動量及動量守恒定律

動量及動量守恒定律第1頁，共79頁，2023年，2月20日，星期一研究氣體中分子的運動，星云中許多恒星的運動,這種情況下,即使知道力的表達式,要解決1ｍｍ３氣體中分子也需要進行１０１７個變量進行計算，實際上是無法進行的。解決的方法：(1)設法了解過程引起變化的總效果，討論的積分形式及物理意義

(2)運用統計的方法(2)如果研究對象是多粒子系統：第2頁，共79頁，2023年，2月20日，星期一一、質點的動量定理:１、微分形式：稱為合力的元沖量，用表示；質點動量的微分等于作用在質點上合力的元沖量。說明質點動量的變化，只有在沖量的作用下才有可能。由可得：第3頁，共79頁，2023年，2月20日，星期一２、積分形式：

在某段時間內質點動量的增量，等于作用在質點上的合力在同一時間內的沖量——質點的動量定理力在時間內的積累，稱為力的沖量，用表示。第4頁，共79頁，2023年，2月20日，星期一若用力表示時間內合力的平均值,動量定理在打擊或碰撞問題中用來求平均力打擊或碰撞，力的方向保持不變，曲線與t軸所包圍的面積就是t1到t2這段時間內力的沖量的大小，根據改變動量的等效性，得到平均力。第5頁，共79頁，2023年，2月20日，星期一說明（１）是矢量

（２）是過程量（3）是力對時間的積累效應

（4）分量形式第6頁，共79頁，2023年，2月20日，星期一動量定理(5)動量定理是牛頓第二定律的積分形式，因此其適用范圍是慣性系。(6)動量定理在處理變質量問題時很方便。例1、質量M=3t的重錘，從高度h=1.5m處自由落到受鍛壓的工件上，工件發(fā)生形變。如果作用的時間(1)=0.1s，(2)=0.01s。試求錘對工件的平均沖力。h解：以重錘為研究對象，分析受力，作受力圖：第7頁，共79頁，2023年，2月20日，星期一動量定理h解法一：錘對工件的沖力變化范圍很大，采用平均沖力計算，其反作用力用平均支持力代替。在豎直方向利用動量定理，取豎直向上為正。初狀態(tài)動量為：末狀態(tài)動量為0得到：解得：第8頁，共79頁，2023年，2月20日，星期一動量定理代入M、h、的值，求得：(１)(2)第9頁，共79頁，2023年，2月20日，星期一動量定理解法二：考慮從錘自由下落到靜止的整個過程，動量變化為零。重力作用時間為支持力的作用時間為根據動量定理，整個過程合外力的沖量為零，即得到相同的結果h第10頁，共79頁，2023年，2月20日，星期一0.10.010.0010.00016.5565505500在許多打擊或碰撞類問題中,只要持續(xù)的時間較短,可略去重力。第11頁，共79頁，2023年，2月20日，星期一例：一物體受合力為（SI），做直線運動，試問在第二個5秒內和第一個5秒內物體受沖量之比及動量增量之比各為多少？解：設物體沿+x方向運動，做直線運動，（沿方向）

N·SN·S

（沿方向）

第12頁，共79頁，2023年，2月20日，星期一例一質量為0.05kg、速率為10m·s-1的剛球,以與鋼板法線呈45o角的方向撞擊在鋼板上,并以相同的速率和角度彈回來.設碰撞時間為0.05s.求在此時間內鋼板所受到的平均沖力.解建立如圖坐標系,由動量定理得方向沿軸反向第13頁，共79頁，2023年，2月20日，星期一二、質點系的動量定理1、基本概念：（1）質點系N個質點組成的系統--研究對象質點系（2）內力系統內部各質點間的相互作用力

特點：成對出現；大小相等方向相反結論：質點系的內力之和為零第14頁，共79頁，2023年，2月20日，星期一質點系2、由兩個質點所組成的質點系的動量定理（3）外力

系統外部對質點系內部質點的作用力質點系因為內力，故第15頁，共79頁，2023年，2月20日，星期一質點系合外力的沖量等于兩質點動量和的增量3、多個質點組成的質點系的動量定理物理意義：作用于系統的合外力的沖量等于系統動量的增量。第16頁，共79頁，2023年，2月20日，星期一質點系內力的沖量不能影響質點系的總動量，而只能改變質點系總動量在質點系內各質點間的分配質點系的總動量的變化只與質點系所受的外力的矢量和有關，與內力的沖量無關。初始速度則推開后速度且方向相反則推開前后系統動量不變第17頁，共79頁，2023年，2月20日，星期一質點系的動量定理處理變質量的問題非常方便變質量問題（低速，v<<c）有兩類：▲粘附—主體的質量增加（如滾雪球）▲拋射—主體的質量減少（如火箭發(fā)射）還有另一類變質量問題是在高速（vc）情況下，這時即使沒有粘附和拋射，質量也可以改變—隨速度變化m=m(v)，這是相對論情形，不在本節(jié)討論之列。第18頁，共79頁，2023年，2月20日，星期一變質量問題(1)確定研究系統(2)寫出系統動量表達式(3)求出系統動量變化率(4)分析系統受力(5)應用動量定理求解變質量問題的處理方法第19頁，共79頁，2023年，2月20日，星期一變質量問題例1：列車在平直鐵軌上裝煤,列車空載時質量為m0,煤炭以速率v1豎直流入車廂,每秒流入質量為。假設列車與軌道間的摩擦系數為,列車相對于地面的運動速度v2保持不變,求機車的牽引力。解：車和煤為系統,向下為Y正向，向左為X正向，建立坐標系。tt+dt時刻，dm=dtXY第20頁，共79頁，2023年，2月20日，星期一XY變質量問題豎直水平第21頁，共79頁，2023年，2月20日，星期一例一柔軟鏈條長為l,單位長度的質量為.鏈條放在桌上,桌上有一小孔,鏈條一端由小孔稍伸下,其余部分堆在小孔周圍.由于某種擾動,鏈條因自身重量開始落下.求鏈條下落速度與落下距離之間的關系.設鏈與各處的摩擦均略去不計,且認為鏈條軟得可以自由伸開.解以豎直懸掛的鏈條和桌面上的鏈條為一系統,建立如圖坐標由質點系動量定理得m1m2Oyy則第22頁，共79頁，2023年，2月20日，星期一則兩邊同乘以則m1m2Oyy又第23頁，共79頁，2023年，2月20日，星期一質點系動量定理

若質點系所受的合外力為零

則系統的總動量守恒，即保持不變.動量守恒定律力的瞬時作用規(guī)律1）系統的動量守恒是指系統的總動量不變，系統內任一物體的動量是可變的,各物體的動量必相對于同一慣性參考系.三、動量守恒定律第24頁，共79頁，2023年，2月20日，星期一3）若某一方向合外力為零,則此方向動量守恒.4）

動量守恒定律只在慣性參考系中成立,是自然界最普遍，最基本的定律之一.

2）守恒條件合外力為零當時，可略去外力的作用,近似地認為系統動量守恒.例如在碰撞,打擊,爆炸等問題中.第25頁，共79頁，2023年，2月20日，星期一

5）動量守恒定律在高速領域、微觀領域依然適用。第26頁，共79頁，2023年，2月20日，星期一例1設有一靜止的原子核,衰變輻射出一個電子和一個中微子后成為一個新的原子核.已知電子和中微子的運動方向互相垂直,且電子動量為1.210-22kg·m·s-1,中微子的動量為6.410-23kg·m·s-1.問新的原子核的動量的值和方向如何?解即恒矢量第27頁，共79頁，2023年，2月20日，星期一又因為代入數據計算得系統動量守恒,即第28頁，共79頁，2023年，2月20日，星期一例2、如圖，車在光滑水平面上運動。已知m、M、人逆車運動方向從車頭經t到達車尾。求：1、若人勻速運動，他到達車尾時車的速度；2、車的運動路程；3、若人以變速率運動，上述結論如何？第29頁，共79頁，2023年，2月20日，星期一解：以人和車為研究系統，取地面為參照系。水平方向系統動量守恒。第30頁，共79頁，2023年，2月20日，星期一1、2、3、第31頁，共79頁，2023年，2月20日，星期一力對空間的積累---功---能量的變化力對時間的累積---沖量

---動量的變化第32頁，共79頁，2023年，2月20日，星期一

作用物體的位移1、恒力的功一、功力對空間的積累2、變力的功B**A第33頁，共79頁，2023年，2月20日，星期一B**A在直角坐標系中:第34頁，共79頁，2023年，2月20日，星期一在工程上常用示功圖計算功。由A到B的路徑上力F所做的功就對應于曲線下面陰影部分的面積。3、功的性質：（1）功是標量，但有正負第35頁，共79頁，2023年，2月20日，星期一

合力的功

=

分力的功的代數和如果一個質點同時受到幾個力的作用：第36頁，共79頁，2023年，2月20日，星期一質點系問題：?則，各質點的元位移對問號的解釋：如圖，兩個質點走的路徑不同：故不能用一個共同的元位移來代替。對質點系各力作功之和不一定等于合力的功。第37頁，共79頁，2023年，2月20日，星期一（2）功是過程量

（4）一對力的功（3）功是相對量系統中任意兩質點m1m2的相互作用力第38頁，共79頁，2023年，2月20日，星期一質點1相對質點2的元位移質點1受質點2的力一對內力作功之和與參考系無關第39頁，共79頁，2023年，2月20日，星期一一對正壓力的功一對滑動摩擦力作功<0總功一定減少體系的動能。中學熟知的例子第40頁，共79頁，2023年，2月20日，星期一例1作用在質點上的力為在下列情況下求質點從處運動到處該力作的功：1.質點的運動軌道為拋物線2.質點的運動軌道為直線XYO第41頁，共79頁，2023年，2月20日，星期一做功與路徑有關XYO第42頁，共79頁，2023年，2月20日，星期一例2、質量為2kg的質點在力(SI)的作用下，從靜止出發(fā)，沿x軸正向作直線運動。求前三秒內該力所作的功。解：（一維運動可以用標量）第43頁，共79頁，2023年，2月20日，星期一4、功率力在單位時間內所作的功瞬時功率等與力與物體速度的標積單位：瓦特W平均功率:第44頁，共79頁，2023年，2月20日，星期一1、重力的功m在重力作用下由a運動到b，取地面為坐標原點.

初態(tài)量末態(tài)量二、保守力的功重力所做的功只與始末位置有關，與所經過的路徑無關．第45頁，共79頁，2023年，2月20日，星期一２、彈力的功彈簧振子

初態(tài)量末態(tài)量彈力所做的功只與始末位置有關，與所經過的路徑無關．第46頁，共79頁，2023年，2月20日，星期一３、萬有引力的功

兩個質點之間在引力作用下相對運動時，以M所在處為原點,M指向m的方向為矢徑的正方向。m受的引力方向與矢徑方向相反。rabrdrFMmrdrab萬有引力所做的功只與始末位置有關，與所經過的路徑無關．第47頁，共79頁，2023年，2月20日，星期一保守力：力對質點做功的大小只與質點的始末位置有關，而與路徑無關。這種力稱為保守力。物體沿閉合路徑運動一周時,

保守力對它所作的功等于零.第48頁，共79頁，2023年，2月20日，星期一典型的耗散力：摩擦力與保守力相對應的是耗散力典型的保守力：重力、萬有引力、彈性力三、勢能AB在受保守力的作用下，質點從AB，所做的功與路徑無關，而只與這兩點的位置有關。可引入一個只與位置有關的函數，A點的函數值減去B點的函數值，定義為從A

B保守力所做的功，該函數就是勢能函數。第49頁，共79頁，2023年，2月20日，星期一勢能:與物體間相互作用及相對位置有關的能量.保守力的功彈性勢能引力勢能重力勢能彈力功引力功重力功1、保守力的功與相應勢能的關系

第50頁，共79頁，2023年，2月20日，星期一勢能具有相對性，勢能大小與勢能零點的選取有關.勢能是狀態(tài)函數令勢能是屬于系統的.討論勢能計算第51頁，共79頁，2023年，2月20日，星期一２、由勢能求保守力

lFlFdlm質點在保守力作用下沿

方向的微小位移，

作功為

Ep沿方向的空間變化率。第52頁，共79頁，2023年，2月20日，星期一一般，Ep是x、y、z的函數Ep(x、y、z)故：保守力可寫為:第53頁，共79頁，2023年，2月20日，星期一引入梯度(gradient)算符第54頁，共79頁，2023年，2月20日，星期一

3、勢能曲線彈性勢能曲線重力勢能曲線引力勢能曲線第55頁，共79頁，2023年，2月20日，星期一勢能曲線提供的信息：2、勢能曲線上任意一點的斜率的負值，表示質點在該處所受的保守力1、質點在軌道上任意位置時，質點系所具有的勢能值。第56頁，共79頁，2023年，2月20日，星期一三、動能定理思路：與推導動量定理相同，仍然由牛頓第二定律出發(fā)。元功1、質點的動能定理：第57頁，共79頁，2023年，2月20日，星期一推導質點運動的動能定理在一空間過程中，合力對質點做的功等于質點動能的增量。第58頁，共79頁，2023年，2月20日，星期一例、力(SI)作用在的質點上。物體沿x軸運動，時，求前二秒內對作的功。用動能定理：

第59頁，共79頁，2023年，2月20日，星期一例：質量為的物體作直線運動，受力與坐標關系如圖所示。若時，，試求，時，解：在到過程中，外力功為由動能定理為：

即第60頁，共79頁，2023年，2月20日，星期一2、質點系的動能定理質點系設質點系由質量分別為的N個質點組成，每個質點所受的合外力分別為則，由質點的動能定理：第61頁，共79頁，2023年，2月20日，星期一注意：對所有質點求和可得：

內力之和一定為零，而內力作功之和不一定為零！質點系內所有質點所受的外力和內力做功的代數和等于質點系總動能的增加。即：第62頁，共79頁，2023年，2月20日，星期一即：內力會改變系統的總動能四、功能原理、機械能守恒定律1、功能原理

對質點系，由質點系動能定理：

內力分為保守內力與非保守內力第63頁，共79頁，2023年，2月20日，星期一引入機械能:

第64頁，共79頁，2023年，2月20日，星期一外力對系統和系統非保守內力做功之和等于系統機械能的增量。2、機械能守恒定律系統的機械能增加系統的機械能減少系統的機械能保持不變第65頁，共79頁，2023年，2月20日，星期一當外力對系統做功為零和系統非保守內力做功為零時，系統的機械能守恒。守恒定律的意義

.不追究過程細節(jié)而能對系統的狀態(tài)下結論，這是各個守恒定律的特點和優(yōu)點

第66頁，共79頁，2023年，2月20日，星期一例：如圖，在計算上拋物體最大高度時，（不計空氣阻力）要求用質點的動能定理、功能原理和機械能守恒定律列方程。解：⑴動能定理為合力功=質點動能增量⑵功能原理為外力功+非保守內力功=系統機械能增量（取、地為系統）第67頁，共79頁，2023年，2月20日，星期一⑶機械能守恒定律第68頁，共79頁，2023年，2月20日，星期一例：質量為的物體，從四分之一圓槽A點靜止開始下滑到B。在B處速率為。槽半徑為。求從A→B過程中摩擦力做的功解：〈方法一〉按功定義在任一點c處，切線方向的牛頓第二定律方程為第69頁，共79頁，2023年，2月20日，星期一第70頁，共79頁，2023年，2月20日，星期一〈方法二〉用質點動能定理受三個力，，，

由有