第一類曲線積分

第十章曲線積分與曲面積分現(xiàn)在是1頁\一共有65頁\編輯于星期一積分學(xué)定積分二重積分三重積分積分域區(qū)間域平面域空間域曲線積分曲線域曲面域曲面積分曲線積分曲面積分對(duì)弧長的曲線積分對(duì)坐標(biāo)的曲線積分對(duì)面積的曲面積分對(duì)坐標(biāo)的曲面積分機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束向量場中的積分表示一物體在力場中沿曲線所做的功液體流過一個(gè)表面的流量現(xiàn)在是2頁\一共有65頁\編輯于星期一

第十章第一節(jié)機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第一類曲線積分二、第一類曲線積分的概念與性質(zhì)一、問題的提出三、第一類曲線積分的計(jì)算現(xiàn)在是3頁\一共有65頁\編輯于星期一一、問題的提出假設(shè)曲線形細(xì)長構(gòu)件在空間所占弧段為AB,其線密度為“分割,近似,求和,取極限”

可得為計(jì)算此構(gòu)件的質(zhì)量,例1:

曲線形構(gòu)件的質(zhì)量采用機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束現(xiàn)在是4頁\一共有65頁\編輯于星期一解：設(shè)則則曲面的面積為：機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束現(xiàn)在是5頁\一共有65頁\編輯于星期一定義：設(shè)L是空間中一條有限長的光滑曲線,函數(shù)在L上有定義,都存在,L上對(duì)弧長的曲線積分,記作若通過對(duì)L

的任意分割局部的任意取點(diǎn),二.定義及性質(zhì)下列“乘積和式極限”則稱此極限為函數(shù)在曲線或第一類曲線積分.稱為被積函數(shù)，L

稱為積分弧段.和對(duì)機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束ds

稱為弧長元素（弧微分）.現(xiàn)在是6頁\一共有65頁\編輯于星期一如果L是xoy

面上的曲線弧,如果L

是閉曲線,則積分號(hào)記為則定義對(duì)弧長的曲線積分為機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束由定義知：物理意義幾何意義現(xiàn)在是7頁\一共有65頁\編輯于星期一機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束基本性質(zhì)：2.（線性性質(zhì)）：假設(shè)下面所涉及到的函數(shù)在積分曲線上都是可積的，P表示平面或空間上的某個(gè)點(diǎn)。3.（積分區(qū)域的可加性）：現(xiàn)在是8頁\一共有65頁\編輯于星期一機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束現(xiàn)在是9頁\一共有65頁\編輯于星期一機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束現(xiàn)在是10頁\一共有65頁\編輯于星期一關(guān)于曲線的輪換對(duì)稱性：

平面曲線具有輪換對(duì)稱性是指：曲線關(guān)于直線x=y對(duì)稱。

如果平面曲線

L有輪換對(duì)稱性，則它的方程F(x,y)=0，有如下特征：將F(x,y)中的變量x,y的位置任意互換，不會(huì)改變F的表達(dá)式。機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束

如果平面曲線L

有輪換對(duì)稱性，那么交換被積函數(shù)f(x,y)

中變量

x,y

的位置，積分值不會(huì)改變，即現(xiàn)在是11頁\一共有65頁\編輯于星期一F(x,y,z)=0，G(x,y,z)=0有如下特征：將F(x,y,z)，G(x,y,z)中的變量x,y,z的位置任意互換，不會(huì)改變F，G的表達(dá)式。

空間曲線具有輪換對(duì)稱性是指：曲線關(guān)于直線x=y=z對(duì)稱。

如果空間曲線

L有輪換對(duì)稱性，則它的方程機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束

如果空間曲線L關(guān)于直線x=y=z對(duì)稱，那么被積函數(shù)f(x,y,z)

中的變量

x,y,z

無論怎樣互換，積分值不會(huì)改變。即現(xiàn)在是12頁\一共有65頁\編輯于星期一機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束曲線對(duì)稱性的補(bǔ)充性質(zhì)：1、如果兩條平面曲線L1、L2

關(guān)于直線x=y對(duì)稱，則2、如果兩條空間曲線L1、L2

關(guān)于平面x=y對(duì)稱，則

同理，如果L1、L2

關(guān)于平面

y=z及

z=x對(duì)稱，也有類似的性質(zhì)?，F(xiàn)在是13頁\一共有65頁\編輯于星期一機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束3、如果空間曲線L關(guān)于平面x=y對(duì)稱，那么交換被積函數(shù)f(x,y,z)

中的變量

x,y的位置，z的位置不動(dòng)，積分值不會(huì)改變。即

同理，如果空間曲線L

關(guān)于平面

y=z

及

z=x

對(duì)稱，有類似的性質(zhì)?，F(xiàn)在是14頁\一共有65頁\編輯于星期一三、對(duì)弧長曲線積分的計(jì)算定理1（平面曲線的情況）機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束現(xiàn)在是15頁\一共有65頁\編輯于星期一證明：機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束現(xiàn)在是16頁\一共有65頁\編輯于星期一機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束現(xiàn)在是17頁\一共有65頁\編輯于星期一說明:因此積分限必須滿足(2)注意到因此上述計(jì)算公式相當(dāng)于“換元法”.機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束現(xiàn)在是18頁\一共有65頁\編輯于星期一其它情形：機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束現(xiàn)在是19頁\一共有65頁\編輯于星期一定理2(空間曲線的情況)：機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束現(xiàn)在是20頁\一共有65頁\編輯于星期一機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束解現(xiàn)在是21頁\一共有65頁\編輯于星期一機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束解1：參數(shù)方程現(xiàn)在是22頁\一共有65頁\編輯于星期一機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束現(xiàn)在是23頁\一共有65頁\編輯于星期一機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束解2：參數(shù)方程現(xiàn)在是24頁\一共有65頁\編輯于星期一機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束解3：極坐標(biāo)現(xiàn)在是25頁\一共有65頁\編輯于星期一例3.

計(jì)算其中為球面解:化為參數(shù)方程則機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束現(xiàn)在是26頁\一共有65頁\編輯于星期一解1:其中L為球面被平面所截的圓周.例4.

計(jì)算機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束現(xiàn)在是27頁\一共有65頁\編輯于星期一橢圓機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束現(xiàn)在是28頁\一共有65頁\編輯于星期一機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束現(xiàn)在是29頁\一共有65頁\編輯于星期一機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束現(xiàn)在是30頁\一共有65頁\編輯于星期一機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束現(xiàn)在是31頁\一共有65頁\編輯于星期一解2:其中L為球面被平面所截的圓周.例4.

計(jì)算機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束現(xiàn)在是32頁\一共有65頁\編輯于星期一機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束現(xiàn)在是33頁\一共有65頁\編輯于星期一機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束現(xiàn)在是34頁\一共有65頁\編輯于星期一例4.

計(jì)算其中為球面被平面所截的圓周.解3:

由輪換對(duì)稱性可知機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束現(xiàn)在是35頁\一共有65頁\編輯于星期一思考:

例4中改為如何計(jì)算解1:

令,則機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束現(xiàn)在是36頁\一共有65頁\編輯于星期一

由對(duì)稱性可知機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束現(xiàn)在是37頁\一共有65頁\編輯于星期一例5.

已知橢圓周長為a,解:利用對(duì)稱性機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束

說明：此題用公式是積不出來的！現(xiàn)在是38頁\一共有65頁\編輯于星期一四、幾何應(yīng)用機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束1、曲線的弧長2、柱面的側(cè)面積現(xiàn)在是39頁\一共有65頁\編輯于星期一例6.

解1:機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束現(xiàn)在是40頁\一共有65頁\編輯于星期一例6.

解2:用上一章重積分的應(yīng)用做機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束聯(lián)立azoxDxza現(xiàn)在是41頁\一共有65頁\編輯于星期一機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束aazoxDxz則所求面積為現(xiàn)在是42頁\一共有65頁\編輯于星期一機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束例7（上章習(xí)題課例11）解：現(xiàn)在是43頁\一共有65頁\編輯于星期一機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束現(xiàn)在是44頁\一共有65頁\編輯于星期一解：用微元法：如圖面積元素為繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)曲面的側(cè)面積為機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束3、旋轉(zhuǎn)曲面的側(cè)面積現(xiàn)在是45頁\一共有65頁\編輯于星期一解：旋轉(zhuǎn)曲面的面積為機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束現(xiàn)在是46頁\一共有65頁\編輯于星期一五、物理應(yīng)用機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束稱為形心現(xiàn)在是47頁\一共有65頁\編輯于星期一機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束特別地現(xiàn)在是48頁\一共有65頁\編輯于星期一機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束現(xiàn)在是49頁\一共有65頁\編輯于星期一思考:

例4中改為

如何計(jì)算解2:

令,則圓的形心在原點(diǎn),故機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束現(xiàn)在是50頁\一共有65頁\編輯于星期一例9.

計(jì)算半徑為R，中心角為的圓弧L

對(duì)于它的對(duì)稱軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量I

(設(shè)線密度

=1)。解:

建立坐標(biāo)系如圖,則機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束現(xiàn)在是51頁\一共有65頁\編輯于星期一例10.

L為球面坐標(biāo)面的交線,求其形心.在第一卦限與三個(gè)解:

如圖所示,交線長度為由對(duì)稱性，形心坐標(biāo)為機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束由對(duì)稱性現(xiàn)在是52頁\一共有65頁\編輯于星期一例11.

有一半圓弧其線密度解:故所求引力為求它對(duì)原點(diǎn)處單位質(zhì)量質(zhì)點(diǎn)的引力.機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束現(xiàn)在是53頁\一共有65頁\編輯于星期一內(nèi)容小結(jié)1.定義及基本性質(zhì)：機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束?對(duì)光滑曲線弧2.計(jì)算：?對(duì)光滑曲線弧3.應(yīng)用：幾何、物理現(xiàn)在是54頁\一共有65頁\編輯于星期一機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束不同處:對(duì)弧長的曲線積分要求ds0

，但定積分中dx

可能為負(fù)。定積分和弧長積分的關(guān)系:相似處:從幾何上講，都表示空間曲線下柱面的側(cè)面積?，F(xiàn)在是55頁\一共有65頁\編輯于星期一作業(yè)習(xí)題9-1(P241)1(2)(3)(6)；2(1)(3)(4)4；5；7；10現(xiàn)在是56頁\一共有65頁\編輯于星期一備用題1.

設(shè)

C

是由極坐標(biāo)系下曲線及所圍區(qū)域的邊界,求解:

分段積分機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束現(xiàn)在是57頁\一共有65頁\編輯于星期一2.

計(jì)算其中L為雙紐線解: