專題一：函數(shù)B-教師版-蘇深強(qiáng)

專題一：函數(shù)B-教師版-蘇深強(qiáng)序號(hào)：高中數(shù)學(xué)備課組教師：年級(jí)：日期：上課時(shí)間：學(xué)生：學(xué)生情況：主課題：函數(shù)B教學(xué)難點(diǎn)：1.函數(shù)的性質(zhì)2.函數(shù)的綜合運(yùn)用一、知識(shí)脈絡(luò)二、例題分析例1.已知函數(shù)(為實(shí)數(shù))，，. (1)若且函數(shù)的值域?yàn)?，求的表達(dá)式； (2)在(1)的條件下，當(dāng)時(shí)，是單調(diào)函數(shù)，求實(shí)數(shù)k的取值范圍；(3)設(shè)，且為偶函數(shù)，判斷＋能否大于零.解：(1)∵，∴，又恒成立，∴，∴，∴.∴.(2)，當(dāng)或時(shí)，即或時(shí)，是單調(diào)函數(shù).(3)∵是偶函數(shù)，∴，∵設(shè)則.又∴，＋，∴＋能大于零.例2.己知，（1）（2），證明：對(duì)任意，的充要條件是；證明：（1）依題意，對(duì)任意，都有（2）充分性：必要性：對(duì)任意

．例3.已知函數(shù)（且）。（1）求函數(shù)的定義域和值域；（2）是否存在實(shí)數(shù)，使得函數(shù)滿足：對(duì)于任意，都有？若存在，求出的取值范圍；若不存在，請說明理由。解：（1）由得，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，故當(dāng)時(shí)，函數(shù)的定義域是；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的定義域是。令，則，，當(dāng)時(shí)，是減函數(shù)，故有，即，所以函數(shù)的值域?yàn)?。?）若存在實(shí)數(shù)，使得對(duì)于任意，都有，則是定義域的子集，由（1）得不滿足條件；因而只能有，且，即，令，由（1）知，由得（舍去），或，即，解得，由是，只須對(duì)任意，恒成立，而對(duì)任意，由得，因而只要，解得。綜上，存在，使得對(duì)于任意，都有。例4.已知函數(shù)是奇函數(shù)，定義域?yàn)閰^(qū)間D(使表達(dá)式有意義的實(shí)數(shù)x的集合)．(1)求實(shí)數(shù)m的值，并寫出區(qū)間D；(2)若底數(shù)，試判斷函數(shù)在定義域D內(nèi)的單調(diào)性，并說明理由；(3)當(dāng)(，a是底數(shù))時(shí)，函數(shù)值組成的集合為，求實(shí)數(shù)的值．解(1)∵是奇函數(shù)，∴對(duì)任意，有，即．化簡此式，得．又此方程有無窮多解(D是區(qū)間)，必有，解得．∴．(2)當(dāng)時(shí)，函數(shù)上是單調(diào)減函數(shù)．理由：令．易知在上是隨增大而增大，在上是隨增大而減小，故在上是隨增大而減?。谑牵?dāng)時(shí)，函數(shù)上是單調(diào)減函數(shù)．(3)∵，∴．∴依據(jù)(2)的道理，當(dāng)時(shí)，函數(shù)上是增函數(shù)，即，解得．若，則在A上的函數(shù)值組成的集合為，不滿足函數(shù)值組成的集合是的要求．(也可利用函數(shù)的變化趨勢分析，得出b=1)∴必有．因此，所求實(shí)數(shù)的值是．例5.對(duì)于定義域?yàn)镈的函數(shù)，如果存在區(qū)間，同時(shí)滿足：①在內(nèi)是單調(diào)函數(shù)；②當(dāng)定義域是時(shí)，的值域也是．則稱是該函數(shù)的“和諧區(qū)間”．（1）求證：函數(shù)不存在“和諧區(qū)間”．（2）已知：函數(shù)（）有“和諧區(qū)間”，當(dāng)變化時(shí)，求出的最大值．（3）易知，函數(shù)是以任一區(qū)間為它的“和諧區(qū)間”．試再舉一例有“和諧區(qū)間”的函數(shù)，并寫出它的一個(gè)“和諧區(qū)間”．（不需證明，但不能用本題已討論過的及形如的函數(shù)為例）解（1）設(shè)是已知函數(shù)定義域的子集．，或，故函數(shù)在上單調(diào)遞增．若是已知函數(shù)的“和諧區(qū)間”，則故、是方程的同號(hào)的相異實(shí)數(shù)根．無實(shí)數(shù)根，函數(shù)不存在“和諧區(qū)間”（2）設(shè)是已知函數(shù)定義域的子集．，或，故函數(shù)在上單調(diào)遞增．若是已知函數(shù)的“和諧區(qū)間”，則故、是方程，即的同號(hào)的相異實(shí)數(shù)根．，，同號(hào)，只須，即或時(shí)，已知函數(shù)有“和諧區(qū)間”，，當(dāng)時(shí)，取最大值（3）如：和諧區(qū)間為、，當(dāng)?shù)膮^(qū)間；和諧區(qū)間為；和諧區(qū)間為；閱卷時(shí)，除考慮值域外，請?zhí)貏e注意函數(shù)在該區(qū)間上是否單調(diào)，不單調(diào)不給分．如舉及形如的函數(shù)不給分．例6.定義：若存在常數(shù)k，使得對(duì)定義域D內(nèi)的任意兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)x1，x2，均有：成立，則稱在D上滿足利普希茨（Lipschitz）條件。（1）試舉出一個(gè)滿足利普希茨（Lipschitz）條件的函數(shù)及常數(shù)k的值，并加以驗(yàn)證；（2）若函數(shù)上滿足利普希茨（Lipschitz）條件，求常數(shù)k的最小值；（3）現(xiàn)有函數(shù)，請找出所有的一次函數(shù)，使得下列條件同時(shí)成立：①函數(shù)滿足利普希茨（Lipschitz）條件；②方程的根t也是方程；③方程在區(qū)間上有且僅有一解。解：（1）例如令知可取k=2滿足題意（任何一次函數(shù)或常值函數(shù)等均或）。（2）Q：在為增函數(shù)∴對(duì)任意有（當(dāng)時(shí)取到）所以（3）由于所有一次函數(shù)均滿足（1）故設(shè)的根∴∴b=0，∴若k符合題意，則－k也符合題意，故以下僅考慮k>0的情形。設(shè)①若所以，在中另有一根，矛盾。②若所以，在中另有一根，矛盾?！嘁韵伦C明，對(duì)任意符合題意。當(dāng)圖象在連接兩點(diǎn)（0，0），的線段的上方知當(dāng)當(dāng)綜上，有且僅有一個(gè)解x=0，∴滿足題意。綜上所述：例7.已知函數(shù).（1）若的反函數(shù)是，解方程：；（2）當(dāng)時(shí)，定義.設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，求、、、和；（3）對(duì)于任意、、，且.當(dāng)、、能作為一個(gè)三角形的三邊長時(shí)，、、也總能作為某個(gè)三角形的三邊長，試探究的最小值.解：（1）函數(shù)是函數(shù)的反函數(shù)，，而，即………2分，故：原方程的解為……………2分(2)若，，，若，，，若，，，若，，，………2分當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，………2分………………2分(3)由題意知，若能作為某個(gè)三角形的三邊長…………2分又：當(dāng)時(shí)，有成立，則一定有成立.…………2分即不合題意.……2分又當(dāng)時(shí)，取，有,即，此時(shí)可作為一個(gè)三角形的三邊長，但，即，所以、、不能作為三角形的三邊長.綜上所述，的最小值為2.…………………2分解法2：，由題意知，若能作為某個(gè)三角形的三邊長…………2分設(shè),若，則，顯然能作為某個(gè)三角形三邊長………2分若，由（1）知.由(2)知……2分而，則故：…………………2分三、課后作業(yè)1．對(duì)于函數(shù)，若存在使成立，則稱為的不動(dòng)點(diǎn)，已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí),求函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn);(2)若對(duì)任意實(shí)數(shù),函數(shù)恒有兩個(gè)相異的不動(dòng)點(diǎn),求的取值范圍;(3)在(2)的條件下,若圖象上兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)是函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn),且兩點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱,求的最小值.解(1)當(dāng)時(shí),,于是,等價(jià)于,解得或,即此時(shí)的不動(dòng)點(diǎn)是和.(2)由得(*),由題意得,對(duì)任意實(shí)數(shù),方程(*)總有兩個(gè)不等的實(shí)根,故有,即總成立,于是又有,,.(3)設(shè),,，則由關(guān)于直線對(duì)稱,得，，又的中點(diǎn)在直線上，，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，取最小值2．已知集合是滿足下列性質(zhì)的函數(shù)的全體：在定義域內(nèi)存在，使得成立。（Ⅰ）函數(shù)是否屬于集合？說明理由；（Ⅱ）設(shè)函數(shù)，求的取值范圍；（Ⅲ）設(shè)函數(shù)圖象與函數(shù)的圖象有交點(diǎn)，證明：函數(shù)。解：（Ⅰ）若，在定義域內(nèi)存在，則，∵方程無解，∴。（Ⅱ），時(shí)，；時(shí)，由，得?！?。（Ⅲ），∵函數(shù)圖象與函數(shù)的圖象有交點(diǎn)，設(shè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則（其中），即，于是。3.已知f(x)是定義在正整數(shù)集N*上的函數(shù)，當(dāng)x為奇數(shù)時(shí)，f(x＋1)－f(x)＝1，當(dāng)x為偶數(shù)時(shí)，f(x＋1)－f(x)＝3，且滿足f(1)＋f(2)＝5.(1)求證：{f(2n－1)}(n∈N*)是等差數(shù)列；(2)求f(x)的解析式．(1)證明：由題意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f2n＋1－f2n＝3,f[2n－1＋1]－f2n－1＝1))，兩式相加得f(2n＋1)－f(2n－1)＝4.因此f(1)，f(3)，f(5)，…，f(2n－1)成等差數(shù)列．即{f(2n－1)}(n∈N*)是等差數(shù)列．(2)解：由題意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f2－f1＝1,f1＋f2＝5))，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f1＝2,f2＝3)).所以f(2n－1)＝f(1)＋(n－1)×4＝2(2n－1)，因此當(dāng)x為奇數(shù)時(shí)，f(x)＝2x.又因?yàn)楫?dāng)x為奇數(shù)時(shí)，f(x＋1)－f(x)＝1，所以f(x＋1)＝2x＋1＝2(x＋1)－1，故當(dāng)x為偶數(shù)時(shí)，f(x)＝2x－1.綜上，f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x，x為奇數(shù),2x－1，x為偶數(shù))).4.已知函數(shù)，（1）若的值.（2）當(dāng)求a的取值范圍.(3)若當(dāng)動(dòng)點(diǎn)在的圖象上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)在函數(shù)的圖象上運(yùn)動(dòng)，求的解析式.解：（1）

＝（2）；設(shè)；；即所求的取值范圍為(3);設(shè)；即所求函數(shù)的解析式為5.已知是的圖象上任意兩點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)，且，若，其中，且。（1）求的值；（2）求；（3）數(shù)列中，當(dāng)時(shí)，，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，求的取值范圍使對(duì)一切都成立。解：由，得點(diǎn)是的中點(diǎn)，則，故，，所以（2）由（1）知當(dāng)時(shí)，。又，∴， ∴ （，且） 6.定義在上的函數(shù)，如果滿足：對(duì)任意，存在常數(shù)，都有成立，則稱是上的有界函數(shù)，其中稱為函數(shù)的上界.已知函數(shù)；.（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在上的值域，并判斷函數(shù)在上是否為有界函數(shù)，請說明理由；（2）若函數(shù)在上是以3為上界的有界函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）若，函數(shù)在上的上界是，求的取值范圍.解（1）當(dāng)時(shí)，因?yàn)樵谏线f減，所以，即在的值域?yàn)楣什淮嬖诔?shù)，使成立,所以函數(shù)在上不是有界函數(shù)。（2）由題意知，在上恒成立。，∴在上恒成立∴設(shè)，，，由得t≥1，設(shè)，所以在上遞減，在上遞增，在上的最大值為，在上的最小值為所以實(shí)數(shù)的取值范圍為（3），∵m>0，∴在上遞減，∴即①當(dāng)，即時(shí)，，此時(shí)，②當(dāng)，即時(shí)，，此時(shí)，綜上所述，當(dāng)時(shí)，的取值范圍是；當(dāng)時(shí)，的取值范圍是7.一個(gè)函數(shù)，如果對(duì)任意一個(gè)三角形，只要它的三邊長都在的定義域內(nèi)，就有也是某個(gè)三角形的三邊長，則稱為“保三角形函數(shù)”．（I）判斷，，中，哪些是“保三角形函數(shù)”，哪些不是，并說明理由；（II）如果是定義在上的周期函數(shù)，且值域?yàn)?，證明不是“保三角形函數(shù)”；（III）若函數(shù)，是“保三角形函數(shù)”，求的最大值．（可以利用公式）解：（I）是“保三角形函數(shù)”，不是“保三角形函數(shù)”．1分任給三角形，設(shè)它的三邊長分別為，則，不妨假設(shè)，由于，所以是“保三角形函數(shù)”.3分對(duì)于，3，3，5可作為一個(gè)三角形的三邊長，但，所以不存在三角形以為三邊長，故不是“保三角形函數(shù)”．4分（II）設(shè)為的一個(gè)周期，由于其值域?yàn)椋?，存在，使得，取正整?shù)，可知這三個(gè)數(shù)可作為一個(gè)三角形的三邊長，但，不能作為任何一個(gè)三角形的三邊長．故不是“保三角形函數(shù)”．8分（III）的最大值為．9分一方面，若，下證不是“保三