工程力學(xué) 截面的幾何性質(zhì)

工程力學(xué)截面的幾何性質(zhì)2023/4/281第1頁，共29頁，2023年，2月20日，星期一§A-1截面的靜矩和形心一、截面的靜矩和形心1.基本概念OxdAyyxC——微面積對y軸的靜矩——微面積對x軸的靜矩——整個平面圖形對y軸的靜矩——整個平面圖形對x軸的靜矩常用單位：m3

或mm3

。數(shù)值：可為正、負或0。2023/4/282第2頁，共29頁，2023年，2月20日，星期一2.形心坐標(biāo)公式3.靜矩與形心坐標(biāo)的關(guān)系推論：截面對形心軸的靜矩恒為0，反之，亦然。2023/4/283第3頁，共29頁，2023年，2月20日，星期一1.組合截面的靜矩

根據(jù)靜矩的定義：整個平面圖形對某軸的靜矩應(yīng)等于它的各組成部分對同一軸的靜矩的代數(shù)和，即：二、組合截面的靜矩和形心2023/4/284第4頁，共29頁，2023年，2月20日，星期一組合截面靜矩組合截面面積組合截面的形心坐標(biāo)公式為：2.組合截面的形心坐標(biāo)公式2023/4/285第5頁，共29頁，2023年，2月20日，星期一例A-1試計算圖示三角形截面對于與其底邊重合的x軸的靜矩。解：取平行于x軸的狹長條，所以對x軸的靜矩為Ozyb(z)ydyhb2023/4/286第6頁，共29頁，2023年，2月20日，星期一例A-2試計算圖示截面形心C的位置。解：將截面分為1、2兩個矩形。建立坐標(biāo)系如圖示。各矩形的面積和形心坐標(biāo)如下：Oxyy112010xx8010yC(y,x)ⅠⅡⅡⅠⅡ矩形I矩形II2023/4/287第7頁，共29頁，2023年，2月20日，星期一代入組合截面的形心坐標(biāo)公式解得：2023/4/288第8頁，共29頁，2023年，2月20日，星期一設(shè)任意形狀截面如圖所示。1.極慣性矩（或截面二次極矩）2.慣性矩（或截面二次軸矩）（為正值，單位m4或mm4)所以（即截面對一點的極慣性矩，等于截面對以該點為原點的任意兩正交坐標(biāo)軸的慣性矩之和。）OzyyzrdA§A-2截面的極慣性矩、慣性矩、慣性積2023/4/289第9頁，共29頁，2023年，2月20日，星期一3.慣性積（其值可為正、負或0，單位:m4或mm4)截面對于包含對稱軸在內(nèi)的一對正交軸的慣性積為0。結(jié)論：4.慣性半徑（單位m

或mm）OzyyzrdA2023/4/2810第10頁，共29頁，2023年，2月20日，星期一5.主慣性軸:當(dāng)平面圖形對某一對正交坐標(biāo)軸y0、z0的慣性積=0時，則坐標(biāo)軸y0、z0稱為主慣性軸。7.形心主慣性軸:過形心的主慣性軸稱為形心主慣性軸?？梢宰C明:任意平面圖形必定存在一對相互垂直的形心主慣性軸。8.形心主慣性矩:平面圖形對任一形心主慣性軸的慣性矩稱為形心主慣性矩。6.主慣性矩:平面圖形對任一主慣性軸的慣性矩稱為主慣性矩。推論：具有一個或兩個對稱軸的正交坐標(biāo)軸一定是平面圖形的主慣性軸。2023/4/2811第11頁，共29頁，2023年，2月20日，星期一例A-3試計算圖a所示矩形截面對于其對稱軸（即形心軸）x和y的慣性矩。

解：取平行于x軸的狹長條，則dA=bdy同理yhCx

dyyb(a)2023/4/2812第12頁，共29頁，2023年，2月20日，星期一

若截面是高度為h的平行四邊形（圖b），則其對形心軸x的慣性矩同樣為hxyb(b)C2023/4/2813第13頁，共29頁，2023年，2月20日，星期一例A-4試計算圖示圓截面對于其形心軸（即直徑軸）的慣性矩。

zDyyz解：由于圓截面有極對稱性，所以所以2023/4/2814第14頁，共29頁，2023年，2月20日，星期一§A-3平行移軸公式1.平行移軸公式推導(dǎo)

左圖是一面積為A的任意形狀的平面，c為其形心，yc，zc為形心坐標(biāo)軸。與該形心坐標(biāo)軸分別平行的任意坐標(biāo)軸為xy,形心c在oxy坐標(biāo)系下的坐標(biāo)為(a,b)

任意微面元dA在兩坐標(biāo)系下的坐標(biāo)關(guān)系為：aycyzczCObdAzcycyx2023/4/2815第15頁，共29頁，2023年，2月20日，星期一同理，有：注：式中的a、b代表坐標(biāo)值，有時可能取負值。2023/4/2816第16頁，共29頁，2023年，2月20日，星期一例A-5：求圖示直徑為d的半圓對其自身形心軸Zc的慣性矩。（1）求形心坐標(biāo)解：zyb(y)ycCdzcy（2）求對形心軸xc的慣性矩由平行移軸公式得：

2023/4/2817第17頁，共29頁，2023年，2月20日，星期一思考題A-1：O為直角三角形ABD斜邊上的中點，y、z軸為過點Ｏ且分別平行于兩條直角邊的兩根軸，關(guān)于慣性積和慣性矩有四種答案(已知b>a)：（A）Iyz＞０（B）Iyz<０

(C)Iyz=０（D）Iz=Iy

zABDyOab（思考題A-1）思考題A-2：等腰直角三角形如圖所示，y、z軸是過斜邊中點的任意一對坐標(biāo)軸（即圖中為任意值），該圖形的:(1)慣性積Iyz＝＿＿(2)慣性矩Iz＝＿＿、Iy＿＿＿。yzaa（思考題A-2）目錄2023/4/2818第18頁，共29頁，2023年，2月20日，星期一一、轉(zhuǎn)軸公式任意面元dA

在舊坐標(biāo)系ozy和新坐標(biāo)系oz1y1的關(guān)系為：代入慣性矩的定義式：zyOzyazya11ABCDEdAzy11§A-4轉(zhuǎn)軸公式、截面的主慣性軸和主慣性矩2023/4/2819第19頁，共29頁，2023年，2月20日，星期一

利用二倍角函數(shù)代入上式，得轉(zhuǎn)軸公式：2023/4/2820第20頁，共29頁，2023年，2月20日，星期一注：上式中的

的符號為：從舊軸z至新軸z1逆時針為正，順時針為負。（上式表明，截面對于通過同一點的任意一對相互垂直的坐標(biāo)軸的兩慣性矩之和為一常數(shù)，并等于截面對該坐標(biāo)原點的極慣性矩）將前兩式相加得2023/4/2821第21頁，共29頁，2023年，2月20日，星期一

由慣性積的轉(zhuǎn)軸公式可知，當(dāng)坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)時，慣性積將隨著角作周期性變化，且有正有負。因此，必有一特定的角度0，使截面對于新坐標(biāo)軸x0、y0的慣性積等于零。二、截面的主慣性軸和主慣性矩(1)

主慣性軸:截面對其慣性積等于0的一對坐標(biāo)軸。(2)

主慣性矩:截面對于主慣性軸的慣性矩。(3)形心主慣性軸：當(dāng)一對主慣性軸的交點與截面的形心重合時。(4)形心主慣性矩:截面對于形心主慣性軸的慣性矩。2023/4/2822第22頁，共29頁，2023年，2月20日，星期一(5)確定主慣性軸的位置

設(shè)0是舊軸x逆時針轉(zhuǎn)向主慣性軸x0的角度，則由慣性積的轉(zhuǎn)軸公式及主慣性軸的定義，得可改寫為（注：將負號置于分子上有利于確定20角的象限）2023/4/2823第23頁，共29頁，2023年，2月20日，星期一(5)由上面tan20的表達式求出cos20、sin20后，再代入慣性矩的轉(zhuǎn)軸公式，化簡后可得主慣性矩的計算公式：極大值Imax極小值Imin2023/4/2824第24頁，共29頁，2023年，2月20日，星期一(6)幾個結(jié)論若截面有一根對稱軸，則此軸即為形心主慣性軸之一，另一形心主慣性軸為通過形心并與對稱軸垂直的軸。若截面有二根對稱軸，則此二軸即為形心主慣性軸。若截面有三根對稱軸，則通過形心的任一軸均為形心主慣性軸，且主慣性矩相等。2023/4/2825第25頁，共29頁，2023年，2月20日，星期一zyC10b10b40120a2080CCaⅠⅡⅠⅡⅠⅡ

例：試計算截面的形心主慣性矩。解：作與上、左邊平行的形心坐標(biāo)軸xcyc

。（1）求形心坐標(biāo)：（2）求對自身形心軸的慣性矩。（3）由平行移軸公式求整個截面的2023/4/2826第26頁，共29頁，2023年，2月20日，星期一xc0yc0°a=113.8（4）由轉(zhuǎn)軸公式得zyC10b10b40120a2080CCaⅠⅡⅠⅡⅠⅡ

2023/4/2827第27頁，共29頁，2023年，2月2