二項(xiàng)式定理計(jì)數(shù)原理

二項(xiàng)式定理計(jì)數(shù)原理第1頁，共25頁，2023年，2月20日，星期日返回目錄

1.二項(xiàng)式定理的內(nèi)容

(a+b)n=

.

右邊的多項(xiàng)式叫做(a+b)n的

，其中的系數(shù)(r=0,1,…,n)叫做展開式的

，式中的第r+1項(xiàng)an-rbr叫做二項(xiàng)展開式的

，記作Tr+1=

(其中0≤r≤n,r∈N,n∈N*).二項(xiàng)展開式二項(xiàng)式系數(shù)通項(xiàng)第2頁，共25頁，2023年，2月20日，星期日2.二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)（1）對稱性與首末兩端“等距離”的兩個(gè)二項(xiàng)式系數(shù)相等，即

.

（2）增減性與最大值由知，當(dāng)k<

時(shí)，二項(xiàng)式系數(shù)是逐漸的

，由對稱性知它的后半部分是逐漸的

，且在中間取最大值.當(dāng)n是偶數(shù)時(shí)，中間的一項(xiàng)取得最大值；當(dāng)n是奇數(shù)時(shí)，中間的兩項(xiàng)

相等，且同時(shí)取得最大值.

（3）各二項(xiàng)式系數(shù)的和為2n，即

=2n.

（4）奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和等于偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和，即返回目錄

增大減小第3頁，共25頁，2023年，2月20日，星期日（1）的展開式中x5的系數(shù)為

.（2）若在(1+ax)5的展開式中x3的系數(shù)為-80,則a=

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考點(diǎn)一求二次展開式的特定項(xiàng)【分析】由通項(xiàng)公式列方程可得.第4頁，共25頁，2023年，2月20日，星期日【解析】（1）二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)為令8-=5,則r=2,∴T3=(-1)2··x5=28x5,∴x5的系數(shù)為28.

（2）在二項(xiàng)展開式中通項(xiàng)公式Tr+1=(ax)r=·ar·xr,

令r=3,得x3的系數(shù):·a3=-80,∴a3=-8,∴a=-2.返回目錄

第5頁，共25頁，2023年，2月20日，星期日【評析】（1）二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式反映出展開式在指數(shù)、項(xiàng)數(shù)、系數(shù)等方面的內(nèi)在聯(lián)系，因此能運(yùn)用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式求特定項(xiàng)、特定項(xiàng)的系數(shù)或指數(shù).

（2）求指定項(xiàng)的系數(shù)主要通過二項(xiàng)式定理的通項(xiàng)公式列方程求得，考查計(jì)算能力.返回目錄

第6頁，共25頁，2023年，2月20日，星期日若(x+)n展開式的二項(xiàng)式系數(shù)之和為64,則展開式的常數(shù)項(xiàng)為()A.10B.20C.30D.120B(由展開式的二項(xiàng)式系數(shù)之和為64,得2n=64,得n=6,則展開式中的第r+1項(xiàng)Tr+1=x6-r(x-1)r=x6-2r,令6-2r=0,得r=3.則展開式中的常數(shù)項(xiàng)為T4==20.故應(yīng)選B.)返回目錄

＊對應(yīng)演練＊B第7頁，共25頁，2023年，2月20日，星期日（1+2x）n的展開式中第6項(xiàng)與第7項(xiàng)的系數(shù)相等，求展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)和系數(shù)最大的項(xiàng).【分析】根據(jù)條件可求出n；再根據(jù)n的奇偶性，確定二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)；系數(shù)最大的項(xiàng)則由不等式組確定.返回目錄

考點(diǎn)二增減性與最值問題第8頁，共25頁，2023年，2月20日，星期日【解析】T6=(2x)5,T7=(2x)6,依題意有·25=·26n=8.∴(1+2x)8的展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為T5=(2x)4=1120x4,設(shè)第r+1項(xiàng)系數(shù)最大,則有

·2r≥·2r-1·2r≥·2r+1返回目錄

第9頁，共25頁，2023年，2月20日，星期日2(8-r+1)≥rr≤6r+1≥2(8-r)r≥5又∵r∈N，∴r=5或r=6,∴系數(shù)最大的項(xiàng)為T6=1792x5，T7=1792x6.返回目錄

5≤r≤6.第10頁，共25頁，2023年，2月20日，星期日【評析】①求二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)，要根據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，n為奇數(shù)時(shí)中間兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，n為偶數(shù)時(shí)中間一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大.②求展開式中系數(shù)最大項(xiàng)與求二項(xiàng)式系數(shù)最大項(xiàng)是不同的，需根據(jù)各項(xiàng)系數(shù)的正、負(fù)變化情況，一般采用列不等式組、解不等式組的方法.返回目錄

第11頁，共25頁，2023年，2月20日，星期日在(3x-2y)20的展開式中,求:(1)二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng);(2)系數(shù)絕對值最大的項(xiàng);(3)系數(shù)最大的項(xiàng).返回目錄

＊對應(yīng)演練＊第12頁，共25頁，2023年，2月20日，星期日(1)二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是第11項(xiàng),T11=310(-2)10x10y10=610x10y10.(2)設(shè)系數(shù)絕對值最大的項(xiàng)是第r+1項(xiàng),·320-r·2r≥·319-r·2r+1·320-r·2r≥·321-r·2r-1,3(r+1)≥2(20-r)2(21-r)≥3r,解得≤r≤.所以r=8.即T9=312·28·x12y8是系數(shù)絕對值最大的項(xiàng).返回目錄

于是化簡得第13頁，共25頁，2023年，2月20日，星期日(3)由于系數(shù)為正的項(xiàng)為奇數(shù)項(xiàng),故可設(shè)第2r-1項(xiàng)系數(shù)最大,于是

·322-2r·22r-2≥·324-2r·22r-4·322-2r·22r-2≥·320-2r·22r,10r2+143r-1077≤010r2+163r-924≥0.

解之得r=5,即2×5-1=9項(xiàng)系數(shù)最大.T9=·312·28·x12y8.返回目錄

化簡得第14頁，共25頁，2023年，2月20日，星期日設(shè)（2-x）100=a0+a1x+a2x2+…+a100x100，求下列各式的值：（1）a0;（2）a1+a2+…+a100;（3）a1+a3+a5+…+a99;（4）（a0+a2+…+a100）2-(a1+a3+…+a99)2.返回目錄

考點(diǎn)三利用賦值法求二項(xiàng)式系數(shù)和的有關(guān)問題【分析】利用二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì).第15頁，共25頁，2023年，2月20日，星期日【解析】（1）由(2-x)100展開式中的常數(shù)項(xiàng)為·2100，即a0=2100,或令x=0，則展開式可化為a0=2100.

（2）令x=1，可得

a0+a1+a2+…+a100=(2-)100，①∴a1+a2+…+a100=(2-)100-2100.返回目錄

第16頁，共25頁，2023年，2月20日，星期日（3）令x=-1,可得a0-a1+a2-a3+…+a100=(2+)100，②與x=1所得到的①聯(lián)立相減可得a1+a3+…+a99=.（4）原式=［(a0+a2+…+a100)+(a1+a3+…+a99)］［(a0+a2+…+a100)-(a1+a3+…+a99)］=(a0+a1+a2+…+a100)(a0-a1+a2-a3+…+a98-a99+a100)=(2-)100(2+)100=1.返回目錄

第17頁，共25頁，2023年，2月20日，星期日【評析】（1）求關(guān)于展開式中系數(shù)和的問題，往往根據(jù)展開式的特點(diǎn)賦給其中字母一些特殊的數(shù)，如1,-1,0,….

（2）一般地，對于多項(xiàng)式

g(x)=(a+bx)n=a0+a1x+…+anxn.g(x)的各項(xiàng)的系數(shù)和為g(1),g(x)的奇數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和為［g(1)+g(-1)］,g(x)的偶數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和為［g(1)-g(-1)］.返回目錄

第18頁，共25頁，2023年，2月20日，星期日設(shè)(1-3x)9=a0+a1x+a2x2+a3x3+…+a9x9,則|a0|+|a1|+|a2|+…+|a9|=（）A.29B.49C.39D.59B(由通項(xiàng)公式可知，(1-3x)9的展開式中含x的奇次冪的項(xiàng)的符號均為“-”，即a1,a3,…,a9均小于零.∴|a0|+|a1|+|a2|+…+|a9|=a0-a1+a2-…-a9.因而在(1-3x)9=a0+a1x+a2x2+…+a9x9中令x=-1，便可求出其值.即

|a0|+|a1|+|a2|+…+|a9|=［1-3(-1)］9=49.

故應(yīng)選B.)返回目錄

＊對應(yīng)演練＊第19頁，共25頁，2023年，2月20日，星期日求值：（1）2n+·2n-1×3+·2n-2×32+…+·2×3n-1+·3n;（2）2++2++…++2.返回目錄

考點(diǎn)四有關(guān)二項(xiàng)式的應(yīng)用【分析】構(gòu)造二項(xiàng)式，通過賦值法求值.【評析】與組合數(shù)有關(guān)的求值問題，解答過程大體上用兩個(gè)知識點(diǎn):①二項(xiàng)展開式的逆用（從右往左用）；②賦值法.第20頁，共25頁，2023年，2月20日，星期日【解析】（1）在二項(xiàng)展開式(a+b)n=an+an-1b+…+bn中，令a=2,b=3,得

2n+·2n-1×3+·2n-2×32+…+·2×3n-1+·3n=(2+3)n=5n.

（2）原式

=()+()=(1+1)2n+(1+1)2n=22n+22n-1=22n-1(2+1)=3×22n-1.返回目錄

第21頁，共25頁，2023年，2月20日，星期日證明：2≤(1+)n