經(jīng)典曲線檔案館

經(jīng)典曲線檔案館演示文稿現(xiàn)在是1頁\一共有44頁\編輯于星期日（優(yōu)選）經(jīng)典曲線檔案館現(xiàn)在是2頁\一共有44頁\編輯于星期日前言曲線是美的，而美的東兩，又往往由曲線構(gòu)成。曲線無處不在，比直線更富于魅力。瞧它：有彎曲、有轉(zhuǎn)折、有流動的韻味，能引導(dǎo)眼睛作變化無窮的追逐，能引起人們多元的思索……

現(xiàn)在是3頁\一共有44頁\編輯于星期日圓與橢圓x[t]=x[t_]:=Cos[t]y[t]=y[t_]:=Sin[t]ParametricPlot[{x[t],y[t]},{t,0,2Pi},AspectRatio->Automatic]經(jīng)典曲線1—圓

面積:

周長:現(xiàn)在是4頁\一共有44頁\編輯于星期日x[t]=x[t_]:=a*Cos[t]y[t]=y[t_]:=b*Sin[t]ParametricPlot[{x[t],y[t]},{t,0,2Pi},AspectRatio->Automatic]經(jīng)典曲線2—橢圓

面積:

周長:？現(xiàn)在是5頁\一共有44頁\編輯于星期日經(jīng)典曲線3—擺線擺線擺線(cycloid)是數(shù)學(xué)中眾多的迷人曲線之一．它是這樣定義的：一個圓沿一直線緩慢地滾動，則圓上一固定點所經(jīng)過的軌跡稱為擺線．?dāng)[線有一個重要性質(zhì)，即當(dāng)一物體僅憑重力從A點滑落到不在它正下方的B點時，若沿著A，B間的擺線，滑落所需時間最短，因此擺線又稱最速降曲線?，F(xiàn)在是6頁\一共有44頁\編輯于星期日x[t]=x[t_]:=a*(t-Sin[t]);y[t]=y[t_]:=a*(1-Cos[t]);ParametricPlot[{x[t],y[t]},{t,0,2Pi},AspectRatio->Automatic]

一拱面積:一拱長度:動圓周長現(xiàn)在是7頁\一共有44頁\編輯于星期日星形線經(jīng)典曲線4—星形線星形線是內(nèi)擺線的一種.(當(dāng)小圓在圓內(nèi)沿圓周滾動時,小圓上的定點的軌跡為是內(nèi)擺線)點擊圖片任意處播放開始或暫停大圓半徑R＝a小圓半徑現(xiàn)在是8頁\一共有44頁\編輯于星期日x[t]=x[t_]:（Cos[t]^3;y[t]=y[t_]:=(Sin[t])^3;ParametricPlot[{x[t],y[t]},{t,0,2Pi}]經(jīng)典曲線4—星形線

周長:

面積:

旋轉(zhuǎn)體積:現(xiàn)在是9頁\一共有44頁\編輯于星期日外擺線的一種--心形線經(jīng)典曲線5—心形線即

尖點:

面積:

弧長:現(xiàn)在是10頁\一共有44頁\編輯于星期日經(jīng)典曲線5—心形線r[t_]:=1+Cos[t]x[t_]:=r[t]*Cos[t]y[t_]:=r[t]*Sin[t]ParametricPlot[{x[t],y[t]},{t,0,3Pi},AspectRatio->Automatri,PlotStyle->RGBColor[1,0,0]]現(xiàn)在是11頁\一共有44頁\編輯于星期日r[t_]:=2(1-Cos[t])x[t_]:=r[t]*Cos[t]y[t_]:=r[t]*Sin[t]ParametricPlot[{x[t],y[t]},{t,0,3Pi},AspectRatio->{1,1},PlotStyle->RGBColor[0,0,1]]經(jīng)典曲線5—心形線現(xiàn)在是12頁\一共有44頁\編輯于星期日r[t_]:=2(1+Sin[t])x[t_]:=r[t]*Cos[t]y[t_]:=r[t]*Sin[t]ParametricPlot[{x[t],y[t]},{t,0,3Pi},AspectRatio->{1,1},PlotStyle->RGBColor[0.8,0,0.2]]經(jīng)典曲線5—心形線現(xiàn)在是13頁\一共有44頁\編輯于星期日r[t_]:=2(1-Sin[t])x[t_]:=r[t]*Cos[t]y[t_]:=r[t]*Sin[t]ParametricPlot[{x[t],y[t]},{t,0,3Pi},AspectRatio->Automatri,PlotStyle->RGBColor[0.8,0,0.2]]經(jīng)典曲線5—心形線現(xiàn)在是14頁\一共有44頁\編輯于星期日阿基米德螺線經(jīng)典曲線6—阿基米德螺線亦稱“等速螺線”。當(dāng)一點P沿動射線OP以等速率運動的同時，該射線又以等角速度繞點O旋轉(zhuǎn)，點P的軌跡稱為“阿基米德螺線”。其首次由阿基米德在著作《論螺線》中給出了定義.現(xiàn)在是15頁\一共有44頁\編輯于星期日點擊圖片任意處播放開始或暫停

所圍圖形面積:

周長:現(xiàn)在是16頁\一共有44頁\編輯于星期日r[t_]:=2tx[t_]:=r[t]*Cos[t]y[t_]:=r[t]*Sin[t]ParametricPlot[{x[t],y[t]},{t,0,3Pi}]經(jīng)典曲線6—阿基米德螺線現(xiàn)在是17頁\一共有44頁\編輯于星期日伯努利雙紐線

設(shè)定線段AB長度為2a,動點M滿足MA·MB=a2M的軌跡稱為伯努利雙紐線（LemniscateofBernoulli）

(x+y)=2a(x?y)經(jīng)典曲線7—伯努利雙紐線

所圍圖形面積:

周長:現(xiàn)在是18頁\一共有44頁\編輯于星期日r[t_]:=Sqrt[Sin[2t]]x[t_]:=r[t]*Cos[t]y[t_]:=r[t]*Sin[t]ParametricPlot[{x[t],y[t]},{t,0,2Pi},AspectRatio->{1,1},PlotStyle->RGBColor[1,0,0],AxesLabel->{x,y}]經(jīng)典曲線7—伯努利雙紐線現(xiàn)在是19頁\一共有44頁\編輯于星期日r[t_]:=Sqrt[Cos[2t]]x[t_]:=r[t]*Cos[t]y[t_]:=r[t]*Sin[t]ParametricPlot[{x[t],y[t]},{t,0,2Pi},AspectRatio->{1,1},PlotStyle->RGBColor[1,0,0],AxesLabel->{x,y}]經(jīng)典曲線7—伯努利雙紐線現(xiàn)在是20頁\一共有44頁\編輯于星期日三葉玫瑰線

經(jīng)典曲線8—三葉玫瑰線現(xiàn)在是21頁\一共有44頁\編輯于星期日r[t_]:=Sqrt[Cos[2t]]x[t_]:=r[t]*Cos[t]y[t_]:=r[t]*Sin[t]ParametricPlot[{x[t],y[t]},{t,0,2Pi},AspectRatio->{1,1},PlotStyle->RGBColor[1,0,0],AxesLabel->{x,y}]經(jīng)典曲線8—三葉玫瑰線現(xiàn)在是22頁\一共有44頁\編輯于星期日r[t_]:=Sqrt[Sin[3t]]x[t_]:=r[t]*Cos[t]y[t_]:=r[t]*Sin[t]ParametricPlot[{x[t],y[t]},{t,0,2Pi},AspectRatio->{1,1},PlotStyle->RGBColor[1,0,0],AxesLabel->{x,y}]經(jīng)典曲線8—三葉玫瑰線現(xiàn)在是23頁\一共有44頁\編輯于星期日四葉玫瑰線

經(jīng)典曲線9—四葉玫瑰線現(xiàn)在是24頁\一共有44頁\編輯于星期日r[t_]:=Sin[2t]x[t_]:=r[t]*Cos[t]y[t_]:=r[t]*Sin[t]ParametricPlot[{x[t],y[t]},{t,0,2Pi},AspectRatio->{1,1},PlotStyle->RGBColor[1,0,0],AxesLabel->{x,y}]經(jīng)典曲線9—四葉玫瑰線現(xiàn)在是25頁\一共有44頁\編輯于星期日r[t_]:=Sin[2t]x[t_]:=r[t]*Cos[t]y[t_]:=r[t]*Sin[t]ParametricPlot[{x[t],y[t]},{t,0,2Pi},AspectRatio->{1,1},PlotStyle->RGBColor[1,0,0],AxesLabel->{x,y}]經(jīng)典曲線9—四葉玫瑰線現(xiàn)在是26頁\一共有44頁\編輯于星期日笛卡爾葉形線

經(jīng)典曲線10—笛卡爾葉形線年輕時的勒奈·笛卡兒笛卡兒葉形線是一個代數(shù)曲線，首先由笛卡兒在1638年提出。笛卡兒葉形線的隱式方程為極坐標(biāo)中方程分別為r(θ)=3asinθcosθ/[(sinθ)^3+cosθ]現(xiàn)在是27頁\一共有44頁\編輯于星期日★軼事:蜘蛛織網(wǎng)和平面直角坐標(biāo)系的創(chuàng)立據(jù)說有一天，笛卡爾病重臥床，盡管如此他還反復(fù)思考一個問題：幾何圖形是直觀的，而代數(shù)方程是比較抽象的，能不能把幾何圖形和代數(shù)方程結(jié)合起來，也就是說能不能用幾何圖形來表示方程呢？要想達到此目的，關(guān)鍵是如何把組成幾何圖形的點和滿足方程的每一組“數(shù)”掛上鉤。突然，他看見屋頂角上的一只蜘蛛，拉著絲垂了下來。一會功夫，蜘蛛又順這絲爬上去，在上邊左右拉絲。蜘蛛的“表演”使笛卡爾的思路豁然開朗。他想，可以把蜘蛛看作一個點。他在屋子里可以上，下，左，右運動，能不能把蜘蛛的每一個位置用一組數(shù)確定下來呢？他又想，屋子里相鄰的兩面墻與地面交出了三跳線，如果把地面上的墻角作為起點，把交出來的三條線作為三根數(shù)軸，那么空間中任意一點的位置就可以在這三根數(shù)軸上找到有順序的三個數(shù)。反過來，任意給一組三個有順序的數(shù)也可以在空間中找到一點P與之對應(yīng)，同樣道理，用一組數(shù)（X，Y）可以表示平面上的一個點，平面上的一個點也可以用一組兩個有順序的數(shù)來表示，這就是坐標(biāo)系的雛形。現(xiàn)在是28頁\一共有44頁\編輯于星期日x[t_]:=3t/(1+t^3)y[t_]:=3t^2/(1+t^3)ParametricPlot[{x[t],y[t]},{t,-9,12},AspectRatio->{1,1},PlotStyle->RGBColor[1,0,1],AxesLabel->{x,y}]經(jīng)典曲線10—笛卡爾葉形線現(xiàn)在是29頁\一共有44頁\編輯于星期日美麗的Koch雪花-從極限到分形幾何學(xué)

1904年瑞典科學(xué)家科克（Koch）描述了這樣一段奇特而又有趣的事件：一條邊長為a的正三角形，將每邊三等分，以中間三分之一為一段向外再做正三角形，小三角形在三條邊的出現(xiàn)使得原三角形變成了一個六角形，六角形共有12條邊，再在這12條邊上用與上述相同的方法，即可構(gòu)造出一個新的48邊形，如此做下去，其邊緣越來越精細，看上去就像美麗的雪花，稱為Koch雪花。現(xiàn)在是30頁\一共有44頁\編輯于星期日觀察雪花分形過程第一次分叉：依次類推播幻燈片31放現(xiàn)在是31頁\一共有44頁\編輯于星期日觀察雪花分形過程第一次分叉：依次類推現(xiàn)在是32頁\一共有44頁\編輯于星期日觀察雪花分形過程第一次分叉：依次類推現(xiàn)在是33頁\一共有44頁\編輯于星期日觀察雪花分形過程第一次分叉：依次類推現(xiàn)在是34頁\一共有44頁\編輯于星期日觀察雪花分形過程第一次分叉：依次類推現(xiàn)在是35頁\一共有44頁\編輯于星期日觀察雪花分形過程第一次分叉：依次類推現(xiàn)在是36頁\一共有44頁\編輯于星期日周長為面積為第次分叉：現(xiàn)在是37頁\一共有44頁\編輯于星期日于是有雪花的周長是無界的，而面積有界．雪花的面積存在極限（收斂）．結(jié)論現(xiàn)在是38頁\一共有44頁\編輯于星期日

分析結(jié)果：Koch雪花的面積大小依賴于最初的正三角形邊長，而Koch曲線的周長卻是無限增大的，這結(jié)果簡直不可思議，有限的區(qū)域生成無限的長度，是一種反?，F(xiàn)象，促進了人們對這一問題的思考。分形幾何學(xué)即誕生在多種概念和方法相互沖擊和融合的年代。不僅在自然學(xué)科與社會學(xué)科中產(chǎn)生了極大的影響，而且在音樂、美術(shù)間也產(chǎn)生了一定的影響，并使人們覺悟到科學(xué)與藝術(shù)的融合，數(shù)學(xué)與藝術(shù)審美上的統(tǒng)一，使枯燥的數(shù)學(xué)不再僅僅是抽象的哲理，而是具體的感受，分形搭起了科學(xué)與藝術(shù)的橋梁?，F(xiàn)在是39頁\一共有44頁\編輯于星期日謝謝！現(xiàn)在是40頁\一共有44頁\編輯于星期日極坐標(biāo)方程表示的曲線的繪制已知曲線方程：繪圖基本語句：r[t]=r[t_]:=…ParametricPlot[{r[t]*Cos[t],r[