史上最全的數(shù)列通項(xiàng)公式的求法13種

nbn最全的數(shù)通項(xiàng)公式nbn數(shù)列是高考中的重點(diǎn)內(nèi)容之一，每年的高考題都會(huì)考察到，小題一般較易，大題一般較難。而作為給出數(shù)列的一種形式——通項(xiàng)公式，在求數(shù)列問(wèn)題中尤其重要。本文給出了求數(shù)列通項(xiàng)公式的常用方法。一、直法根據(jù)數(shù)列的特征，使用作差法等直接寫(xiě)出通項(xiàng)公式。二、公式法①利用等差數(shù)列或等比數(shù)列的定義求通項(xiàng)②若已知數(shù)列的前n項(xiàng)和與a的關(guān)系，求數(shù)項(xiàng)可用公式nna求解(意：求完后一定要考慮合并通項(xiàng)例2①已知數(shù)項(xiàng)滿足2an

n

n．求數(shù)式②已知數(shù)項(xiàng)和S滿足n

Sn

2

，求數(shù)式.③已知等比數(shù)a0q數(shù)b1

n

a

n

，求數(shù)列

。n③解析：由題意b

n

n

n

，列公比ba∴nn，故數(shù)列b是等比數(shù)列q2(1231nn∴qn(q三、歸猜想法如果給出了數(shù)列的前幾項(xiàng)或能求出數(shù)列的前幾項(xiàng)，我們可以根據(jù)前幾項(xiàng)的規(guī)律，歸納猜想出數(shù)列的通項(xiàng)公式，然后再用數(shù)學(xué)歸納法證明之。也可以猜想出規(guī)律，然后正面證明。四、累（乘）法對(duì)于形如a

n

(n)型或形an

n

f(n)型的數(shù)列，我們可以根據(jù)遞推公式，寫(xiě)出nn取1到n時(shí)的所有的遞推關(guān)系式，然后將它們分別相加（或相乘）即可得到通項(xiàng)公式。例4.若在數(shù)3a1

n

an，求通a。nn例

在數(shù)a1

n

2

n

aNn

*

求通a。五、?。▽?duì)）數(shù)法a

n

par這種類型一般是等式兩邊取對(duì)數(shù)轉(zhuǎn)化an

n

pa，再利用待系數(shù)法求解nb、數(shù)列有如f(aaaa)0關(guān)系，可在等式兩邊同乘以nn

1,先求出,再求得a.aannnca

n

f(nng()()n

解法：這種類型一般是等式兩邊取倒數(shù)后換轉(zhuǎn)化a。n

n1nn1nnqn1nnn2nn1nn1nnqn1nnn2n例6.．設(shè)數(shù){}滿2,a

n

nn

(N),求.例7設(shè)正項(xiàng)數(shù)a22（n≥2）.求數(shù)式.n解：兩邊取對(duì)數(shù)得aa2(log，a2222n2bb是以2為公比的等比數(shù)列blog1.nn

，bnnlogn變式:

a2

n

log

a2

2

n

，an

2

31.已知數(shù)列｛a｝滿足：＝，且a＝2

n1（n，nN2a＋n1n1

求數(shù)列｛a｝的通項(xiàng)公式；12、若數(shù)列的遞推公式3,)，則求這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式。aan3、已知數(shù)列{}滿足a時(shí)a1

n

an

n

a，求通項(xiàng)公式。n4、已知數(shù)列｛a｝滿足n

，求數(shù)列｛a｝的通項(xiàng)公式。5、若數(shù)列｛a｝中，a=1，an1六、迭法

n

=

2a2

n∈N，求通項(xiàng)a．n迭代法就是根據(jù)遞推式，采用循環(huán)代入計(jì)算七、待系數(shù)法：1通過(guò)分解常數(shù)，可轉(zhuǎn)化為特殊數(shù)列{a+k}的形式求解。一般地，形如an

=pa+qn≠1≠0）型的遞推式均可通過(guò)待定系數(shù)法對(duì)常數(shù)q分解法：設(shè)a

+k=p）與原式

n比較系數(shù)可得pk－k=q，即k=，從而得等比數(shù)列{a。p例9數(shù)列{a}滿足a=1，a=a+1（n≥2數(shù)列{a}的通項(xiàng)公式。說(shuō)明：過(guò)對(duì)常數(shù)1的分解，進(jìn)行適組合，得等比數(shù)列{－2}從而達(dá)到?jīng)Q問(wèn)題n的目的練習(xí)、數(shù)列{a}滿足a=13an1

n

,求數(shù)列{a}的通項(xiàng)公式。nn2、已知數(shù)，a

a，a．2、遞推式為

n（p、q為常）時(shí)，同除q，

apnqnqq

nn

令bn

aq

nn從而化為apa為常數(shù)）型n例．已知數(shù)列滿足a、

a

n

2)a．，

nn22解：annn22

n

兩邊同nn

2aaa，得nn33

2，b．()bbt338t．條件可化b，數(shù)列是b1為首項(xiàng)，3

8a為公比的等比數(shù)列b)．b3

,8a3()n．33、形

n

papn解法：這種類型一般利用待定系數(shù)法構(gòu)造等比數(shù)列，即

n

x(pxny)n與已知遞推式比較，解出,y,從而轉(zhuǎn)化yp的等比數(shù)列。n例11:設(shè)數(shù)4,

n

a.解：令

a

n

x(na)n化簡(jiǎn)得：

a

n

xnn所以

解得

，所以

a

n

n)n又因?yàn)?/p>

a1

，所以數(shù)列

n是以為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列。從而可得

an所以annnn4、形如

an

paann

2

(解法：這種類型一般利用待定系數(shù)法構(gòu)造等比數(shù)列，即令a(nn(xnyn)，與已知遞推式比較，解出x,y,z.從nn而轉(zhuǎn)化p的等比數(shù)列。例12:設(shè)數(shù)

aa1n

2

n

，求a八：不點(diǎn)法，形如解法：如果數(shù)列{}足下列條件：已a(bǔ)的值且對(duì)，都1

（其中p、r

、h均為常數(shù)，且qr,r0,么，可作特征方程x,特征方程有且僅rrx

12nnnnnnnnn1nnnnnnnn112nnnnnnnnn1nnnnnnnn有一根時(shí)等差數(shù)列;當(dāng)特征方程有兩個(gè)相異的根x時(shí)，則n1aan數(shù)列。

是等比例已知數(shù){}足性質(zhì)：對(duì)N,

n

nan

且a{}的通項(xiàng)公式1n九：換法：類函數(shù)的值域的求法有三角代換和代數(shù)代換兩種，目的是代換后出現(xiàn)的整體數(shù)列具有規(guī)律性。例已知數(shù){}滿ann

116

1，a求數(shù){}的通項(xiàng)公式。nn1n解：ba，nn

124

(bn

an

11(b，代aaa)得2416111b2[1(b2]2416244b2n

3)n

2因b，n

24a

2n

，n

1，2可化n

1(b，2所{b是b24首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列，因2111)n)n，b)n，即a)，222211a()n)n。323：本題解的關(guān)鍵通過(guò)將124a元為b得所給遞推關(guān)系式化bn

13形式，從而可知數(shù){b3}等比數(shù)列，進(jìn)而求出數(shù){b通項(xiàng)公式，2最后再求出數(shù){}的通項(xiàng)公式。n例18.已知數(shù)1

12

n

n

，a。

nnnn3nnnnn3nnn1nn27解析：

1cos，∵2

n

n

，∴

acos

a，…acos62n

總之，求數(shù)列的通項(xiàng)公式，就是將已知數(shù)列轉(zhuǎn)化成等差（或等比）數(shù)列，從而利用等差（或等比）數(shù)列的通項(xiàng)公式求其通項(xiàng)。十、雙列解法：據(jù)所給兩個(gè)列遞推式的關(guān)系，活采用加、累乘、歸等方求解。例已知數(shù)；數(shù)

0。，a),(ab)a,b.1解：(2a)()ann所ann

n

n

a

n

n

???aa2211…………）n又因n

1(2a)(a)()所(a))))(a)3)n.)………（2）11由（1得)]，b)23

]十一、期型

解法：由遞推式計(jì)算出前幾項(xiàng)，尋找周期。例若數(shù)

12)212n

6，a，則的值為_(kāi)__________。變式:（湖南文，5）已知數(shù){}滿aan

a3a

(N*)，=（）A．0B．3

C．3

D．

十二、解因式法當(dāng)數(shù)列的關(guān)系式較復(fù)雜，可考慮分解因式和約分化為較簡(jiǎn)形式，再用其它方法求得.例已知f(x)(x4,g)r3,(r數(shù){}滿a2,（∈

n有條(nn

n

nf

n

求a(≥2）n解：由得：(

)

3a

4即(

3[r(

)

1)]對(duì)n∈N，a故r(an

n

)

n

合并同項(xiàng)得:an

1r再由待系數(shù)法得rran

rr

(anan十三、環(huán)法

r