2022-2023學年北京五中數(shù)學高二下期末綜合測試試題含解析

2022-2023高二下數(shù)學模擬試卷考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知為正整數(shù)用數(shù)學歸納法證明時，假設時命題為真，即成立，則當時，需要用到的與之間的關系式是()A． B．C． D．2．從某高中隨機選取5名高三男生，其身高和體重的數(shù)據(jù)如下表所示：根據(jù)上表可得回歸直線方程y=0.56x+a，據(jù)此模型預報身高為A．70.09kg B．70.12kg C．70.553．已知，是的導數(shù)，若的展開式中的系數(shù)小于的展開式中的系數(shù)，則的取值范圍是（）A． B．C． D．4．下列函數(shù)中既是奇函數(shù)又在區(qū)間（﹣∞，0）上單調(diào)遞增的函數(shù)是（）A．y＝ B．y＝x2+1 C．y＝ D．y＝5．如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，粗實線畫出的是某幾何體的三視圖，該幾何體由一平面將一圓柱截去一部分后所得，則該幾何體的體積為A． B． C． D．6．設，，，則()A． B． C． D．7．函數(shù)y=sin2x的圖象可能是A． B．C． D．8．已知復數(shù)滿足，則（）A．1 B． C．2 D．39．從名男生和名女生中選出名學生參加一項活動，要求至少一名女生參加，不同的選法種數(shù)是（）A． B． C． D．10．已知命題對，，成立，則在上為增函數(shù)；命題，，則下列命題為真命題的是（）A． B． C． D．11．已知函數(shù)f(x)=lnx+ln(a-x)的圖象關于直線A．0 B．1 C．lna D．12．直線被橢圓截得的弦長是()A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知點P(0，1)，橢圓+y2=m(m>1)上兩點A，B滿足=2，則當m=___________時，點B橫坐標的絕對值最大．14．5本不同的書全部分給4個學生，每個學生至少一本，不同的分法種數(shù)為______.15．已知全集，集合，，若，則實數(shù)的取值范圍是______.16．，，則__________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)．（1）討論的單調(diào)性；（2）當時，若恒成立，求的取值范圍．18．（12分）已知函數(shù)是定義在上的不恒為零的函數(shù)，對于任意非零實數(shù)滿足，且當時，有.（Ⅰ）判斷并證明的奇偶性；（Ⅱ）求證：函數(shù)在上為增函數(shù)，并求不等式的解集.19．（12分）設函數(shù)的部分圖象如圖所示.（1）求函數(shù)的解析式；（2）當時，求的取值范圍.20．（12分）如圖，在四棱錐中，平面平面，，，，，，.（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）求直線與平面所成角的正弦值.21．（12分）設函數(shù)，.（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）已知，若存在使得，求實數(shù)的取值范圍.22．（10分）如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知圓O:x2+y2=4，橢圓C:x24+y2=1，A為橢圓右頂點．過原點O且異于坐標軸的直線與橢圓C交于B,C兩點，直線AB與圓O的另一交點為P，直線PD（1）求k1（2）記直線PQ,BC的斜率分別為kPQ,kBC，是否存在常數(shù)λ，使得（3）求證：直線AC必過點Q．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】分析：先根據(jù)條件確定式子，再與相減得結(jié)果.詳解：因為，所以，所以,選C.點睛：本題考查數(shù)學歸納法，考查數(shù)列遞推關系.2、B【解析】試題分析：由上表知x=170，y=69，所以a=y=0.56×172-26.2=70.12，所以男生體重約為70.12kg考點：線性回歸方程．3、B【解析】

由展開式中的系數(shù)是，又，所以的展開式中的系數(shù)是，得到，繼而解得結(jié)果．【詳解】由題意，函數(shù)展開式中的系數(shù)是，又，所以的展開式中x的系數(shù)是，依題意得，解得．故選：B．【點睛】本題主要考查了二項式定理的應用，以及導數(shù)的計算，其中解答熟記導數(shù)的運算公式和二項展開式的通項是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于中檔試題．4、A【解析】

由函數(shù)的奇偶性的定義和常見函數(shù)的單調(diào)性，即可得到符合題意的函數(shù)．【詳解】對于A，y＝f（x）＝2x﹣2﹣x定義域為R，且f（﹣x）＝﹣f（x），可得f（x）為奇函數(shù)，當x＜0時，由y＝2x，y＝﹣2﹣x遞增，可得在區(qū)間（﹣∞，0）上f（x）單調(diào)遞增，故A正確；y＝f（x）＝x2+1滿足f（﹣x）＝f（x），可得f（x）為偶函數(shù)，故B不滿足條件；y＝f（x）＝（）|x|滿足f（﹣x）＝f（x），可得f（x）為偶函數(shù)，故C不滿足題意；y為奇函數(shù)，且在區(qū)間（﹣∞，0）上f（x）單調(diào)遞減，故D不滿足題意．故選：A．【點睛】本題考查函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性的判斷，注意運用常見函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，考查判斷能力，屬于基礎題．5、B【解析】由題意，該幾何體是由高為6的圓柱截取一半后的圖形加上高為4的圓柱，故其體積為，故選B.點睛:（1）解答此類題目的關鍵是由多面體的三視圖想象出空間幾何體的形狀并畫出其直觀圖．（2）三視圖中“正側(cè)一樣高、正俯一樣長、俯側(cè)一樣寬”，因此，可以根據(jù)三視圖的形狀及相關數(shù)據(jù)推斷出原幾何圖形中的點、線、面之間的位置關系及相關數(shù)據(jù)．6、C【解析】

分別求出，，的范圍，從而得到答案．【詳解】根據(jù)指數(shù)函數(shù)圖像可得，，；由于，則，則；所以；故答案選C【點睛】本題考查指數(shù)、對數(shù)值的大小比較，解題的關鍵利用指數(shù)對數(shù)的運算法則求出值的范圍，屬于中檔題．7、D【解析】分析:先研究函數(shù)的奇偶性，再研究函數(shù)在上的符號，即可判斷選擇.詳解：令，因為，所以為奇函數(shù)，排除選項A,B;因為時，，所以排除選項C，選D.點睛：有關函數(shù)圖象的識別問題的常見題型及解題思路：（1）由函數(shù)的定義域，判斷圖象的左、右位置，由函數(shù)的值域，判斷圖象的上、下位置；（2）由函數(shù)的單調(diào)性，判斷圖象的變化趨勢；（3）由函數(shù)的奇偶性，判斷圖象的對稱性；（4）由函數(shù)的周期性，判斷圖象的循環(huán)往復．8、B【解析】分析：利用復數(shù)的除法求出，進而得到.詳解：由題故選B.點睛：本題考查復數(shù)逇除法運算及復數(shù)的模，屬基礎題.9、B【解析】

從反面考慮，從名學生中任選名的所有選法中去掉名全是男生的情況，即為所求結(jié)果．【詳解】從名學生中任選名，有種選法，其中全為男生的有種選法，所以選出名學生，至少有名女生的選法有種.故選：B.【點睛】本題考查組合問題，也可以直接考慮，分類討論，在出現(xiàn)“至少”的問題時，利用正難則反的方法求解較為簡單，考查計算能力，屬于基礎題.10、B【解析】

根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)分別判斷命題的真假再判斷各選項的真假即可.【詳解】命題當時,因為故；當時,因為故；故隨的增大而增大.故命題為真.命題,因為.故命題為假命題.故為真命題.故選：B【點睛】本題主要考查了命題真假的判定與函數(shù)的性質(zhì)運用,屬于基礎題.11、A【解析】

利用對稱列方程解得a，從而求出f(1)?！驹斀狻坑深}意得x1+xf所以f(x)=lnx+【點睛】本題主要考查了函數(shù)對稱軸的問題，即在函數(shù)上任意兩點x1,x2關于直線12、A【解析】

直線y＝x+1代入，得出關于x的二次方程，求出交點坐標，即可求出弦長．【詳解】將直線y＝x+1代入，可得，即5x2+8x﹣4＝0，∴x1＝﹣2，x2，∴y1＝﹣1，y2，∴直線y＝x+1被橢圓x2+4y2＝8截得的弦長為故選A．【點睛】本題查直線與橢圓的位置關系，考查弦長的計算，屬于基礎題．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、5【解析】分析:先根據(jù)條件得到A,B坐標間的關系，代入橢圓方程解得B的縱坐標，即得B的橫坐標關于m的函數(shù)關系，最后根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)確定最值取法.詳解：設，由得因為A,B在橢圓上,所以，與對應相減得，當且僅當時取最大值.點睛：解析幾何中的最值是高考的熱點，在圓錐曲線的綜合問題中經(jīng)常出現(xiàn)，求解此類問題的一般思路為在深刻認識運動變化的過程之中，抓住函數(shù)關系，將目標量表示為一個(或者多個)變量的函數(shù)，然后借助于函數(shù)最值的探求來使問題得以解決.14、240.【解析】

先把5本書取出兩本看做一個元素，這一元素和其他的三個元素分給四個同學，相當于在四個位置全排列，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理即可得出結(jié)果.【詳解】從5本書中取出兩本看做一個元素共有種不同的取法，這一元素與其他三個元素分給四個同學共有種不同的分法，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，共有種不同的分法.故答案為：240【點睛】本題主要考查了排列組合的綜合應用，分步乘法計數(shù)原理，屬于中檔題.15、【解析】

求出集合A的補集，結(jié)合，即可確定實數(shù)的取值范圍.【詳解】與B必有公共元素即【點睛】本題主要考查了集合間的交集和補集運算，屬于基礎題.16、2【解析】分析：由，可得，直接利用對數(shù)運算法則求解即可得，計算過程注意避免計算錯誤.詳解：由，可得，則，故答案為.點睛：本題主要考查指數(shù)與對數(shù)的互化以及對數(shù)的運算法則，意在考查對基本概念與基本運算掌握的熟練程度.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）見解析（2）【解析】

（1）先求得函數(shù)的導函數(shù)，然后根據(jù)三種情況，討論的單調(diào)性.（2）由題可知在上恒成立，構(gòu)造函數(shù)，利用導數(shù)研究的單調(diào)性和最值，對分成兩種進行分類討論，根據(jù)在上恒成立，求得的取值范圍.【詳解】（1），當時，令，得，令，得或，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．當時，在上單調(diào)遞增．當時，令，得，令，得或，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．（2）由題可知在上恒成立，令，則，令，則，所以在上為減函數(shù)，．當時，，即在上為減函數(shù)，則，所以，即，得．當時，令，若，則，所以，所以，又，所以在上有唯一零點，設為，在上，，即單調(diào)遞增，在上，，即單調(diào)遞減，則的最大值為，所以恒成立．由，得，則．因為，所以，由，得．記，則，所以在上是減函數(shù)，故．綜上，的取值范圍為．【點睛】本小題主要考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查利用導數(shù)研究不等式恒成立問題，考查分類討論的數(shù)學思想方法，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想方法，屬于難題.18、(1)見解析;(2).【解析】分析：⑴先求出，繼而，令代入得⑵構(gòu)造，然后利用已知代入證明詳解：（Ⅰ）是偶函數(shù)由已知得，∴，，∴，即，所以是偶函數(shù).（Ⅱ）設，則，∴所以，所以在上為增函數(shù).因為，又是偶函數(shù)，所以有，解得∴不等式的解集為.點睛：本題證明了抽象函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，在解答此類題目時方法要掌握，按照基本定義來證明，先求出和的值，然后配出形式，單調(diào)性要構(gòu)造，然后按照已知法則來證明。19、(1)；(2).【解析】試題分析：(1)由題意結(jié)合三角函數(shù)的周期可得，結(jié)合，則，函數(shù)的解析式為.(2)由函數(shù)的定義域可得，則函數(shù)的值域為.試題解析：（1）由圖象知，即.又，所以，因此.又因為點，所以，即，又，所以，即.（2）當時，，所以，從而有.20、（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）．【解析】分析：（1）先證明，，再證明平面.(2)利用向量方法求直線與平面所成角的正弦值.詳解：（Ⅰ）因為，平面平面，，所以平面，所以，又因為，所以平面；（Ⅱ）取的中點，連結(jié)，，因為，所以.又因為平面，平面平面，所以平面.因為平面，所以.因為，所以.如圖建立空間直角坐標系，由題意得，，，，，.設平面的法向量為，則，即，令，則，.所以.又，所以.所以直線與平面所成角的正弦值為.點睛：（1）本題主要考查線面位置關系的證明，考查直線和平面所成的角的求法，意在考查學生對這些知識的掌握水平和空間想象轉(zhuǎn)化能力.(2)直線和平面所成的角的求法方法一：（幾何法）找作（定義法）證（定義）指求（解三角形），其關鍵是找到直線在,平面內(nèi)的射影作出直線和平面所成的角和解三角形.方法二：（向量法），其中是直線的方向向量，是平面的法向量，是直線和平面所成的角.21、（1）答案不唯一，具體見解析（2）【解析】

（1）求導數(shù)，討論的不同范圍得到單調(diào)區(qū)間.（2）設函數(shù)，，函數(shù)單調(diào)遞增推出，解得答案.【詳解】（1）的定義域為.，，則.當時，則，在單調(diào)遞減；當時，，有兩個根，，不妨設，則，，由，，所以.所以時，，單調(diào)遞減；，或，單調(diào)遞增；當時，方程的，則，在單調(diào)遞增；綜上所述：當時，的減區(qū)間為；當時，的減區(qū)間為，增區(qū)間為和.當時，的增區(qū)間為.（2），，，所以在單調(diào)遞增，，，要使得在有解，當且僅當，解得：.【點睛】本題考查了函數(shù)的單調(diào)性，存在性問題，構(gòu)造，判斷是解題的關鍵.22、（1）k1k2【解析】試題分析：（1）設，則，代入橢圓方程，運用直線的斜率公式，化簡即可得到