上海市重點(diǎn)中學(xué)2022-2023學(xué)年高二下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題及參考答案

上海市重點(diǎn)中學(xué)高二期中考試數(shù)學(xué)試卷2023.04說明：（1）本場考試時(shí)間為120分鐘，總分150分；（2）請認(rèn)真答卷，并用規(guī)范文字書寫.一?填空題（本大題共12題，滿分54分，第1-6題每題4分，第7-12題每題5分）1.已知，則正整數(shù)__________.2.__________.3.函數(shù)的駐點(diǎn)為__________.4.的二項(xiàng)展開式中常數(shù)項(xiàng)是__________.5.函數(shù)的極大值為__________.6.已知男?女學(xué)生共有8人，若從男生中任選2人，從女生中任選1人，共有30種不同的選法，則女生的總?cè)藬?shù)為__________.7.已知函數(shù)，則__________.8.的二項(xiàng)展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)為__________.9.一場晩會(huì)共有5個(gè)唱歌節(jié)目和3個(gè)舞蹈節(jié)目，隨機(jī)排序形成一個(gè)節(jié)目單，則節(jié)目單中前3個(gè)節(jié)目有2個(gè)舞蹈節(jié)目的概率為__________.10.已知關(guān)于的不等式對任意恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________.11.若對任意恒成立，則__________.12.已知，其中，過分別作二次函數(shù)的切線，則兩條切線與軸圍成的三角形面積的最小值為__________.二?選擇題（本大題共4題，每題5分，共20分）13.在古典概率模型中，是樣本空間，是樣本點(diǎn)，是隨機(jī)事件，則下列表述正確的是（）A.B.C.D.14.已知為兩個(gè)隨機(jī)事件，則“為互斥事件”是“為對立事件”的（）A.充分非必要條件B.必要非充分條件C.充要條件D.非充分非必要條件15.下列關(guān)于排列數(shù)和組合數(shù)的計(jì)算中正確的是（）A.B.C.D.16.已知，則方程的解的組數(shù)為（）A.0B.1C.2D.無窮多個(gè)三?解答題（本大題共5題，共分）17.（14分）已知函數(shù).（1）求函數(shù)在處的切線方程；（2）若函數(shù)在上嚴(yán)格減，求實(shí)數(shù)的取值范圍.18.（14分）甲?乙兩人進(jìn)行乒乓球決賽，采用五局三勝制.對于每局比賽，甲獲勝的概率為，乙獲勝的概率為，且每局比賽的結(jié)果互相獨(dú)立.（1）在乒兵球比賽中，如果一方連勝最終獲得比賽的勝利，那么將其形象地稱之為“剃光頭”.求甲?乙的這場乒乓球決賽“剃光頭”的概率；（2）在乒乓球比賽中，如果實(shí)力較弱的一方最終獲得比賽的勝利，那么將其稱之為“爆冷門”，求甲?乙的這場乒乓球決賽“爆冷門”的概率.19.（14分）“得地率”是指可供人活動(dòng)的區(qū)域的占地面積與總占地面積之比.“得地率”越高，也就意味著人們可活動(dòng)的區(qū)域更大，因此在設(shè)計(jì)活動(dòng)場地時(shí)，通常會(huì)將“得地率”作為一個(gè)重要的指標(biāo)進(jìn)行考慮.上海某大型購物商場欲將地下一層的一塊半圓形空地改建為親子樂園，建造一個(gè)供親子游玩的海洋球池和兩個(gè)供人們休息和娛樂，且大小完全相同的休息區(qū).除海洋球池和休息區(qū)外的剩余空地全部用氣墊筑起“高墻”，以保護(hù)親子樂園中的人們.如圖所示，設(shè)半圓形空地的圓心為，半徑為為直徑，矩形海洋球池的頂點(diǎn)在上，頂點(diǎn)在半圓的圓周上.矩形休息區(qū)和的頂點(diǎn)在上，頂點(diǎn)在半圓的圓周上，頂點(diǎn)分別在線段上.已知，設(shè)，其中.（1）求當(dāng)時(shí)該親子樂園可供人活動(dòng)的區(qū)域面積，并求出此時(shí)的“得地率”（結(jié)果精確到）；（2）求當(dāng)為多大時(shí)，該親子樂園的“得地率”最大？20.（16分）已知橢圓的左?右焦點(diǎn)分別為.橢圓上有互異的且不在軸上的三點(diǎn)滿足直線經(jīng)過，直線經(jīng)過.（1）若橢圓的長軸長為4，離心率為，求的值；（2）若點(diǎn)的坐標(biāo)為的面積，求的值；（3）若，直線經(jīng)過點(diǎn)，求的坐標(biāo).21.（18分）已知定義在上的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，若對任意恒成立，則稱函數(shù)為“線性控制函數(shù)”.（1）判斷函數(shù)和是否為“線性控制函數(shù)”，并說明理由；（2）若函數(shù)為“線性控制函數(shù)”，且在上嚴(yán)格增，設(shè)為函數(shù)圖像上互異的兩點(diǎn)，設(shè)直線的斜率為，判斷命題“”的真假，并說明理由；（3）若函數(shù)為“線性控制函數(shù)”，且是以為周期的周期函數(shù)，證明：對任意都有.參考答案一?填空題（本大題共12題，滿分54分，第1-6題每題4分，第7-12題每題5分）1.【答案】32.【答案】4623.【答案】14.【答案】2405.【答案】6.【答案】2或37.【答案】8.【答案】9.【答案】10.【答案】11.【答案】679012.【答案】二?選擇題（本大題共4題，每題5分，共20分）13.【答案】A14.【答案】B15.【答案】C16.【答案】B三、解答題（本大題共5題，共14+14+14+16+18=76分）17.【答案】（1）函數(shù)在處的切線方程為（2）對任意恒成立故，解得故的取值范圍為.18.【答案】（1），故甲?乙的這場乒乓球決賽“剃光頭”的概率為.（2），故甲?乙的這場乒乓球決賽“爆冷門”的概率為.19.【答案】（1）當(dāng)時(shí)，設(shè)親子樂園的“得地率”為，故當(dāng)時(shí)該親子樂園可供人活動(dòng)的區(qū)域面積，此時(shí)的“得地率”為.（2）或（舍），故+0-極大值經(jīng)檢驗(yàn)，故當(dāng)時(shí)，該親子樂園的“得地率”最大.20.【參考答案】（1），故.（2）設(shè)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，故設(shè)直線的方程為解得或，故解得故，即.（3）已知，設(shè)，易知由于直線經(jīng)過，直線經(jīng)過，直線經(jīng)過故故是方程的兩個(gè)互異實(shí)根根據(jù)韋達(dá)定理易知（1）故是方程的兩個(gè)互異實(shí)根根據(jù)韋達(dá)定理易知（2）故是方程的兩個(gè)互異實(shí)根根據(jù)韋達(dá)定理易知（3）將（2）?（3）代入（1）可得化簡得，解得或（舍去）故，此時(shí)當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，綜上所述，的坐標(biāo)為或.21.【答案】（1），故是“線性控制函數(shù)”；，故不是“線性控制函數(shù)”.（2）設(shè)，其中由于在上嚴(yán)格增，故，因此由于為“線性控制函數(shù)”，故，