2月20日，星期一根據(jù)矢量恒等式令根據(jù)散度定理，第一項體積分可化為閉合面積分，因此42第42頁，共76頁，2023年，2月20日，星期一

因此，電介質(zhì)內(nèi)電偶極子產(chǎn)生的電場，可看成是極化電荷產(chǎn)生的電場，且電位和電場強度分別表示為43第43頁，共76頁，2023年，2月20日，星期一2.6電位移矢量考慮極化電荷的高斯通量定理極化電荷與自由電荷一樣產(chǎn)生電場強度。因此，在有電介質(zhì)存在的情況下，高斯通量定理應(yīng)表示為在閉合曲面S內(nèi)的極化電荷為44第44頁，共76頁，2023年，2月20日，星期一第一項體積分應(yīng)用散度定理，并把真空當(dāng)作一種特殊的電介質(zhì)，即在真空中，P=0，得高斯通量定理可寫成45第45頁，共76頁，2023年，2月20日，星期一2.電位移矢量在有電介質(zhì)存在的情況下，高斯誦量定理可以寫成定義一個新的場矢量D，叫做電位移矢量，且高斯通量定理可寫成46第46頁，共76頁，2023年，2月20日，星期一高斯通量定理微分形式47第47頁，共76頁，2023年，2月20日，星期一3.靜電場的輔助方程電位移矢量D與電場強度E有關(guān)。P是極化強度，其值在真空中為零，在電介質(zhì)中與電場強度有關(guān)。這里的電場強度是電介質(zhì)中實際電場強度，是由自由電荷和束縛電荷共同產(chǎn)生的總的電場強度。式中，x是電介質(zhì)的極化率令εr=1+x稱之為電介質(zhì)的相對介電常數(shù)。ε=ε0εr稱之為電介質(zhì)的介電常數(shù)這就是線性、各向同性電介質(zhì)中靜電場的輔助方程。它建立了電介質(zhì)中兩個基本場矢量D和E之間的簡單關(guān)系。48第48頁，共76頁，2023年，2月20日，星期一對于一般的電介質(zhì)，輔助方程還應(yīng)該寫成D線從正自由電荷發(fā)出，終止于負自由電荷。E線從正電荷(包括自由電荷和極化電荷)發(fā)出，終止于負電荷(包括自由電荷和極化電荷)。P線從負極化電荷發(fā)出，終止于正極化電荷。49第49頁，共76頁，2023年，2月20日，星期一2.7靜電場的基本方程與分界面條件1靜電場基本方程的微分形式輔助方程2.靜電場基本方程的積分形式對應(yīng)于微分形式，前面也已導(dǎo)出了靜電場基本方程的積分形式50第50頁，共76頁，2023年，2月20日，星期一3.電介質(zhì)分界面條件在不同電介質(zhì)的分界面上，存在極化面電荷(束縛面電荷)，也可能存在自由面電荷。這造成分界面兩側(cè)場矢量不連續(xù)。這種場矢量的不連續(xù)性雖然不會影響積分形式基本方程的應(yīng)用，卻使微分形式的基本方程在不同電介質(zhì)分界面處的應(yīng)用遇到困難。因此必須研究場矢量的分界面條件。

電場強度E應(yīng)滿足的分界面條件。圍繞分界面上一點P做一個小矩形閉合曲線，abcda。en是分界面法線方向的單位矢量，由第一種電介質(zhì)指向第二種電介質(zhì);et是一個切線方向的單位矢量;eτ是與et垂直的另一個切線方向的單位矢量，代表其方向垂直于紙面向里。51第51頁，共76頁，2023年，2月20日，星期一52第52頁，共76頁，2023年，2月20日，星期一為P點沿分界面切線方向的一個矢量

eτ可以取為任意的切線方向這就是電場強度應(yīng)滿足的分界面條件。53第53頁，共76頁，2023年，2月20日，星期一電位移矢量D應(yīng)滿足的分界面條件若分界面上沒有自由面電荷分布這就是電位移矢量應(yīng)滿足的分界面條件。54第54頁，共76頁，2023年，2月20日，星期一4.電介質(zhì)分界面場圖（1）電場強度切線方向連續(xù);（2）電位移矢量法線方向連續(xù)。例2-7-1給定平行平板電容器的尺寸、電介質(zhì)的介電常數(shù)，在圖2-7-6(a)中給定極板電壓，在圖2-7-6(b)中給定極板總電荷量，求這兩種情況下電容器中的電場強度。圖2-7-6(a)55第55頁，共76頁，2023年，2月20日，星期一圖2一7一6(b)56第56頁，共76頁，2023年，2月20日，星期一例有兩相距為d的平行無限大平面電荷，電荷面密度分別為σ和-σ。求兩無窮大平面分割出的三個空間區(qū)域的電場強度。作高斯面據(jù)高斯通量定理，可得在區(qū)域（1）和（3）中，電場強度為零；再作高斯面據(jù)高斯通量定理，可得在區(qū)域（2），57第57頁，共76頁，2023年，2月20日，星期一例求厚度為，體電荷密度為的均勻帶電無限大平板在空間三個區(qū)域產(chǎn)生的電場強度。解如圖2-5所示的三個區(qū)域中，作高斯面S1，據(jù)高斯通量定理，電場強度在S1上的通量為可得在區(qū)域（1）和（3）中，電場強度58第58頁，共76頁，2023年，2月20日，星期一對于區(qū)域（2），如圖建立坐標系，作高斯面S2，據(jù)高斯通量定理，電場強度在S2上的通量為59第59頁，共76頁，2023年，2月20日，星期一60第60頁，共76頁，2023年，2月20日，星期一2.8靜電場的邊值問題1.電位的泊松方程和分界面條件根據(jù)靜電場基本方程的微分形式和輔助方程，有在均勻電介質(zhì)中稱為靜電場的泊松方程。當(dāng)場域中沒有電荷分布時稱為靜電場的拉普拉斯方程61第61頁，共76頁，2023年，2月20日，星期一

靜電場的泊松方程或拉普拉斯方程是從場矢量表示的靜電場的基本方程和輔助方程推導(dǎo)出來的，因此它等價于場矢量的基本方程加上輔助方程。在不同電介質(zhì)分界處，電位也應(yīng)該滿足一定的分界面條件。當(dāng)分界面上沒有自由面電荷分布時62第62頁，共76頁，2023年，2月20日，星期一邊值問題（BoundaryProblem)63第63頁，共76頁，2023年，2月20日，星期一2.靜電場的邊值問題以前討論的靜電場問題可以歸結(jié)為兩類。第一類問題是己知全部場源(包括自由電荷和束縛電荷)求電場強度或電位。這類問題可以根據(jù)電場強度的積分公式和電位的積分公式直接計算，某些場源對稱情況還可以利用高斯通量定理來求解。第二類問題相反，是已知電位或電場強度求場源分布。這可以通過計算梯度和散度求出，并表示為靜電場的邊值問題，就是已知求解區(qū)域中場的基本方程，給定邊界條件，計算求解區(qū)域內(nèi)場量的問題。64第64頁，共76頁，2023年，2月20日，星期一靜電場邊值問題電荷分布已知無界空間有界