課題學(xué)習(xí)最短路徑問題

第十三章

軸對(duì)稱13.4課題學(xué)習(xí)最短

路徑問題現(xiàn)在是1頁(yè)\一共有36頁(yè)\編輯于星期日1課堂講解運(yùn)用“垂線段最短”解決最短路徑問題運(yùn)用“兩點(diǎn)之間線段最短”解決最短路徑問題2課時(shí)流程逐點(diǎn)導(dǎo)講練課堂小結(jié)作業(yè)提升現(xiàn)在是2頁(yè)\一共有36頁(yè)\編輯于星期日如圖，要在燃?xì)夤艿纋上修建一個(gè)泵站，分別向A、B兩鎮(zhèn)供氣，泵站修在管道的什么地方，可使所用的輸氣管線最短？你能解答這個(gè)問題嗎？現(xiàn)在是3頁(yè)\一共有36頁(yè)\編輯于星期日知1－導(dǎo)1知識(shí)點(diǎn)運(yùn)用“垂線段最短”解決最短路徑問題【例1】體育課上，老師測(cè)量小明跳遠(yuǎn)成績(jī)的依據(jù)是(

)A．過直線上一點(diǎn)且垂直于這條直線的直線有且

只有一條B．兩點(diǎn)之間，線段最短

C．垂線段最短D．兩點(diǎn)確定一條直線C現(xiàn)在是4頁(yè)\一共有36頁(yè)\編輯于星期日知1－練如圖，l為河岸(視為直線)，要想開一條溝將河里的水從A處引到田地里去，則應(yīng)從河邊l的何處開口才能使水溝最短，找出開口處的位置并說明理由.1（來自《典中點(diǎn)》）現(xiàn)在是5頁(yè)\一共有36頁(yè)\編輯于星期日知2－導(dǎo)2知識(shí)點(diǎn)運(yùn)用“兩點(diǎn)之間線段最短”解決最短路徑問題如圖13.4-1，牧馬人從A地出發(fā)，到一條筆直的河邊飲馬，然后到B地.牧馬人到河邊的什么地方飲馬，可使所走的路徑最短？問

題（一）現(xiàn)在是6頁(yè)\一共有36頁(yè)\編輯于星期日知2－導(dǎo)如果把河邊l近似地看成一條直線（圖13.4-2)，C為直線l上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，那么，上面的問題可以轉(zhuǎn)化為：當(dāng)點(diǎn)C在l的什么位置時(shí)，AC與CB的和最小.由這個(gè)問題，我們可以聯(lián)想到下面的問題：現(xiàn)在是7頁(yè)\一共有36頁(yè)\編輯于星期日知2－導(dǎo)如圖13.4-3,點(diǎn)A,B分別是直線l異側(cè)的兩個(gè)點(diǎn)，如何在l上找到一個(gè)點(diǎn)，使得這個(gè)點(diǎn)到點(diǎn)A、點(diǎn)B的距離的和最短？AB··l利用已經(jīng)學(xué)過的知識(shí)，可以很容易地解決上面的問題，即:連接AB，與直線l相交于一點(diǎn)，根據(jù)“兩點(diǎn)之間，線段最短”，可知這個(gè)交點(diǎn)即為所求.圖13.4-3現(xiàn)在是8頁(yè)\一共有36頁(yè)\編輯于星期日知2－導(dǎo)現(xiàn)在，要解決的問題是：點(diǎn)A,B分別是直線l同側(cè)的兩個(gè)點(diǎn)，如何在l

上找到一個(gè)點(diǎn)，使得這個(gè)點(diǎn)到點(diǎn)A、點(diǎn)B的距離的和最短？如果我們能把點(diǎn)B移到l的另一側(cè)B'處，同時(shí)對(duì)直線l上的任一點(diǎn)C,都保持CB與CB'的長(zhǎng)度相等，就可以把問題轉(zhuǎn)化為“圖13.4-3”的情況，從而使新問題得到解決.你能利用軸對(duì)稱的有關(guān)知識(shí)，找到符合條件的點(diǎn)B'嗎？現(xiàn)在是9頁(yè)\一共有36頁(yè)\編輯于星期日知2－導(dǎo)如圖13.4-4,作出點(diǎn)B關(guān)于l的對(duì)稱點(diǎn)B'，利用軸對(duì)稱的性質(zhì)，可以得到CB'=CB.這樣，問題就轉(zhuǎn)化為：當(dāng)點(diǎn)C在l的什么位置時(shí)，AC與CB'的和最小？現(xiàn)在是10頁(yè)\一共有36頁(yè)\編輯于星期日知2－導(dǎo)如圖13.4-5,在連接A，B'兩點(diǎn)的線中，線段AB'最短.因此，線段AB'與直線l的交點(diǎn)C的位置即為所求.

為了證明點(diǎn)C的位置即為所求，我們不妨在直線上另外任取一點(diǎn)C'(圖13.4-5)，連接AC',BC',B'C'，證明AC+CB<AC'+C'B.你能完成這個(gè)證明嗎？現(xiàn)在是11頁(yè)\一共有36頁(yè)\編輯于星期日1.如圖13.4--1，點(diǎn)A，B分別是直線l異側(cè)的兩個(gè)點(diǎn)，

連接AB，與直線l相交于點(diǎn)P，根據(jù)“兩點(diǎn)之間，

線段最短”，可知點(diǎn)P為直線l上到點(diǎn)A、點(diǎn)B的距

離之和最短的點(diǎn)．圖13.4--1知2－導(dǎo)現(xiàn)在是12頁(yè)\一共有36頁(yè)\編輯于星期日2.如圖13.4--2，點(diǎn)A，B是直線l同側(cè)的兩個(gè)點(diǎn)，作點(diǎn)A關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)A′，連接A′B交l于點(diǎn)P，則PA

＋PB＝PA′＋PB＝A′B.由“兩點(diǎn)之間，線段最短”

可知，點(diǎn)P為直線l上到點(diǎn)A、點(diǎn)B的距離之和最短

的點(diǎn)．圖13.4--2知2－導(dǎo)現(xiàn)在是13頁(yè)\一共有36頁(yè)\編輯于星期日3．在解決最短路徑問題時(shí)，我們通常利用軸對(duì)稱、

平移等變換把問題轉(zhuǎn)化為容易解決的問題，從而

作出最短路徑．知2－導(dǎo)現(xiàn)在是14頁(yè)\一共有36頁(yè)\編輯于星期日某供電部門準(zhǔn)備在輸電主干線l上連接一個(gè)分支線路，分支點(diǎn)為M，同時(shí)向新落成的A，B兩個(gè)居民小區(qū)送電．(1)如果居民小區(qū)A，B在主干線l的兩旁，如圖13.4--3，那么分支點(diǎn)M在什么地方時(shí)總線路

最短？知2－講【例2】圖13.4--3（來自《點(diǎn)撥》）現(xiàn)在是15頁(yè)\一共有36頁(yè)\編輯于星期日知2－講(2)如果居民小區(qū)A，B在主干線l的同旁，如圖13.4--4，

那么分支點(diǎn)M在什么地方時(shí)總線路最短？

圖13.4--4（來自《點(diǎn)撥》）(1)連接AB，與l的交點(diǎn)即

為所求分支點(diǎn)M；(2)作點(diǎn)B關(guān)于l的對(duì)稱點(diǎn)B1，

連接AB1交l于點(diǎn)M，點(diǎn)M即為分支點(diǎn)．導(dǎo)引：

現(xiàn)在是16頁(yè)\一共有36頁(yè)\編輯于星期日(1)如圖13.4--3，連接AB，與l的交點(diǎn)即為所求分支

點(diǎn)M.(2)如圖13.4--4，作點(diǎn)B關(guān)于l的對(duì)稱點(diǎn)B1，連接AB1

交l于點(diǎn)M，點(diǎn)M即為所求分支點(diǎn)．知2－講解：

（來自《點(diǎn)撥》）圖13.4--3

圖13.4--4現(xiàn)在是17頁(yè)\一共有36頁(yè)\編輯于星期日

解決“一線＋兩點(diǎn)”型最短路徑問題的方法：當(dāng)兩點(diǎn)在直線異側(cè)時(shí)，連接兩點(diǎn)，與直線的交點(diǎn)即為所求作的點(diǎn)；當(dāng)兩點(diǎn)在直線同側(cè)時(shí)，作其中某一點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，對(duì)稱點(diǎn)與另一點(diǎn)的連線與直線的交點(diǎn)即為所求作的點(diǎn)．知2－講現(xiàn)在是18頁(yè)\一共有36頁(yè)\編輯于星期日知2－練如圖，A處是一名游泳者的位置，他要先游到岸邊l上的點(diǎn)P處喝水，再游到B處，但要使游泳的路程最短．試在圖中畫出點(diǎn)P的位置．1（來自《點(diǎn)撥》）現(xiàn)在是19頁(yè)\一共有36頁(yè)\編輯于星期日知2－練（來自《典中點(diǎn)》）(2015?黔南州)如圖，直線l外不重合的兩點(diǎn)A、B，在直線l上求作一點(diǎn)C，使得AC＋BC的長(zhǎng)度最短，作法為：①作點(diǎn)B關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)B′；②連接AB′與直線l相交于點(diǎn)C，則點(diǎn)C為所求作的點(diǎn)．在解決這個(gè)問題時(shí)沒有運(yùn)用到的知識(shí)或方法是(

)A．轉(zhuǎn)化思想B．三角形的兩邊之和大于第三邊C．兩點(diǎn)之間，線段最短D．三角形的一個(gè)外角大于與它不相鄰的任意一個(gè)內(nèi)角2現(xiàn)在是20頁(yè)\一共有36頁(yè)\編輯于星期日知2－練（來自《典中點(diǎn)》）如圖，直線l表示一條河，P，Q兩地相距10km，P，Q兩地到l的距離分別為2km，8km，欲在l上的某點(diǎn)M處修建一個(gè)水泵站，向P，Q兩地供水，現(xiàn)有如下四種鋪設(shè)方案，圖中實(shí)線表示鋪設(shè)的管道，則鋪設(shè)的管道最短的是(

)3現(xiàn)在是21頁(yè)\一共有36頁(yè)\編輯于星期日知2－練（來自《典中點(diǎn)》）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A(－2，4)，B(4，2)，在x軸上取一點(diǎn)P，使點(diǎn)P到點(diǎn)A和點(diǎn)B的距離之和最小，則點(diǎn)P的坐標(biāo)是(

)A．(－2，0)

B．(4，0)

C．(2，0)

D．(0，0)4現(xiàn)在是22頁(yè)\一共有36頁(yè)\編輯于星期日知2－講(造橋選址問題）如圖13.4-6,A和B兩地在一條河的兩岸，現(xiàn)要在河上造一座橋MN.橋造在何處可使從A到B的路徑AMNB最短？（假定河的兩岸是平行的直線，橋要與河垂直.）問

題（二）現(xiàn)在是23頁(yè)\一共有36頁(yè)\編輯于星期日我們可以把河的兩岸看成兩條平行線a和b(圖13.4-7)，N為直線b上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，MN垂直于直線b,交直線a于點(diǎn)M，這樣，上面的問題可以轉(zhuǎn)化為下面的問題：當(dāng)點(diǎn)N在直線b的什么位置時(shí)，AM+MN+NB最小？知2－講現(xiàn)在是24頁(yè)\一共有36頁(yè)\編輯于星期日知2－講由于河岸寬度是固定的，因此當(dāng)AM+NB最小時(shí)，AM+MN+NB最小.這樣，問題就進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為：當(dāng)點(diǎn)N在直線b的什么位置時(shí)，AM+NB最小？能否通過圖形的變化（軸對(duì)稱、平移等），把“圖13.4-7”的情況轉(zhuǎn)化為“圖13.4-3”的情況？如圖13.4-8,將AM沿與河岸垂直的方向平移，點(diǎn)M移動(dòng)到點(diǎn)N,點(diǎn)A

移動(dòng)到點(diǎn)A'，則AA'=MN，AM+NB=A'N+NB.這樣，問題就轉(zhuǎn)化為：當(dāng)點(diǎn)N在直線b的什么位置時(shí)，A'N+NB最小？現(xiàn)在是25頁(yè)\一共有36頁(yè)\編輯于星期日知2－講如圖13.4-9，在連接A'，B兩點(diǎn)的線中，線段A'B最短.因此線段A'B與直線b的交點(diǎn)N的位置即為所求，即在點(diǎn)N處造橋MN，所得路徑AMNB是最短的.現(xiàn)在是26頁(yè)\一共有36頁(yè)\編輯于星期日知2－講為了證明點(diǎn)N的位置即為所求，我們不妨在直線b上另外任意取一點(diǎn)N',過點(diǎn)N'作N'M'⊥a,垂足為M'連接AM'

，A'

N'，N'B,證明AM+MN+NB<AM'+M'N'+N'B,你能完成這個(gè)證明嗎？現(xiàn)在是27頁(yè)\一共有36頁(yè)\編輯于星期日在解決最短路徑問題時(shí)，我們通常利用軸對(duì)稱、平移等變化把已知問題轉(zhuǎn)化為容易解決的問題，從而作出最短路徑的選擇.現(xiàn)在是28頁(yè)\一共有36頁(yè)\編輯于星期日如圖13.4--5，牧馬營(yíng)地在點(diǎn)P處，每天牧馬人要趕著馬群先到草地a上吃草，再到河邊b飲水，最后回到營(yíng)地．請(qǐng)你設(shè)計(jì)一條放牧路線，使其所走的總路程最短．知2－講【例3】（來自《點(diǎn)撥》）圖13.4--5現(xiàn)在是29頁(yè)\一共有36頁(yè)\編輯于星期日要使其所走的總路程最短，可聯(lián)想到“兩點(diǎn)之間，線段最短”，因此需將三條線段轉(zhuǎn)化到一條線段上，為此作點(diǎn)P關(guān)于直線a的對(duì)稱點(diǎn)P1，作點(diǎn)P關(guān)于直線b的對(duì)稱點(diǎn)P2，連接P1P2，分別交直線a，b于點(diǎn)A，B，連接PA，PB，即得放牧所走的最短路線．知2－講（來自《點(diǎn)撥》）導(dǎo)引：

現(xiàn)在是30頁(yè)\一共有36頁(yè)\編輯于星期日如圖13.4--5，作點(diǎn)P關(guān)于直線a的對(duì)稱點(diǎn)P1，關(guān)于直線b的對(duì)稱點(diǎn)P2，連接P1P2，分別交直線a，b于點(diǎn)A，B，連接PA，PB.由軸對(duì)稱的性質(zhì)知，PA＝P1A，PB＝P2B，所以先到點(diǎn)A處吃草，再到點(diǎn)B處飲水，最后回到營(yíng)地，按這樣的路線放牧所走的總路程最短．知2－講解：

（來自《點(diǎn)撥》）現(xiàn)在是31頁(yè)\一共有36頁(yè)\編輯于星期日

解決“兩線＋一點(diǎn)”型最短路徑問題，要作兩次軸對(duì)稱，從而構(gòu)造出最短路徑．知2－講現(xiàn)在是32頁(yè)\一共有36頁(yè)\編輯于星期日知2－練（來自《點(diǎn)撥》）1為慶祝教師節(jié)，陽(yáng)光中學(xué)八年級(jí)(2)班舉行了一次文藝晚會(huì)，桌子擺成兩條線