2021年廣西壯族自治區(qū)南寧市武鳴中學(xué)高一數(shù)學(xué)理上學(xué)期期末試題含解析

2021年廣西壯族自治區(qū)南寧市武鳴中學(xué)高一數(shù)學(xué)理上學(xué)期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知函數(shù)的定義域為R，則A．是奇函數(shù)

B．是偶函數(shù)C．即是奇函數(shù)又是偶函數(shù)

D．即不是奇函數(shù)又不是偶函數(shù)參考答案：B2.某中學(xué)有學(xué)生270人，其中一年級108人，二、三年級各81人，現(xiàn)要用抽樣方法抽取10人形成樣本，將學(xué)生按一、二、三年級依次統(tǒng)一編號為1，2，…，270，如果抽得號碼有下列四種情況：①5，9，100，107，111，121，180，195，200，265；②7，34，61，88，115，142，169，196，223，250；③30，57，84，111，138，165，192，219，246，270；④11，38，60，90，119，146，173，200，227，254；其中可能是由分層抽樣得到，而不可能是由系統(tǒng)抽樣得到的一組號碼為（）A．①② B．②③ C．①③ D．①④參考答案：D【考點】B4：系統(tǒng)抽樣方法．【分析】先考慮那種情況為分層抽樣，根據(jù)分層抽樣的概念，需把總體按個體差異分成幾層，再按每層的比抽取樣本．然后，再幾種分層抽樣中，再考慮哪幾種是系統(tǒng)抽樣，在系統(tǒng)抽樣中，要抽取的樣本容量是幾，需把總體分成幾部分，再按事先約定好的方法再每部分中抽取1個個體，就得到了樣本．【解答】解：先考慮那種情況為分層抽樣，分層抽樣需按年級分成三層，一年級抽4個人，二三年級個抽3個人，也即1到108號抽4個，109到189號抽3個，190到270號抽3個，可判斷①②④是分層抽樣，在判斷①②④中那幾個是系統(tǒng)抽樣，系統(tǒng)抽樣需把1到270號分成均與的10部分，每部分按事先約定好的方法抽取1個，則②為系統(tǒng)抽樣．故選D3.若0＜a＜1，則不等式>0的解集是

A．(a，)

B．(，a)

C．(－∞，)∪(，+∞)

D．(－∞，)∪(a，+∞)參考答案：C4.下列函數(shù)中，最小正周期是的偶函數(shù)為

（

）A．

B．C．

D．參考答案：C5.已知函數(shù)是定義在實數(shù)集R上的不恒為零的偶函數(shù)，且對任意實數(shù)x都有，則的值是（

）A．0

B．

C．1

D．參考答案：A因為函數(shù)f(x)是定義在R上不恒為零的偶函數(shù)，那么可知f(x)=f(-x),同時又xf(x+1)=(x+1)f(x),那么可知函數(shù)令x=-,則可知-f（）=f(-),解得f（）=0,將x=,代入得到f(0,同理依次得到f()=0，故選A.

6.下列各式中成立的一項是()

A．B．

C．D．參考答案：D7.設(shè)，，，則（）A．a(chǎn)＜b＜cB．c＜b＜aC．c＜a＜bD．b＜a＜c參考答案：A8.

已知數(shù)列{an}滿足a1=3,an+1=，則a2012=A.2

B.－3

C.

D.參考答案：

C9.如下圖是函數(shù)在一個周期內(nèi)的圖像，、分別是其最高點、最低點，軸，且矩形的面積為．則的值為(

)

(A).

(B).

(C).

(D).參考答案：B10.如果奇函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)且最大值為，那么在區(qū)間上是（

）A．增函數(shù)且最小值是

B．增函數(shù)且最大值是C．減函數(shù)且最大值是

D．減函數(shù)且最小值是參考答案：A二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.計算機成本不斷降低，若每隔三年計算機價格就降低，現(xiàn)價格為8100元的計算機，則9年后的價格為元．參考答案：2400【考點】等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系．

【專題】計算題．【分析】計算機成本每隔三年計算機價格就降低，由此可以建立計算機價格與年份的關(guān)系，從而求得9年后的價格．【解答】解：∵計算機每隔三年計算機價格就降低，現(xiàn)價格為8100元，∴計算機價格y與年份n之間的關(guān)系為：y=8100×，∴9年后的價格y=8100×=2400元．故答案為：2400．【點評】本題是個基礎(chǔ)題，主要考查等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系．本題又是個應(yīng)用題，一定要注意審題．12.下列幾個命題①奇函數(shù)的圖象一定通過原點②函數(shù)y=是偶函數(shù)，但不是奇函數(shù)③函數(shù)f（x）=ax﹣1+3的圖象一定過定點P，則P點的坐標是（1，4）④若f（x+1）為偶函數(shù)，則有f（x+1）=f（﹣x﹣1）⑤若函數(shù)f（x）=在R上的增函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍為[4，8）其中正確的命題序號為

．參考答案：③⑤【考點】命題的真假判斷與應(yīng)用．【專題】函數(shù)思想；定義法；平面向量及應(yīng)用．【分析】①若在原點無意義，則奇函數(shù)圖象就不過原點；②可整理為y=0；③橫過的含義為無論參數(shù)a取何值，函數(shù)都過某一點；④利用偶函數(shù)的定義自變量x取相反數(shù)，函數(shù)值不變；⑤分段函數(shù)要使在整個區(qū)間單調(diào)，則必須每個區(qū)間都有相同的單調(diào)性，且在臨界處滿足單調(diào)性．【解答】解：①奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱，若在原點有意義，則一定通過原點，故錯誤；②函數(shù)y=的定義域為{﹣1，1}，整理后y=0，即是偶函數(shù)，又是奇函數(shù)，故錯誤；③a0=1，當(dāng)x=1時，f（1）=4，函數(shù)f（x）=ax﹣1+3的圖象一定過定點P（1，4），故正確；④若f（x+1）為偶函數(shù)，由偶函數(shù)定義可知f（﹣x+1）=f（x+1），故錯誤；⑤若函數(shù)f（x）=在R上的增函數(shù)，∴a＞1，且4﹣＞0，f（1）≤a，∴實數(shù)a的取值范圍為[4，8）故正確；故正確額序號為③⑤．【點評】考查了函數(shù)的奇偶性，分段函數(shù)的單調(diào)性問題．13.已知向量，，且直線2xcosα﹣2ysinα+1=0與圓（x﹣cosβ）2+（y+sinβ）2=1相切，則向量與的夾角為60°．參考答案：60°略14.設(shè)P=，，則__________P。參考答案：15.已知則

.參考答案：略16.已知函數(shù)f（x），g（x）分別由下表給出x123f（x）211

x123g（x）321則f[g（1）]的值為

；當(dāng)g[f（x）]=2時，x=

．參考答案：1，1．【考點】函數(shù)的值．【分析】根據(jù)表格先求出g（1）=3，再求出f（3）=1，即f[g（1）]的值；由g（x）=2求出x=2，即f（x）=2，再求出x的值．【解答】解：由題意得，g（1）=3，則f[g（1）]=f（3）=1∵g[f（x）]=2，即f（x）=2，∴x=1．故答案為：1，1．17.（5分）下面給出五個命題：①已知平面α∥平面β，AB，CD是夾在α，β間的線段，若AB∥CD，則AB=CD；②a，b是異面直線，b，c是異面直線，則a，c一定是異面直線；③三棱錐的四個面可以都是直角三角形．④平面α∥平面β，P∈α，PQ∥β，則PQ?α；⑤三棱錐中若有兩組對棱互相垂直，則第三組對棱也一定互相垂直；其中正確的命題編號是

（寫出所有正確命題的編號）參考答案：①③④⑤考點： 命題的真假判斷與應(yīng)用．專題： 作圖題；空間位置關(guān)系與距離．分析： 利用空間中直線與直線、直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系，對①②③④⑤五個選項逐一判斷即可．解答： ①∵AB∥CD，∴過AB與CD作平面γ，使得γ與α與β各有一條交線BC與AD，則四邊形ABCD為平行四邊形，故AB=CD，①正確；②a，b是異面直線，b，c是異面直線，如圖，顯然a，c相交，不是異面直線，故②錯誤；③三棱錐的四個面可以都是直角三角形，如圖：PA⊥底面ABC，BC⊥AB，則BC⊥平面PAB，于是BC⊥PB，從而該三棱錐的四個面都是直角三角形，故③正確；④平面α∥平面β，P∈α，PQ∥β，由面面平行的性質(zhì)得，PQα，故④正確；對于⑤，三棱錐中若有兩組對棱互相垂直，則第三組對棱也一定互相垂直，正確，下面進行證明：設(shè)三棱錐P﹣ABC中，PB⊥AC，PC⊥AB，求證：PA⊥BC證明：作PH⊥平面ABC，垂足H，分別連結(jié)AH、BH、CH，與AB、BC、AC分別交于F、D、E點，CH是PC在平面ABC的射影，且PC⊥AB，根據(jù)三垂線定理，CH（CF）⊥AB，同理可得，BH（BE）⊥AC，H是兩條高線的交點，故H是三角形ABC的垂心，故AD⊥BC，AD是PA在平面ABC的射影，∴PA⊥BC．綜上所述，①③④⑤正確．故答案為：①③④⑤．點評： 本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用，著重考查空間直線間的位置關(guān)系、線面垂直的判定與性質(zhì)、面面平行的性質(zhì)及三垂線定理的應(yīng)用，考查作圖與推理分析的能力，屬于中檔題．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本小題滿分12分）如圖，已知在側(cè)棱垂直于底面三棱柱ABC—A1B1C1中,AC=3，AB=5，BC=4,AA1=4,點D是AB的中點.

（Ⅰ）求證：AC⊥BC1;（Ⅱ）求證：AC1∥平面CDB1.參考答案：（1）證明：∵在△ABC中,AC=3,AB=5,BC=4,∴△ABC為直角三角形.∴AC⊥CB.……………2分

又∵CC1⊥面ABC,AC面ABC,∴AC⊥CC1.……………4分∴AC⊥面BCC1B1.又BC1面BCC1B1,∴AC⊥BC1.……………6分（2）證明：連接B1C交BC1于E，則E為BC1的中點，連接DE,則在△ABC1中,DE∥AC1.……………8分

又DE面CDB1……………9分AC1面CDB1………10分

則AC1∥面B1CD……………12分19.關(guān)于的不等式組的整數(shù)解的集合為A．（1）當(dāng)時，求集合A；（2）若集合，求實數(shù)的取值范圍；（3）若集合A中有2013個元素，求實數(shù)的取值范圍．參考答案：（1）當(dāng)時，第二個不等式的解為，；（2）；（3）當(dāng)時，，所以，得當(dāng)時，，所以，得所以實數(shù)的取值范圍為或．20.若點，在中按均勻分布出現(xiàn).（1）點橫、縱坐標分別由擲骰子確定，第一次確定橫坐標，第二次確定縱坐標，則點落在上述區(qū)域的概率？（2）試求方程有兩個實數(shù)根的概率.參考答案：（１）點橫、縱坐標分別由擲骰子確定，第一次確定橫坐標，第二次確定縱坐標，則點落在上述區(qū)域有（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（2，3），（3，1），（3，2），（3，3）九點，所以點落在上述區(qū)域的概率P1=;

.................6分（２）解：如圖所示方程有兩個實數(shù)根得，即方程有兩個實數(shù)根的概率.

P2=

.................12分

21.已知等差數(shù)列{an}中，a1=1，a3=﹣3．（Ⅰ）求數(shù)列{an}的通項公式；（Ⅱ）若數(shù)列{an}的前k項和Sk=﹣35，求k的值．參考答案：（Ⅰ）an=1+（n﹣1）×（﹣2）=3﹣2n（Ⅱ）k=7試題分析：（I）設(shè)出等差數(shù)列的公差為d，然后根據(jù)首項為1和第3項等于﹣3，利用等差數(shù)列的通項公式即可得到關(guān)于d的方程，求出方程的解即可得到公差d的值，根據(jù)首項和公差寫出數(shù)列的通項公式即可；（II）根據(jù)等差數(shù)列的通項公式，由首項和公差表示出等差數(shù)列的前k項和的公式，當(dāng)其等于﹣35得到關(guān)于k的方程，求出方程的解即可得到k的值，根據(jù)k為正整數(shù)得到滿足題意的k的值．解：（I）設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，則an=a1+（n﹣1）d由a1=1，a3=﹣3，可得1+2d=﹣3，解得d=﹣2，從而，an=1+（n﹣1）×（﹣2）=3﹣2n；（II）由（I）可知an=3﹣2n，所以Sn==2n﹣n2，進而由Sk=﹣35，可得2k﹣k2=﹣35，即k2﹣2k﹣35=0，解得k=7或k=﹣5，又k∈N+，故k=7為所求．點評：此題考查學(xué)生靈活運用等差數(shù)列的通項公式及前n項和的公式化簡求值，是一道基礎(chǔ)題．22.函數(shù)f（x）=loga（3﹣ax）（a＞0，a≠1）（1）當(dāng)a=2時，求函數(shù)f（x）的定義域；（2）是否存在實數(shù)a，使函數(shù)f（x）在[1，2]遞減，并且最大值為1，若存在，求出a的值；若不存在，請說明理由．參考答案：【考點】對數(shù)函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用．【專題】計算題．【分析】（1）由題意可得，3﹣2x＞0，解不等式可求函數(shù)f（x）的定義域（2）假設(shè)存在滿足條件的a，由a＞0且a≠1可知函數(shù)t=3﹣ax為單調(diào)遞減的函數(shù)，則由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知，y=logat在定義域上單調(diào)遞增，且t=3﹣ax＞0在[1，2]上恒成立，f（1）=1，