函數(shù)的概念與基本初等函數(shù)

函數(shù)的概念與基本初等函數(shù)第1頁，共29頁，2023年，2月20日，星期日【命題預(yù)測】1．函數(shù)的單調(diào)性是歷年來考查的重點，也是熱點，常與其他知識結(jié)合進行考查．2．最值是新課標(biāo)下專門給出概念的一條性質(zhì)，雖說不新，但突出了其地 位，單調(diào)性是求最值的一條主要途徑．【應(yīng)試對策】1．學(xué)習(xí)函數(shù)單調(diào)性三大性質(zhì)時，主要從“數(shù)”和“形”兩個方面進行整體把握，從理解函數(shù)的單調(diào)性定義入手，在判斷和證明函數(shù)的性質(zhì)的問題中得以鞏固，在求復(fù)合函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、函數(shù)的最值及應(yīng)用問題的過程中得以深化．2．函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)最基本的性質(zhì)之一，只有理解了一個函數(shù)的單調(diào)性，才能刻畫出這個函數(shù)圖形的基本形狀，以及這個函數(shù)變化的基本狀況．第2頁，共29頁，2023年，2月20日，星期日例如，簡單的冪函數(shù)y＝x3，當(dāng)我們知道它在整個實數(shù)范圍內(nèi)是單調(diào)遞增的，那么就可以刻畫出函數(shù)y＝x3的圖象的基本形狀以及它的變化趨勢．在學(xué)習(xí)其概念時，首先應(yīng)明確對應(yīng)函數(shù)的定義域，其次要理解其區(qū)間性，即函數(shù)y＝f(x)是在給定區(qū)間上的單調(diào)性，反映的是隨自變量在區(qū)間上變化時函數(shù)值的變化趨勢，是函數(shù)在區(qū)間上的整體性質(zhì)，但不一定是函數(shù)在定義域上的整體性質(zhì)．第3頁，共29頁，2023年，2月20日，星期日3．對函數(shù)單調(diào)性的證明要明確其步驟：(1)取自變量；(2)作差；(3)判斷得結(jié) 論．注意，定義法是嚴格的單調(diào)性證明，在不需進行嚴格證明時，可以通過作 圖進行判斷．另外，在后面學(xué)習(xí)的用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性也屬嚴格的證 明．因此，解決具體函數(shù)的單調(diào)性問題，一般求導(dǎo)解決，而解決與抽象函數(shù)有 關(guān)的單調(diào)性問題，一般要用單調(diào)性的定義解決．第4頁，共29頁，2023年，2月20日，星期日【知識拓展】1．判斷函數(shù)單調(diào)性(求單調(diào)區(qū)間)的方法

(1)從定義入手：設(shè)x1，x2∈A，且x1<x2；作差f(x1)－f(x2)(一般結(jié)果要分解為若 干個因式的乘積形式，且每一個因式的正或負號能清楚地判斷出)；判斷正負號．

(2)從圖象入手．

(3)從熟悉的函數(shù)入手．

(4)從復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性規(guī)律入手：復(fù)合函數(shù)y＝f[g(x)]在公共定義域上的單調(diào)性：①若f與g的單調(diào)性相同，則y＝f[g(x)]為增函數(shù)；②若f與g的單調(diào)性相反，則y＝f[g(x)]為減函數(shù)．2．函數(shù)單調(diào)性的證明：(1)定義法；(2)導(dǎo)數(shù)法．第5頁，共29頁，2023年，2月20日，星期日3．一般規(guī)律

(1)若f(x)，g(x)均為增函數(shù)，則f(x)＋g(x)仍為增函數(shù)；

(2)若f(x)為增函數(shù)，則－f(x)為減函數(shù)；

(3)設(shè)y＝f[g(x)]是定義在M上的函數(shù)，若f(x)與g(x)的單調(diào)性相反，則y＝f[g(x)]

在M上是減函數(shù)；若f(x)與g(x)的單調(diào)性相同，則y＝f[g(x)]在M上是增函數(shù)．4．一些有用的結(jié)論：

(1)奇函數(shù)在其對稱區(qū)間上的單調(diào)性相同；

(2)偶函數(shù)在其對稱區(qū)間上的單調(diào)性相反；

(3)討論函數(shù)y＝f[g(x)]的單調(diào)性時，要注意兩點： ①若u＝g(x)，y＝f(u)在所討論的區(qū)間上都是增函數(shù)或都是減函數(shù)， 則y＝f[g(x)]為增函數(shù)．第6頁，共29頁，2023年，2月20日，星期日②若u＝g(x)，y＝f(u)在所討論的區(qū)間上一個是增函數(shù)，另一個是減函數(shù)，則y＝f[g(x)]為減函數(shù)．(4)函數(shù)y＝ax＋(a>0，b>0)在(－∞，]及[，＋∞)上單調(diào)遞增；在[－，0)及(0，]上單調(diào)遞減．第7頁，共29頁，2023年，2月20日，星期日1．函數(shù)單調(diào)性的概念

一般地，設(shè)函數(shù)y＝f(x)的定義域為A，區(qū)間I?A，如果對于區(qū)間I內(nèi)的任意兩個值x1，x2，當(dāng)x1＜x2時，都有

，那么就說y＝f(x)在區(qū)間I上是單調(diào)增函數(shù)，I稱為y＝f(x)的

．如果對于區(qū)間I內(nèi)的任意兩個值x1，x2，當(dāng)x1＜x2時，都有

，那么就說y＝f(x)

在區(qū)間I上是單調(diào)減函數(shù)，I稱為y＝f(x)的

．f(x1)<f(x2)單調(diào)增區(qū)間f(x1)＞f(x2)單調(diào)減區(qū)間第8頁，共29頁，2023年，2月20日，星期日2．單調(diào)區(qū)間

如果函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間I上是單調(diào)增函數(shù)或單調(diào)減函數(shù)，那么就說函數(shù)

y＝f(x)在區(qū)間I上具有

，單調(diào)增區(qū)間和單調(diào)減區(qū)間統(tǒng)稱為

．3．函數(shù)的最值

一般地，設(shè)y＝f(x)的定義域為A，如果存在x0∈A，使得對任意的x∈A，都有

，那么稱f(x0)為y＝f(x)的最大值，記為ymax＝f(x0)； 如果存在x0∈A，使得對于任意的x∈A，都有f(x)≥f(x0)，那么稱f(x0)為

y＝f(x)的最小值，記為ymin＝f(x0)． 思考：若函數(shù)f(x)的最小值為a，最大值為b，函數(shù)的值域是[a，b]嗎？ 提示：不一定．如f(x)＝x2(x∈{0,1,2,3，})的最小值為0，最大值為9， 它的值域為{0,1,4,9}不是[0,9]．單調(diào)性單調(diào)區(qū)間f(x)≤f(x0)第9頁，共29頁，2023年，2月20日，星期日1．(2010·東臺中學(xué)高三診斷)若函數(shù)f(x)是定義在(0，＋∞)上的增函數(shù)，且對一切x>0，y>0，滿足f(xy)＝f(x)＋f(y)，則不等式f(x＋6)＋f(x)<2f(4)

的解集為________．答案：(0,2)2．函數(shù)f(x)＝lg(x2－1)的單調(diào)增區(qū)間是________．解析：由x2－1＞0得x＜－1或x＞1，因為x2－1在(1，＋∞)上單調(diào)遞增，所以f(x)＝lg(x2－1)的單調(diào)增區(qū)間是(1，＋∞)．答案：(1，＋∞)第10頁，共29頁，2023年，2月20日，星期日3．(2010·寧夏銀川一中高三月考)已知f(x)為R上的減函數(shù)，則滿足f＜f(1)

的實數(shù)x的取值范圍是________．解析：由已知條件：>1，不等式等價于，解得－1<x<1，且x≠0.

答案：(－1,0)∪(0,1)4．函數(shù)f(x)＝的最小值為________．解析：函數(shù)f(x)的定義域是(－∞，0]∪[4，＋∞)，函數(shù)f(x)在(－∞，0]上遞減，在[4，＋∞)上遞增，又f(0)＝4，f(4)＝2＋1，又f(0)>f(4)，則f(x

的最小值是f(4)＝2＋1.

答案：1＋2第11頁，共29頁，2023年，2月20日，星期日5．若f(x)＝|x－a|在區(qū)間[1，＋∞)為增函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是______．解析：函數(shù)f(x)＝|x－a|的遞增區(qū)間為[a，＋∞)，由已知[1，＋∞)?[a，＋∞)．則a≤1.

答案：(－∞，1]第12頁，共29頁，2023年，2月20日，星期日用定義證明函數(shù)單調(diào)性的一般步驟(1)取值：即設(shè)x1，x2是該區(qū)間內(nèi)的任意兩個值，且x1＜x2.(2)作差：即f(x2)－f(x1)(或f(x1)－f(x2))，并通過通分、配方、因式分解等方法，向有利于判斷差的符號的方向變形．(3)定號：根據(jù)給定的區(qū)間和x2－x1的符號，確定差f(x2)－f(x1)(或f(x1)－f(x2))的符號．當(dāng)符號不確定時，可以進行分類討論．(4)判斷：根據(jù)定義得出結(jié)論．第13頁，共29頁，2023年，2月20日，星期日【例1】(經(jīng)典題)試討論函數(shù)f(x)＝，x∈(－1,1)的單調(diào)性(其中a≠0)．思路點撥：可根據(jù)定義，先設(shè)－1＜x1＜x2＜1，然后作差、變形、定號、判斷；也可以求f(x)的導(dǎo)函數(shù)，然后判斷f′(x)與零的大小關(guān)系．解：解法一：設(shè)－1＜x1＜x2＜1，則f(x1)－f(x2)＝

.∵－1＜x1＜x2＜1，∴|x1|＜1，|x2|＜1，x2－x1＞0，＜0，＜0，|x1x2|＜1，即－1＜x1x2＜1，∴x1x2＋1＞0.∴＞0.因此，當(dāng)a＞0時，f(x1)－f(x2)＞0，即f(x1)＞f(x2)，此時函數(shù)為減函數(shù)；當(dāng)a＜0時，f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)，此時函數(shù)為增函數(shù)．第14頁，共29頁，2023年，2月20日，星期日解法二：∵f(x)＝，∴f′(x)＝當(dāng)a＞0時，∵－1＜x＜1，∴＜0，即f′(x)＜0，此時f(x)在(－1,1)上為減函數(shù)．同理，當(dāng)a＜0時，f(x)在(－1,1)上為增函數(shù)．綜上可知，a＞0時，f(x)在(－1,1)上為減函數(shù)；a＜0時，f(x)在(－1,1)上為增函數(shù)．

第15頁，共29頁，2023年，2月20日，星期日變式1：(原創(chuàng)題)設(shè)函數(shù)f(x)＝，求f(x)的單調(diào)區(qū)間，并證明f(x)在其單 調(diào)區(qū)間上的單調(diào)性． 解：函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間是(－∞，－1)及(－1，＋∞)． 證明如下：任取x1，x2，且x1＜x2＜－1，則：

f(x1)－f(x2)＝因為x1＜x2，所以x2－x1＞0，所以當(dāng)x1＜x2＜－1時，x1＋1＜0，x2＋1＜0，所以(x1＋1)(x2＋1)＞0，所以＞0，即f(x1)－f(x2)＞0，f(x1)＞f(x2)．所以函數(shù)f(x)在(－∞，－1)上是減函數(shù)．同理可證f(x)在(－1，＋∞)上也為減函數(shù)．第16頁，共29頁，2023年，2月20日，星期日求函數(shù)的單調(diào)性或單調(diào)區(qū)間的方法：(1)利用已知函數(shù)的單調(diào)性．(2)定義法：先求定義域，再利用單調(diào)性定義．(3)圖象法：如果f(x)是以圖象形式給出的，或者f(x)的圖象易作出，可由圖象的直觀性寫出它的單調(diào)區(qū)間．(4)導(dǎo)數(shù)法：利用導(dǎo)數(shù)取值的正負確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．第17頁，共29頁，2023年，2月20日，星期日

【例2】判斷函數(shù)f(x)＝lg(x2－2x)的單調(diào)性．思路點撥：求出函數(shù)的定義域，在定義域上先確定x2－2x的單調(diào)性，再確定f(x)的單調(diào)性．解：由x2－2x＞0得x＞2或x＜0，所以函數(shù)的定義域為(－∞，0)∪(2，＋∞)．∵x2－2x在(－∞，0)上為單調(diào)減函數(shù)，∴f(x)＝lg(x2－2x)在(－∞，0)上為單調(diào)減函數(shù)；∵x2－2x在(2，＋∞)上為單調(diào)增函數(shù)，

∴f(x)＝lg(x2－2x)在(2，＋∞)上為單調(diào)增函數(shù)．第18頁，共29頁，2023年，2月20日，星期日變式2：判斷函數(shù)f(x)＝的單調(diào)性．解：由－x2＋3x－2≥0，得x2－3x＋2≤0，所以1≤x≤2.

因為－x2＋3x－2在上為增函數(shù)，所以f(x)＝在上是增函數(shù)；因為－x2＋3x－2在上是減函數(shù)，所以f(x)在上是減函數(shù)．第19頁，共29頁，2023年，2月20日，星期日【例3】(2010·合肥168中學(xué)高三)已知函數(shù)f(x)＝，x∈[0,1]．

(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間和值域；

(2)設(shè)a≥1，函數(shù)g(x)＝x3－3a2x－2a，x∈[0,1]，若對于任意x1∈[0,1]，總存在x0∈[0,1]，使得g(x0)＝f(x1)成立，求a的取值范圍．思路點撥：(1)利用導(dǎo)數(shù)求f(x)的單調(diào)區(qū)間，利用單調(diào)性求函數(shù)的值域．(2)由f(x)的值域是g(x)的值域的子集列出a的不等式，并由a的不等式，求出a的范圍．第20頁，共29頁，2023年，2月20日，星期日解：(1)∵f(x)＝，∴f′(x)＝當(dāng)0≤x＜時，f′(x)＜0；當(dāng)x＝時f′(x)＝0；當(dāng)＜x≤1，f′(x)＞0.因此f(x)在

上遞減，在

上遞增．又f(0)＝－，f＝－4，f(1)＝－3，則f(x)的值域為[－4，－3]．(2)由g(x)＝x3－3a2x－2a得：g′(x)＝3x2－3a2，又a≥1,0≤x≤1，則g′(x)≤0，∴g(x)在[0,1]上遞減，g(0)＝－2a，g(1)＝－3a2－2a＋1，即g(x)的值域為[－3a2－2a＋1，－2a]，根據(jù)已知條件解得1≤a≤，因此a的取值范圍是.第21頁，共29頁，2023年，2月20日，星期日解：(1)f(x)＝＝x＋＋2，x∈[1，＋∞)，f(x)－f(1)＝－＝.由x≥1時f(x)≥f(1)知當(dāng)x＝1時，f(x)最?。絝(1)＝，∴函數(shù)f(x)的最小值為；(2)若對任意x∈[1，＋∞)，f(x)＞0恒成立，即＞0，∴x2＋2x＋a＞0對于一切x∈[1，＋∞)恒成立；又x2＋2x＋a＝(x＋1)2＋a－1≥3＋a，由3＋a＞0得a＞－3.變式3：已知函數(shù)f(x)＝，x∈[1，＋∞)，

(1)當(dāng)a＝時，求函數(shù)f(x)的最小值；

(2)若對任意x∈[1，＋∞)，f(x)＞0恒成立，試求實數(shù)a的取值范圍．第22頁，共29頁，2023年，2月20日，星期日【規(guī)律方法總結(jié)】

求證一個函數(shù)在某一區(qū)間上具有單調(diào)性，常用單調(diào)性的定義證明，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間常結(jié)合函數(shù)的圖象和導(dǎo)數(shù)來完成，如果已知函數(shù)的單調(diào)性利于求函數(shù)的值域或最值.

第23頁，共29頁，2023年，2月20日，星期日【高考真題】

【例4】(2009·山東)函數(shù)y＝的圖象大致為(

)第24頁，共29頁，2023年，2月20日，星期日分析：先確定函數(shù)的定義域{x|x≠0}，再確定函數(shù)的單調(diào)性，以此利用排除法可得正確答案．規(guī)范解答：由題意，得ex－e－x≠0，所以函數(shù)定義域為{x|x≠0}．又因為

所以當(dāng)x＞0時函數(shù)為減函數(shù)．又函數(shù)y是奇函數(shù)，故選A.第25頁，共29頁，2023年，2月20日，星期日【命題探究】

本題考查了函數(shù)的圖象以及函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性等性質(zhì)．考題將函數(shù)的圖象、定義域、值域、單調(diào)性等知識點交匯，構(gòu)成了一道既注重基礎(chǔ)又注重能力的中檔題．本題的難點在于給出的函數(shù)比較復(fù)雜，需要對其先變形，再在定義域內(nèi)對其進行考查其余的性質(zhì)．【全解密】【課本探源】本題是江蘇版數(shù)學(xué)必修1第55頁第8題“已知函數(shù)f(x)＝，試討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性”的改編題．考題的函數(shù)變得復(fù)雜了，并且函數(shù)單調(diào)性問題變成了利用函數(shù)單調(diào)性討論函數(shù)圖象問題，使得考題的能力要求提高了．第26頁，共29頁，2023年，2月20日，星期日【技巧點撥】

本題的求解需要較強的解題技巧．首先，求解函數(shù)的定義域{x|x≠0}；其次，將函數(shù)