高數(shù)課件第十章

1第四節(jié)重積分的應(yīng)用一、幾何應(yīng)用1.平面圖形的面積:2.空間立體的體積:3.空間曲面的表面積⑴⑵占有空間有界域

的立體的體積為:2空間曲面的面積

設(shè)曲面

S:在面上投影區(qū)域?yàn)镈xy，任取小區(qū)域d

,在Dxy上(稱(chēng)為面積元素)曲面在點(diǎn)向上的法向量為3或類(lèi)似地,若S:則則若S:所以，得曲面面積計(jì)算公式：4例1求錐面被柱面所割下部分的曲面面積.Dxyz解由

所以所割下部分在xoy

面投影區(qū)域?yàn)?由得故得5解由圖形的對(duì)稱(chēng)性知，只須計(jì)算出第一卦限部分的面積即可。由得，例2

求球面含在柱面內(nèi)部的那部分面積。作業(yè)196二、物理應(yīng)用1.非均勻平面薄片的質(zhì)量為：2.占有空間有界域

的立體的質(zhì)量為:3、平面薄片的質(zhì)心設(shè)xoy

面上有n個(gè)質(zhì)點(diǎn):質(zhì)量分別為由力學(xué)知識(shí)，分別稱(chēng)為該質(zhì)點(diǎn)系對(duì)y軸和x軸的靜矩.質(zhì)點(diǎn)系的質(zhì)量：則該質(zhì)點(diǎn)系的質(zhì)心為:7問(wèn)題:設(shè)有一非均勻平面薄片,占有xoy

面上閉區(qū)域D,面密度為(在D

上連續(xù)),求該薄片的質(zhì)心坐標(biāo)?

任取yxD任取由于直徑很小，的質(zhì)量可表為的質(zhì)量可近似看作集中在點(diǎn)上，所以薄片對(duì)y軸和x軸的靜矩元素為：8薄片對(duì)y軸和x軸的靜矩為：薄片的質(zhì)心為：特別地,(常數(shù))，即均勻薄片,質(zhì)心也稱(chēng)其為形心.9類(lèi)似地，設(shè)物體占有空間閉區(qū)域上連續(xù)，在點(diǎn)處的密度為則物體的質(zhì)心為：為物體質(zhì)量。則得形心坐標(biāo)：10解

由對(duì)稱(chēng)性知,所求質(zhì)心為例3求位于兩圓和之間的均勻薄片的(形心)?質(zhì)心11例4一個(gè)煉鋼爐為旋轉(zhuǎn)體形,剖面壁線(xiàn)的方程為為

h

的均質(zhì)鋼液,解

利用對(duì)稱(chēng)性可知質(zhì)心在z

軸上，因此故自重,求它的質(zhì)心.若爐內(nèi)儲(chǔ)有高不計(jì)爐體的其坐標(biāo)為爐壁方程為:12134、平面薄片的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量

DxyoxyP設(shè)xoy面上有n個(gè)質(zhì)點(diǎn):其質(zhì)量由力學(xué)知,該質(zhì)點(diǎn)系對(duì)x軸及y軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量分別為：分別為問(wèn)題:設(shè)有一薄片占有xoy面上區(qū)域D,點(diǎn)處面密度為x

軸及

y軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量.求該薄片對(duì)d對(duì)x軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為：d對(duì)y軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為：14因此，薄片對(duì)x軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為：薄片對(duì)y軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為：對(duì)原點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為:類(lèi)似的，設(shè)占有空間閉區(qū)域，密度為對(duì)x軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為：的物體，對(duì)y軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為：對(duì)z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為：15對(duì)原點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為：解建立坐標(biāo)系如圖所示:

a-axya例5求半徑為

a

的均勻半圓薄片(面密度為對(duì)于其直徑邊的慣量.轉(zhuǎn)動(dòng)16解例6

求由拋物線(xiàn)及直線(xiàn)所圍成的均勻薄片（面密度為常量）對(duì)直線(xiàn)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量.17例7

求均勻球體對(duì)于過(guò)球心的一條軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量.解取球心為坐標(biāo)原點(diǎn),z

軸與軸重合,并設(shè)球半徑為.為球體質(zhì)量.則球體所占空間區(qū)域?yàn)椋簒yzoM18

,G

為引力常數(shù).設(shè)物體占有空間區(qū)域,位于點(diǎn)P0(x0,y0,z0)處的單位質(zhì)量質(zhì)點(diǎn)的引力為：其密度函數(shù)為：引力元素在三坐標(biāo)軸上分量為:其中5、引力物體對(duì)19若求xOy面上的平面薄片D,對(duì)點(diǎn)P0處的單位質(zhì)量質(zhì)點(diǎn)的引力分量,因此引力分量為：則上式改為D上的二重積分,密度