大學(xué)畢業(yè)論文-數(shù)列

PAGEPAGE3目錄TOC\o"1-3"\h\u205091引言 290642文獻(xiàn)綜述 2169612.1、國(guó)內(nèi)外研究現(xiàn)狀 289492.2、國(guó)內(nèi)外研究現(xiàn)狀評(píng)價(jià) 2293902.3、提出問題 2287583、構(gòu)造法在數(shù)列中求通項(xiàng)公式的應(yīng)用 3101613.1、構(gòu)造一個(gè)等差數(shù)列或一個(gè)等比數(shù)列 3195093.2、型如(為常數(shù)且，)的數(shù)列 4121893.3、形如的復(fù)合數(shù)列 6165103.4、取倒數(shù)構(gòu)造等差數(shù)列或等比數(shù)列 748023.5、特征方程構(gòu)造等差數(shù)列或等比數(shù)列 8109243.6、其它特殊數(shù)列的特殊構(gòu)造方法 978033.6.1、取對(duì)數(shù)來(lái)構(gòu)造新的數(shù)列 964863.6.2、換元來(lái)構(gòu)造新的數(shù)列 10192313.6.3、兩個(gè)數(shù)列的復(fù)合構(gòu)造等差或等比數(shù)列 1079753.7、逐差構(gòu)造法求高階等差數(shù)列得通項(xiàng)公式 11137153.8、構(gòu)造一個(gè)具備連續(xù)遞推功能的簡(jiǎn)單數(shù)列 1337623.9、歸納構(gòu)造法 13292774、數(shù)列構(gòu)造法在數(shù)列求和中的應(yīng)用 15280904.1、逐差構(gòu)造法 15282174.2、利用組合數(shù)公式構(gòu)造數(shù)列的通項(xiàng)求和 1691914.3、拆項(xiàng)構(gòu)造法 16288115、數(shù)列構(gòu)造在證明中的運(yùn)用 17184365.1、構(gòu)造數(shù)列證明不等式 17138535.2、構(gòu)造數(shù)列證明整除性命題 18184815.3、構(gòu)造數(shù)列證明恒等式 1938506.參考文獻(xiàn) 201引言構(gòu)造法是運(yùn)用數(shù)學(xué)的基本思想經(jīng)過(guò)認(rèn)真的觀察，深入的思考，構(gòu)造出解題的數(shù)學(xué)模型從而使問題得以解決。構(gòu)造法的內(nèi)涵十分豐富，沒有完全固定的模式可以套用，它是以廣泛抽象的普遍性與現(xiàn)實(shí)問題的特殊性為基礎(chǔ)，針對(duì)具體問題的特點(diǎn)而采取相應(yīng)的解決辦法，基本的方法是：借用一類問題的性質(zhì)，來(lái)研究另一類問題的思維方法。在解題過(guò)程中，若按習(xí)慣定勢(shì)思維去探求解題途徑比較困難時(shí)，可以啟發(fā)學(xué)生根據(jù)題目特點(diǎn)，展開豐富的聯(lián)想拓寬自己思維范圍，運(yùn)用構(gòu)造法來(lái)解題也是培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)造意識(shí)和創(chuàng)新思維的手段之一，同時(shí)對(duì)提高學(xué)生的解題能力也有所幫助。數(shù)列的實(shí)質(zhì)是“按照一定規(guī)律”排列成的一列數(shù)，描述這種“規(guī)律”的最簡(jiǎn)單的形式是通項(xiàng)公式。因此，求數(shù)列的通項(xiàng)公式是研究數(shù)列的一個(gè)主要課題。等差數(shù)列和等比數(shù)列以及它們的前n項(xiàng)和所成的數(shù)列是一些最特殊﹑最基本的數(shù)列。它們的通項(xiàng)公式用演繹法套公式解決。對(duì)于其它類型的數(shù)列，構(gòu)造法求通項(xiàng)公式是一種重要的方法，即構(gòu)造一個(gè)與原數(shù)列相關(guān)的新數(shù)列，轉(zhuǎn)化為具有特殊性質(zhì)的數(shù)列，從而找到解題的新法案。下面我們通過(guò)舉例來(lái)說(shuō)明通過(guò)數(shù)列構(gòu)造法解題訓(xùn)練學(xué)生發(fā)散思維，謀求最佳的解題途徑，達(dá)到思想的創(chuàng)新.2文獻(xiàn)綜述2.1、國(guó)內(nèi)外研究現(xiàn)狀國(guó)內(nèi)外對(duì)數(shù)列的研究大多側(cè)重于研究數(shù)列的通項(xiàng)公式及數(shù)列的求和、數(shù)列在生活中的應(yīng)用，如樓梯設(shè)計(jì)、人口增長(zhǎng)問題、存款利率問題、分期付款問題等多方面的應(yīng)用．2.2、國(guó)內(nèi)外研究現(xiàn)狀評(píng)價(jià)數(shù)列是以種特殊的函數(shù)，在研究數(shù)列的問題上不能只按數(shù)列的思想來(lái)看待問題，應(yīng)用函數(shù)的觀點(diǎn)來(lái)看待數(shù)列，看待問題．2.3、提出問題高中教材中的數(shù)列都是一些簡(jiǎn)單、低階的數(shù)列，很難培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維和假設(shè)可轉(zhuǎn)化為即比較系數(shù)可知，則、為方程的兩根：，原關(guān)系式化為構(gòu)造一個(gè)以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列……把上面各式累加起來(lái)：，其中解得3.2、型如(為常數(shù)且，)的數(shù)列型如(為常數(shù)且，)的數(shù)列，其本身并不是等差或等比數(shù)列，但經(jīng)過(guò)適當(dāng)?shù)淖冃魏?，即可?gòu)造出一個(gè)新數(shù)列，利用這個(gè)數(shù)列可求其通項(xiàng)公式.（1）（為常數(shù)），可以構(gòu)造等比數(shù)列求解.例3已知數(shù)列滿足，，求通項(xiàng).解由，得又，故數(shù)列是以首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列所以注：一般地，遞推關(guān)系式(、為常數(shù)，且，)可等價(jià)地改寫成，則為等比數(shù)列，從而可求．（2）為等比數(shù)列，可構(gòu)造等差數(shù)列、等比數(shù)列求解.如（為常數(shù)），兩邊同除以，得，則可轉(zhuǎn)化為得形式.例4已知數(shù)列中，，，求通項(xiàng).解由條件得令，則即，又，所以數(shù)列為等比數(shù)列，故有，即所以（3）為等差數(shù)列，如型遞推式，可構(gòu)造等比數(shù)列求解.例5已知數(shù)列滿足，，，求.解令，則所以，帶入已知條件得即令，，解得：，所以，且故是以3為首項(xiàng)，為公比得等比數(shù)列因此，故.注：此例通過(guò)引入一些尚待確定的系數(shù)，轉(zhuǎn)化命題結(jié)構(gòu)，經(jīng)過(guò)變形與比較，把問題轉(zhuǎn)化成基本數(shù)列（等差或等比數(shù)列）求解．3.3、形如的復(fù)合數(shù)列形如的復(fù)合數(shù)列，可先構(gòu)造等差數(shù)列或等比數(shù)列，再用疊加法、疊乘法、迭代法等方法求解．例6已知數(shù)列滿足，，，求.解有已知可得:又所以數(shù)列是以首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列所以即，亦即，又所以數(shù)列是以首項(xiàng)為2，公差為6的等差數(shù)列故因此3.4、取倒數(shù)構(gòu)造等差數(shù)列或等比數(shù)列一些較為特殊的數(shù)列，可利用“取倒數(shù)”的方法構(gòu)造等差數(shù)列或等比數(shù)列求解．例7已知數(shù)列中，，，求.解由已知，得設(shè)，則故是以為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列所以即例8若數(shù)列中，，是數(shù)列的前項(xiàng)和，且，求數(shù)列的通項(xiàng)公式.解由，得令，則有故所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列即，所以當(dāng)時(shí)，由得所以3.5、特征方程構(gòu)造等差數(shù)列或等比數(shù)列對(duì)某些特殊的數(shù)列，可利用特征方程構(gòu)造等差數(shù)列或等比數(shù)列求解．如滿足的數(shù)列，可令特征方程為，變形為，如方程由兩異根，則可令，則數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列；若方程有二重根，則可令，則數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，然后代入的值可求得值，于是可求得.已知數(shù)列滿足，，求數(shù)列的通項(xiàng).解令，化簡(jiǎn)得解得，令由，得，可得所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列故解得已知數(shù)列滿足，，求數(shù)列的通項(xiàng).解令，化簡(jiǎn)得解得令由，得，求得所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，以1為公差的等差數(shù)列故所以3.6、其它特殊數(shù)列的特殊構(gòu)造方法3.6.1、通過(guò)取對(duì)數(shù)來(lái)構(gòu)造新的數(shù)列求解．例11在數(shù)列中，若且，求數(shù)列的通項(xiàng).解由提意可知，將兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù)得，即所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列故所以3.6.2、通過(guò)換元來(lái)構(gòu)造新的數(shù)列求解．例12在數(shù)列中，，，求.分析本題的難點(diǎn)是已知遞推關(guān)系式中的較難處理，可構(gòu)建新數(shù)列，令，這樣就巧妙地去掉了根式，將通項(xiàng)進(jìn)行轉(zhuǎn)化，便于化簡(jiǎn)變形．解令，則，即則原條件轉(zhuǎn)化為化簡(jiǎn)得，即變形得所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列故，即所以3.6.3、對(duì)于兩個(gè)數(shù)列的復(fù)合問題，也可構(gòu)造等差或等比數(shù)列求解.例13在數(shù)列、中，，且，求，的通項(xiàng)公式.解構(gòu)造新數(shù)列，則令，得或所以數(shù)列是首項(xiàng)為，公比的等比數(shù)列當(dāng)時(shí)，數(shù)列是首項(xiàng)為，公比的等比數(shù)列.故當(dāng)時(shí)，數(shù)列是首項(xiàng)為，公比的等比數(shù)列聯(lián)立兩式得解得，.3.7、逐差構(gòu)造法求高階等差數(shù)列得通項(xiàng)公式對(duì)于數(shù)列，若則數(shù)列叫做等差數(shù)列；令，則數(shù)列叫做一階差分?jǐn)?shù)列，若是等差數(shù)列，則叫做的一階等差數(shù)列；令，數(shù)列叫做的二階差分?jǐn)?shù)列，若是等差數(shù)列，則叫做的二階等差數(shù)列；……；數(shù)列是的階差分?jǐn)?shù)列，若是等差數(shù)列，則數(shù)列叫做的階等差數(shù)列.下面以二階等差數(shù)列為例說(shuō)明怎樣求高階等差數(shù)列的通項(xiàng)公式.設(shè)數(shù)列是數(shù)列的一階差分?jǐn)?shù)列，即；數(shù)列是的二階差分?jǐn)?shù)列，即；是等差數(shù)列，首項(xiàng)為，公差為.則又，所以于是最后的結(jié)果可作為二階等差數(shù)列的通項(xiàng)公式.已知數(shù)列的前6項(xiàng)依次為0,4,18,48,100,180，求數(shù)列的通項(xiàng)式.解設(shè)為的一階差分?jǐn)?shù)列，，它的前5項(xiàng)依次為：4,14，30，52，80；數(shù)列為的二階差分?jǐn)?shù)列，，它的前4項(xiàng)依次為：10,16，22,28.數(shù)列是的二階等差數(shù)列，，.3.8、構(gòu)造一個(gè)具備連續(xù)遞推功能的簡(jiǎn)單數(shù)列這里所指的是解題的思維意向，一個(gè)模糊的模式，不是解題的具體方法和步驟，也不依賴于某個(gè)公式．一切均與由問題的條件出發(fā)進(jìn)行探索．例15已知數(shù)列滿足，且，求通項(xiàng)．解用合比定理，把化為：構(gòu)造數(shù)列使則即解得．3.9、歸納構(gòu)造法通過(guò)有限構(gòu)造性試驗(yàn)，推測(cè)一般結(jié)論，讓后用數(shù)學(xué)歸納法去證明．例16求數(shù)列的通項(xiàng)公式．解構(gòu)造分式取，2，3，4，5時(shí)，其分式的值一次為，，，，觀察這個(gè)有限的前5項(xiàng)可知：各分?jǐn)?shù)的分母為常數(shù)3，分子組成一個(gè)以3為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列．于是可推測(cè)它的第項(xiàng)是那么則．用數(shù)學(xué)歸納法證明此結(jié)論：當(dāng)時(shí)，結(jié)論成立；假設(shè)時(shí)結(jié)論成立，則有那么當(dāng)時(shí)，左邊有右邊有即當(dāng)n=k+1時(shí)，等式左邊等于等式的右邊所以對(duì)于一切n，等式都成立．故注：1．并不是任何數(shù)列都可以求出其通項(xiàng)的，能夠求出通項(xiàng)的只是一些特殊的數(shù)列。例如數(shù)列1，1.4，1.41，1.414，……就沒有通項(xiàng)公式；2．同一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式的形式不一定唯一。例如數(shù)列－1，1，－1，1，…，其通項(xiàng)公式為，；3．?dāng)?shù)列是函數(shù)概念的繼續(xù)和延伸，數(shù)列中數(shù)的有序性是數(shù)列定義的靈魂，要注意辨析數(shù)列中的項(xiàng)與數(shù)集中元素的異同，因此在研究數(shù)列問題時(shí)既要注意函數(shù)方法的普遍性，又要注意數(shù)列方法的特殊性。從上述各題構(gòu)建新數(shù)列的過(guò)程中，可以看出對(duì)題設(shè)中遞推式的觀察、分析，并據(jù)其結(jié)構(gòu)特點(diǎn)進(jìn)行合理變形，是成功構(gòu)建新數(shù)列的關(guān)鍵。構(gòu)建新數(shù)列的目的是為了化繁為簡(jiǎn)、化未知為已知、化不熟悉為熟悉，這也是解答數(shù)學(xué)問題的共性之所在．4、數(shù)列構(gòu)造法在數(shù)列求和中的應(yīng)用4.1、逐差構(gòu)造法一個(gè)自然數(shù)高次冪所組成的數(shù)列，它的前項(xiàng)和可以通過(guò)逐差構(gòu)造法，轉(zhuǎn)化為用自然數(shù)低次冪的前項(xiàng)的和來(lái)表示．例17求．解構(gòu)造數(shù)列即．4.2、利用組合數(shù)公式構(gòu)造數(shù)列的通項(xiàng)求和運(yùn)用此方法時(shí)，把一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)轉(zhuǎn)化為用組合數(shù)表示，要注意公式的逆向性．求數(shù)列的前項(xiàng)和．解設(shè)數(shù)列的通項(xiàng)為故數(shù)列的前項(xiàng)和．4.3、拆項(xiàng)構(gòu)造法在數(shù)列中，，若能構(gòu)造數(shù)列，使那么計(jì)算．解設(shè)數(shù)列，故設(shè)輔助數(shù)列：則，于是5、數(shù)列構(gòu)造在證明中的運(yùn)用5.1、構(gòu)造數(shù)列證明不等式相當(dāng)多的數(shù)學(xué)問題，尤其是證明不等式，嘗試一下“構(gòu)造數(shù)列”能產(chǎn)生意想不到的效果．構(gòu)造數(shù)列，利用數(shù)列的單調(diào)性證明不等式．如果要證明不等式，．構(gòu)造數(shù)列：，若且是遞增數(shù)列，即，于是證明了．在中，，為直角邊的長(zhǎng)，為斜邊的長(zhǎng)．求證：．證明根據(jù)勾股定理可知，即顯然有，構(gòu)造數(shù)列：首項(xiàng)因?yàn)橛?，有，所以故?shù)列是遞減數(shù)列．當(dāng)時(shí)，即則不等式成立．5.2、構(gòu)造數(shù)列證明整除性命題定理對(duì)于數(shù)列，的充要條件是且例試證能被7整除.證明22構(gòu)造數(shù)列：，