2022-2023學(xué)年西藏拉薩北京實(shí)驗(yàn)中學(xué)高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末質(zhì)量檢測(cè)試題含解析

2022-2023高二下數(shù)學(xué)模擬試卷考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，若不等式的解集為，且的極小值等于，則的值是()。A． B． C．5 D．42．在的展開式中，系數(shù)的絕對(duì)值最大的項(xiàng)為（）A． B． C． D．3．設(shè)，為兩條不同的直線，，為兩個(gè)不同的平面，則（）A．若，，則 B．若，，則C．若，，則 D．若，，則4．設(shè)是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)的虛部等于（）A． B． C． D．5．甲、乙、丙、丁、戊五名同學(xué)參加某種技術(shù)競(jìng)賽，決出了第一名到第五名的五個(gè)名次，甲、乙去詢問(wèn)成績(jī)，組織者對(duì)甲說(shuō)：“很遺憾，你和乙都未拿到冠軍”；對(duì)乙說(shuō)：“你當(dāng)然不會(huì)是最差的”.從組織者的回答分析，這五個(gè)人的名次排列的不同情形種數(shù)共有（）A． B． C． D．6．設(shè)x＝－2與x＝4是函數(shù)f(x)＝x3＋ax2＋bx的兩個(gè)極值點(diǎn)，則常數(shù)a－b的值為()A．21 B．－21C．27 D．－277．已知i是虛數(shù)單位,若復(fù)數(shù)z滿足,則=A．-2i B．2i C．-2 D．28．從5名學(xué)生中選出4名分別參加數(shù)學(xué)，物理，化學(xué)，生物四科競(jìng)賽，其中甲不能參加生物競(jìng)賽，則不同的參賽方案種數(shù)為A．48 B．72 C．90 D．969．已知點(diǎn)P是橢圓上的動(dòng)點(diǎn),當(dāng)點(diǎn)P到直線x-2y+10=0的距離最小時(shí),點(diǎn)P的坐標(biāo)是（）A． B． C． D．10．從裝有形狀大小相同的3個(gè)黑球和2個(gè)白球的盒子中依次不放回地任意抽取3次，若第二次抽得黑球，則第三次抽得白球的概率等于（）A． B． C． D．11．已知函數(shù)，滿足和均為偶函數(shù)，且，設(shè)，則A． B． C． D．12．若曲線，在點(diǎn)處的切線分別為，且，則的值為（）A． B．2 C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．定義在上的函數(shù)滿足，且當(dāng)若任意的，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的最大值是____________14．若曲線在點(diǎn)處的切線方程為，則的值為________．15．函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間是________.16．某校高二學(xué)生一次數(shù)學(xué)診斷考試成績(jī)（單位：分）服從正態(tài)分布，從中抽取一個(gè)同學(xué)的數(shù)學(xué)成績(jī)，記該同學(xué)的成績(jī)?yōu)槭录浽撏瑢W(xué)的成績(jī)?yōu)槭录?，則在事件發(fā)生的條件下事件發(fā)生的概率______．（結(jié)果用分?jǐn)?shù)表示）附參考數(shù)據(jù)：；；．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知在平面直角坐標(biāo)系內(nèi),點(diǎn)在曲線(為參數(shù),)上運(yùn)動(dòng).以為極軸建立極坐標(biāo)系,直線的極坐標(biāo)方程為（1）寫出曲線的普通方程和直線的直角坐標(biāo)方程;（2）若與相交于兩點(diǎn),點(diǎn)在曲線上移動(dòng),試求面積的最大值.18．（12分）已知數(shù)列的前項(xiàng)和，且滿足：，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.19．（12分）《基礎(chǔ)教育課程改革綱要(試行)》將“具有良好的心理素質(zhì)”列入新課程的培養(yǎng)目標(biāo)．為加強(qiáng)心理健康教育工作的開展，不斷提高學(xué)生的心理素質(zhì)，九江市某校高二年級(jí)開設(shè)了《心理健康》選修課，學(xué)分為2分．學(xué)校根據(jù)學(xué)生平時(shí)上課表現(xiàn)給出“合格”與“不合格”兩種評(píng)價(jià)，獲得“合格”評(píng)價(jià)的學(xué)生給予41分的平時(shí)分，獲得“不合格”評(píng)價(jià)的學(xué)生給予31分的平時(shí)分，另外還將進(jìn)行一次測(cè)驗(yàn)．學(xué)生將以“平時(shí)分×41%+測(cè)驗(yàn)分×81%”作為“最終得分”，“最終得分”不少于51分者獲得學(xué)分．該校高二(1)班選修《心理健康》課的學(xué)生的平時(shí)分及測(cè)驗(yàn)分結(jié)果如下：測(cè)驗(yàn)分[31，41)[41，41)[41，51)[51，61)[61，81)[81，91)[91，111]平時(shí)分41分人數(shù)1113442平時(shí)分31分人數(shù)1111111（1）根據(jù)表中數(shù)據(jù)完成如下2×2列聯(lián)表，并分析是否有94%的把握認(rèn)為這些學(xué)生“測(cè)驗(yàn)分是否達(dá)到51分”與“平時(shí)分”有關(guān)聯(lián)？選修人數(shù)測(cè)驗(yàn)分達(dá)到51分測(cè)驗(yàn)分未達(dá)到51分合計(jì)平時(shí)分41分平時(shí)分31分合計(jì)（2）用樣本估計(jì)總體，若從所有選修《心理健康》課的學(xué)生中隨機(jī)抽取4人，設(shè)獲得學(xué)分人數(shù)為，求的期望．附：，其中1．11．141．1241．111．1141．1112．6153．8414．1245．5346．86911．82820．（12分）設(shè)，，已知函數(shù).（I）當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)增區(qū)間；（Ⅱ）若對(duì)于任意，函數(shù)至少有三個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.21．（12分）在提出的“變害為利，造福人民”的木蘭溪全流域治理系統(tǒng)過(guò)程中，莆田市環(huán)保局根據(jù)水文觀測(cè)點(diǎn)的歷史統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，得到木蘭溪某段流域的每年最高水位（單位：米）的頻率分布直方圖（如圖）.若將河流最高水位落入各組的頻率視為概率，并假設(shè)每年河流最高水位相互獨(dú)立．（1）求在未來(lái)3年里，至多有1年河流最高水位的概率（結(jié)果用分?jǐn)?shù)表示）；（2）根據(jù)評(píng)估，該流域?qū)ρ睾悠髽I(yè)影響如下：當(dāng)時(shí)，不會(huì)造成影響；當(dāng)時(shí)，損失1000萬(wàn)元；當(dāng)時(shí)，損失6000萬(wàn)元．為減少損失，莆田市委在舉行的一次治理聽證會(huì)上產(chǎn)生了三種應(yīng)對(duì)方案：方案一：布置能防御35米最高水位的工程，需要工程費(fèi)用380萬(wàn)元；方案二：布置能防御31米最高水位的工程，需要工程費(fèi)用200萬(wàn)元；方案三：不采取措施；試問(wèn)哪種方案更好，請(qǐng)說(shuō)明理由．22．（10分）（本小題滿分10分）選修4-1：幾何證明選講如圖，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，AB的延長(zhǎng)線與DC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E，且CB=CE．（1）證明：∠D=∠E；（2）設(shè)AD不是⊙O的直徑，AD的中點(diǎn)為M，且MB=MC，證明：△ADE為等邊三角形．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】

求導(dǎo)數(shù)，利用韋達(dá)定理，結(jié)合的極小值等于，即可求出的值，得到答案．【詳解】依題意，函數(shù)，得的解集是，于是有，解得，∵函數(shù)在處取得極小值，∴，即，解得，故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，考查韋達(dá)定理的運(yùn)用，著重考查了學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，比較基礎(chǔ).2、D【解析】

根據(jù)最大的系數(shù)絕對(duì)值大于等于其前一個(gè)系數(shù)絕對(duì)值；同時(shí)大于等于其后一個(gè)系數(shù)絕對(duì)值；列出不等式求出系數(shù)絕對(duì)值最大的項(xiàng)；【詳解】二項(xiàng)式展開式為：設(shè)系數(shù)絕對(duì)值最大的項(xiàng)是第項(xiàng)，可得可得，解得在的展開式中，系數(shù)的絕對(duì)值最大的項(xiàng)為：故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)展開式中絕對(duì)值系數(shù)最大項(xiàng)的求解，涉及展開式通項(xiàng)的應(yīng)用，考查分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，屬于中等題．3、C【解析】

根據(jù)空間線面關(guān)系、面面關(guān)系及其平行、垂直的性質(zhì)定理進(jìn)行判斷．【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，若，，則與平行、相交、異面都可以，位置關(guān)系不確定；對(duì)于B選項(xiàng)，若，且，，，根據(jù)直線與平面平行的判定定理知，，，但與不平行；對(duì)于C選項(xiàng)，若，，在平面內(nèi)可找到兩條相交直線、使得，，于是可得出，，根據(jù)直線與平面垂直的判定定理可得；對(duì)于D選項(xiàng)，若，在平面內(nèi)可找到一條直線與兩平面的交線垂直，根據(jù)平面與平面垂直的性質(zhì)定理得知，只有當(dāng)時(shí)，才與平面垂直．故選C．【點(diǎn)睛】本題考查空間線面關(guān)系以及面面關(guān)系有關(guān)命題的判斷，判斷時(shí)要根據(jù)空間線面、面面平行與垂直的判定與性質(zhì)定理來(lái)進(jìn)行，考查邏輯推理能力，屬于中等題．4、D【解析】分析：對(duì)所給的復(fù)數(shù)分子、分母同乘以，利用進(jìn)行化簡(jiǎn)，整理出實(shí)部和虛部即可．詳解：∵∴復(fù)數(shù)的虛部為故選D.點(diǎn)睛：本題考查兩個(gè)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除法，虛數(shù)單位的冪運(yùn)算性質(zhì)，兩個(gè)復(fù)數(shù)相除時(shí)，一般需要分子和分母同時(shí)除以分母的共軛復(fù)數(shù)，再進(jìn)行化簡(jiǎn)求值．5、D【解析】分析：先排乙，再排甲，最后排剩余三人.詳解：先排乙，有種，再排甲，有種，最后排剩余三人，有種因此共有，選D.點(diǎn)睛：求解排列、組合問(wèn)題常用的解題方法：(1)元素相鄰的排列問(wèn)題——“捆邦法”；(2)元素相間的排列問(wèn)題——“插空法”；(3)元素有順序限制的排列問(wèn)題——“除序法”；(4)帶有“含”與“不含”“至多”“至少”的排列組合問(wèn)題——“間接法”；（5）“在”與“不在”問(wèn)題——“分類法”.6、A【解析】

求出導(dǎo)數(shù)f′(x)．利用x＝－2與x＝4是函數(shù)f(x)兩個(gè)極值點(diǎn)即為f′(x)＝0的兩個(gè)根．即可求出a、b．【詳解】由題意知，－2，4是函數(shù)f′(x)＝0的兩個(gè)根，f′(x)＝3x2＋2ax＋b，所以?所以a－b＝－3＋24＝21.故選A【點(diǎn)睛】f′(x)＝0的解不一定為函數(shù)f(x)的極值點(diǎn)．（需判斷此解兩邊導(dǎo)數(shù)值的符號(hào)）函數(shù)f(x)的極值點(diǎn)一定是f′(x)＝0的解．7、A【解析】由得,即,所以,故選A.【名師點(diǎn)睛】復(fù)數(shù)代數(shù)形式的加減乘除運(yùn)算的法則是進(jìn)行復(fù)數(shù)運(yùn)算的理論依據(jù),加減運(yùn)算類似于多項(xiàng)式的合并同類項(xiàng),乘法法則類似于多項(xiàng)式乘法法則,除法運(yùn)算則先將除式寫成分式的形式,再將分母實(shí)數(shù)化.注意下面結(jié)論的靈活運(yùn)用：(1)(1±i)2＝±2i；(2)＝i,＝－i.8、D【解析】因甲不參加生物競(jìng)賽，則安排甲參加另外3場(chǎng)比賽或甲學(xué)生不參加任何比賽①當(dāng)甲參加另外3場(chǎng)比賽時(shí)，共有?=72種選擇方案；②當(dāng)甲學(xué)生不參加任何比賽時(shí)，共有=24種選擇方案．綜上所述，所有參賽方案有72+24=96種故答案為：96點(diǎn)睛：本題以選擇學(xué)生參加比賽為載體，考查了分類計(jì)數(shù)原理、排列數(shù)與組合數(shù)公式等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題．9、C【解析】分析：設(shè)與直線x-2y+10=0平行且與橢圓相切的直線方程為，與橢圓方程聯(lián)立，利用，解得，即可得出結(jié)論.詳解：設(shè)與直線x-2y+10=0平行且與橢圓相切的直線方程為，聯(lián)立，化為，，解得，取時(shí)，，解得，，.故選：C.點(diǎn)睛：本題考查了直線與橢圓的相切與一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題.10、D【解析】分析：這是一個(gè)條件概率，可用古典概型概率公式計(jì)算，即從5個(gè)球中取三個(gè)排列，總體事件是第二次是黑球，可在第二次是黑球的條件下抽排第一次和第三次球.詳解：.點(diǎn)睛：此題是一個(gè)條件概率，條件是第二次抽取的是黑球，不能誤以為是求第二次抽到黑球，第三次抽到白球的概率，如果那樣求得錯(cuò)誤結(jié)論為.11、C【解析】分析：根據(jù)函數(shù)的奇偶性和周期性求出，然后即可得到答案詳解：由題意可得：故，周期為故選點(diǎn)睛：本題考查了函數(shù)的奇偶性和周期性，運(yùn)用周期性進(jìn)行化簡(jiǎn)，結(jié)合已知條件求出結(jié)果，本題的解題方法需要掌握。12、A【解析】試題分析：因?yàn)?，則f′（1）=，g′（1）=a，又曲線a在點(diǎn)P（1，1）處的切線相互垂直，所以f′（1）?g′（1）=-1，即，所以a=-1．故選A．考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

先根據(jù)解析式以及偶函數(shù)性質(zhì)確定函數(shù)單調(diào)性，再化簡(jiǎn)不等式，分類討論分離不等式，最后根據(jù)函數(shù)最值求m取值范圍，即得結(jié)果.【詳解】因?yàn)楫?dāng)時(shí)為單調(diào)遞減函數(shù)，又，所以函數(shù)為偶函數(shù)，因此不等式恒成立，等價(jià)于不等式恒成立，即，平方化簡(jiǎn)得，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，對(duì)恒成立，；當(dāng)時(shí)，對(duì)恒成立，（舍）；綜上，因此實(shí)數(shù)的最大值是.【點(diǎn)睛】解函數(shù)不等式：首先根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)把不等式轉(zhuǎn)化為的形式，然后根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性去掉“”，轉(zhuǎn)化為具體的不等式(組)，此時(shí)要注意與的取值應(yīng)在外層函數(shù)的定義域內(nèi).14、2【解析】試題分析：，又在點(diǎn)處的切線方程是，．考點(diǎn)：三角函數(shù)化簡(jiǎn)求值．15、【解析】

根據(jù)對(duì)數(shù)型復(fù)合函數(shù)單調(diào)區(qū)間的求法，求得的單調(diào)減區(qū)間.【詳解】由得，解得，所以的定義域?yàn)椋捎诘拈_口向下，對(duì)稱軸為；在上遞減.根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性同增異減可知，的單調(diào)減區(qū)間為.故答案為：【點(diǎn)睛】本小題主要考查對(duì)數(shù)型復(fù)合函數(shù)單調(diào)區(qū)間的求法，屬于基礎(chǔ)題.16、【解析】

計(jì)算出和，然后利用條件概率公式可得出的值.【詳解】由題意可知，，事件為，，，所以，，，由條件概率公式得，故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查條件概率的計(jì)算，同時(shí)也考查了正態(tài)分布原則計(jì)算概率，解題時(shí)要將相應(yīng)的事件轉(zhuǎn)化為正態(tài)分布事件，充分利用正態(tài)密度曲線的對(duì)稱性計(jì)算，考查計(jì)算能力，屬于中等題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(Ⅰ)曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：；直線的直角坐標(biāo)方程為：(Ⅱ)【解析】試題分析：(Ⅰ)對(duì)于曲線，理平方關(guān)系消去參數(shù)即可；對(duì)于極坐標(biāo)方程利用三角函數(shù)的和角公式后再化成直角坐標(biāo)方程，再利用消去參數(shù)得到直線的直角坐標(biāo)方程．(Ⅱ)欲求面積的最大值，由于一定，故只要求邊上的高最大即可，根據(jù)平面幾何的特征，當(dāng)點(diǎn)在過(guò)圓心且垂直于的直線上時(shí)，距離最遠(yuǎn)，據(jù)此求面積的最大值即可．試題解析：(Ⅰ)消參數(shù)得曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：.由題得：，即直線的直角坐標(biāo)方程為：.(Ⅱ)圓心到的距離為，則點(diǎn)到的最大距離為，，∴.考點(diǎn)：極坐標(biāo)18、（1）；（2）．【解析】試題分析：（1）當(dāng)時(shí)，可求出，當(dāng)時(shí)，利用可求出是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，故而可求出其通項(xiàng)公式；（2）由裂項(xiàng)相消可求出其前項(xiàng)和.試題解析：（1）依題意：當(dāng)時(shí)，有：，又，故，由①當(dāng)時(shí)，有②，①－②得：化簡(jiǎn)得：，∴是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，∴.（2）由（1）得：，∴∴19、（1）有94%的把握認(rèn)為學(xué)生“測(cè)驗(yàn)分是否達(dá)到51分”與“平時(shí)分”有關(guān)聯(lián)；（2）4【解析】

（1）根據(jù)數(shù)據(jù)填表，然后計(jì)算，可得結(jié)果.（2）根據(jù)計(jì)算，可得未獲得分?jǐn)?shù)的人數(shù)，然后可知獲得分?jǐn)?shù)的概率，依據(jù)二項(xiàng)分布數(shù)學(xué)期望的計(jì)算方法，可得結(jié)果.【詳解】解：（1）根據(jù)表中數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)，可得2x2列聯(lián)表選修人數(shù)測(cè)驗(yàn)分合計(jì)達(dá)到51分未達(dá)到51分平時(shí)分41分13214平時(shí)分31分234合計(jì)14421，∴有94%的把握認(rèn)為學(xué)生“測(cè)驗(yàn)分是否達(dá)到51分”與“平時(shí)分”有關(guān)聯(lián)（2）分析學(xué)生得分，，，平時(shí)分41分的學(xué)生中測(cè)驗(yàn)分只需達(dá)到41分，而平時(shí)分31分的學(xué)生中測(cè)驗(yàn)分必須達(dá)到51分，才能獲得學(xué)分平時(shí)分41分的學(xué)生測(cè)驗(yàn)分未達(dá)到41分的只有1人，平時(shí)分31分的學(xué)生測(cè)驗(yàn)分未達(dá)到51分的有3人∴從這些學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，該生獲得學(xué)分的概率為，．【點(diǎn)睛】本題考查統(tǒng)計(jì)量的計(jì)算以及二項(xiàng)分布，第（2）問(wèn)中在于理解，理解題意，細(xì)心計(jì)算，屬基礎(chǔ)題.20、（I）；（Ⅱ）.【解析】

（I）將代入函數(shù)的解析式，并將函數(shù)的解析式表示為分段函數(shù)的性質(zhì)，再結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)得出函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；（Ⅱ）將函數(shù)的解析式去絕對(duì)值，表示為分段函數(shù)的形式，并判斷出該函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合零點(diǎn)存在定理判斷函數(shù)的零點(diǎn)，得出關(guān)于與的不等式關(guān)系，利用不等式的性質(zhì)求出的取值范圍．【詳解】（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，，所以的單調(diào)增區(qū)間為.（Ⅱ）因?yàn)椋?，可知在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.①若，則在和上無(wú)零點(diǎn)，由的單調(diào)性及零點(diǎn)的存在性定理可知，至多有兩個(gè)零點(diǎn)；故，即對(duì)任意恒成立，可知.②當(dāng)時(shí)，若或成立，則由的單調(diào)性及零點(diǎn)的存在性定理可知至多有兩個(gè)零點(diǎn)，故，即成立，注意到，故，即對(duì)任意成立，可知，綜上可知，.因?yàn)?，所?設(shè)，其頂點(diǎn)在，（即線段）上運(yùn)動(dòng).若，顯然存在字圖與拋物線只有兩個(gè)交點(diǎn)的情況，不符合題意，故，如圖畫出草圖.顯然當(dāng)點(diǎn)自點(diǎn)向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，兩個(gè)圖象總有，兩個(gè)交點(diǎn)，故只需要字形圖象右支與拋物線有交點(diǎn)即可，即有兩個(gè)正根，滿足，即對(duì)任意都成立，即，又，所以.【點(diǎn)睛】本題考查了絕對(duì)值函數(shù)單調(diào)區(qū)間的求解和函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題，利用單調(diào)性和零點(diǎn)存在定理是解決函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題的常用方法，考查分