工程力學第十一章組合變形

工程力學第十一章組合變形第1頁，共52頁，2023年，2月20日，星期一

在復雜外載作用下，構件的變形會包含幾種基本變形，當幾種基本變形所對應的應力屬同一量級時，不能忽略，這類構件的變形稱為——組合變形(combineddeformation)。一、組合變形基本概念11.1組合變形的概念第2頁，共52頁，2023年，2月20日，星期一大橋橋墩qghP壓彎組合變形:同時發(fā)生軸向壓縮與彎曲二、組合變形工程實例第3頁，共52頁，2023年，2月20日，星期一

煙囪壓彎組合變形:同時發(fā)生軸向壓縮與彎曲第4頁，共52頁，2023年，2月20日，星期一拉彎組合變形:同時發(fā)生軸向拉伸與彎曲第5頁，共52頁，2023年，2月20日，星期一轆轤從深井中提水彎扭組合變形:同時發(fā)生彎曲與扭轉第6頁，共52頁，2023年，2月20日，星期一屋架傳來的壓力吊車傳來的壓力風力拉彎組合變形:同時發(fā)生軸向壓縮與彎曲第7頁，共52頁，2023年，2月20日，星期一三、組合變形的研究方法——疊加原理

對于組合變形下的構件，在線彈性范圍內、小變形條件下，可先將荷載簡化為符合基本變形外力作用條件的外力系，分別計算構件在每一種基本變形下的內力、應力或變形。然后利用疊加原理，綜合考慮各基本變形的組合情況，以確定構件的危險截面、危險點的位置及危險點的應力狀態(tài)，并據(jù)此進行強度計算。第8頁，共52頁，2023年，2月20日，星期一組合變形分析步驟：①外力分析：外力向形心(或彎心)簡化并沿主慣性軸分解，確定各基本變形；②內力分析：求每個外力分量對應的內力方程和內力圖，確定危險面；③應力分析：畫危險面應力分布圖，確定危險點，疊加求危險點應力；④強度計算：建立危險點的強度條件，進行強度計算。第9頁，共52頁，2023年，2月20日，星期一

具有雙對稱截面的梁在兩個縱向對稱面內同時承受橫向外力作用時，在線性彈性且小變形情況下，可以分別按平面彎曲計算每一彎曲情況下橫截面上的應力和位移，然后疊加。具有雙對稱截面的梁，它在任何一個縱向對稱面內彎曲時均為平面彎曲?！?1.2斜彎曲第10頁，共52頁，2023年，2月20日，星期一懸臂梁m-m截面上的彎矩和任意點C處的正應力為：水平力F1豎直力F2彎矩彎曲正應力

C處的正應力第11頁，共52頁，2023年，2月20日，星期一

利用上式固然可以求算m-m截面上任意點處的彎曲正應力，但對于圖中所示那類橫截面沒有外棱角的梁，由于My單獨作用下最大正應力的作用點和Mz單獨作用下最大正應力的作用點不相重合，所以還不好判定在My和Mz共同作用下最大正應力的作用點及其值。第12頁，共52頁，2023年，2月20日，星期一

在F1作用下m-m截面繞中性軸y轉動，在F2作用下m-m截面繞中性軸z轉動，可見在F1和F2共同作用下，m-m截面必定繞通過y軸與z軸交點的另一個軸轉動，這個軸就是梁在兩個相互垂直平面內同時彎曲時的中性軸，其上坐標為y,z的任意點處彎曲正應力為零。第13頁，共52頁，2023年，2月20日，星期一中性軸位置：令y0，z0代表中性軸上任一點的坐標第14頁，共52頁，2023年，2月20日，星期一

這表明，只要，中性軸的方向就不與合成彎矩M的矢量重合，即合成彎矩M所在的縱向面不與中性軸垂直，或者說，梁的彎曲方向不與合成彎矩M所在的縱向面重合。說的更清楚些，梁的撓曲線不在合成彎矩所在的平面內。正因為這樣，通常把這類彎曲成為斜彎曲（obliquebending）。第15頁，共52頁，2023年，2月20日，星期一

確定中性軸的方向后，作平行于中性軸的兩直線，分別與橫截面的周邊相切，這兩個切點（圖中的D1，D2）就是該截面上拉應力和壓應力最大的點。從而可分別計算水平和豎直平面內彎曲時這兩點的應力，然后疊加。第16頁，共52頁，2023年，2月20日，星期一

對于橫截面具有外棱角的梁，求任何橫截面上最大拉應力和最大壓應力時，可直接按兩個平面彎曲判斷這些應力所在點的位置，而無需定出中性軸的方向角θ。zy工程計算中對于實體截面的梁在斜彎曲情況下，通常不考慮剪力引起的切應力。AB第17頁，共52頁，2023年，2月20日，星期一例11-1兩端鉸支矩形截面梁，其尺寸h=80mm,b=40mm,

校核梁的強度。xABCD30kNz30kN100mm100mm100mmyzyhb+ABCDx2kNm+ABCDx2kNm解:(1)內力分析:第18頁，共52頁，2023年，2月20日，星期一(2)校核強度:第19頁，共52頁，2023年，2月20日，星期一安全第20頁，共52頁，2023年，2月20日，星期一例11-2如圖所示簡支梁由28a號工宇鋼制成，已知F=25kN，l=4m，，材料的許用應力[]=170MPa，試按正應力強度條件校核此梁。解:(1)將集中力F沿y軸和z軸方向分解第21頁，共52頁，2023年，2月20日，星期一28a號工宇鋼的抗彎截面模量此梁滿足強度要求。第22頁，共52頁，2023年，2月20日，星期一一、橫向力與軸向力共同作用AB

軸向拉力會因桿件有彎曲變形而產生附加彎矩，但它與橫向力產生的彎矩總是相反的，故在工程計算中對于拉—彎組合變形的構件可不計軸向拉力產生的彎矩而偏于安全地應用疊加原理來計算桿中的應力?！?1.3拉伸（壓縮）與彎曲的組合第23頁，共52頁，2023年，2月20日，星期一

至于發(fā)生彎曲與壓縮組合變形的桿件，軸向壓力引起的附加彎矩與橫向力產生的彎矩為同向，故只有桿的彎曲剛度相當大（大剛度桿）且在線彈性范圍內工作時才可應用疊加原理。第24頁，共52頁，2023年，2月20日，星期一AB+=ql2/8+MFN+F第25頁，共52頁，2023年，2月20日，星期一例11-3兩根無縫鋼管焊接而成的折桿。鋼管外徑D=140mm，壁厚t=10mm。求危險截面上的最大拉應力和最大壓應力。10kN1.2m1.6m1.6mACB10kN解(1)求約束反力，確定桿的受力：第26頁，共52頁，2023年，2月20日，星期一(2)確定危險截面：(3)求最大應力m-m截面：其中d=D-2t88CABM(kNm)10kNABC__3kN3kNCAB(kN)FNmmgf第27頁，共52頁，2023年，2月20日，星期一例11-4

設圖示簡易吊車在當小車運行到距離梁端D還有0.4m處時，吊車橫梁處于最不利位置。已知小車和重物的總重量F＝20kN，鋼材的許用應力［σ］＝160MPa，暫不考慮梁的自重。按強度條件選擇橫梁工字鋼的型號。解：（1）外力分析（2）內力分析第28頁，共52頁，2023年，2月20日，星期一B左截面壓應力最大查表并考慮軸力的影響：（3）應力分析第29頁，共52頁，2023年，2月20日，星期一二、偏心拉伸（壓縮）偏心拉伸或偏心壓縮是指外力的作用線與直桿的軸線平行但不重合的情況。第30頁，共52頁，2023年，2月20日，星期一單向偏心拉伸（壓縮）

單向偏心壓縮時,距偏心力較近的一側邊緣總是產生壓應力,而最大正應力總是發(fā)生在距偏心力較遠的另一側,其值可能是拉應力,也可能是壓應力。第31頁，共52頁，2023年，2月20日，星期一雙向偏心拉伸（壓縮）1.外力分析2.內力分析3.應力計算ABCD第32頁，共52頁，2023年，2月20日，星期一2、中性軸方程ABCD令y0，z0代表中性軸上任一點的坐標第33頁，共52頁，2023年，2月20日，星期一中性軸是一條不通過截面形心的直線中性軸中心軸方程設中性軸在y、z兩軸上的截距為（ay，az）由于ey，ez為正號，所以ay，az為負號；所以說中性軸與外力處于截面形心的相對兩側。第34頁，共52頁，2023年，2月20日，星期一3.危險點（距中性軸最遠的點）對于外輪廓為矩形的截面，最大正應力出現(xiàn)在外角點上。校核強度求許可荷載設計截面4.強度條件第35頁，共52頁，2023年，2月20日，星期一解：兩柱均為壓應力例11-5圖示不等截面與等截面柱，P=350kN，試分別求出兩柱內的絕對值最大正應力。圖（1）圖（2）FN第36頁，共52頁，2023年，2月20日，星期一圖示正方形截面直柱，受縱向力P的壓縮作用。則當P力作用點由A點移至B點時柱內最大壓力的比值有四種答案：（Ａ）１:２（Ｂ）２:５（Ｃ）４:７（Ｄ）５:２選擇題第37頁，共52頁，2023年，2月20日，星期一中性軸

中性軸與偏心力的作用點總是位于形心的相對兩側.且偏心力作用點離形心越近,中性軸就離形心越遠。

當偏心距為零時,中性軸位于無窮遠處。

當偏心力的作用點位于形心附近的一個限界上時,可使得中性軸恰好與周邊相切,這時橫截面上只出現(xiàn)壓應力。

該限界所圍成的區(qū)域-----截面核心（coreofsection）三、截面核心第38頁，共52頁，2023年，2月20日，星期一土建工程中的混凝土或磚、石偏心受壓柱，往往不允許橫截面上出現(xiàn)拉應力。這就是要求偏心壓力只能作用在橫截面形心附近的截面核心內。

要使偏心壓力作用下桿件橫截面上不出現(xiàn)拉應力，那么中性軸就不能與橫截面相交，一般情況下充其量只能與橫截面的周邊相切，而在截面的凹入部分則是與周邊外接。截面核心的邊界正是利用中性軸與周邊相切和外接時偏心壓力作用點的位置來確定的。第39頁，共52頁，2023年，2月20日，星期一1、截面核心的求法：（1）作一切線①(中性軸），設截面核心的邊界點（2）作一切線②(中性軸），yz①②12③3④4(n)連接1，2，3…，得到一條封閉曲線，即為截面核心的邊界。第40頁，共52頁，2023年，2月20日，星期一2、圓截面的截面核心。第41頁，共52頁，2023年，2月20日，星期一3矩形截面的截面核心。第42頁，共52頁，2023年，2月20日，星期一通過截面角點B的中性軸方程，滿足：由于yB、zB為定值，該方程是一條關于力作用點（ey，ez）的直線。

1、2點直線連接。第43頁，共52頁，2023年，2月20日，星期一§11.4彎曲與扭轉的組合第44頁，共52頁，2023年，2月20日，星期一K1K2第45頁，共52頁，2023年，2月20日，星期一注意，以上所述對于傳動軸的強度計算是靜力強度計算，只能用于傳動軸的初步設計，此時[σ]的值取得也比較低。事實上，傳動軸由于轉動，危險截面任何一點處的彎曲正應力是隨軸的轉動交替變化的。這種應力稱為交變應力（alternatingstress）,工程設計中對于在交變應力下工作的構件另有計算準則。第46頁，共52頁，2023年，2月20日，星期一例11-6圖示圓軸.已知,F=8kN,Me=3kNm,［σ］=100MPa,試用第三強度理論求軸的最小直徑.解：(1)內力分析T3kNm4kNmM(2)應力分析第47頁，共52頁，2023年，2月20日，星期一解：拉扭組合:例11-7直徑為d=0.1m的圓桿受力如圖，T=7kNm，P=50kN，[]=100MPa，試按第三強度理論校核此桿的強度。安全T7kNm50kNFN第48頁，共52頁，2023年，2月20日，星期一例11-8直徑為d的實心圓軸，若m=Pd，指出危險點的位置，并寫出相當應力。Pxm解：偏拉與扭轉組合·B第49頁，共52頁，2023年，2月20日，星期一yzxPPCABLL解：AB軸為拉、彎、扭組合變形：例11-9圖示折角CAB，ABC段直徑d=60mm，L=90mm，P=6kN，[σ]＝60MP