2021年廣東省韶關(guān)市廊田中學(xué)高三數(shù)學(xué)理月考試題含解析

2021年廣東省韶關(guān)市廊田中學(xué)高三數(shù)學(xué)理月考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，其中正視圖是正三角形，則幾何體的外接球的表面積為(

)A． B． C． D．參考答案：D【考點(diǎn)】由三視圖求面積、體積．【專題】計(jì)算題；空間位置關(guān)系與距離．【分析】幾何體是三棱錐，根據(jù)三視圖知最里面的面與底面垂直，高為2，結(jié)合直觀圖判定外接球的球心在SO上，利用球心到A、S的距離相等求得半徑，代入球的表面積公式計(jì)算．【解答】解：由三視圖知：幾何體是三棱錐，且最里面的面與底面垂直，高為2，如圖：

其中OA=OB=OC=2，SO⊥平面ABC，且SO=2，其外接球的球心在SO上，設(shè)球心為M，OM=x，則=2﹣x?x=，∴外接球的半徑R=，∴幾何體的外接球的表面積S=4π×=π．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了由三視圖求幾何體的外接球的表面積，考查了學(xué)生的空間想象能力及作圖能力，判斷幾何體的特征及利用特征求外接球的半徑是關(guān)鍵．2.已知實(shí)數(shù)的運(yùn)動(dòng)軌跡是

A．拋物線

B．雙曲線

C．橢圓

D．圓參考答案：A略3.（5分）函數(shù)的定義域?yàn)椋ǎ〢．（0，+∞）B．（1，+∞）C．（0，1）D．（0，1）∪（1，+∞）參考答案：考點(diǎn)：函數(shù)的定義域及其求法．專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．分析：由函數(shù)的解析式可得log2x≠0，即，由此求得函數(shù)的定義域．解答：由函數(shù)的解析式可得log2x≠0，∴，故函數(shù)的定義域（0，1）∪（1，+∞），故選D．點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)的定義域的求法，對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域，屬于基礎(chǔ)題．4.將兩名男生、五名女生的照片排成一排貼在光榮榜上，恰有三名女生的照片貼在兩名男生的照片之間的概率為

A．

B．

C．

D．參考答案：D5.

集合，，則下列關(guān)系中，正確的是(

)A．

；B.；C.；D.參考答案：D6.設(shè)，則A．

B．

C．

D．參考答案：7.下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是

(

)A．命題“若，則”的否命題是：“若

，則”B．如果命題“”與命題“或”都是真命題，那么命題一定是真命題.C．若命題：，則；D．“”是“”的充分不必要條件；參考答案：D8.已知正方形OABC的四個(gè)頂點(diǎn)O（0，0），A（1，0），B（1，1），C（0，1），設(shè)u=2xy，v=x2﹣y2，是一個(gè)由平面xOy到平面uOv上的變換，則正方形OABC在這個(gè)變換下的圖形是(

)A． B． C． D．參考答案：D【考點(diǎn)】函數(shù)的圖象與圖象變化．【專題】函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】找出正方形的各個(gè)頂點(diǎn)變換后的坐標(biāo)，結(jié)合所給的選項(xiàng)，可得結(jié)論．【解答】解：根據(jù)u=2xy，v=x2﹣y2，是一個(gè)由平面xOy到平面uOv上的變換，可得點(diǎn)O變?yōu)槠矫鎢Ov上的（0，0）、點(diǎn)A變?yōu)槠矫鎢Ov上的點(diǎn)（0，1）、點(diǎn)B變?yōu)槠矫鎢Ov上的（2，0），點(diǎn)C變?yōu)槠矫鎢Ov上的點(diǎn)（0，﹣1），結(jié)合所給的選項(xiàng)，D成立．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查函數(shù)的圖象變換，屬于基礎(chǔ)題．9.已知且關(guān)于的函數(shù)在上有極值,則與的夾角范圍是（）A、

B、

C、

D、參考答案：B略10.已知某人每天早晨乘坐的某一班次公共汽車的準(zhǔn)時(shí)到站的概率為,則他在3天乘車中,此班次公共汽車至少有2天準(zhǔn)時(shí)到站的概率為(

)A．

B．

C．

D．

參考答案：二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知向量，，，若∥，則=

。參考答案：512.已知函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)記為，則

.參考答案：2

略13.的系數(shù)是

（用數(shù)字作答）。參考答案：8414.在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若=，b=4，則a+c的最大值為

．參考答案：8【考點(diǎn)】正弦定理；余弦定理．【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；解三角形；不等式的解法及應(yīng)用．【分析】由已知式子和正弦定理可得B=，再由余弦定理可得ac≤16，即可求得a+c的最大值．【解答】解：∵在△ABC中=，∴（2a﹣c）cosB=bcosC，∴（2sinA﹣sinC）cosB=sinBcosC，∴2sinAcosB=sinCcosB+sinBcosC=sin（B+C）=sinA，約掉sinA可得cosB=，即B=，由余弦定理可得16=a2+c2﹣2accosB=a2+c2﹣ac≥2ac﹣ac，∴ac≤16，當(dāng)且僅當(dāng)a=c時(shí)取等號(hào)，∴16=a2+c2﹣ac=（a+c）2﹣3ac，可得：（a+c）2=16+3ac≤64，解得a+c≤8，當(dāng)且僅當(dāng)a=c時(shí)取等號(hào)．故答案為：8．【點(diǎn)評(píng)】本題考查解三角形，涉及正余弦定理和基本不等式以及三角形的面積公式，屬中檔題．15.一種專門占據(jù)內(nèi)存的計(jì)算機(jī)病毒，開機(jī)時(shí)占據(jù)內(nèi)存2KB，然后每3分鐘自身復(fù)制一次，復(fù)制后所占內(nèi)存是原來(lái)的2倍，那么開機(jī)后經(jīng)過(guò)

__________鐘，該病毒占據(jù)64MB內(nèi)存.（其中，1MB=210KB）參考答案：4516.已知R上可導(dǎo)數(shù)學(xué)的圖象如圖所示,則不等式的解集為_______.參考答案：17.如右圖所示，程序框圖（算法流程圖）的輸出結(jié)果是

.參考答案：2550三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.在三棱柱ABC-A1B1C1中，底面ABC是正三角形，側(cè)棱AA1⊥底面ABC．D，E分別是邊BC，AC的中點(diǎn)，線段BC1與B1C交于點(diǎn)G，且，．（1）求證：∥平面；（2）求證：⊥平面；（3）求二面角的余弦值．參考答案：（1）見解析；（2）見解析；（3）.【分析】（1）證明EG∥AB1．然后利用直線與平面平行的判定定理證明EG∥平面AB1D．（2）取B1C1的中點(diǎn)D1，連接DD1．建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz，通過(guò)向量的數(shù)量積證明BC1⊥DA，BC1⊥DB1．然后證明BC1⊥平面AB1D．（3）求出平面B1CB的一個(gè)法向量，平面AB1C的一個(gè)法向量，設(shè)二面角A-B1C-B的平面角為θ，利用空間向量的數(shù)量積求解二面角的余弦函數(shù)值即可．【詳解】（1）證明：因?yàn)镋為AC中點(diǎn)，G為B1C中點(diǎn)．所以EG∥AB1．又因?yàn)镋G?平面AB1D，AB1?平面AB1D，所以EG∥平面AB1D．（2）

證明：取B1C1的中點(diǎn)D1，連接DD1．顯然DA，DC，DD1兩兩互相垂直，如圖，建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz，則D（0，0，0），，B（0，-2，0），，，，C（0，2，0）．所以，，．又因?yàn)椋?，所以BC1⊥DA，BC1⊥DB1．又因?yàn)镈A∩DB1=D，所以BC1⊥平面AB1D．（3）解：顯然平面B1CB的一個(gè)法向量為=（1，0，0）．設(shè)平面AB1C的一個(gè)法向量為：=（x，y，z），又，，由得設(shè)x=1，則，，則．所以．設(shè)二面角A-B1C-B的平面角為θ，由圖可知此二面角為銳二面角，所以．19.（本小題滿分12分）在數(shù)列中，已知

（I）令，求證為等差數(shù)列；

（II）令，若恒成立，求k的取值范圍.參考答案：（Ⅰ）解：因?yàn)?，所以，即，……………?分，故是以為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列?！?分（Ⅱ）由（1）得，因?yàn)椋?。………?分因?yàn)?，所以，…?分所以，………………10分

因?yàn)楹愠闪?，故?！?2分略20.(本小題滿分10分)已知二項(xiàng)式的展開式中第2項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)，其中，且展開式按的降冪排列．(Ⅰ)求及的值．(Ⅱ)數(shù)列中，，，，求證：能被4整除．參考答案：(Ⅰ)，

………………2分故，，．

………………4分(Ⅱ)證明：①當(dāng)時(shí)，，，能被4整除．②假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，能被4整除，即，其中p是非負(fù)整數(shù)．那么當(dāng)n=k+1時(shí)，===顯然是非負(fù)整數(shù)，能被4整除．由①、②可知，命題對(duì)一切都成立．

………………10分21.（本小題滿分14分）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若數(shù)列，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.參考答案：（1）.（2）.（1）解：，∴

………1分∴.

∴

……………3分

∴

………………1分是公比為2首項(xiàng)為1的等比數(shù)列.

………8分（2）解：∵，

∴.

①

………9分.②

……………10分①②得

……………11分

……………12分.

……………13分

∴.

……………14分

22.從某校隨機(jī)抽取100名學(xué)生，獲得了他們一周課外閱讀時(shí)間（單位：小時(shí)）的數(shù)據(jù)，整理得到數(shù)據(jù)分組及頻數(shù)分布表和頻率分布直方圖：排號(hào)分組頻數(shù)1[0，2）62[2，4）83[4，6）174[6，8）225[8，10）256[10，12）127[12，14）68[14，16）29[16，18）2合計(jì)100

（Ⅰ）從該校隨機(jī)選取一名學(xué)生，試估計(jì)這名學(xué)生該周課外閱讀時(shí)間少于12小時(shí)的概率；（Ⅱ）求頻率分布直方圖中的a，b的值；（Ⅲ）假設(shè)同一組中的每個(gè)數(shù)據(jù)可用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代替，試估計(jì)樣本中的100名學(xué)生該周課外閱讀時(shí)間的平均數(shù)在第幾組（只需寫結(jié)論）參考答案：【考點(diǎn)】頻率分布直方圖；頻率分布表．

【專題】概率與統(tǒng)計(jì)．【分析】（Ⅰ）根據(jù)頻率分布表求出1周課外閱讀時(shí)間少于12小時(shí)的頻數(shù)，再根據(jù)頻率=求頻率；（Ⅱ）根據(jù)小矩形的高=求a、b的值；（Ⅲ）利用平均數(shù)公式求得數(shù)據(jù)的平均數(shù)，可得答案．【解答】解：（Ⅰ）由頻率分布表知：1周課外閱讀時(shí)間少于12小時(shí)的頻數(shù)為6+8+17+22+25+12=90，∴1周課外閱讀時(shí)間少于12小時(shí)的頻率為=0.9；（Ⅱ）