勾股定理（簡答題專練）（解析版）

專題07：勾股定理(簡答題專練)

一、解答題

1.某學(xué)校要對如圖所示的一塊地進(jìn)行綠化，已知49=4m，CD=3m,AD1DC，AB=13m,

BC=12m,求這塊地的面積.

【答案】24cm2-

【分析】連接AC,勾股定理計算AC=JA/)2+CD2=032+42，應(yīng)用勾股定理的逆定理判定三角形ABC

是直角三角形，計算兩個直角三角形的面積差即可.

【解答】解：連接AC

,/AD1DC

：.ZADC=90°,

在Rt^ADC中，根據(jù)勾股定理，得

AC=yjAD2+CD2=732+42

=5,

在aABC中，

,AC2+BC2=52+122=132=AB2,

△ABC是直角三角形，

S四邊形BAC。—SABCACD

5x123x4

=----------

22

=24(m2).

1

【點評】本題考查了勾股定理、勾股定理的逆定理的應(yīng)用，得到AABC是直角三角形是解題的關(guān)鍵.同時

考查了直角三角形的面積公式.

2.如圖，在四邊形ABCD中，已知AB=5,BC=3,CD=6,AD=2右，若AC_LBC,求證：AD〃BC.

【答案】證明見解析.

【解析】試題分析：在□A3c中，根據(jù)勾股定理求出AC?的值，再在△ACD中根據(jù)勾股定理的逆定理,

判斷出AC1CD,再根據(jù)平行線的判定即可求解.

試題解析：證明：在CIABC中AC_L8C,根據(jù)勾股定理：AC2=AB2-BC2=52-32=16,

:在AAC。中，AC2+AZ)2=16+20=36,CD2=36,

AC2+AD2=CD2,

根據(jù)勾股定理的逆定理，AACD為直角三角形，

:.AC±CD,

J.AD//BC.

3.一塊木板如圖所示，已知AB=4,BC=3,DC=12,AD=13,/B=90。,木板的面積是多少？

【分析】連接AC,利用勾股定理解出直角三角形ABC的斜邊，通過三角形ACD的三邊關(guān)系可確定它為直

角三角形，木板面積為這兩三角形面積之差.

【解答】連接AC,

2

A

4

------

,在AABC中，AB=4,BC=3,NB=90。，

r.AC=5,

,在AACD中,AC=5,DC=12,AD=13,

.\DC2+AC2=122+5?=169,AD?=132=169,

.-.DC2+AC2=AD2,Z\ACD為直角三角形，AD為斜邊，

，木板的面積為:SACD-SAABC=-x5xl2-—x3x4=24.

A22

【點評】本題考查正確運用勾股定理，善于觀察題目的信息畫圖是解題的關(guān)鍵.

4.圖1是圍墻的一部分，上部分是由不銹鋼管焊成的等腰三角形柵欄如圖2,請你根據(jù)圖2所標(biāo)注的尺寸,

求焊成一個等腰三角形柵欄外框BCD至少需要不銹鋼管多少米（焊接部分忽略不計）.

rwwq可詼

---------------------------------------B...........

圖1圖2

【答案】等腰三角形柵欄外框BCD至少需要不銹鋼管3.6米.

【分析】苜先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得DO=LcD=0.8m,再在RtZ\BDO中利用勾股定理計算出BD的

2

長，即可算出答案.

【解答】由題意得：BO1CD,

「△BCD是等腰三角形，

二D0=—CD=0.8nr,

2

在RtABDO中，

VBD2=DO2+BO2,

.*.BD=7O.82+O.62（米），

；.BC=1米，

.?.等腰三角形柵欄外框BCD至少需要不銹鋼管：1+1+1.6=36（米）.

【點評】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是利用勾股定理計算出BD的長.

3

5.中國機器人創(chuàng)意大賽于2014年7月15日在哈爾濱開幕.如圖是一參賽隊員設(shè)計的機器人比賽時行走的

路徑，機器人從A處先往東走4m,又往北走1.5m,遇到障礙后又往西走2m,再轉(zhuǎn)向北走4.5m處往東一

拐，僅走0.5m就到達(dá)了B.問機器人從點A到點B之間的距離是多少？

【解析】試題分析：過點B作BC1.AD丁-C,可以計算出AC、BC的長度，在直角AABC中根據(jù)勾股定

理即可計算AB.

試題解析：過點B作BCJ_AD于C,

所以AC=4-2+0.5=2.5m,BC=4.5+1.5=6m,

在直角△ABC中，AB為斜邊，則AB=yjBC2+AC2=^62+(1)2=ym,

13

答：機器人從點A到點B之間的距離是一m.

2

考點：勾股定理.

6.如圖所示，在四邊形ABCD中，AB=2石，BC=2,CD=1,AD=5,且NC=90。，求四邊形ABCD的面

【答案】四邊形A8CD的面積是6.

4

【分析】連接BD,根據(jù)勾股定理可計算出8。的長度，再由勾股定理逆定理可判斷出△A5O為直角三角形,

分別計算出△A8。和△8CO的面積，求和即可.

.?.△8C。為直角三角形,

BD2^BC2+CI>2^22+12=(75)2,BD>0,

BD=-^5,

在△ABC中，

VAB2+BZ>2=20+5=25,AD2=52=25,

J.AB^B^AD2,

為直角三角形，且NABD=90。，

5iqiiii；ASCD-SAABD+SABCD=—x2.y/5x.\/5+~x2xl=6.

四邊形ABC。的面積是6.

【點評】本題關(guān)鍵在于利用勾股定理逆定理判定出直角三角形，從而求出三角形的面積.

7.在一條東西走向河的一側(cè)有一村莊C,河邊原有兩個取水點A,B,其中AB=AC,由于種種原因，由C

到A的路現(xiàn)在已經(jīng)不通了，某村為方便村民取水決定在河邊新建一個取水點H（A,H,B在一條直線上）,

并新修一條路CH,測得CB=3千米，CH=2.4千米，HB=L8千米.

（1）問CH是不是從村莊C到河邊的最近路，請通過計算加以說明；

（2）求原來的路線AC的長.

【答案】（1）是，理由見解析；（2）2.5米.

5

【分析】(1)先根據(jù)勾股定理逆定理證得RtZ\CHB是直角三角形，然后根據(jù)點到直線的距離中，垂線段最

短即可解答；

(2)設(shè)AC=AB=x,則AH=x—1.8,在RtZ\ACH中，根據(jù)勾股定理列方程求得x即可.

【解答】⑴???1.8?+2,42=32.即BH2+CH2=BC2>

.?.RtACHB是直角三角形，即CH_LBH,

ACH是從村莊C到河邊的最近路(點到直線的距離中，垂線段最短)；

(2)設(shè)AC=AB=x,則AH=x—1.8,

VltRtAACH,

CH2+AH2=AC2?即2.42+(x—1.8)2=/,解得*=2.5,

,原來的路線AC的長為2.5米.

【點評】本題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，靈活應(yīng)用勾股定理的逆定理和定理是解答本題的關(guān)鍵.

8.觀察下列勾股數(shù):3,4,5;5,12,13;7,24,25;9,40,41;...,a,b,c.

根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，請寫出：

⑴當(dāng)。=19時，求b,c的值;

⑵當(dāng)〃=2〃+1時，求b,c的值；

(3)用(2)的結(jié)論判斷15,111,112,是否為一組勾股數(shù),并說明理由.

【答案】⑴b=180.c=181；(2)h=2〃2+2〃,c=2"2+2”+l；(3)不是，理由見解析

【解析】試題分析：(1)仔細(xì)觀察可發(fā)現(xiàn)給出的勾股數(shù)中，斜邊與較大的直角邊的差是1,根據(jù)此規(guī)律及勾

股定理公式不難求得江c的值.

(2)根據(jù)第一問發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，代入勾股定理公式中即可求得氏c的值.

(3)將第二問得出的結(jié)論代入第三問中看是否符合規(guī)律，符合則說明是一組勾股數(shù)，否則不是.

試題解析：解：(1)觀察得給出的勾股數(shù)中，斜邊與較大直角邊的差是1,即c-b=L

Vt7=19,a2+h2=c-,192+b2=(h+\)2,.,./>=180,.".c=181；

(2)通過觀察知c-8=1,,:(2n+l)2+b2=c2,c2-b2=(2n+1)2,(6+c)(c-b)=(2n+l)2,b+c=

(2n+l)2,又c=fe+l,...26+1=(2n+l)2,".b=2n1+2n,c=2n2+2n+1：

(3)由(2)知，2〃+1,2n2+2n,2n2+2n+1為一組勾股數(shù)，當(dāng)n=7時，2n+1=15,112-111=1,但2n1+2n=112/111,

.?.15,111,112不是一組勾股數(shù).

點睛：此題主要考查學(xué)生對勾股數(shù)及規(guī)律題的綜合運用能力.

6

9.已知：如圖，一塊RtZiABC的綠地，量得兩直角邊AC=8cm,8c=6cm.現(xiàn)在要將這塊綠地擴充成等腰^

ABD,且擴充部分(△AOC)是以8cm為直角邊長的直角三角形，求擴充等腰△43。的周長.

(1)在圖1中，當(dāng)AB=A￡>=10cm時，△ABC的周長為------------------------

(2)在圖2中，當(dāng)BA=B￡)=10cm時，△ABC的周長為------------------------,

(3)在圖3中，當(dāng)D4=OB時，求△ABO的周長?

【答案】(1)32m；(2)(20+46)m；(3)—m

【分析】(1)利用勾股定理得出DC的長，進(jìn)而求出AABD的周長；

(2)利用勾股定理得出AD的長，進(jìn)而求出4ABD的周長；

(3)首先利用勾股定理得出DC、AB的長，進(jìn)而求出4ABD的周長.

【解答】：(1)如圖1,：AB=AD=10m,AC_LBD,AC=8m,

???DC=^ADr-AC2=6(m)

則4ABD的周長為：10+10+6+6=32(m).

故答案為32m；

(2)如圖2,當(dāng)BA=BD=10m時,

則DC=BD-BC=10-6=4(m),

故AD=yjAC2+DC2=4右(m)

則4ABD的周長為：AD+AB+BD=10+4石+10=(20+475)m；

故答案為(20+46)in；

(3)如圖3,：DA=DB,

:?設(shè)DC=xm,則AD=(6+x)m,

ADC2+AC2=AD2,

7

即x2+82=(6+x)2,

7

解得：x=-

3

VAC=8m,BC=6m,

，AB=10m,

7、80

(y+6l+10=y(m)

【點評】此題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，根據(jù)題意熟練應(yīng)用勾股定理是解題關(guān)鍵.

10.閱讀：已知a、b、c為AABC的三邊長，且滿足a2c2-b2c2=a4-b、試判斷AABC的形狀.

解：因為a2c2-b2c2=a4-b3①

所以c?(a2-b2)=(a2-b2)(a2+b2).②

所以c2=a?+b2.③

所以AABC是直角三角形.④

請據(jù)上述解題回答下列問題：

(1)上述解題過程，從第步(該步的序號)開始出現(xiàn)錯誤，錯的原因為；

(2)請你將正確的解答過程寫下來.

【答案】(1)③，忽略「a2-b2=0的可能；(2)見解析

【分析】(1)上述解題過程，從第三步出現(xiàn)錯誤，錯誤原因為在等式兩邊除以a2-b?,沒有考慮aJb2是否為

0；

(2)正確的做法為：將等式右邊的移項到方程左邊，然后提取公因式將方程左邊分解因式，根據(jù)兩數(shù)相乘

積為0,兩因式中至少有一個數(shù)為0轉(zhuǎn)化為兩個等式；根據(jù)等腰三角形的判定，以及勾股定理的逆定理得出

三角形為直角三角形或等腰三角形.

【解答】解：(1)上述解題過程，從第③步開始出現(xiàn)錯誤，錯的原因為：忽略「a2-b2=0的可能；

(2)正確的寫法為：c2(a2-b2)=(a2+b2)(a2-b2),

移項得：c2(a2-b2)-(a2+b2)(a2-b2)=0,

因式分解得：(a2-b2)[c2-(a2+b2)]=0,

則當(dāng)a2-b2=0時,a=b；當(dāng)aZ-b2#)時,a2+b2=c2；

所以AABC是直角三角形或等腰三角形或等腰直角三角形.

故答案為：③，忽略了a2-b2=0的可能.

【點評】本題考查勾股定理的逆定理的應(yīng)用、分類討論.判斷三角形是否為直角三角形，已知三角形三邊

8

的長，只要利用勾股定理的逆定理加以判斷即可.

II.如圖所示，在AABC中，AC=8cm,BC=6cm；在4ABE中，DE為AB邊上的高，DE=12cm,AABE

的面積S=60cm2.

⑴求出AB邊的長；

(2)你能求出NC的度數(shù)嗎？請試一試.

【分析】(1)由SAABE=60,求得AB=10；

(2)根據(jù)勾股定理的逆定理得出4ABC為直角三角形，從而得到NC的度數(shù).

【解答】⑴：DE=12,SAABE=；DE?AB=60,

，AB=10；

(2)VAC=8,BC=6,62+82=102,

AAC2+BC2=AB2,

由勾股定理逆定理得/C=90。.

【點評】本題考查了利用三角形的面積公式和勾股定理的逆定理求解，解題關(guān)鍵在于掌握運算法則

12.己知：如圖，在AA8C中，NC=90°,。為AB的中點，E、尸分別在AC、3C上，且團(tuán)_LfD

于。.求證：AE2+BF2-EF2-

【分析】通過倍長線段OE，將AE、BF、所轉(zhuǎn)化到A8GE中，再證A8GF為直角三角形.

【解答】延長至G,使OG=OE,連結(jié)BG、FG,

?.?AD=BD，ZADE^ZBDG,

:.△ADEwABDG，

9

，AE=BG，ZA=/DBG,

:.ACDBG,

.-.ZC+/FBG=180°.:.ZFBG=90°,

BGr+BF2=GF2^

又?：ED工FD，ED=GD,

：.EF=GF,

【點評】本題考查了全等三角形判定與性質(zhì)，勾股定理，正確添加輔助線，熟練掌握相關(guān)知識是解題的關(guān)

鍵.

13.由于大風(fēng)，山坡上的一棵樹甲被從點A處攔腰折斷，如圖所示，其樹恰好落在另一棵樹乙的根部C處,

已知A8=4米，BC=13米，兩棵樹的株距（兩棵樹的水平距離）為12米，請你運用所學(xué)的知識求這棵樹

原來的高度.

【分析】首先構(gòu)造直角三角形，進(jìn)而求怨8。的長，進(jìn)而求出4C的長，即可得出答案.

【解答】解：如圖所示：延長AB,過點C作CQLAB延長線于點。，

由題意可得：BC=13m,DC=12m,

故BD=J13?-12?=5（6），

即AD=9mf

則AC=^AD2+CD2=V92+122=15（m）,

故AC+AB=15+4=19(〃]),

10

答：樹原來的高度19米.

【點評】此題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，得出8。的長是解題關(guān)鍵.

14.如圖，在RtZXABC中，/BC4=90。，AC=12,AB=13,點。是外一點，連接QC,DB,且

8=4,80=3.

(1)求BC的長；

(2)求證：ABCD是直角三角形.

【答案】(1)5；(2)詳見解析.

【分析】(1)在Rtz^ABC中，根據(jù)勾股定理即可求得BC的長；

(2)利用勾股定理逆定理即可證明4BCD是直角三角形.

【解答】(1)解：?:心△ABC中，ZBCA=90°,AC=12,AB=I3,

???BC=y/AB2-AC2=V132-122=5；

(2)證明：?.?在4BCD中，CD=4,BD=3,BC=5,

.,.CD2+BD2=BC2,

.,.△BCD是直角三角形.

【點評】本題考查勾股定理及其逆定理.勾股定理：在任何一個宜角三角形中，兩條直角邊長的平方之和

一定等于斜邊長的平方.勾股定理的逆定理：如果三角形的三邊長a,b,c滿足a2+b2=c?,那么這個三角形

就是直角三角形.掌握定理是解題關(guān)鍵.

15.如圖，公路PQ和公路MN交于點P,且NNPQ=45。，公路PQ上有一所學(xué)校A,AP=8()Q米，現(xiàn)有

一拖拉機在公路上以10米秒的速度行駛，拖拉機行駛時周圍100米以內(nèi)會受到噪聲的影響，請判斷拖

拉機在行駛過程中是否對學(xué)校會造成影響，并說明理由，如果造成影響，求出造成影響的時間.

11

Q

【答案】受影響的時間為12秒.

【解析】試題分析：

過點A作ABLDP丁點B,則AB是點A到道路MN的最短距離，結(jié)合己知條件求出AB的長度為80米,

由80<100可知，學(xué)校要受影響；再以點A為圓心，100米為半徑作圓A交MN于點C和點D,連接AD、

CD,利用己知條件求出CD的長，用CD的長度除以10,可得受影響的時間.

試題解析：

作AB±DP于B,則AB為A到道路的最短距離，

在RtAAPB中，\:/NPQ=45。，

.?.NPAB=/NPQ=45。，

.?.BA=BP,

二BA?+BP2=AP2=(80a)2,

.?.BA=BP=80,

：80小于100,

,有影響；

以點A為圓心，10()米為半徑作圓A交MN于點C和點D,連接AD、CD,

.?.在RtaABD中，BD=71002-802-60(米)，

VAC=AD,ABXCD,

...CB=BD=60,

受影響的時間為:(60x2)+10=12秒.

16.到三角形三條邊距離相等的點，叫做此三角形的內(nèi)心，由此我們引入如下定義：到三角形的兩條邊距

離相等的點，叫做此三角形的準(zhǔn)內(nèi)心.舉例：如圖，若AD平分/CAB,則AD上的點E為aABC的準(zhǔn)內(nèi)

12

心.

應(yīng)用：

(1)如圖AD為等邊三角形ABC的高，準(zhǔn)內(nèi)心P在高AD上，且PD=』AB,則NBPC的度數(shù)為度.

(2)如圖已知直角AABC中斜邊AB=5,BC=3,準(zhǔn)內(nèi)心P在BC邊上，求CP的長.

4

【答案】(1)90；(2)-

3

【分析】(1)根據(jù)等邊三角形性質(zhì)和已知推出PD=BD=DC,即可得出答案;

(2)過P作PD_LAB,在Rt^BDP中根據(jù)勾股定理得出方程，求出即可.

【解答】解：(1)TAD為等邊三角形ABC的高，

ABD=—AB,CD=BD,

2

1

?.?PD=—AB,

2

???BD=DP=CD,

???NBPC=90。，

故答案為：90：

(2)由勾股定理易知AC=4,

過P作PDJ_AB于D,

根據(jù)題意知PC=PD,AD=AC=4,

4

設(shè)CP=x,在直角4BDP中BP=3-x,DP=x,BD=1由勾股定理得CP=x=—.

3

【點評】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，讀懂題意，弄清楚準(zhǔn)外心

的定義是解題的關(guān)鍵.

17.鐵路上A,B兩站(視為直線上的兩點)相距50km,C,D為兩村莊(視為兩個點)，DA_LAB于點A,

13

CB1AB于點B（如圖）.己知DA=20km,CB=10km,現(xiàn)在要在鐵路AB上建一個土特產(chǎn)收購站E,使得C.D兩

村莊到收購站E的直線距離相等，請你設(shè)計出收購站的位置，并計算出收購站E到A站的距離.

【答案】收購站E到A站的距離為22km

【解答】分析：連接CR并作線段8的垂直平分線，垂直平分線到端點距離相等，再利用勾股定理求EA長.

點睛：

如圖，連接CD,并作線段CD的垂直平分線，與AB相交于點E,點E即為所建土特產(chǎn)收購站的地點.

連接DE.CE,設(shè)AE=xkm,則BE=（50-x）km,

在Rt^ADE中,DE2=DA2+AE2-

ADE2=202+A:2,

在RtABCE中,CE?=CB?+BE?,

???CE2=102+（50-X）2,

又DE=CE,：.202+X2=102+（50-X）2,

解得x=22.

二收購站E到A站的距離為22km.

點睛：

勾股定理：在平面上的一個直角三角形中，兩個直角邊邊長的平方加起來等于斜邊長的平方.

18.如圖（1）,是兩個全等的直角三角形（直角邊分別為a,b,斜邊為c）.用這樣的兩個三角形構(gòu)造成如

14

圖（2）的圖形，利用這個圖形，證明：a2+b2=c2.

【答案】見解析

【分析】圖（2）的面積由直接求與間接求兩種方法求出，兩者相等整理即可得證.

【解答】證明：由圖（2）可得：萬3+加（。+/+萬+萬出?’

a2+2ab+b22ah+c2

整理得:

2-—2-

整理得：a2+b2=c2.

【點評】此題考查了勾股定理的證明，用數(shù)形結(jié)合來證明勾股定理，鍛煉了同學(xué)們的數(shù)形結(jié)合的思想方法.

19.如圖，在AABC中，ZC=90°,M是BC的中點，MDLAB于D,求證：AD2=AC2+BD2.

【答案】見解析

【分析】連接AM得到三個直角三角形，運用勾股定理分別表示出AD?、AM?、BM2進(jìn)行代換就可以最后得

到所要證明的結(jié)果.

【解答】證明：連接AM,

.?.AgAM-M/A,BW=BD2+MD2,

15

VZC=90°,

J.A^AO+CM2

?:M為BC中點"

：.BM=MC.

.,.AD^A^+BD2

【點評】本題考查了勾股定理，三次運用勾股定理進(jìn)行代換計算即可求出結(jié)果，另外準(zhǔn)確作出輔助線也是

正確解出的重要因素.

20.如圖所示，ZB=ZOAF=90°,80=3cm,AB=4cm,4尸=12cm,求圖中半圓的面積.

1697T

【答案】圖中半圓的面積是空把cm2.

8

【分析】先根據(jù)勾股定理求出AO,FO的長，再根據(jù)半圓面積計算公式計算半圓面積即可.

【解答】解：如圖，；在直角aABO中，ZB=90°,BO=3cm,AB=4cm,

-'-AO=^BOr+AB1=5cm-

則在直角△AF。中，由勾股定理，得到FO=NAO?+Af2=13cm,

FO169兀169兀

??.圖中半圓的面枳=—0(cm2).

2

169冗

答：圖中半圓的面積是

8

【點評】此題重點考察學(xué)生對勾股定理的實際應(yīng)用能力，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵.

21.線段a、b、c且滿足|a-V18I+（b-4/）2+&-病=。.求：（1）a、b、c的值；（2）以線段a、b、

c能否圍成直角三角形.

【答案】線段a、b、c能圍成直角三角形

【解析】試題分析：（1）根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，讓其分別等于0即可求出a、b、c的值；

（2）根據(jù)（1）的結(jié)果，分別求a?,b2,c2,然后根據(jù)勾股定理逆定理可證明.

試題解析：（1）|a_VTs1+（b-4）2+yjc-y[50=0>

?*.a-V18=0,b-4a=0,c-750=0,

即a=3y/2，b=472>c=572；

（2）Va2+b2=（3^/2）2+（472）2=50,

c2=（572>2=50,

a2+b2=c2,

線段a、b、c能圍成直角三角形.

點睛：此題主要考查了勾股定理逆定理的應(yīng)用，關(guān)鍵是求出a、b、c的關(guān)系式a?+b2=c2.

22.如圖，在△ABC中，AB=30cm,BC=35cm,ZB=60°,有一動點M自A向B以1cm/s的速度運動,

動點N自B向C以2cm/s的速度運動，若M,N同時分別從A,B出發(fā).

（1）經(jīng)過多少秒，△BMN為等邊三角形；

（2）經(jīng)過多少秒，△BMN為直角三角形.

【答案】（1）出發(fā)10s后，△BMN為等邊三角形；（2）出發(fā)6s或15s后，△8MN為直角三角形.

【分析】（1）設(shè)時間為x,表示出AM=x、BN=2x、BM=30-x,根據(jù)等邊三角形的判定列出方程，解之可得；

（2）分兩種情況：①/BNM=90。時，即可知NBMN=30°,依據(jù)BN=，BM列方程求解可得；②/BMN=90。

2

時，知NBNM=30。，依據(jù)BM=LBN列方程求解可得.

2

【解答】解（1）設(shè)經(jīng)過x秒，4BNIN為等邊三角形，

則AM=x,BN=2x,

.,.BM=AB-AM=30—x,

根據(jù)題意得30—x=2x,

解得X—10,

答：經(jīng)過10秒，aBNIN為等邊三角形；

（2）經(jīng)過x秒，4BMN是直角三角形，

①當(dāng)ZBNM=90。時，

17

VZB=60°,

；.NBMN=30°,

.\BN=-BM,即2X='（30-X）,

22

解得x=6；

②當(dāng)NBMN=90。時，

VZB=60°,

NBNM=30°,

11

.?.BM=-BN,即un30—x=-x2x,

22

解得x=15,

答：經(jīng)過6秒或15秒，ABKIN是直角三角形.

【點評】本題考查勾股定理的逆定理，等邊三角形的判定.

23.在RtAABC中，NC=9O°,AC=6,點。是斜邊AB的中點，作DE_LA3,交直線AC于點E.

（1）若NA=30°,求線段CE的長；

（2）當(dāng)點E在線段AC上時，設(shè)6C=x,CE=y,求>關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出定義域;

（3）若CE=1,求8C的長.

【答案】（1）CE=2；（2）y=3-.（O<xW6）：（3）滿足條件的的長為2#，473.

【分析】（1）連接BE,點D是AB中點且DELAB,BE=AE,利用線段垂直平分線的性質(zhì)和含30度角的

直角三角形即可求出線段CE的長；

（2）連接BE,則AE=BE=6-y,由勾股定理得BC2+CE?=BE2,BRx2+y2=（6-y）2,整理即可得出y關(guān)于x

2

的函數(shù)解析式y(tǒng)=3-菅（0<xW6）；

（3）此題有兩種情況：①是當(dāng)點E在線段AC上時，由（2）得1=3-工，解得x即可：②是當(dāng)點E在

12

18

AC延長線上時，AE=BE=7,由勾股定理得BC2+CE2=BE2即X2+12=72.解得x即可.

【解答】（1）如圖，連接BE，

:點。是A3中點且JL鉆，

，BE=AE,

VZC=90°,ZA=30°，

...ZABC=90°-ZA=60°,ZABE=ZA=30°

Z.CBE=ZABC-ZABE=30°,

CE^-BE=-AE,

22

AC=6，AC=AE+CE,

，CE=2,

(2)連接BE,則AE=BE=6-y,

在RtABCE中，由勾股定理得3c2+CE2=8E2,即Y+丁=（6—yj,

r2

解得y=3—=(0<x<6)

Y

（3）①當(dāng)點E在線段AC上時，由（2）得1=3一二,

12

解得x=2卡（負(fù)值已舍）

②當(dāng)點E在AC延長線上時，

19

AE=BE=1,

在RtABCE中，由勾股定理得Be?+CE?=BE?，即f+*=72.

解得x=4g（負(fù)值已舍）

綜上所述，滿足條件的8C的長為2#，473.

【點評】此題主要考查勾股定理、線段垂直平分線的性質(zhì)和含30度角的直角三角形，二次函數(shù)的應(yīng)用.（1）

中熟練掌握線段垂直平分線的性質(zhì)和含30度角的直角三角形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵；（2）中能利用勾股定理建

立x,y的等式是解題關(guān)鍵；（3）中能分類討論是解題關(guān)鍵.

24.如圖所示，在直線/上依次擺放著七個正方形，斜放置的三個正方形的面積分別為1,2,3,正放置的

四個正方形的面積分別為加，邑，S3,S4,求￥+52+邑+54的值.

【答案】S,+52+S3+54=4.

【分析】先利用三角形的全等，得出中間斜放的正方形與相鄰的兩個正方形的邊長剛好可以組成一個直角

三角形，從而根據(jù)勾股定理可以得出，每兩個相鄰的正方形面積和都等于中間斜放的正方形面積，據(jù)此即

可解答.

【解答】如圖，因為四邊形ACE尸是正方形，

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所以AC=CE，ZACE=90°.

所以4+N2=90。.

乂因為N2+N3=90°，

所以N1=N3.

在aABC與4CDE中，

因為N1=N3，ZABC=NCDE，AC=CE,

所以MBC=\CDE