2020概率論與數(shù)理統(tǒng)計期末考試題庫288題（含標(biāo)準(zhǔn)答案）

2020年概率論與數(shù)理統(tǒng)計期末測試復(fù)習(xí)題288題［含

答案］

一、選擇題

1.設(shè)6是一組樣本觀測值，則其標(biāo)準(zhǔn)差是（B）。

D.

n

2.己知某味精廠袋裝味精的重量X?N（〃，/），其中〃=15,4=0.09,技術(shù)革新

后，改用新機器包裝。抽查9個樣品，測定重量為（單位：克）

3.05.75.86.57.06.35.66.15.0

設(shè)零件長度X服從正態(tài)分布N（口，1）。求口的置信度為0.95的置信區(qū)間。

（已知：％.°（9）=2.26%,.。5（8）=0.3鶴邙

Ux-〃0

.解：由于零件的長度服從正態(tài)分布，所以C'P{|U|<“0.025}=695

9

（亍一”0,0259，亍+“0.025*）元'=/￡%=6

所以〃的置信區(qū)間為經(jīng)計算

〃的置信度為0.95的置信區(qū)間為（6-L96xR6+1.96xg即（5347,6,653）

4.設(shè)總體X的概率密度函數(shù)是

—00<x<+00

72兀5

西,々,天，’當(dāng)是一組樣本值，求參數(shù)b的最大似然估計？

解：似然函數(shù)

InL=ln（2^）--ln<J———Sx2

2'/22"i'

dlnLn1W2

=1---7SX-

dS---232327'

5.己知連續(xù)型隨機變量X的密度函數(shù)為

2x八

一、~7，x￡(°，。)

/(x)=W

0,其它

求(1)a；(2)分布函數(shù)F(x)；(3)P(-0.5<X<0.5),

解

(OM；*

⑵當(dāng)x<Wf,F(x)=「/(M=()

J-XI

當(dāng)04x<耐，F(xiàn)(i)=['fWt=f==

J-x*0乃一7-

當(dāng)刷"，F(xiàn)(x)=J1f(t)dt=\

0,x<0

故F(x)=\—,0<x<^

1,X>7t

1

(3)P(-0.5<X<0.5)=F(0.5)—F(-0.5)=4乃之

6.已知連續(xù)型隨機變量X的分布函數(shù)為

F(x)=A+Barctanx

求(1)A,B：(2)密度函數(shù)f(x)；(3)P(KX<2)O

7C

(1)limF(x)=A+-B=l

XT+QO2

兀

limF(x)=A——3=0

XT-82

解.A=1/2,B=1/71

(2)

/*)=r(x)=]

乃(1+x)

—arctan2

(3)P(0<X<2)=F(2)—F(0)=萬

7.若A與B對立事件，則下列錯誤的為(A)。

AP(AB)=P(A)P(B)DP(A+B)=1「P(A+B)=P(A)+P(B)

A.D,L.

P(AB)=0

8.已知連續(xù)型隨機變量X的概率密度為

f2x,xe(O,A)

""=1。，其它

求(1)A；(2)分布函數(shù)F(x)；(3)P(-O.5<X<1),)

(1)J于(x)dx-￡Ixdx=A2=1

解：A=1

(2)當(dāng)x<0時，F(xiàn)(x)=['f(t)dt=0

J-oo

當(dāng)0Kx<1時，F(xiàn)(x)=J=￡2tdt=x2

當(dāng)x21時，F(xiàn)(x)=['f(t)dt=l

J-30

0,x<0

故F(x)=<x2,0<x<l

1,x>1

(3)P(-0.5<X<l)=F(1)—F(-0.5)=l

9.若E(XD=E(X)E(y),則(D).

A.x和y相互獨立B.x與y不相關(guān)c.D{XY)=D(X}D(Y)D

D(X+Y)=D(X)+D(Y)

10.設(shè)①(“)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)，

x,”，件:發(fā)生L-y丫v

[(),i_r則。且P(A)=0.1,X],X?,…,X]oo相互獨

100

y=￡x；

立。令/=|,則由中心極限定理知y的分布函數(shù)/(〉)近似于(B)。

①H

A.①(y)B3c①(3y+l°)D①(9y+l°)

11.甲.乙.丙三臺機床加工一批同一種零件，各機床加工的零件數(shù)量之比為5：3：2,各機

床所加工的零件合格率依次為94%,90%,95%?，F(xiàn)從加工好的整批零件中隨機抽查一

個，發(fā)現(xiàn)是廢品，判斷它是由甲機床加工的概率。

解設(shè)A,42,表示由甲乙丙三機床加工，B表示此產(chǎn)品為廢品。（2分）

則所求事件的概率為

P(A)P(BI4)

rai⑴--3-x0.06

23

/=1=0.5x0.06+0.3x0.10+0.2x0.057

答：此廢品是甲機床加工概率為3/7。

12.設(shè)（X“X2’…，X“）為總體N（l,22）的一個樣本，文為樣本均值，則下列結(jié)論中正

確的是（D）。

1〃

X-]2WJ)

~/(〃)-￡(X,.-I)~F(n,l).S-

2/Vrt4

A.B.i=lCD.

-1)2~/(")

4,=1

13.若A.B相互獨立，則下列式子成立的為(A)。

AP(AB)=P(A)P(B)BP(AB)=0cP(A\B)=P(B\A)D

P(A\B)=P(B)

14.一個機床有1/3的時間加工零件A,其余時間加工零件Bo加工零件A時停機的概率

是0.3,加工零件A時停機的概率是0.4o求（1）該機床停機的概率；（2）若該機床已停

機，求它是在加工零件A時發(fā)生停機的概率。

解：設(shè)G,表示機床在加工零件A或B,D表示機床停機。

（1）機床停機夫的概率為

P（8）=P（G）7（。?）+Pg）P（DI4）=gX+1*04=9

（2）機床停機時正加工零件A的概率為

30

展46

15.已知隨機向量(X,Y)的協(xié)差矩陣V為V69J

計算隨機向量(X+Y,X—Y)的協(xié)差矩陣(課本116頁26題)

解：DX=4,DY=9,C0V(X,Y)=6

D(X+Y)=DX+DY+2COV(X,Y)=25

D(X-Y)=DX+DY-2COV(X,Y)=1

COV(X+Y,X-Y)=DX-DY=-5

產(chǎn).5]

故(X+YX—Y)的協(xié)差矩陣(一51)

16.已知隨機變量X的概率密度為/x（x）,令y=-2X+3,則Y的概率密度4（V）為

(A)?

A."」y—3D.”)

)BC

2-亞（-苧

1,事件A發(fā)生

Xj—i=l,2,…，100,

0,否則

17.設(shè)①（X）為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)，且

y-10t0xi

P(A)=0.9,X|，X2,…，X]相互獨立。令

0G,則由中心極限定理知y的分布

函數(shù)廠（）'）近似于

(B)?

y-90①口

A①⑴B①'j

3c.^-v-90)D.9

18.對任意兩個事件A和8,若P(AB)=0,則(D)。

A.B.AB=。CP(A)P(8)=0DP(A-B)=P(A)

19.連續(xù)型隨機變量X的密度函數(shù)f（x）必滿足條件（C）。

A.0</（x）<lB.在定義域內(nèi)單調(diào)不減

C.\+/f（x）dx=\D.lim/（x）=1

20.設(shè)X1，、2是任意兩個互相獨立的連續(xù)型隨機變量，它們的概率密度分別為工（幻和

八（x）,分布函數(shù)分別為耳（X）和「2（X）,則（B）O

A,/（“）+辦（*）必為密度函數(shù)B,必為分布函數(shù)

C,6(*)+尸2。)必為分布函數(shù)D,力(x>/2(x)必為密度函數(shù)

21.設(shè)隨機事件A.B互不相容，P(A)=p,P(B)=q,則P(M)=(C)?

A.(i-p)。B.pqc.qD.P

'9—6、

—66

22.已知隨機向量(X,Y)的協(xié)方差矩陣V為10°)

求隨機向量(X—Y,X+Y)的協(xié)方差矩陣與相關(guān)系數(shù)矩陣。

解：D(X-Y)=DX+DY-2Cov(X,Y)=9+6-2*(-6)=27

D(X+Y)=DX+DY+2Cov(X,Y)=9+6+2*(-6)=3

Cov(X-Y,X+Y)=DX-DY=9-6=3

_c—(x-y,x+v)_3_］_

Px-Y-x+Y~j￡>(x-y)jr>(x+y)-V27*V3-3

z、fi1

，273)3

33-1

所以，(X—Y,X+Y)的協(xié)方差矩陣與相關(guān)系數(shù)矩陣分別為1,,)和13

23.設(shè)隨機事件A.B互不相容，P(A)=p,P(B)=q,則P(M)=(c)o

A.(i-p)qB.pqc.qD.P

24.設(shè)隨機變量X在區(qū)間［1,2］上服從均勻分布，求Y=e-的概率密度f(y)。

1

［答案：當(dāng)時，心)=2〉，當(dāng)y在其他范圍內(nèi)取值時，f(y)=o.］

25.若A與B對立事件，則下列錯誤的為(A)。

AP(A8)=P(A)P(B)B.P(A+B)=1cP(A+=P(A)+P(B)D

P(A8)=0

26.在假設(shè)檢驗中，下列說法錯誤的是(C)。

A.&真時拒絕H<稱為犯第二類錯誤。B.乩不真時接受H<稱為犯第一類錯誤。

C設(shè)°｛拒絕“0?真)=&，°｛接受“0I“0不真｝=,，則a變大時夕變小。

D.的意義同(C),當(dāng)樣本容量一定時，口變大時則萬變小。

27.：o2未知，求u的置信度為1-a置信區(qū)間

(X-Q(〃—I)-/=，X+t{n-1)—

yjn7na

3：求O2置信度為1-a的置信區(qū)間

(5-1*2(n-l)S2

X)X7—(n-1)

28.設(shè)離散型隨機變量的概率分布為10,%=0，1，2,3,則E(X)=

(B)。

A.1.8B.2C.2.2D.2.4

29.設(shè)總體X的數(shù)學(xué)期望EX=U,方差DX=o2,XI,X2,X3,X4是來自總體X的簡

單隨機樣本，則下列口的估計量中最有效的是(D)

A.-X,+-X,+-X,+-X,B.lx.+-X,+-X,

6,6-3333313233

C.'|'X|+'乂2-gXs-D.+；X4

30.若隨機事件A與8相互獨立，則P(A+B)=(B)o

AP(A)+P(B)B.P(A)+P(B)-P(A)P(8)cP(A)P(B)

P(A)+P(B)

31.某廠生產(chǎn)某種零件，在正常生產(chǎn)的情況下，這種零件的軸長服從正態(tài)分布，均值為

0.13厘米。若從某日生產(chǎn)的這種零件中任取10件，測量后得元=°146

厘米，S=0.016厘米。問該日生產(chǎn)得零件得平均軸長是否與往日一樣？(a=0.05)

(同步52頁四.2)【不一樣】

32.隨機抽取某種炮彈9發(fā)做實驗，測得炮口速度的樣本標(biāo)準(zhǔn)差S=3(m/s),設(shè)炮口速度服

從正態(tài)分布，求這種炮彈的炮口速度的方差b?的置信度為0.95的置信區(qū)間。

222

(已知：Z0.025(8)=17.535,ZO.975(8)=2.18；%。二⑼=19.02,Zo.975(9)=2.7)

因為炮口速度服從正態(tài)分布，所以

u/_(n-1)S^2Z1、

F一~%()P{&-(8)VWV%W2(8)}=()-95

(n-l)S2(?-l)S2

標(biāo)的置信區(qū)間為：昧。25(〃F必975("一)

(8x98x9)

b?的置信度0.95的置信區(qū)間為〔17.535'2.18()1即(4.106,33.028)

33.拋擲3枚均勻?qū)ΨQ的硬幣，恰好有兩枚正面向上的概率是

O

(A)0,125,(B)0.25,(C)0.375,(D)0.5

34.某切割機在正常工作時，切割得每段金屬棒長服從正態(tài)分布，且其平均長度為

10.5cm,標(biāo)準(zhǔn)差為0.15cm。今從一批產(chǎn)品中隨機抽取16段進(jìn)行測量，計算平均長度為

=10.48cmo假設(shè)方差不變，問在々=0?05顯著性水平下，該切割機工作是否正常？

(已知：foo5(16)=2.12/oo5(15)=2.131,Uom5=1.960)

解：待檢驗的假設(shè)為"°：〃=1°5選擇統(tǒng)計量/品當(dāng)”。成立時，U?

N(0,l)P[\U\>w0025}=0.05取拒絕域w={?。>L960}

IIx-n10.48-10.58

\U\=;-二---一一一，二——=

由已知⑼CO接受“。，即認(rèn)為切割機工作正

35.已知隨機向量(X,Y)的協(xié)方差矩陣V為'

求隨機向量(X+Y,X-Y)的協(xié)方差矩陣與相關(guān)系數(shù)矩陣。

解：D(X+Y尸DX+DY+2Cov(X,Y)=7+9+2*6=28

D(X-Y)=DX+DY-2Cov(X,Y)=7+9-2*6=4

Cov(X+Y,X-Y)=DX-DY=7-9=-2

Cov(X+Y,X-Y)

Px+Y'x-Y—gx+Y)gX-Y)-V28*V4-V28

(28-2、

所以，(X+Y,X—Y)的協(xié)方差矩陣與相關(guān)系數(shù)矩陣分別為'.2”'4'和

G/

V28

1

IV28

36.設(shè)隨機事件A與8互不相容，且P(A)>P(B)>0,則(口)。

AP(A)=1—P(8)B.=P(A)P(B)cP(AuB)=lD

P(AB)=1

37.設(shè)隨機向量(X,Y)聯(lián)合密度為

6x,0<x<y<1;

V

f(x,y)=1°'其它.

(1)求(X,Y)分別關(guān)于X和Y的邊緣概率密度fX(x),fY(y)；

(2)判斷X,Y是否獨立，并說明理由。

解：(1)當(dāng)x<0或x>l時，fX(x)=O；

當(dāng)。WxW1時，fX(x)=匚小'加46皿=6x(17).

6x-6x2,0<x<1,

V

因此，(X,Y)關(guān)于X的邊緣概率密度fX(x)=10'其匕.

當(dāng)y<0或y>l時，fY(y)=O；

[f(x,y)dx-16xdx-3x2R=3y2.

當(dāng)OWyWl時，fY(y)=Je八"Jo，0,

3y2,0<y<l,

V

因此，(X,Y)關(guān)于Y的邊緣概率密度fY(y)=10'其它.

(2)因為f(l/2,l/2)=3/2,而fX(l/2)fY(l/2)=(3/2)*(3/4)=9/8Wf(l/2,1/2),

所以，X與Y不獨立。

38.設(shè)x與y相互獨立，且x服從4=3的指數(shù)分布，y服從4=4的指數(shù)分布，試求:

(1)(x,y)聯(lián)合概率密度與聯(lián)合分布函數(shù)：⑵p(x<i,y<i)；

⑶(X,r)在D={(X，加>。，y>0,3x+4"3}取值的概率。

解：(1)依題知

3e~3xx>0Ze』',y>0

fxM=V4(y)=

其他I0,其他

所以(x,y)聯(lián)合概率密度為

'⑵YE,尤>0,y>0

/(x,y)=>

o,其他

當(dāng)x>0,y>0時，有

F(x,y)=[:力，12"3i，ds=(1-e-3x)(l-e-4y)

所以(x，y)聯(lián)合分布函數(shù)

e^Xl-e-4'),x>0,y>0;

0,其他

34

(2)P(X<1；<1)=F(l,l)=(l-e-)(l-e-)；

:F12e-3i'dy=i—4e-3

(3)P((X,y)e0)=工公

39.某廠由甲.乙.丙三個車間生產(chǎn)同一種產(chǎn)品，它們的產(chǎn)量之比為3：2：1,各車間產(chǎn)品的

不合格率依次為8%,9%,12%?，F(xiàn)從該廠產(chǎn)品中任意抽取一件，求：(1)取到不合格產(chǎn)

品的概率；(2)若取到的是不合格品，求它是由甲車間生產(chǎn)的概率。(同步45頁三.1)

解：設(shè)Al,A2,A3分別表示產(chǎn)品由甲.乙.丙車間生產(chǎn)，B表示產(chǎn)品不合格，則Al,A2,

A3為一個完備事件組。P(Al)=l/2,P(A2)=l/3,P(A3)=l/6,

P(B|Al)=0.08,P(B|A2)=0.09,P(B|A3)=0.12。

由全概率公式P(B)=P(A1)P(B|Al)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3)=0.09

由貝葉斯公式：P(A11B)=P(A1B)/P(B)=4/9

40.設(shè)A,B為隨機事件，P(B)>0,尸(A|B)=1,則必有(A)。

AP(AuB)=P(A)BA^BC.P(A)=P⑻口./人約=P(A)

41.正常人的脈搏平均為72次/分，今對某種疾病患者9人，測得其脈搏為(次/分)：

42.設(shè)①(幻為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)，

fl,事件A發(fā)生；八八

X.=<_,i=l,2,…，10(),〃““

則。且P(A)=0.1,X],X?,…,XIOQ相互獨

100

y=￡X：

立。令修，則由中心極限定理知丫的分布函數(shù)/⑶)近似于(B)。

中(口)

A.①(y)B.3c①(3)'+l°)D①(9y+l°)

43.工廠生產(chǎn)一種零件,其口徑X(單位:毫米)服從正態(tài)分布N(〃，b2),現(xiàn)從某日生產(chǎn)的零件

中隨機抽出9個，分別測得其口徑如下：

44.設(shè)①(X)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)，

vfl,事件A發(fā)生.

X,=<一i2=1,2,???,九,

口人且尸(A)=p,XpX2，,X“相互獨

Y=tXi

立。令汩，則由中心極限定理知丫的分布函數(shù),(>)近似于(B)。

①(廠秋)①(上口)

A.①(y)B.P)c.①(3一"〃)D.〃PQ-P)

45.連續(xù)型隨機變量X的密度函數(shù)f(x)必滿足條件(C)。

A.0</(x)<lB.在定義域內(nèi)單調(diào)不減

C.ff［x}dx=1D.lim/(x)=l

J-*?XT+OO

46.設(shè)隨機變量X,Y相互獨立，且均服從［0,1］上的均勻分布，則服從均勻分布的是

(B)o

A.XYB.(X,Y)C.X—YD.X+Y

fl,事件A發(fā)生

X,={7=1,2,…，100,

47.設(shè)①(幻為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)，1°'百貝I」且

100

丫=2X,

P(A)=0.6,X|,X2,…，Xioo相互獨立。令,.=|則由中心極限定理知y的分布

函數(shù)/(>)近似于(B)。

,zy—60v—60

A.①(y)B,V24c.①(y-60)D.24'

48.已知連續(xù)型隨機變量X的分布函數(shù)為

Qx<0

F(x)=<A^x,0<x<1

1,X>1

求(1)A；(2)密度函數(shù)f(x)；(3)P(0<X<0.25)?

解

(Fx=A=

I->l

上

(2)

1

<x<

-2-Jx'

0,其他

(3)P(0<X<0.25)=1/2

49.615.114.914.815.215.114.815.014.7

若己知該天產(chǎn)品直徑的方差不變，試找出平均直徑〃的置信度為0.95的置信區(qū)間。

(已知：%05(9)=2.262,(8)=2.306,Nogs=1960)

U=^—^-N(0

解：由于滾珠的直徑X服從正態(tài)分布，所以

口1。1</必}=0-95

9

(T_

，X+40.025經(jīng)計算合x=14.911

所以〃的置信區(qū)間為:

〃的置信度為0.95的置信區(qū)間為

(14.911-l.96x零,14.911+1.96x今

B|J(14.765,15.057)

50.設(shè)某校女生的身高服從正態(tài)分布，今從該校某班中隨機抽取9名女生，測得數(shù)據(jù)經(jīng)計

算如下：元=162.67cm,s=4.20cm。求該校女生身高方差人的置信度為0.95的置信區(qū)

間。

222

(已知:Zo.o25(8)=17.535,ZO975(8)=2.18;%。皿?⑼=19.02,Zo.975(9)=2.7)

解：因為學(xué)生身高服從正態(tài)分布，所以

2/八

Z22

~~()P{Z0,025(8)<IV<Z0,975(8)}=0.95

(n-l)S2(?-l)S2

"的置信區(qū)間為：1為。。25(〃-1)力。.975(〃-1)1人的置信度0.95的置信區(qū)間為

’8x4.228x4.22、

、17.535，2.180)即(8.048,64.734)

51.若事件A'4兩兩獨立，則下列結(jié)論成立的是（B）。

AA，4,4相互獨立B.4，4,4兩兩獨立

cP（A44）=P（A）P（A2）P（4）D.4相互獨立

52.某人外出可以乘坐飛機.火車.輪船.汽車四種交通工具，其概率分別為

5%.15%.30%.50%,乘坐這幾種交通工具能如期到達(dá)的概率依次為

100%.70%.60%.90%。已知該人誤期到達(dá)，求他是乘坐火車的概率。

（10分）

解：設(shè)A,4,4,4分別表示乘坐飛機.火車.輪船.汽車四種交通工具，B表示誤期到

達(dá)。

-0）一"4⑶.f（4）尸（814）

「的￡P(guān)（4）P網(wǎng)4）

則<=>=

0.05x0+0.15x0.3+0.3x0.4+0.5x0.1

答：此人乘坐火車的概率為0.209。

53.設(shè)隨機變量X與Y相互獨立，下表列出了二維隨機向量（X,Y）的聯(lián)合分布律及關(guān)于X

和關(guān)于Y的邊緣分布律中的部分?jǐn)?shù)值，試將其他數(shù)值填入表中的空白處。

Y

y%為Pi.

X

網(wǎng)

8

]_

x2

8

1

Pj6

Y

y%九

Pi

X

111￡

-8-一

21431124

--一I

884

1114

--一

6231

答案:-］

54.設(shè)隨機向量(X,Y)聯(lián)合密度為

Ae-(3x+4y)x>0,y>0;

其它.

f(x,y)='

(1)求系數(shù)A；

(2)判斷X,Y是否獨立，并說明理由;

(3)求P{0WXW1,0WYW1}。

解：⑴由「匚口3加『廣『322"一⑶引"4,力

A

)12

0可得A=12o

(2)因(X,Y)關(guān)于X和Y的邊緣概率密度分別為

3e~3x,x>0;4eRy>0；

［。，其它.和。，其它.

fY(y)=

則對于任意的(/>)eR，均成立f(x,y)=fX(x)*fY(y),所以X與Y獨立。

￡￡12e~Ox+4y)dxdy=3e-3xdx.『4e%dy

(3)P{0WXW1,OWYW1}=

(…］：)?叫)=(l-e-3)(l—e-4).

55.設(shè)隨機向量(X,Y)聯(lián)合密度為

Sxy,0<%<^<1；

f(x,y)=1°'其它.

(1)求(X,Y)分別關(guān)于X和Y的邊緣概率密度fX(x),fY(y)；

(2)判斷X,Y是否獨立，并說明理由。

解：(1)當(dāng)x<0或x>l時，fX(x)=O；

[f[x,y)dy-['Sxydy-4x-y2\'-4x(1-x2).

當(dāng)OWxWl時，fX(x)=J-"Lx

4x-4x3,0<x<l,

V

因此，(X,Y)關(guān)于X的邊緣概率密度fX(x)=1°'其它.

當(dāng)y<0或y>l時，fY(y)=O；

ff(x,y)dx=[Sxydx=4y-x21^=4yL

當(dāng)OWyWl時，fY(y)=J")°7

4y3,0<y<l,

o其它

因此，(X,Y)關(guān)于Y的邊緣概率密度fY(y)=15火匕,

(2)因為f(l/2,1/2)=2,而fX(l/2)fY(l/2)=(3/2)*(l/2)=3/4#f(l/2,1/2),

所以，X與Y不獨立。

56.設(shè)A,B是兩個隨機事件，則下列等式中（C）是不正確的。

A,尸（AMP（A）P（B）,其中人，B相互獨立B,P（A3）=P（B）P（幽，其中

P⑻羊0

C.P（A3）=P（A）P（8）,其中A,B互不相容D,總?cè)司?P（A）P（44）,其中

P（A）豐0

57.設(shè)①（X）為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)，

fl,事件A發(fā):生.

H=[o,否則,=、2,…，1°°,p（A）=（）4

X],X[,…,X]0G相

丫=￡100Xj

互獨立。令I(lǐng),則由中心極限定理知y的分布函數(shù)~（y）近似于（B）。

①（鐘）①（U）

A.①（y）B,^24c.①（y一40）D.'24'

58.將兩封信隨機地投入四個郵筒中，則未向前面兩個郵筒投信的概率為（A）。

"G工_2

A.42B.0：C,0]D,4!

3.已知隨機變量x的概率密度為fx（x）,令y=-2x,則丫的概率密度4（為為

（D）,

A.2/42y）B/XJ）/八（/）

4.設(shè)隨機變量X~/（x）,滿足/（x）=/（-x）,口（幻是x的分布函數(shù)，則對任意實數(shù)a

有（B）。

AF（-?）=1-￡7（X）JXBF（-?）U-￡7WJXc%-a）.（a）D

F（-a）=2F（a）-1

5.設(shè)①（%）為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)，

1,事件A發(fā)生；

X,…，』，2,…，100,

.（）,否則；且P（A）=0.8,X],X2,---,X|0G相

r=￡100x,.

互獨立。令，則由中心極限定理知丫的分布函數(shù)/（＞）近似于（B）。

①（”）

A.①（咒B4）c.①（16y+8。）D①（分+80）

1.設(shè)A,5為隨機事件，P（B）＞0,P（A|B）=1,則必有（A）。

AP（A2B）=P（A）bA^BC.P（A）=P?口.口人為=P（A）

2.某人連續(xù)向一目標(biāo)射擊，每次命中目標(biāo)的概率為3/4,他連續(xù)射擊直到命中為止，則射

擊次數(shù)為3的概率是（C）。

/（-3）、3/（-3、）2X1-/（-1）、2X3-,1、2

A.4B.44c.44D.4

59.設(shè)①（X）為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)，

1,事件A發(fā)生

X,=\，z=l,2,…，100,

、0,H70且P（A）=0.2,X],X?,…，Xioo相互

100

y=￡

獨立。令I(lǐng),則由中心極限定理知丫的分布函數(shù)尸（舊近似于（B）。

①（書

A①（y）B4）c.①（16y-20）D①（”—20）

60.若隨機向量（x,y）服從二維正態(tài)分布，則①乂，丫一定相互獨立；②若

「xy=o,則x,y一定相互獨立；③x和y都服從一維正態(tài)分布；④若x，y相互獨

立，則

Cov（X,Y）=0。幾種說法中正確的是（B）。

A.①②③④B.②③④C.①③④D.①②④

61.設(shè)是任意兩個互相獨立的連續(xù)型隨機變量，它們的概率密度分別為工（幻和

%（x）,分布函數(shù)分別為片（X）和尸2（X）,則（B）。

A,力（*）+人（*）必為密度函數(shù)B,6（*>尸2<>）必為分布函數(shù)

C.6（X）+工（幻必為分布函數(shù)D.力（X）,人（X）必為密度函數(shù)

，92、

62.已知隨機向量（X,Y）的協(xié)方差矩陣V為2'1）

求隨機向量（X+Y,X—Y）的協(xié)方差矩陣與相關(guān)系數(shù)矩陣。

解：D（X+Y尸DX+DY+2Cov（X,丫）=9+1+2*2=14

D（X-Y）=DX+DY-2Cov（X,Y）=9+l-2*2=6

Cov（X+Y,X-Y）=DX-DY=9-1=8

_c—（x+y,x-y）_8__4_

Px+￥'x-Y~Jo（x+y）gx-y）—Vi4*V6-質(zhì)

。4、

Q

所以，（X+Y,X-Y）的協(xié)方差矩陣與相關(guān)系數(shù)矩陣分別為1°,和

1a

63.已知某煉鐵廠在生產(chǎn)正常的情況下，鐵水含碳量X服從正態(tài)分布N（4?55,0."2）?，F(xiàn)

抽測了9爐鐵水，算得鐵水含碳量的平均值5=4.445,若總體方差沒有顯著差異，即

b2=0」/，問在a=095顯著性水平下，總體均值有無顯著差異？

（已知：r005（9）=2.262,%05（8）=2.306,U0025=1.960）

u=

解：待檢驗的假設(shè)是"。：〃=選擇統(tǒng)計量cr/y/n在“。成立時

U~N（0,l）

尸{|U|>%025}=0,05取拒絕域w={?1>1-960）

|U|=尸1=4,445-4,5$2864

由樣本數(shù)據(jù)知卜/分|0.11/3⑼>1.960拒絕"o,即

認(rèn)為總體均值有顯著差異。

64.設(shè)二維隨機向量（X,Y）的聯(lián)合概率密度為

e~y,0<x<y;

0,其它.

f(x,y):

(1)求(X,Y)分別關(guān)于X和Y的邊緣概率密度fX(x),fY(y)；

(2)判斷X與Y是否相互獨立，并說明理由。

解：(1)當(dāng)x<0時，fX(x)=O；

ff(x,y)dye~ydy=

當(dāng)x>0時，fX(x)=J-ooJx

e~\x>0,

V

因此，(X,Y)關(guān)于X的邊緣概率密度fX(x)=10'其匕

當(dāng)yW0時,fY(y)=O；

ff(x,y)dx=fe~ydx-ye~y.

當(dāng)y>0時，fY(y)=J-8J。

ye\y〉0,

n其中

因此，(X,Y)關(guān)于Y的邊緣概率密度fY(y)=W'只匕.

(2)因為f(l,2)=e-2,MfX(l)fY(2)=e-l*2e-2=2e-3^f(l,2),

所以，X與Y不獨立。

65.(x，y)是二維隨機向量，與c°y(x，y)=°不等價的是(D)

AE{XY}=E(X)E(Y)D(X+y)=D(X)+D(y)D(X-Y)=D(X)+D(Y)

A.DR.\r_x.

D.x和y相互獨立

66.已知隨機變量X?N(0,1),求Y=|X|的密度函數(shù)。

解：當(dāng)yWO時，F(xiàn)Y(y)=P(YWy)=P(|X|Wy)=O；

當(dāng)y>0時，F(xiàn)Y(y)=P(YWy)=P(|X|Wy)=尸㈠'X<y)

「44/2公=2「4*/2公

=J-，以外以

y>0,

—Fy(y)=〈

dy

y<0.

因此，fY(y)=0,

67.設(shè)①(X)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù),

[1,事件A發(fā)生

Xj=Z.'1=1,2,--,100,

、。，日人！J且P(A)=0.2,X],X2,…,乂儂相互

100

y=￡x：

獨立。令,則由中心極限定理知丫的分布函數(shù)/(舊近似于(B)。

①U

A.①(月B.4'c0>(16y-20)D<D(4y-20)

68.設(shè)二元隨機變量(X,Y)的聯(lián)合密度是