人教課標(biāo)實(shí)驗(yàn)版八年級下冊第十九章四邊形1梯形【區(qū)一等獎】

梯形中的輔助線與梯形有關(guān)的幾何問題，是初二數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的一個重要問題．解決這類問題常需要添加適當(dāng)?shù)妮o助線．如何添加呢？下面介紹幾種方法及其思路，供參考．一、平移腰——構(gòu)造平行四邊形和三角形．【例1】如圖1，在梯形ABCD中，AB∥CD∥EF，DE=4，EA=6，BC=5．求FB的長．解：過D作DH∥BC交EF于G，交AB于H．則易證四邊形DGFC、GHBF、DHBC均為平行四邊形．∴DG=CF，GH=FB，DH=CB．∵EG∥AH，∴DG=2．∴FB=BC-CF=BC-DG=3．二、平移對角線——構(gòu)造平行四邊形和三角形．【例2】如圖2，在梯形ABCD中，AD∥BC，E、F分別是AB、DC上的中點(diǎn)，且EF=20cm．若AC⊥BD，∠DBC=30°，求對角線AC的長．解：過D作DG∥AC交BC的延長線于G，則易證四邊形ACGD為平行四邊形．∵EF是梯形ABCD的中位線，∴BG=BC＋CG=BC＋AD=2EF=40．在Rt△DBG中，∠DBG=30°，三、過頂點(diǎn)作高——構(gòu)造矩形和直角三角形．【例3】如圖3，梯形ABCD中，DC∥AB，AD=BD,AC=AB，∠ADB=90°,AC交BD于E．求證：BE=BC．證明：過D作DF⊥AB于F，過C作CG⊥AB于G，則易證四邊形FGCD為矩形，從而CG＝DF．∵AD=BD，∠ADB=90°，則∠CAB=30°．而∠CEB=∠CAB＋∠ABD=30°＋45°=75°，∴∠CEB=∠ACB，∴BE=BC．四、延長兩腰相交——構(gòu)造三角形．【例4】如圖4，梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=∠C．求證：AB=CD．證明：延長BA、CD相交于E點(diǎn)．由AD∥BC知∠1=∠B．∠2=∠C．而∠B=∠C，∴∠1=∠2．則EA=ED．由∠B=∠C知EB=EC，∴AB=CD．五、過一腰中點(diǎn)作底邊平行線——構(gòu)造中位線．【例5】如圖5，梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC的平分線過CD的中點(diǎn)E．求證：AD＋BC=AB．證明：過E作EF∥BC交AB于F，則易證EF∥BC∥AD，EF為梯形ABCD的中位線．∵∠1=∠2，∠2=∠3，∴∠1=∠3，則BF=EF．∴BF=EF=AF．∵AD＋BC=2EF，∴AD＋BC=AB．六、過一腰中點(diǎn)作另一腰平行線——構(gòu)造全等三角形．【例6】如圖6，E是梯形ABCD中腰DC上的中點(diǎn)，證明：過E作MN∥AB交BC于N，交AD的延長線于M，則易證四邊形ABNM是平行四邊形．∵△ABE與ABNM同底同高，∵∠1=∠C，∠M=∠2，DE=CE，∴△EMD≌△ENC．七、過一腰中點(diǎn)和頂點(diǎn)作直線——構(gòu)造全等三角形．【例7】圖7，E是梯形ABCD中的腰AD的中點(diǎn)，且AB＋CD=BC，求證BE平分∠ABC．證明：連結(jié)CE并延長交BA的延長線于F．∵∠D=∠1，∠2=∠F，DE=AE，∴△CED≌△FEA．則CE=EF，CD=AF．∴BF=AB＋AF=AB＋CD=BC．而BE是△BFC的中線，∴BE平分∠ABC．八、過一對角線中點(diǎn)和頂點(diǎn)作直線——構(gòu)造全等三角形．【例8】如圖8，梯形ABCD中，AD∥BC，E是BC的中點(diǎn)，F(xiàn)是AC的中點(diǎn)．證明；連結(jié)AE并延長交BC于G．∵∠1=∠2，∠3=∠4，DE=EB，∴△ADE≌△GBE．則AE=EG，AD=BG．∴GC=BC-BG=BC-AD．∵EF是△AGC的中位線，而AD∥BC，九、連結(jié)頂點(diǎn)和底邊中點(diǎn)——構(gòu)造等積三角形