方差分析⑵課件

試驗統(tǒng)計學(xué)主講黃成達試驗統(tǒng)計學(xué)第四章概率論與數(shù)理統(tǒng)計的基礎(chǔ)知識本課程使用區(qū)靖祥編著的《試驗統(tǒng)計學(xué)》一書作為課本。全程為50學(xué)時，占2.5學(xué)分。第二章常用的試驗設(shè)計第三章試驗數(shù)據(jù)的整理第五章參數(shù)區(qū)間估計第八章常用試驗設(shè)計的資料分析第六章統(tǒng)計假設(shè)測驗第七章方差分析第九章直線相關(guān)與回歸第一章緒論第十章協(xié)方差分析第二節(jié)處理平均數(shù)間的多重比較第一節(jié)方差分析的基本原理第三節(jié)方差分量的估計第七章方差分析第四節(jié)單向分類資料的方差分析第五節(jié)兩向分類資料的方差分析第六節(jié)系統(tǒng)分組資料的方差分析第七節(jié)方差分析的基本假設(shè)和數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換二、每處理組合內(nèi)有多于一個觀察值的兩向分類資料

兩向分類資料(two-wayclassifications)是指那些含有兩個可控因素的資料。根據(jù)具體的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)又分為兩種情況：第五節(jié)兩向分類資料的方差分析一、每處理組合內(nèi)只有一個觀察值的兩向分類資料

在動物學(xué)的試驗中，由于每一個母本不可能同時與若干個父本交配，所以不能采用交叉式設(shè)計的雜交方式，轉(zhuǎn)而使用另一種被稱為巢式設(shè)計（nesteddesign）的雜交方案。巢式設(shè)計的雜交方案以及相類似的試驗設(shè)計所取得到數(shù)據(jù)資料稱為系統(tǒng)分組的資料(hierarchalclassification)。第六節(jié)系統(tǒng)分類資料的方差分析本節(jié)介紹對最簡單的系統(tǒng)分組的資料的統(tǒng)計分析方法，這類資料為組內(nèi)又分亞組的單向分類資料方差分析的三個基本假定：第七節(jié)基本假設(shè)和數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換在結(jié)束本章之前，再稍微詳細地討論一下這些假定。⑴

數(shù)據(jù)中的各種效應(yīng)應(yīng)該具有“可加性”；⑶

所有處理應(yīng)該具有相同的誤差方差，即具有“同質(zhì)性”。⑵

誤差應(yīng)該是“隨機、獨立”的，并且具有“平均數(shù)為0、方差為的正態(tài)分布”；方差分析的三個基本假定：第七節(jié)基本假設(shè)和數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換⑵

誤差應(yīng)該是“隨機、獨立”的，并且具有“平均數(shù)為0、方差為的正態(tài)分布”；

首先，在數(shù)學(xué)模型中的誤差效應(yīng)必須是隨機的，因為數(shù)據(jù)中的k個處理僅僅是從所研究的k個總體中隨機抽取出來的k個樣本，而F測驗正是通過樣本統(tǒng)計量對總體參數(shù)進行判斷的手段。

其次，在觀察這個個體時的誤差與觀察另一個個體時的誤差應(yīng)該是無關(guān)的，即誤差彼此之間是相互獨立的。前面已討論過，計算F值的兩個方差，所來自的（亞）總體應(yīng)該是正態(tài)分布的。方差分析的三個基本假定：第七節(jié)基本假設(shè)和數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換因為在方差分布中將k個樣本的“組內(nèi)平方和”和“組內(nèi)自由度”合并為整個試驗的“組內(nèi)平方和”和“組內(nèi)自由度”，并利用它們算出的“組內(nèi)均方”來估計試驗誤差，其前提必須是各處理的方差是相等的，不相等怎么能合并呢？資料中各組的方差是否相等可以通過Bartlett卡方測驗來檢驗。⑶

所有處理應(yīng)該具有相同的誤差方差，即具有“同質(zhì)性”。當(dāng)試驗資料不符合上述假定時要先對數(shù)據(jù)進行一些適當(dāng)?shù)奶幚?，然后用?jīng)過處理的數(shù)據(jù)進行方差分析。第七節(jié)基本假設(shè)和數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換常用的數(shù)據(jù)變換方法有四種，分別適用下述的四種情況：

㈠剔除一些表現(xiàn)“特殊”的觀察值、處理或重復(fù)。㈡用同一個體或小區(qū)的重復(fù)觀察值的平均數(shù)進行方差分析。㈢對需要分析的資料進行研究，了解它們不符合哪個基本假定，然后針對性地采用下述數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換方法中的一種，先對數(shù)據(jù)進行某種尺度變換，用經(jīng)變換的數(shù)據(jù)進行方差分析(及多重比較)，而在對分析結(jié)果進行解釋時，再反代換為原來的尺度。第七節(jié)基本假設(shè)和數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換服從二項分布的百分數(shù)資料宜采用這種變換。例如昆蟲死亡率、產(chǎn)品合格率、種子發(fā)芽率等都屬于這種資料。請注意上式方根號內(nèi)xijk是百分數(shù)，例如當(dāng)xijk＝75.5%時，x’ijk＝60.33。⑵

當(dāng)數(shù)據(jù)的時，宜采用反正弦轉(zhuǎn)換，即。有些百分率不是用計數(shù)數(shù)據(jù)換算得到的，而是用度量數(shù)據(jù)換算得到的，如玉米種子中的蛋白質(zhì)含量、花生油中的不飽和脂肪酸含量等，不應(yīng)當(dāng)作離散性隨機變量看待。不必要采用反正弦代換。第七節(jié)基本假設(shè)和數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換當(dāng)資料不近似服從正態(tài)分布或資料不接近于加性模型時，宜采用這種轉(zhuǎn)換。⑶

當(dāng)數(shù)據(jù)的時，各觀察值的方差近似與其平均數(shù)的平方成比例關(guān)系。這種資料宜采用對數(shù)轉(zhuǎn)換。即當(dāng)有部分數(shù)據(jù)小于10時，采用公式：第七節(jié)基本假設(shè)和數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換⑷當(dāng)數(shù)據(jù)的時，各觀察值的標(biāo)準(zhǔn)差近似與其平均數(shù)的平方成比例關(guān)系。這種資料宜采用倒數(shù)轉(zhuǎn)換，即，當(dāng)有部分數(shù)據(jù)小于10時，采用公式。

人類T淋巴細胞表面具有綿羊紅細胞(SRBC)的受體，故能與SRBC結(jié)合形成花環(huán)，目前常用E花環(huán)；目前常用E花環(huán)形成試驗來檢測T淋巴細胞數(shù)量，作為了解人體細胞免疫功能狀態(tài)的指標(biāo)之一，總E花環(huán)（Et）試驗應(yīng)用最廣，反映T細胞活性的是活性花環(huán)試驗(Ea)。E-花環(huán)試驗作為體外測定細胞免疫方法之一，其形成百分率下降是細胞免疫功能降低的反映，臨床上已用于惡性腫瘤、白血病、自身免疫性疾病、免疫缺陷病、器官移植排斥反應(yīng)等方面的研究，作為了解這些疾病患者機體細胞免疫狀態(tài)、預(yù)后及療效觀察的指標(biāo)。T淋巴細胞玫瑰花環(huán)：左.（甲紫染色，800×)：可見2個被羊紅細胞包圍而形成玫瑰環(huán)的T淋巴細胞；右.（吖啶橙染色）：圖中可見3個染成橙黃色熒光的T淋巴細胞被羊紅細胞所包圍。淋巴細胞玫瑰花環(huán)電鏡照片ClassisOverThankYou黃成達編制黃成達編制dfT＝nk－1總變異MSedfe＝k(n－1)誤差F＝MSt/MSeMStdft＝k－1組間隨機模型固定模型期望均方(EMS)F值均方平方和自由度變異來源表7.14

組內(nèi)觀察值數(shù)目相等的單向分類資料的方差分析表

事實上，在前幾節(jié)中所舉的例子都是這種資料。這里，我們另舉一個例子，并且把整個計算過程系統(tǒng)地陳述一遍。以后在各種不同試驗設(shè)計的分析方法中，也都將按這樣的方式進行陳述。

例7.7

在一個塑料大棚內(nèi)進行番茄無土栽培試驗，全部采用同一品種，5種不同的培養(yǎng)液，每種培養(yǎng)液觀察4株。試驗指標(biāo)為單株產(chǎn)量，結(jié)果如表7.15所示，如果培養(yǎng)液的效應(yīng)為固定模型，試對5種培養(yǎng)液的效應(yīng)進行顯著性測驗。⑴數(shù)據(jù)整理：黃成達編制黃成達編制黃成達編制265520013898520總和20640016228021162221E3115376386812427333331D2812544315411230252730C24921623189626212425B2711664293610826283024A觀察值培養(yǎng)液表7.15

番茄無土栽培試驗的產(chǎn)量數(shù)據(jù)⑵平方和及自由度的分解：總自由度dfT

＝觀察值總數(shù)－1＝20－1＝19處理間自由度dft＝處理數(shù)－1＝5－1＝4誤差自由度dfe

＝dfT－dft＝19－4＝15

矯正數(shù)C.T.

＝總和平方／觀察值總數(shù)＝5202/20＝13520總平方和=13898-13520=378總平方和=各觀察值的平方之和－C.T.

處理間平方和=55200/4-13520=280⑷多重比較（以Duncan法為例）：①計算標(biāo)準(zhǔn)誤：

其中MSe為方差分析表中的誤差均方；

n是計算所比較的平均數(shù)時用到的觀察值數(shù)目。

②

查表并計算各種LSR值（誤差自由度dfe

=15）：黃成達編制5.854.234.583.3155.754.154.503.2545.584.044.373.1635.323.854.173.012LSR0.01LSR0.05SSR0.01SSR0.05g表7.17

查得的SSR值及各種LSR值的計算3.列梯形表進行比較：黃成達編制5.854.234.583.3155.754.154.503.2545.584.044.373.1635.323.854.173.012LSR0.01LSR0.05SSR0.01SSR0.05g表7.17

查得的SSR值及計算得到的LSR值黃成達編制黃成達編制20E4*24B37**27A148**28C347**11**31D平均數(shù)處理表7.18

多重比較的梯形表dft＝k-1黃成達編制黃成達編制黃成達編制SSTdfT總變異MSeSSedfe誤差F＝MSt/MSeMStSStdft組間隨機模型固定模型期望均方(EMS)F值MSSSdf變異來源表7.19

組內(nèi)觀察值數(shù)目不等的單向分類資料的方差分析表其中為各組樣本含量的調(diào)和平均數(shù)，即但是如果利用隨機模型對進行估計，即時，可能會出現(xiàn)方差估計值為負的奇怪現(xiàn)象。這時可以使用

代替進行計算。各組內(nèi)觀察值數(shù)目相等的試驗資料稱為平衡資料；各組內(nèi)觀察值數(shù)目不等的試驗資料稱為不平衡資料。利用平衡資料所得到的參數(shù)估計值是無偏的，利用不平衡資料所得到的參數(shù)估計值不是無偏的。一般地說，如果是經(jīng)過精心設(shè)計來安排試驗的話，應(yīng)盡可能安排平衡試驗，避免采用不平衡試驗設(shè)計。如果是進行一些野外調(diào)查，由于特殊條件的要求或限制，不得不采用不平衡設(shè)計時，仍應(yīng)特別注意估計結(jié)果的有偏性。例7.8調(diào)查四個水庫中的氯離子濃度，按水庫的水面面積大小取不同數(shù)目的樣本。數(shù)據(jù)如表7.20所示，如果各水庫的效應(yīng)為固定模型，試測驗各水庫間氯離子的濃度之間是否有顯著差異。表7.20

四個水庫氯離子濃度的數(shù)據(jù)資料水庫觀察值

Ⅰ12131415141614

Ⅱ910889109

Ⅲ92101112131211

Ⅳ141011121312黃成達編制黃成達編制3603371131328總和12864874726

Ⅳ10800884808

Ⅲ9567571637

Ⅱ1413721382987

Ⅰni水庫表7.20

四個水庫氯離子濃度的數(shù)據(jù)資料的整理⑴數(shù)據(jù)處理：⑵平方和及自由度的分解：總自由度dfT

=觀察值總數(shù)–1=28–1=27處理間自由度dft

=處理數(shù)–1=4–1=3誤差自由度dfe

=dfT–dft

=27–3=24矯正數(shù)C.T.=總和平方/觀察值總數(shù)=3132/28=3498.8929總平方和=3711－3498.8929=212.1071處理間平方和＝3603－3498.8929＝104.1071誤差平方和=212.1071－104.1071=108⑶列方差分析表：表7.21

例7.8的方差分析表變因自由度平方和均方FF0.05F0.01處理間3104.107134.70247.712**3.014.72誤差24108.00004.5000

總變異27212.1071

⑷多重比較（以Duncan法為例）：①

先計算樣本容量的調(diào)和平均數(shù)或：②

計算標(biāo)準(zhǔn)誤：表7.22查得的SSR值及各種LSR值的計算gSSR0.05SSR0.01LSR0.05LSR0.0122.923.962.3533.19233.074.112.4743.33743.154.242.5393.417③

查表并計算各種LSR值（誤差自由度dfe=24）如表7.22所示：a.第Ⅰ號水庫與第Ⅱ、Ⅲ號水庫的氯離子濃度有極顯著差異；b.第Ⅱ號水庫與第Ⅳ號水庫的氯離子濃度有顯著差異；c.其余各水庫的氯離子濃度之間沒有顯著差異。④

列梯形表進行比較：黃成達編制黃成達編制黃成達編制9Ⅱ110Ⅲ23*12Ⅳ24**5**14Ⅰ平均數(shù)處理表7.23

例7.8的多重比較梯形表⑤

作統(tǒng)計推斷：一、每處理組合內(nèi)只有一個觀察值的兩向分類資料如果資料中有兩個可控因素A和B，其中A有a個水平，B有b個水平，于是共有ab個處理組合。每個處理組合含1個觀察值，全部共有ab個觀察值。為了陳述上的方便，將數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)列出如表7.24所示。其中處理組合AiBj的觀察值記為xij；第i個A水平的觀察值之和及平均數(shù)分別記為，第j個B水平的觀察值之和及平均數(shù)分別記為，全部觀察值的總和及平均數(shù)分別記為黃成達編制黃成達編制黃成達編制黃成達編制黃成達編制…………xab…xaj…xa2xa1Aa………………………xib…xij…xi2xi1Ai………………………x2b…x2j…x22x21A2x1b…x1j…x12x11A1Bb…Bj…B2B1B因素(j)A因素(i)表7.24

每處理組合只含一個觀察值的兩向分類資料此類資料觀察值的數(shù)學(xué)模型為：(i＝1，2，…，a；j＝1，2，…，b)因此總變異分解為三大部分：A因素各水平間的變異B因素各水平間的變異剩余的變異(即誤差變異)。方差分析表如表7.25所示。表7.25

每處理組合內(nèi)只有一個觀察值的兩向分類資料的方差分析表變異來源自由度平方和均方期望均方(EMS)固定模型隨機模型混合模型A間dfASSAMSAB間dfBSSBMSB誤差DfeSSeMSe總變異dfTSSTdfA＝a－1dfB＝b－1dfe＝(a－1)(b－1)dfT＝ab－1表中列出了固定模型和隨機模型的期望均方，如果兩個處理效應(yīng)中有一個(如A)為固定，另一個(如B)為隨機，則其模型稱為(A固定B隨機的)混合模型(mixedmodel)。對各效應(yīng)進行F測驗時采用的F值計算公式應(yīng)視各項均方的期望值而定，例如在固定模型中，測驗A間差異時，F(xiàn)＝MSA/MSe，測驗A間差異時，F(xiàn)＝MSB

/MSe。例7.9

六個水稻品種(A1、A2、A3、A4、A5和A6)栽植在四種不同的土壤類型(B1、B2、B3和B4)中，產(chǎn)量數(shù)據(jù)如表7.26所示，如果品種和土壤類型都是固定效應(yīng)，試對資料進行適當(dāng)?shù)姆治?。黃成達編制黃成達編制黃成達編制6361.563.065.062.5151236937839037562.5063.2563.5061.7566.2560.75250253254247265243表7.26

例7.9的產(chǎn)量資料及數(shù)據(jù)整理59626564A664626562A561626764A460636460A365686765A260616260A1B4B3B2B1土壤類型（B）品種（A）⒈數(shù)據(jù)處理：如表7.26所示⒉

平方和及自由度的分解：總自由度dfT=觀察值總數(shù)–1=24–1=23品種間自由度dfA

=品種數(shù)–1=6–1=5土壤類型間自由度dfB

=土壤類型數(shù)–1=4–1=3誤差自由度dfe=dfT

–dfA–dfB=23–5–3=15誤差平方和=142–71–39=32⒊列方差分析表：變異來源自由度平方和均方FF0.05F0.01品種間57114.2006.656**2.9014.556土壤類型間33913.0006.094**3.2875.417誤差15322.133總變異23142表7.27

例7.9的方差分析表統(tǒng)計推斷：品種間差異極顯著；土壤類型間差異也極顯著。⒋多重比較在本例中，品種和土壤類型都是固定效應(yīng)；F測驗表明，品種間差異極顯著，因此要對不同品種的平均數(shù)進行多重比較；同時土壤類型間差異也極顯著，如果研究目的要求對土壤差異進行分析，也應(yīng)對它進行多重比較?，F(xiàn)以Duncan法為例說明之。⑴

對品種間差異的多重比較：①

計算標(biāo)準(zhǔn)誤：其中b為每品種的觀察值數(shù)目，在本題為土壤類型種類數(shù)。②

查Duncan表得SSR值并計算各種LSR值

(誤差自由度dfe

=15)如表7.28。表7.28

查得的SSR值及各種LSR值的計算gSSR0.05SSR0.01LSR0.05LSR0.0123.014.172.203.0533.164.372.313.1943.254.502.373.2953.314.582.423.3463.364.642.453.39③

列梯形表進行比較，如表7.29所示。60.75A11.0061.75A30.751.7562.50A60.751.502.50*63.25A50.251.001.752.75*63.50A42.75*3.00*3.75**4.50**5.50**66.25A2平均數(shù)品種

表7.29

對品種平均數(shù)的進行比較的梯形表④

根據(jù)多重比較做出統(tǒng)計推斷：品種A2的產(chǎn)量最高，并且與其它所有品種之間都有顯著或極顯著差異；b.品種A4與品種A2、品種A1間有顯著差異；c.品種A5與品種A1間有顯著差異；d.其余各品種之間沒有顯著差異。⑵

對土壤類型間差異的多重比較：①

計算標(biāo)準(zhǔn)誤：其中a為每土壤類型的觀察值數(shù)目，在本題為品種的數(shù)目。②

查Duncan表得SSR值并計算各種LSR值

(誤差自由度dfe

=15)如表7.30。表7.30

查得的SSR值及各種LSR值的計算gSSR0.05SSR0.01LSR0.05LSR0.0123.014.171.792.4933.164.371.882.6143.254.501.942.68③

列梯形表進行比較，如表7.31所示。61.5B4162.5B10.51.563.0B32*2.5*3.5**65.0B2平均數(shù)土壤類型表7.31

對土壤類型平均數(shù)進行比較的梯形表④

根據(jù)多重比較做出統(tǒng)計推斷：土壤類型B2與其它所有類型之間都有顯著或極顯著差異；b.其余土壤類型之間沒有顯著差異。如果土壤類型雖然是可控因素，但不是考察因素，那么，盡管土壤類型之間的F測驗顯著也可以不進行多重比較（因為你對它的差異與否不感興趣）。二、每處理組合內(nèi)有多于一個觀察值的兩向分類資料如果資料中有兩個可控因素A和B，其中A有a個水平，B有b個水平，于是共有ab個處理組合。每個處理組合含n個觀察值，全部共有abn個觀察值。當(dāng)每組合含有多于一個觀察值時，可以通過方差分析考察因素間的交互作用，我們記因素A和因素B之間的交互作用為(AB)?！瓁abn…xab2xab1…xajn…xaj2xaj1…xa2n…xa22xa11Aa……………………………………xibn…xib2xib1…xijn…xij2xij1…xi2n…xi22xi11Ai……………………………………………x2bn…x2b2x2b1…x2jn…x2j2x2j1…x22n…x222x211A2x1bn…x1b2x1b1…x1jn…x1j2x1j1…x11n…x112x111A1Bb…Bj

…B1B因素(j)A因素(i)表7.32

每處理組合內(nèi)含有n個觀察值的兩向分類資料為了陳述上的方便，將數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)列于表7.32。

xijk——處理組合AiBj的第k個觀察值記；上表其中：——A因素第i個水平的觀察值總和；——B因素第j個水平的觀察值的平均數(shù)；——B因素第j個水平的觀察值總和；——A因素第i個水平的觀察值的平均數(shù)；——全部觀察值的部和數(shù)；——全部觀察值的平均數(shù)。此類資料觀察值的數(shù)學(xué)模型為：（i＝1，2，…，a；j＝1，2，…，b；k＝1，2，…，n）從以上數(shù)學(xué)模型看出，對于這類資料的分析可以分兩步進行：⒈先按模型將總變異分解為處理(組合)間變異和誤差變異；這是一個單向分類的方差分析。方差分析表如表7.33所示。如果這一步的F測驗不顯著，就不必進行第二步。分析就此結(jié)束。表7.33

第一步的方差分析表：將總變異分解為處理(組合)間變異和誤差變異變異來源自由度平方和均方F值處理間dft＝ab－1SStMStMSt/MSe誤差dfe＝ab(n－1)SSeMSe總變異dfT＝abn－1SST⒉如果第一步的F測驗顯著，應(yīng)進一步按模型將處理變異分解為A因素各水平間的變異、B因素各水平間的變異和交互作用(AB)引起的變異。該步驟的方差分析表如表7.34所示，在第二步中的F測驗值如何計算需要視研究目的所確定的模型而定。表7.34

第二步的方差分析表：將處理間變異分解為A間變異、B間變異和交互作用變異來源自由度平方和均方F值A(chǔ)間dfA＝a－1SSAMSA視模型而確定B間dfB＝b－1SSBMSBAB互作dfAB＝(a－1)(b－1)SSABMSAB處理間dft＝ab－1SStMSt將以上兩步合并，得到總的方差分析表，如表7.35所示。表中列出了固定模型和隨機模型的期望均方。如果兩個處理效應(yīng)中有一個(例如A)為固定模型，另一個(例如B)為隨機模型，這時的模型稱為(A固定B隨機的)混合模型(mixedmodel)。如表7.35也列出了(A固定B隨機的)混合模型的期望均方。SSTdfT總變異MSeSSedfe誤差MSABSSABdfABAB互作MSBSSBdfBB間MSASSAdfAA間視模型而定MStSStdft處理間A固定B隨機隨機模型固定模型期望均方(EMS)F值均方平方和自由度變異來源

表7.35

每處理組合內(nèi)含有多于一個觀察值的兩向分類資料的總方差分析表21340例7.10

三個水稻品種(A1、A2、A3)種在四種不同的土壤類型(B1、B2、B3和B4)中，每個組合種了兩個小區(qū)。產(chǎn)量數(shù)據(jù)已經(jīng)過簡化，列于表7.36。試對資料進行適當(dāng)?shù)姆治?。⒈?shù)據(jù)處理：5.258.55.58.04.06.07.03.53.55.04.03.54.5146228912125664144196494910064498175014565130347298252952342541126171116812147710879847567354534979367426345觀察值B4B3B2B1B4B3B2B1B4B3B2B1合計A3A2A1處理組合表7.36

例7.10的產(chǎn)量資料及數(shù)據(jù)整理為了計算因素間的交互作用，將各處理組合之和列成AB二向表如表7.37所示。6.505.004.25表7.37AB二向表6.55.55.04.0408615211089900576146253338135419454601462126393330242704730521711168A3160043840121477A211562943410879A1B4B3B2B1土壤類型（B）品種（A）⒉第一步：將總變異分解為處理間變異和誤差變異兩部分全試驗中，有A因素有3個水平，B因素有4個水平，因此有12個處理組合。每處理組合有2個觀察值，全試驗共有24個觀察值。在第一步中，先利用表7.36的整理結(jié)果將12個處理當(dāng)作為單向分類資料進行方差分析。即將總變異分解為處理間變異和誤差變異。步驟如下：⑴平方和及自由度的分解：總自由度dfT=觀察值總數(shù)–1=24–1=23處理(組合)間自由度dft=處理數(shù)–1=12–1=11誤差自由度dfe=dfT

–dft

=23–11=12誤差平方和=88.5–69.5=19將各項自由度和平方和添入方差分析表得表7.38。⑵列方差分析表：變異來源自由度平方和均方FF0.05F0.01處理間1169.506.3183.99*2.7174.220誤差1219.001.583總變異2388.50表7.38

第一步的方差分析表如果處理間差異不顯著，結(jié)束分析過程。否則需要進行第二步，將處理間的變異進一步分解為A因素各水平間的變異、B因素各水平間的變異和交互作用(AB)引起的變異。⒊第二步：將處理間的變異分解為A間的變異、B間的變異和AB互作⑴平方和及自由度的分解：處理間自由度dft

=處理數(shù)–1=12–1=11A因素(品種間)自由度dfA

=品種數(shù)–1=3–1=2B因素(土壤類型間)自由度dfB=土壤類型數(shù)–1=4–1=3AB交互作用自由度dfAB=dft–dfA–dfB

=11–2–3=6或dfAB=dfA×dfB=2×3=6AB交互作用平方和=69.5–21–19.5=29將各項自由度和平方和添入方差分析表得表7.39。⑵列方差分析表：表7.39

第二步的方差分析表變異來源dfSSMSFF0.05F0.01A間221.0010.506.63*3.8856.927B間319.506.504.11*3.4905.953AB互作629.004.833.05*2.9964.821處理間1169.50將表7.38與表7.39合并的總的方差分析表，如表7.40所示。表7.40

例7.10的方差分析總表變異來源自由度平方和均方FF0.05F0.01處理間1169.506.3183.99*2.7174.220A間221.0010.506.63*3.8856.927B間319.506.504.11*3.4905.953AB互作629.004.833.05*2.9964.821誤差1219.001.583總變異2388.50請注意，由于本例中兩個因素都是固定模型，所以根據(jù)表7.35的期望均方可以確定，各個F值均采用誤差均方作分母進行計算。例如，對因素A進行測驗時，F(xiàn)＝10.5／1.583＝6.63，對因素B進行測驗時，F(xiàn)＝6.5／1.583＝4.11，等等。各項效應(yīng)均達到顯著差異，需要對它們進行多重比較。⑶多重比較(以Duncan法為例)①

對A因素(品種)各水平間差異的多重比較：a.計算標(biāo)準(zhǔn)誤：其中bn為每品種的觀察值數(shù)目。b.查Duncan表得SSR值并計算各種LSR值（誤差自由度dfe=12）：表7.41

查得的SSR值及各種LSR值的計算gSSR0.05SSR0.01LSR0.05LSR0.0123.084.321.371.9233.234.551.442.02c.列梯形表進行比較：黃成達編制4.25A10.755.00A21.50*2.25**6.50A3平均數(shù)品種表7.42

對品種平均數(shù)進行比較的梯形表表7.41

查得的SSR值及各種LSR值的計算gSSR0.05SSR0.01LSR0.05LSR0.0123.084.321.371.4433.234.551.922.02d.結(jié)論：

品種A3與其它所有品種之間都有顯著或極顯著差異；

品種A1與品種A2之間沒有顯著差異。②對B因素(土壤類型)間差異的多重比較：a.計算標(biāo)準(zhǔn)誤：其中an為每類土壤的觀察值數(shù)目。b.查Duncan表得SSR值并計算各種LSR值（誤差自由度dfe

=12）：表7.43

查得的SSR值及各種LSR值的計算gSSR0.05SSR0.01LSR0.05LSR0.0123.084.321.371.9233.234.551.442.0243.334.681.482.08c.列梯形表進行比較：黃成達編制4.0B115.0B20.51.5*5.5B31.01.5*2.5**6.5B4平均數(shù)土壤類型表7.44

對土壤類型平均數(shù)進行比較的梯形表表7.43

查得的SSR值及各種LSR值的計算gSSR0.05SSR0.01LSR0.05LSR0.0123.084.321.371.9233.234.551.442.0243.334.681.482.08d.統(tǒng)計結(jié)論：土壤類型B4與類型B1、B2之間有顯著或極顯著差異；

其余土壤類型之間沒有顯著差異。②關(guān)于對交互作用進行多重比較：本例中，A因素與B因素之間存在顯著的交互作用，表明因素A的最好水平(A3)與因素B的最好水平(B4)結(jié)合所得的處理組合(A3B4)并非一定是最好的處理組合；因素A的最差水平(A1)與因素B的最差水平(B1)結(jié)合所得的處理組合(A1B1)并非一定是最差的處理組合；這里最差的組合是A1B2、A2B1、A2B2。圖7.2展示了本例中因素A和因素B之間的交互作用。B1B2B3B4圖7.2

例7.10中因素AB間的互作A3A2A1至于哪些處理之間有顯著差異，可以通過對處理間的多重比較來測驗。利用表7.37計算出各處理組合的平均數(shù)列于表7.45中。表7.45各處理組合的平均數(shù)品種（A）土壤類型（B）B1B2B3B4A14.53.54.05.0A23.53.57.06.0A34.08.05.58.5下面對處理平均數(shù)進行多重比較：a.計算標(biāo)準(zhǔn)誤：其中n為每個處理組合的觀察值數(shù)目。b.查Duncan表得SSR值并計算各種LSR值（誤差自由度dfe=12）：表7.46查得的SSR值及各種LSR值的計算gSSR0.05SSR0.01LSR0.05LSR0.0123.084.322.743.8433.234.552.874.0443.334.682.964.1653.364.762.994.2463.404.843.034.3173.424.923.044.3883.444.963.064.4193.455.023.074.47c.列梯形表進行比較：表7.47

對處理組合平均數(shù)進行比較的梯形表序號處理組合平均數(shù)－⑨－⑧－⑦－⑥－⑤－④－③－②①A3B48.5

5**4.5**

4*

3.5*

3*2.51.50.5②A3B28.04.5**4*3.5*3*2.521③A2B37.03.5*32.521.51④A2B46.02.521.510.5⑤A3B35.521.510.5⑥A1B45.01.510.5⑦A1B14.510.5⑧A3B1、A1B34.00.5⑨A1B2,A2B1,A2B23.5表7.47

對處理組合平均數(shù)進行比較的標(biāo)記字母表序號處理組合平均數(shù)α=0.05α=0.01①A3B48.5aA②A3B28.0a

bA

B③A2B37.0a

bcA

BC④A2B46.0a

bcdA

BC⑤A3B35.5

bcdA

BC⑥A1B45.0

cdA

BC⑦A1B14.5

cdA

BC⑧A3B1、A1B34.0

cd

BC⑨A1B2,A2B1,A2B23.5

d

C標(biāo)記字母法d.統(tǒng)計結(jié)論：處理A3B4與A3B2、A2B3、A2B4等處理組合之間沒有顯著差異，但與其它處理組合之間均有顯著或極顯著差異；處理A3B2與A2B3、A2B4

、A3B3等處理組合之間沒有顯著差異，但與其它處理之間均有顯著或極顯著差異。A2B3與A1B2、A2B1、A2B2之間有顯著差異；其余處理組合之間沒有顯著差異。B1土壤類型：序號品種－③①－②①A14.51.0ns0.5ns②A34.00.5ns③A23.5B2土壤類型：序號品種①－②①A38.04.5**②A1，A23.5B3土壤類型：序號品種－③①－②①A27.03.0*1.5ns②A35.51.5ns③A14.0B4土壤類型：序號品種－③①－②①A38.53.5*2.5ns②A26.01.0ns③A15.0下面舉一個混合模型的例子。例7.11

為了了解4種不同的去雄方法（A1、A2、A3、A4）在對不同品種的水稻進行操作時的效果，從眾多的水稻品種中隨機抽取了5個品種（B1、B2、B3、B4、B5）參加試驗，共有20個處理組合。每個處理組合觀察3株。試驗結(jié)果如表7.47所示。試對結(jié)果進行適當(dāng)?shù)姆治?。?.48

四種去雄方法對不同品種的作用品種去雄方法A1A2A3A4B1434433345774B2245453747676B3435597374688B4434534656977B54565756868787.05.44.84.0182.659總變異1.45058.040誤差2.6652.0031.402ns2.03324.412互作3.8282.6064.759**6.927.64品種4.3132.83911.902**24.272.63方法2.3941.8534.523**6.558124.619處理F0.01F0.05FMSSSdf變異來源表7.49

例7.11的方差分析表本例中，四個去雄方法是要比較的對象，因此屬于固定效應(yīng)。五個品種只是從眾多的品種中抽取出來的一個樣本，因此屬于隨機效應(yīng)。這里要特別提醒的是，在象本例這樣的混合模型中，F(xiàn)值是如何計算的。

表7.35所提供的期望均方可知:在混合模型中，對AB互作的F測驗中的F值應(yīng)由算得。表7.49表明，AB互作不顯著，即各種品種對這四個方法的反應(yīng)是相同的。對因素B(品種)進行測驗：因為因素B是隨機模型，所以統(tǒng)計假設(shè)為:F值應(yīng)由算得。F測驗表明，如果要對進行估計，則。表7.35所提供的期望均方可知:對因素A

(四種去雄方法)的差異進行測驗：因為因素A是固定模型，所以統(tǒng)計假設(shè)為:F值應(yīng)由算得。本例中，F(xiàn)測驗顯著——不同去雄方法間有顯著差異，所以要對因素A的各個水平（去雄方法）進行多重比較。表7.35所提供的期望均方可知:a.計算標(biāo)準(zhǔn)誤：分母為bn為每去雄方法的觀察值數(shù)目。b.查Duncan表得SSR值并計算各種LSR值（使用自由度dfAB=12）：表7.50

查得的SSR值及各種LSR值的計算gSSR0.05SSR0.01LSR0.05LSR0.0123.084.321.1331.59033.234.551.1891.67443.334.681.2251.722分子應(yīng)為方差分析表中的MSAB

。c.列梯形表進行比較：4.0A10.8ns4.8A20.6ns1.4*5.4A31.6**2.2**3.0**7.0A4平均數(shù)去雄方法表7.51

對土壤類型平均數(shù)進行比較的梯形表表7.50

查得的SSR值及各種LSR值的計算GSSR0.05SSR0.01LSR0.05LSR0.0123.084.321.1331.59033.234.551.1891.67443.334.681.2251.722d.結(jié)論：

去雄方法品種A4與其它所有方法之間都有極顯著差異；

方法A3與品種A1之間有顯著差異，其它的方法之間沒有顯著差異。在植物遺傳學(xué)的研究中，常使用隨機模型，即從眾多植物品種（或品系或家系）中，隨機抽取若干(a)個作母本(A因素)，又隨機抽取若干(b)個作父本(B因素)，相互構(gòu)成ab個雜交組合，將其后代種在同一試驗地的若干重復(fù)中，收集數(shù)據(jù)進行分析以了解有關(guān)性狀的遺傳規(guī)律。遺傳上稱這種雜交方案為交叉式設(shè)計(crosseddesign)，其資料采用兩向分類的方差分析。關(guān)于方差分析在這方面的應(yīng)用，請參閱數(shù)量遺傳學(xué)的有關(guān)著作。第六節(jié)系統(tǒng)分組資料的方差分析

在動物學(xué)的試驗中，由于每一個母本不可能同時與若干個父本交配，所以不能采用交叉式設(shè)計的雜交方式，轉(zhuǎn)而使用另一種被稱為巢式設(shè)計（nesteddesign）的雜交方案。巢式設(shè)計的雜交方案以及相類似的試驗設(shè)計所取得到數(shù)據(jù)資料稱為系統(tǒng)分組的資料(hierarchalclassification)。本節(jié)只介紹最簡單的系統(tǒng)分組的資料的統(tǒng)計分析方法，更復(fù)雜的、更多層次的系統(tǒng)分組的資料的分析請參閱有關(guān)的參考文獻。系統(tǒng)分組的資料又稱這類資料為組內(nèi)又分亞組的單向分類資料。如果資料中分為a組(A)，每組又被分為b個亞組(B)，每個亞組含n個觀察值，全部共有abn個觀察值。為了陳述上的方便，將其數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)列于表7.52。……各組平均數(shù)

……各組總和……………………亞組平均數(shù)……………………亞組總和xibn…xijn…xi2nxi1n………………xibk…xijk…xi2kxi1k………………xib2…xij2…xi22xi12………xib1…xij1…xi21xi11…………

Bj(a)……Bb(i)…Bj(i)…B2(i)B1(i)……

Bj(1)…亞組號(B)Aa…Ai…A1組號(A)（i＝1，2，…，a；j＝1，2，…，b；k＝1，2，…，n）表7.52

巢式設(shè)計資料的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)系統(tǒng)分組資料觀察值的數(shù)學(xué)模型為：因此總變異分解為三大部分：組間A變異、組內(nèi)亞組間B(A)的變異和誤差E變異。方差分析表如表7.53所示。所有觀察值的總和及平均數(shù)為：SSTdfT總變異SSedfe誤差SSB(A)dfb(a)組內(nèi)亞組間SSAdfa組間A固定B隨機隨機模型固定模型期望均方(EMS)SSdf變異來源表7.53

巢式設(shè)計資料的方差分析

dfa=a－1dfb(a)=a(b－１)dfe=ab(n－1)dfT=abn－101例7.11

有4個雞群，每群各是一只公雞的后代（i=1,2,…,4）；每一群分為3個亞群（j=1,2,…,3）；每個亞群內(nèi)有5只雞（k=1,2,…,n），它們?nèi)际峭荒鸽u的后代。表7.54列出了這些雞100日齡時的體重（數(shù)據(jù)已簡化）。其中母雞編號B2(3)表示那是第3只公雞(A3)屬下的第2只母雞，它與其它公雞屬下的第2只母雞不是同一只母雞。⑴

試分析不同公雞的后代平均數(shù)之間的差異，為選擇優(yōu)良父本提供理論依據(jù)；⑵試分析同一公雞不同母雞的后代平均數(shù)之間的差異，為選擇優(yōu)良親本組合提供理論依據(jù)。4.26.24.42.63.6174428649435615212916252936639544.24.87.46.46.633.62.22.82.84.62.63.66142576136910241089225324121196196529169324130412228321022747802742421114370252243732331518111414231318576523334424387537222535496833243654655742333522688833122313子雞觀察值B3(4)B2(4)B1(4)B3(3)B2(3)B1(3)B3(2)B2(2)B1(2)B3(1)B2(1)B1(1)母雞號總和A4A3A2A1公雞號表7.54

某雞群100日齡體重數(shù)據(jù)資料的整理01⒈

數(shù)據(jù)處理：如表7.54所示。⒉平方和及自由度的分解：總自由度dfT

＝觀察值總數(shù)－1＝abn－1＝60－1＝59組間自由度dfa＝組數(shù)－1＝a－1＝4－1＝3組內(nèi)亞組間自由度dfb(a)

＝組數(shù)×(組內(nèi)亞組數(shù)－1)

＝a(b－1)＝4(3－1)＝8誤差自由度dfe

＝dfT－dfa

－dfb(a)

＝59－3－8＝48

組間平方和，即不同公雞的后代平均數(shù)之間的平方和：

亞組間平方和，即試驗中所有全同胞家系（同父同母的小雞）平均數(shù)之間平方和：

組內(nèi)亞組間平方和，即同一公雞內(nèi)的全同胞家系(不同母雞的后代)之間的平方和：

誤差平方和：⒊列方差分析表：

245.659總變異1.57575.648誤差2.9072.1385.206**8.265.68公雞內(nèi)母雞間4.2182.79822.1**34.8104.43公雞間F0.01F0.05FMSSSdf變異來源表7.55

例7.11的方差分析表請注意計算F值公式中的分母。如果兩個效應(yīng)都是固定模型，那么都應(yīng)該用誤差均方作為求F值公式中的分母，即對公雞間差異進行測驗時，F(xiàn)＝MSa/MSe=34.8／1.575＝22.1；對同一公雞下屬的不同母雞之間差異進行測驗時，F(xiàn)＝MSb(a)/MSe=8.2／1.575＝5.206。本例中，兩項效應(yīng)都具有極顯著差異。因為是固定模型，所以應(yīng)該對兩項都進行多重比較。01SSTdfT總變異SSedfe誤差SSb(a)dfb(a)組內(nèi)亞組間SSadfa組間A固定B隨機隨機模型固定模型期望均方(EMS)SSdf變異來源表7.53

巢式設(shè)計資料的方差分析

⑴

計算標(biāo)準(zhǔn)誤：其中bn為每一只公雞的后代總數(shù)目。⒋對不同父本平均數(shù)間差異進行多重比較

(以Duncan法為例）表7.56

查得的SSR值及各種LSR值的計算gSSR0.05SSR0.01LSR0.05LSR0.0122.853.790.9241.22833.003.960.9721.28343.094.071.0011.319⑵查Duncan表得SSR值并計算各種LSR值（誤差自由度dfe=48）：⑶列梯形表進行比較：2.6A21.0*3.6A10.81.8**4.4A31.8**2.6**3.6**6.2A4平均數(shù)公雞編號表7.57

不同公雞后代平均數(shù)之間的多重比較表7.56

查得的SSR值及各種LSR值的計算gSSR0.05SSR0.01LSR0.05LSR0.0122.853.790.9241.22833.003.960.9721.28343.094.071.0011.319d.統(tǒng)計結(jié)論：①公雞A3與公雞A1的后代之間沒有顯著差異；②其它各公雞的后代之間均有顯著或極顯著差異。⑴

計算標(biāo)準(zhǔn)誤：其中n為每一只母雞的后代數(shù)目。⒌對同一父本內(nèi)的不同母雞間平均數(shù)的差異進行多重比較：

(以Duncan法為例）⑵查Duncan表得SSR值并計算各種LSR值（誤差自由度dfe=48）：表7.58

查得的SSR值及各種LSR值的計算gSSR0.05SSR0.01LSR0.05LSR0.0122.853.791.6002.12733.003.961.6842.223⑶列梯形表進行比較：2.6B22.2B31ns3.6B10.6ns2.8B1和B21ns2*4.6B3－3母雞號－1－2母雞號公雞A2內(nèi)公雞A1內(nèi)ba表7.59

同一公雞不同母雞后代平均數(shù)之間的多重比較4.8B33B21.6ns6.4B10.6ns3.6B11.0ns2.6**7.4B23**3.6**6.6B3－1－3母雞號－1－2母雞號公雞A4內(nèi)公雞A3內(nèi)dcd.統(tǒng)計結(jié)論：①公雞A3內(nèi)的B3母雞的后代極顯著優(yōu)于另外兩只母雞的后代；②公雞A4內(nèi)的B2母雞的后代極顯著優(yōu)于B3母雞的后代；③其它母雞的后代之間均沒