二次函數(shù)與幾何綜合壓軸題題型歸納

二次函數(shù)與幾何綜合壓軸題題型歸納PAGE1PAGE4杭州龍文教育科技有限公司湖墅校區(qū)學(xué)生：科目：數(shù)學(xué)教師：課題函數(shù)的綜合壓軸題型歸類教學(xué)目標(biāo)要學(xué)會利用特殊圖形的性質(zhì)去分析二次函數(shù)與特殊圖形的關(guān)系掌握特殊圖形面積的各種求法重點(diǎn)、難點(diǎn)利用圖形的性質(zhì)找點(diǎn)分解圖形求面積教學(xué)內(nèi)容一、二次函數(shù)和特殊多邊形形狀二、二次函數(shù)和特殊多邊形面積三、函數(shù)動點(diǎn)引起的最值問題四、?？键c(diǎn)匯總4、二次函數(shù)與軸的交點(diǎn)為整數(shù)點(diǎn)問題。（方法同上）例：若拋物線與軸交于兩個不同的整數(shù)點(diǎn)，且為正整數(shù)，試確定此拋物線的解析式。5、方程總有固定根問題，可以通過解方程的方法求出該固定根。舉例如下：已知關(guān)于的方程（為實(shí)數(shù)），（2）如圖，直線、相交，兩個固定點(diǎn)、，分別在、上確定兩點(diǎn)、，使得之和最小。（3）如圖，是直線同旁的兩個定點(diǎn)，線段，在直線上確定兩點(diǎn)、（在的左側(cè)），使得四邊形的周長最小。8、在平面直角坐標(biāo)系中求面積的方法：直接用公式、割補(bǔ)法三角形的面積求解常用方法：如右圖，S△PAB=1/2·PM·△x=1/2·AN·△y9、函數(shù)的交點(diǎn)問題：二次函數(shù)（）與一次函數(shù)（）（1）解方程組可求出兩個圖象交點(diǎn)的坐標(biāo)。（2）解方程組，即，通過可判斷兩個圖象的交點(diǎn)的個數(shù)有兩個交點(diǎn)僅有一個交點(diǎn)沒有交點(diǎn)10、方程法（1）設(shè)：設(shè)主動點(diǎn)的坐標(biāo)或基本線段的長度（2）表示：用含同一未知數(shù)的式子表示其他相關(guān)的數(shù)量（3）列方程或關(guān)系式11、幾何分析法特別是構(gòu)造“平行四邊形”、“梯形”、“相似三角形”、“直角三角形”、“等腰三角形”等圖形時，利用幾何分析法能給解題帶來方便。幾何要求幾何分析涉及公式應(yīng)用圖形跟平行有關(guān)的圖形平移、平行四邊形矩形梯形跟直角有關(guān)的圖形勾股定理逆定理利用相似、全等、平行、對頂角、互余、互補(bǔ)等直角三角形直角梯形矩形跟線段有關(guān)的圖形利用幾何中的全等、中垂線的性質(zhì)等。等腰三角形全等等腰梯形跟角有關(guān)的圖形利用相似、全等、平行、對頂角、互余、互補(bǔ)等【例題精講】OxyAOxyABCD一基礎(chǔ)構(gòu)圖：y=（以下幾種分類的函數(shù)解析式就是這個）★和最小，差最大在對稱軸上找一點(diǎn)P，使得PB+PC的和最小，求出P點(diǎn)坐標(biāo)在對稱軸上找一點(diǎn)P，使得PB-PC的差最大，求出P點(diǎn)坐標(biāo)OOxyABCD★求面積最大連接AC,在第四象限找一點(diǎn)P，使得面積最大，求出P坐標(biāo)OxyAOxyABCD求出P坐標(biāo)或者在拋物線上求點(diǎn)P，使△ACP是以AC為直角邊的直角三角形．討論等腰三角連接AC,在對稱軸上找一點(diǎn)P，使得為等腰三角形，求出P坐標(biāo)OOxyABCD討論平行四邊形1、點(diǎn)E在拋物線的對稱軸上，點(diǎn)F在拋物線上，且以B，A，F(xiàn)，E四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，求點(diǎn)F的坐標(biāo)二綜合題型例1(中考變式）如圖，拋物線與x軸交與A(1,0),B(-3，0)兩點(diǎn)，頂點(diǎn)為D。交Y軸于C(1)求該拋物線的解析式與△ABC的面積。(2)在拋物線第二象限圖象上是否存在一點(diǎn)M，使△MBC是以∠BCM為直角的直角三角形，若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)。若沒有，請說明理由(3)若E為拋物線B、C兩點(diǎn)間圖象上的一個動點(diǎn)(不與A、B重合)，過E作EF與X軸垂直，交BC于F，設(shè)E點(diǎn)橫坐標(biāo)為x.EF的長度為L，求L關(guān)于X的函數(shù)關(guān)系式？關(guān)寫出X的取值范圍？當(dāng)E點(diǎn)運(yùn)動到什么位置時，線段EF的值最大，并求此時E點(diǎn)的坐標(biāo)？(4)在（5）的情況下直線BC與拋物線的對稱軸交于點(diǎn)H。當(dāng)E點(diǎn)運(yùn)動到什么位置時,以點(diǎn)E、F、H、D為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形？(5)在（5）的情況下點(diǎn)E運(yùn)動到什么位置時，使三角形BCE的面積最大？

例2考點(diǎn)：關(guān)于面積最值如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A、C的坐標(biāo)分別為(－10)、(0)，點(diǎn)B在x軸上．已知某二次函數(shù)的圖象經(jīng)過A、B、C三點(diǎn)，且它的對稱軸為直線x＝1，點(diǎn)P為直線BC下方的二次函數(shù)圖象上的一個動點(diǎn)（點(diǎn)P與B、C不重合），過點(diǎn)P作y軸的平行線交BC于點(diǎn)F．yxyxBAFPx＝1CO（2）若設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m，試用含m的代數(shù)式表示線段PF的長；（3）求△PBC面積的最大值，并求此時點(diǎn)P的坐標(biāo)．例3考點(diǎn)：討論等腰如圖，已知拋物線y＝x2＋bx＋c與y軸相交于C，與x軸相交于A、B，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，0），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，－1）．（1）求拋物線的解析式；（2）點(diǎn)E是線段AC上一動點(diǎn)，過點(diǎn)E作DE⊥x軸于點(diǎn)D，連結(jié)DC，當(dāng)△DCE的面積最大時，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；BCOA備用圖yx（3）在直線BC上是否存在一點(diǎn)PBCOA備用圖yxDDBCOAyxE例4考點(diǎn)：討論直角三角⑴如圖，已知點(diǎn)A（一1，0）和點(diǎn)B（1，2），在坐標(biāo)軸上確定點(diǎn)P，使得△ABP為直角三角形，則滿足這樣條件的點(diǎn)P共有（）．(A）2個（B）4個（C）6個（D）7個⑵已知：如圖一次函數(shù)y＝x＋1的圖象與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B；二次函數(shù)y＝x2＋bx＋c的圖象與一次函數(shù)y＝x＋1的圖象交于B、C兩點(diǎn)，與x軸交于D、E兩點(diǎn)且D點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0）（1）求二次函數(shù)的解析式；（2）求四邊形BDEC的面積S；OAByCxDE2（3）在x軸上是否存在點(diǎn)POAByCxDE2例5考點(diǎn)：討論四邊形已知：如圖所示，關(guān)于x的拋物線y＝ax2＋x＋c（a≠0）與x軸交于點(diǎn)A（－2，0），點(diǎn)B（6，0），與y軸交于點(diǎn)C．（1）求出此拋物線的解析式，并寫出頂點(diǎn)坐標(biāo)；（2）在拋物線上有一點(diǎn)D，使四邊形ABDC為等腰梯形，寫出點(diǎn)D的坐標(biāo)，并求出直線AD的解析式；（3）在（2）中的直線AD交拋物線的對稱軸于點(diǎn)M，拋物線上有一動點(diǎn)P，x軸上有一動點(diǎn)Q．是否存在以A、M、P、Q為頂點(diǎn)的平行四邊形？如果存在，請直接寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由．BBAyOCx綜合練習(xí)：1、平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線與x軸交于點(diǎn)A、點(diǎn)B，與y軸的正半軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1,0)，OB＝OC，拋物線的頂點(diǎn)為D。(1)求此拋物線的解析式；(2)若此拋物線的對稱軸上的點(diǎn)P滿足∠APB＝∠ACB，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；(3)Q為線段BD上一點(diǎn)，點(diǎn)A關(guān)于∠AQB的平分線的對稱點(diǎn)為，若，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)和此時△的面積。2、在平面直角坐標(biāo)系中，已知二次函數(shù)的圖像與軸交于點(diǎn)，與軸交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為。（1）求二次函數(shù)的解析式及頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；（2）點(diǎn)M是第二象限內(nèi)拋物線上的一動點(diǎn)，若直線OM把四邊形ACDB分成面積為1：2的兩部分，求出此時點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）點(diǎn)P是第二象限內(nèi)拋物線上的一動點(diǎn)，問：點(diǎn)P在何處時△的面積最大？最大面積是多少？并求出此時點(diǎn)P的坐標(biāo)。3、如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸負(fù)半軸交于點(diǎn)，頂點(diǎn)為，且對稱軸與軸交于點(diǎn)。（1）求點(diǎn)的坐標(biāo)（用含的代數(shù)式表示）；（2）為中點(diǎn)，直線交軸于，若（0，2），求拋物線的解析式；（3）在（2）的條件下，點(diǎn)在直線上，且使得的周長最小，在拋物線上，在直線上，若以為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，求點(diǎn)的坐標(biāo)。4、已知關(guān)于的方程。（1）若方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，求的取值范圍；（2）若正整數(shù)滿足，設(shè)二次函數(shù)的圖象與軸交于兩點(diǎn)，將此圖象在x軸下方的部分沿x軸翻折，圖象的其余部分保持不變，得到一個新的圖象；請你結(jié)合這個新的圖象回答：當(dāng)直線與此圖象恰好有三個公共點(diǎn)時，求出的值（只需要求出兩個滿足題意的k值即可）。5如圖，拋物線y=ax2+2ax+c（a≠0）與y軸交于點(diǎn)C（0，4），與x軸交于點(diǎn)A（﹣4，0）和B．（1）求該拋物線的解析式；（2）點(diǎn)Q是線段AB上的動點(diǎn)，過點(diǎn)Q作QE∥AC，交BC于點(diǎn)E，連接CQ．當(dāng)△CEQ的面積最大時，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)；（3）平行于x軸的動直線l與該拋物線交于點(diǎn)P，與直線AC交于點(diǎn)F，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（﹣2，0）．問是否有直線l，使△ODF是等腰三角形？若存在，請求出點(diǎn)F的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．三、中考二次函數(shù)代數(shù)型綜合題題型一、拋物線與x軸的兩個交點(diǎn)分別位于某定點(diǎn)的兩側(cè)例1．已知二次函數(shù)y＝x2＋(m－1)x＋m－2的圖象與x軸相交于A（x1，0），B（x2，0）兩點(diǎn)，且x1＜x2．（1）若x1x2＜0，且m為正整數(shù)，求該二次函數(shù)的表達(dá)式；（2）若x1＜1，x2＞1，求m的取值范圍；（3）是否存在實(shí)數(shù)m，使得過A、B兩點(diǎn)的圓與y軸相切于點(diǎn)C（0，2），若存在，求出m的值；若不存在，請說明理由；（4）若過點(diǎn)D（0，EQ\F(1,2)）的直線與（1）中的二次函數(shù)圖象相交于M、N兩點(diǎn)，且EQ\F(MD,DN)＝EQ\F(1,3)，求該直線的表達(dá)式．題型二、拋物線與x軸兩交點(diǎn)之間的距離問題例2已知二次函數(shù)y=x2+mx+m-5，（1）求證：不論m取何值時，拋物線總與x軸有兩個交點(diǎn)；（2）求當(dāng)m取何值時，拋物線與x軸兩交點(diǎn)之間的距離最短．題型三、拋物線方程的整數(shù)解問題已知拋物線與x軸的兩個交點(diǎn)的橫坐標(biāo)均為整數(shù)，且m＜5，則整數(shù)m的值為_____________例2．已知二次函數(shù)y＝x2－2mx＋4m－8．（1）當(dāng)x≤2時，函數(shù)值y隨x的增大而減小，求m的取值范圍；AOxy（2）以拋物線y＝x2－2mx＋4m－8的頂點(diǎn)A為一個頂點(diǎn)作該拋物線的內(nèi)接正（M，N兩點(diǎn)在拋物線上），請問：△AMN的面積是與AOxy（3）若拋物線y＝x2－2mx＋4m－8與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)均為整數(shù)，求整數(shù)m的值．題型四、拋物線與對稱，包括：點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱、拋物線的對稱性、數(shù)形結(jié)合例1．已知拋物線（其中b>0，c≠0）與y軸的交點(diǎn)為A，點(diǎn)A關(guān)于拋物線對稱軸的對稱點(diǎn)為B(m,n)，且AB=2.(1)求m,b的值(2)如果拋物線的頂點(diǎn)位于x軸的下方，且BO=。求拋物線所對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式（友情提醒：請畫圖思考）題型五、拋物線中韋達(dá)定理的廣泛應(yīng)用（線段長、定點(diǎn)兩側(cè)、點(diǎn)點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱、等等）例1．已知：二次函數(shù)的圖象與x軸交于不同的兩點(diǎn)A（，0）、B（，0）（＜），其頂點(diǎn)是點(diǎn)C，對稱軸與x軸的交于點(diǎn)D．（1）求實(shí)數(shù)m的取值范圍；（2）如果（+1）（+1）=8，求二次函數(shù)的解析式；（3）把（2）中所得的二次函數(shù)的圖象沿y軸上下平移，如果平移后的函數(shù)圖象與x軸交于點(diǎn)、，頂點(diǎn)為點(diǎn)C1，且△是等邊三角形，求平移后所得圖象的函數(shù)解析式．綜合提升1．已知二次函數(shù)的圖象與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C（0，4），且|AB|＝2eq\r(,3)，圖象的對稱軸為x＝1．（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式；（2）若二次函數(shù)的圖象都在直線y＝x＋m的下方，求m的取值范圍．2．已知二次函數(shù)y＝－x2＋mx－m＋2．（1）若該二次函數(shù)圖象與x軸的兩個交點(diǎn)A、B分別在原點(diǎn)的兩側(cè)，并且AB＝eq\r(,5)，求m的值；（2）設(shè)該二次函數(shù)圖象與y軸的交點(diǎn)為C，二次函數(shù)圖象上存在關(guān)于原點(diǎn)對稱的兩點(diǎn)M、N，且S△MNC＝27，求m的值．3.已知關(guān)于x的一元二次方程x2－2(k＋1)x＋k2＝0有兩個整數(shù)根，k＜5且k為整數(shù)．（1）求k的值；（2）當(dāng)此方程有兩個非零的整數(shù)根時，將關(guān)于x的二次函數(shù)y＝x2－2(k＋1)x＋k2的圖象沿x軸向左平移4個單位，求平移后的二次函數(shù)圖象的解析式；（3）根據(jù)直線y＝x＋b與（2）中的兩個函數(shù)圖象交點(diǎn)的總個數(shù)，求b的取值范圍．4．已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（1，0）和點(diǎn)B（2，1），且與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為m．（1）若m為定值，求此二次函數(shù)的解析式；（2）若二次函數(shù)的圖象與x軸還有異于點(diǎn)A的另一個交點(diǎn)，求m的取值范圍；（3）若二次函數(shù)的圖象截直線y＝－x＋1所得線段的長為2eq\r(,2)，求m的值．四、中考二次函數(shù)定值問題1.（2012江西南昌8分）如圖，已知二次函數(shù)L1：y=x2﹣4x+3與x軸交于A．B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B左邊），與y軸交于點(diǎn)C．（1）寫出二次函數(shù)L1的開口方向、對稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)；（2）研究二次函數(shù)L2：y=kx2﹣4kx+3k（k≠0）．①寫出二次函數(shù)L2與二次函數(shù)L1有關(guān)圖象的兩條相同的性質(zhì)；②若直線y=8k與拋物線L2交于E、F兩點(diǎn)，問線段EF的長度是否發(fā)生變化？如果不會，請求出EF的長度；如果會，請說明理由．2.（2012山東濰坊11分）如圖，已知拋物線與坐標(biāo)軸分別交于A(－2，O)、B(2，0)、C(0，－l)三點(diǎn)，過坐標(biāo)原點(diǎn)O的直線y=kx與拋物線交于M、N兩點(diǎn)．分別過點(diǎn)C、D(0，－2)作平行于x軸的直線、．(1)求拋物線對應(yīng)二次函數(shù)的解析式；(2)求證以O(shè)N為直徑的圓與直線相切；(3)求線段MN的長(用k表示)，并證明M、N兩點(diǎn)到直線的距離之和等于線段MN的長．3.（2012浙江義烏12分）如圖1，已知直線y=kx與拋物線交于點(diǎn)A（3，6）．（1）求直線y=kx的解析式和線段OA的長度；（2）點(diǎn)P為拋物線第一象限內(nèi)的動點(diǎn)，過點(diǎn)P作直線PM，交x軸于點(diǎn)M（點(diǎn)M、O不重合），交直線OA于點(diǎn)Q，再過點(diǎn)Q作直線PM的垂線，交y軸于點(diǎn)N．試探究：線段QM與線段QN的長度之比是否為定值？如果是，求出這個定值；如果不是，說明理由；（3）如圖2，若點(diǎn)B為拋物線上對稱軸右側(cè)的點(diǎn)，點(diǎn)E在線段OA上（與點(diǎn)O、A不重合），點(diǎn)D（m，0）是x軸正半軸上的動點(diǎn)，且滿足∠BAE=∠BED=∠AOD．繼續(xù)探究：m在什么范圍