2021-2022學(xué)年福建省三明市南陽初級中學(xué)高二數(shù)學(xué)理月考試題含解析

2021-2022學(xué)年福建省三明市南陽初級中學(xué)高二數(shù)學(xué)理月考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有是一個符合題目要求的1.雙曲線中心在原點(diǎn)，且一個焦點(diǎn)為，點(diǎn)P位于該雙曲線上，線段PF1的中點(diǎn)坐標(biāo)為，則該雙曲線的方程是（

）

A.

B.

C.

D.參考答案：B略2.設(shè)函數(shù)f(x)=cos(x+)，則下列結(jié)論錯誤的是A.f(x)的一個周期為?2π B.y=f(x)的圖像關(guān)于直線x=對稱C.f(x+π)的一個零點(diǎn)為x= D.f(x)在(,π)單調(diào)遞減參考答案：Df(x)的最小正周期為2π，易知A正確；f＝cos＝cos3π＝－1，為f(x)的最小值，故B正確；∵f(x＋π)＝cos＝－cos，∴f＝－cos＝－cos＝0，故C正確；由于f＝cos＝cosπ＝－1，為f(x)的最小值，故f(x)在上不單調(diào)，故D錯誤．故選D.3.已知一個三棱錐的三視圖如右圖所示，其中俯視圖是等腰直角三角形，則該三棱錐的外接球的體積為A．

B．

C．

D．參考答案：A4.若＜＜0，則下列不等式：①a+b＜ab；②|a|＜|b|；③a＜b；④＞2中，正確不等式的序號是（）A．①② B．②③ C．③④ D．①②④參考答案：D【考點(diǎn)】不等式比較大小．【分析】若，則a＜0，b＜0，且a＞b則①a+b為負(fù)數(shù)，ab為正數(shù)；②絕對值的意義判斷，③賦值來處理；④借助于均值不等式來處理．【解答】解：若，則a＜0，b＜0，且a＞b則①a+b＜0，ab＞0，故①正確；②a＜0，b＜0，且a＞b，顯然|a|＜|b|，故②正確；③由②得a＞b，故③錯；④由于a＜0，b＜0，故＞0，＞0則+≥2=2（當(dāng)且僅當(dāng)=即a=b時取“=”）又a＞b，則+＞2，故④正確；故選：D．5.設(shè)是定義在R上的偶函數(shù)，當(dāng)時，，且，則不等式的解集為（

）

A．（－1，0）∪（1，+）

B．（－1，0）∪（0，1）

C．（－，－1）∪（1，+）

D．（－，－1）∪（0，1）參考答案：C略6.復(fù)數(shù)的值（

）A.-16

B.16

C.

D.參考答案：A7.圓上滿足條件“到直線的距離是到點(diǎn)的距離的倍”的點(diǎn)的個數(shù)為（

）A．0

B.1

C.2

D.4參考答案：C8.用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式“++…+＞（n＞2）”時的過程中，由n=k到n=k+1時，不等式的左邊（） A．增加了一項(xiàng) B．增加了兩項(xiàng) C．增加了兩項(xiàng)，又減少了一項(xiàng) D．增加了一項(xiàng)，又減少了一項(xiàng) 參考答案：C【考點(diǎn)】數(shù)學(xué)歸納法． 【專題】閱讀型． 【分析】本題考查的知識點(diǎn)是數(shù)學(xué)歸納法，觀察不等式“++…+＞（n＞2）左邊的各項(xiàng)，他們都是以開始，以項(xiàng)結(jié)束，共n項(xiàng)，當(dāng)由n=k到n=k+1時，項(xiàng)數(shù)也由k變到k+1時，但前邊少了一項(xiàng)，后面多了兩項(xiàng)，分析四個答案，即可求出結(jié)論． 【解答】解：， = 故選C 【點(diǎn)評】數(shù)學(xué)歸納法常常用來證明一個與自然數(shù)集N相關(guān)的性質(zhì)，其步驟為：設(shè)P（n）是關(guān)于自然數(shù)n的命題，若1）（奠基）P（n）在n=1時成立；2）（歸納）在P（k）（k為任意自然數(shù)）成立的假設(shè)下可以推出P（k+1）成立，則P（n）對一切自然數(shù)n都成立．9.利用反證法證明“若，則x=0且y=0”時，下列假設(shè)正確的是（

）A．x≠0且y≠0

B．x=0且y≠0C．x≠0或y≠0

D．x=0或y=0參考答案：C10.在4次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，事件A發(fā)生的概率相同，若事件A至少發(fā)生1次的概率為，則事件A在一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率為A. B. C. D.參考答案：A分析：可從事件的反面考慮，即事件A不發(fā)生的概率為，由此可易得結(jié)論．詳解：設(shè)事件A在一次試驗(yàn)中發(fā)生概率為，則，解得．故選A．點(diǎn)睛：在求“至少”、“至多”等事件的概率時，通常從事件的反而入手可能較簡單，如本題中“至少發(fā)生1次”的反面為“一次都不發(fā)生”，若本題求“至多發(fā)生3次”的概率，其反面是“至少發(fā)生4次”即“全發(fā)生”．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.命題“”的否定是

．參考答案：12.已知變量x，y滿足，則2x+y的最大值為．參考答案：8【考點(diǎn)】簡單線性規(guī)劃．【分析】作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域，設(shè)z=x+y，利用z的幾何意義，先求出z的最大值，即可得到結(jié)論．【解答】解：作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域如圖：設(shè)z=x+y，則y=﹣x+z，平移直線y=﹣x+z，由圖象可知當(dāng)直線y=﹣x+z經(jīng)過點(diǎn)A時y=﹣x+z的截距最大，此時z最大．由，解得，即A（1，2），代入z=x+y得z=1+2=3．即z=x+y最大值為3，∴2x+y的最大值為23=8．故答案為：8．【點(diǎn)評】本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用以及指數(shù)函數(shù)的運(yùn)算，利用z的幾何意義結(jié)合數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵．13.觀察如圖中各多邊形圖案，每個圖案均由若干個全等的正六邊形組成，記第n個圖案中正六邊形的個數(shù)是.由，，，…，可推出

．參考答案：

27114.直線上的點(diǎn)到圓C：的最近距離為

.參考答案：略15.一批產(chǎn)品中，有10件正品和5件次品，現(xiàn)對產(chǎn)品逐個進(jìn)行檢測，如果已檢測到前3次均為正品，則第4次檢測的產(chǎn)品仍為正品的概率是_____.參考答案：略16.橢圓的短軸長是2，一個焦點(diǎn)是，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是____________參考答案：17.已知集合A={x|a﹣1＜x＜2a+1}，B={x|0＜x＜1}，若A∩B=?，實(shí)數(shù)a的取值范圍是．參考答案：a≤或a≥2【考點(diǎn)】1I：子集與交集、并集運(yùn)算的轉(zhuǎn)換；1E：交集及其運(yùn)算．【分析】根據(jù)集合A，B，以及A∩B=?，分別判斷集合成立的條件，分情況討論得出a的范圍即可．【解答】解：∵A={x|a﹣1＜x＜2a+1}，B={x|0＜x＜1}，而A∩B=?，∴①a﹣1≥2a+1時，A=?，a≤﹣2②解得：﹣2＜a③解得：a≥2綜上，a的范圍為：a≤或a≥2故答案為：a≤或a≥2【點(diǎn)評】本題考查交集及其運(yùn)算，子集與交集補(bǔ)集的混合運(yùn)算，通過對集合關(guān)系的把握轉(zhuǎn)化為參數(shù)的范圍，屬于基礎(chǔ)題．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.如圖，在矩形ABCD中，已知AB=3，AD=1，E、F分別是AB的兩個三等分點(diǎn)，AC，DF相交于點(diǎn)G，建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，證明：EG⊥DF．參考答案：解：以A為原點(diǎn)，AB所在直線為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系．則A（0，0）．B（3，0）．C（3，1）．D（0，1）．E（1，0）．F（2，0）．由A（0，0）．C（3，1）知直線AC的方程為：x﹣3y=0，由D（0，1）．F（2，0）知直線DF的方程為：x+2y﹣2=0，由得故點(diǎn)G點(diǎn)的坐標(biāo)為．又點(diǎn)E的坐標(biāo)為（1，0），故kEG=2，所以kDF?kEG=﹣1．即證得：EG⊥DF略19.已知函數(shù)f（x）=ex﹣1+ax，a∈R．（1）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；（2）求證：ex﹣1≥x；（3）求證：當(dāng)a≥﹣2時，?x∈[1，+∞），f（x）+lnx≥a+1恒成立．參考答案：【考點(diǎn)】6E：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值；6B：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．【分析】（1）f'（x）=ex﹣1+a，分a≥0，a＜0討論；（2）令a=﹣1，由（1）得f（x）的增區(qū)間是（+1，+∞）單調(diào)遞減區(qū)間是（﹣∞，1），函數(shù)f（x）=ex﹣1﹣x的最小值為f（1）=0，即ex﹣1≥x；（3）f（x）+lnx≥a+1恒成立?f（x）+lnx﹣a﹣1≥0恒成立．令g（x）=f（x）+lnx﹣a﹣1=ex﹣1+a（x﹣1）+lnx﹣1，則g′（x）=ex﹣1++a．當(dāng)a≥﹣2時，g′（x）=ex﹣1++a≥x++a≥2=2+a≥0，得g（x）單調(diào)遞增即可證明．【解答】解：（1）f'（x）=ex﹣1+a，當(dāng)a≥0時，f'（x）＞0，∴函數(shù)f（x）在R上單調(diào)遞增，當(dāng)a＜0時，令f'（x）=0，即x=ln（﹣a）+1，f'（x）＞0，得x＞ln（﹣a）+1；f'（x）＜0，得x＜ln（﹣a）+1，所以，當(dāng)a≥0時．函數(shù)f（x）在R上單調(diào)遞增，當(dāng)a＜0時，f（x）的增區(qū)間是（ln（﹣a）+1，+∞）單調(diào)遞減區(qū)間是（﹣∞，ln（﹣a）+1），（2）證明：令a=﹣1，由（1）得f（x）的增區(qū)間是（+1，+∞）單調(diào)遞減區(qū)間是（﹣∞，1），函數(shù)f（x）=ex﹣1﹣x的最小值為f（1）=0，∴ex﹣1﹣x≥0即ex﹣1≥x；（3）證明：f（x）+lnx≥a+1恒成立?f（x）+lnx﹣a﹣1≥0恒成立．令g（x）=f（x）+lnx﹣a﹣1=ex﹣1+a（x﹣1）+lnx﹣1，則g′（x）=ex﹣1++a．當(dāng)a≥﹣2時，g′（x）=ex﹣1++a≥x++a≥2=2+a≥0，∴x∈[1，+∞）時，g（x）單調(diào)遞增，所以g（x）≥g（1）=0，即當(dāng)a≥﹣2時，?x∈[1，+∞），f（x）+lnx≥a+1恒成立．20.在平面直角坐標(biāo)系中中，點(diǎn)為動點(diǎn)，已知點(diǎn),直線與的斜率之積為定值（1）

求動點(diǎn)的軌跡E的方程；（2）

若F，過點(diǎn)F的直線交軌跡E于M,N兩點(diǎn)，以MN為對角線的正方形的第三個頂點(diǎn)恰在軸上，求直線的方程參考答案：解（1）由題意=，整理得，所以所求軌跡E的方程為.(2)當(dāng)直線與軸重合時，與軌跡E無交點(diǎn)，不合題意；當(dāng)直線與軸垂直時，：，此時M(),N,以MN為對角線的正方形的另外兩個頂點(diǎn)，不合題意；當(dāng)直線：，M，NMN的中點(diǎn)Q由消得所以Q，則線段MN的中垂線m的方程為即為，則直線m與軸的交點(diǎn)R為(0，)注意到以MN為對角線的正方形的第三個頂點(diǎn)恰在軸當(dāng)且僅當(dāng)時，即

即由，代入上式得綜上所求直線方程為或

略21.設(shè)函數(shù)f（x）=x3﹣x2+6x﹣a．（1）對于任意實(shí)數(shù)x，f′（x）≥m恒成立，求m的最大值；（2）若方程f（x）=0有且僅有一個實(shí)根，求a的取值范圍．參考答案：【考點(diǎn)】函數(shù)恒成立問題；一元二次方程的根的分布與系數(shù)的關(guān)系．【分析】（1）先求函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)，然后求出f'（x）的最小值，使f'（x）min≥m成立即可．（2）若欲使方程f（x）=0有且僅有一個實(shí)根，只需求出函數(shù)的極大值小于零，或求出函數(shù)的極小值大于零即可．【解答】解：（1）f′（x）=3x2﹣9x+6=3（x﹣1）（x﹣2），因?yàn)閤∈（﹣∞，+∞），f′（x）≥m，即3x2﹣9x+（6﹣m）≥0恒成立，所以△=81﹣12（6﹣m）≤0，得，即m的最大值為（2）因?yàn)楫?dāng)x＜1時，f′（x）＞0；當(dāng)1＜x＜2時，f′（x）＜0；當(dāng)x＞2時，f′（x）＞0；所以當(dāng)x=1時，f（x）取極大值；當(dāng)x=2時，f（x）取極小值f（2）=2﹣a；故當(dāng)f（2）＞0或f（1）＜0時，方程f（x）=0僅有一個實(shí)根、解得a＜2或22.已知p：“直線