導(dǎo)數(shù)應(yīng)用論文

..學(xué)習(xí).資料.導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用目錄TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"［摘要］ 2\o"CurrentDocument"一.引言 2\o"CurrentDocument"二．導(dǎo)數(shù)的概念 3\o"CurrentDocument"三．導(dǎo)數(shù)的求法 41．顯函數(shù)導(dǎo)數(shù) 41．1導(dǎo)數(shù)的四則運算： 41．2復(fù)合函數(shù)與反函數(shù)求導(dǎo)法則 41．3基本初等函數(shù)求導(dǎo)公式 42．隱函數(shù)導(dǎo)數(shù) 4\o"CurrentDocument"3．由參數(shù)方程所確定的函數(shù)求導(dǎo)法 5\o"CurrentDocument"4．分段函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 5\o"CurrentDocument"四．導(dǎo)數(shù)的性質(zhì) 5\o"CurrentDocument"五．導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用 6\o"CurrentDocument"1．導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的應(yīng)用 6\o"CurrentDocument"1．1利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性 6\o"CurrentDocument"1．2利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)凹凸性及拐點 8\o"CurrentDocument"1．3利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值和最值 10\o"CurrentDocument"1．4利用導(dǎo)數(shù)知識描繪函數(shù)圖形 151．5利用導(dǎo)數(shù)求參數(shù)問題 18\o"CurrentDocument"2．導(dǎo)數(shù)在曲線中的應(yīng)用 18\o"CurrentDocument"3．利用導(dǎo)數(shù)研究方程的根 20\o"CurrentDocument"4．應(yīng)用導(dǎo)數(shù)證明不等式 20\o"CurrentDocument"5．導(dǎo)數(shù)在數(shù)列中的應(yīng)用 216．利用導(dǎo)數(shù)求極限——洛必達(dá)法則 23.1“0”型和“-”型 230 —\o"CurrentDocument".2其他形式 23\o"CurrentDocument".物理學(xué)中的導(dǎo)數(shù) 24\o"CurrentDocument".經(jīng)濟(jì)學(xué)中的導(dǎo)數(shù)應(yīng)用 25\o"CurrentDocument"結(jié)束語： 26\o"CurrentDocument"參考文獻(xiàn)： 26（所有）［摘要］導(dǎo)數(shù)是新教材的一個亮點，它是連接初等數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)的橋梁，用它可以解決許多數(shù)學(xué)問題，它是近年高考的的熱點。它不僅幫助即將進(jìn)入大學(xué)的高三學(xué)生奠定進(jìn)一步學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，而且在解決有關(guān)問題已經(jīng)成為必用工具。由于導(dǎo)數(shù)的廣泛應(yīng)用，現(xiàn)已成為高考的熱點知識本文擬對導(dǎo)數(shù)知識的全面歸納，然后通過一些實例全面介紹導(dǎo)數(shù)在實際數(shù)學(xué)中的應(yīng)用，讓人們?nèi)媪私鈱?dǎo)數(shù)這一工具的利用［關(guān)鍵字］導(dǎo)數(shù)初等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)應(yīng)用一.引言導(dǎo)數(shù)是初等數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)的重要銜接點，是高考的熱點，高考對導(dǎo)數(shù)的考查定位于作為解決初等數(shù)學(xué)問題的工具出現(xiàn)，高考對這部分容的考查將仍會以導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用題為主，如利用導(dǎo)數(shù)處理函數(shù)的極值、最值和單調(diào)性問題和曲線的問題等，考題不難，側(cè)重知識之意。高考考查導(dǎo)數(shù)應(yīng)用主要有以下三個方面：①運用導(dǎo)數(shù)的有關(guān)知識研究函數(shù)的單調(diào)性和最值問題，②利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，研究曲線的切線斜率。函數(shù)y=f(乂)在x=x0處的導(dǎo)數(shù)，表示曲線在點P(x0,y0)處的切線斜率。③導(dǎo)數(shù)在其它數(shù)學(xué)分支的應(yīng)用，如在數(shù)列、不等式、排列組合等知識的綜合等。二．導(dǎo)數(shù)的概念1、定義：f1(x)=lim包=limAxf0AxAxf0Ax=limxfx0f(x)-f(%)x-x0左導(dǎo)數(shù)：f'(x)=lim—=lim

— Af0-Ax Af0-f(x+Ax)-f(x)Axf(x)-f(x)=lim 0…-x-xxfx0 0右導(dǎo)數(shù)：f'(x)=lim+ Axf0+包二limf(…)-f(x)AxAf0+Ax=limxfx+0f(x)-f(x) 0—x-x

0「.f'(x)=Aof'(x)=f'(x)=A可以證明：可導(dǎo)n連續(xù)即：可導(dǎo)是連續(xù)的充分條件連續(xù)是可導(dǎo)的必要條件Ay導(dǎo)函數(shù)：f(x)=y'=lim——=limAf0AxAf02.導(dǎo)數(shù)的幾何意義(圖1)f(x+Ax)-f(x)Ax曲線y=f(x)在點x0處的導(dǎo)數(shù)fGo)在幾何上表示為：曲線y=f(x)在點A(x0,y0)處切線的斜率。即f,(x)=tana(a是過A點的切線的傾斜角)(如圖1)則,曲線y=f(x)在點A(x0,y0)處切線方程為：y-y0=f'(x)(x-x)三．導(dǎo)數(shù)的求法1．顯函數(shù)導(dǎo)數(shù)1．1導(dǎo)數(shù)的四則運算：/、 ,u. u'V-V'u(uv)'=u'V+Vu (—)'= V V21．2復(fù)合函數(shù)與反函數(shù)求導(dǎo)法則y'=y'u' (y-u-x) 復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則xux1y=一(反函數(shù)求導(dǎo)法則)xx'y1．3基本初等函數(shù)求導(dǎo)公式(C),=0(C為常數(shù)(C),=0(C為常數(shù))；(xa)'=axa-1 ;(ax)'=axlna,(ex)'=ex；(logx)'=-1-,(lnx)'=-a xlna x(sinx)'=cosx；(cosx)'=-sinx；(tanx)'=-1-；

cos2x(cotx)'=--1-sin2x1

(arcsinx)=, ;v1—x2(arccosx)'(arccosx)'=-」(arctanx)'=-11+x2(arccotx)'=--11+x22．隱函數(shù)導(dǎo)數(shù)如方程F(x,y)=0，能確定y=y(x)，只需對方程兩邊對x求導(dǎo)即可。注意y=y(x)3．由參數(shù)方程所確定的函數(shù)求導(dǎo)法{X=①(t),,@(t)豐0,X=w(t)存在反函數(shù)t=^-1(x)),則：y為X的復(fù)J=帆t)y,?(t)合函數(shù)，y=^[^-1(X)]，所以：y=y,r=—t=——XtXX'p'(t)

t4．分段函數(shù)的導(dǎo)數(shù)對分段函數(shù)求導(dǎo)時，在分段點處必須用導(dǎo)數(shù)定義來求導(dǎo)，而在每段仍可用初等函數(shù)求導(dǎo)法則來求導(dǎo)。分段函數(shù)點處極限問題，歸納為該點處在左、右兩側(cè)的導(dǎo)數(shù)是否一致以及該點處是否連續(xù)的問題。四．導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)前面介紹了導(dǎo)數(shù)的基本知識，現(xiàn)將用導(dǎo)函數(shù)自身的定義來探討與導(dǎo)數(shù)之間的聯(lián)系性質(zhì)1：若函數(shù)y=f(X)是偶函數(shù)且可導(dǎo)，則其導(dǎo)函數(shù)y=f'(X)是奇函數(shù)。證明：由y=f(x)是偶函數(shù)，有f(-x)=f(x)Ay f(-x+Ax)-f(-x)則I：f'(-x)=lim=lim Axf0AxAxf0 Ax=limf(X-AX)-f(X)=-limf(X-AX)-f(X)=-f'(x)Axf0 Ax Axf0 -Ax所以，y=f1(x)是奇函數(shù)同理：若函數(shù)y=f(x)是奇函數(shù)且可導(dǎo)，則其導(dǎo)函數(shù)y=f1(x)是偶函數(shù)。性質(zhì)2：若函數(shù)y=f(x)是周期函數(shù)且可導(dǎo)，則其導(dǎo)函數(shù)y=f1(x)也是周期函數(shù)。

證明：y=f(x)是周期，有f(x+T)=f(x)Ay r f(x+T+^x)-f(x+T)「.f'(x+T)=lim=lim Axf0AxAxf0 Axf(x+Ax)-f(x)

=lim =f(x)Axf0 Ax所以，y=f'(x)是周期函數(shù)性質(zhì)3：若函數(shù)y=f(x)可導(dǎo)且圖象關(guān)于直線x=a對稱，則其導(dǎo)函數(shù)y=f'(x)圖象關(guān)于點(a,f'(a))對稱證明：函數(shù)y=f(x)圖象關(guān)于x=a對稱，有f(x)=f(2a-x)f'(2a-xf'(2a-x)=limAxf0f(2a-x+Ax)-f(2a-x)=-limAxf0Ax

f(x-Ax)-f(x)-Ax=-f'(x)且點、(a,f(a))在y=f'(x)的圖象上，所以y=f'(x)圖象關(guān)于點(a,f(a))對稱同理：若函數(shù)y=f(x)可導(dǎo)且圖象關(guān)于點、(。,f'(a))對稱，則其導(dǎo)函數(shù)y=f1(x)圖象關(guān)于直線x=a對稱五．導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用1．導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的應(yīng)用導(dǎo)數(shù)是對函數(shù)的圖像與性質(zhì)的總結(jié)與拓展，導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)單調(diào)性極佳、最佳的重要工具，廣泛運用在討論函數(shù)圖像的變化趨勢及證明不等式等方面。在掌握求函數(shù)的極值和最值的基礎(chǔ)上學(xué)習(xí)用導(dǎo)數(shù)解決生產(chǎn)生活中的有關(guān)最大最小最有效等類似的應(yīng)用問題1．1利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性一個函數(shù)在某個區(qū)間的單調(diào)增減性的變化規(guī)律，是在研究函數(shù)圖形時首先考慮的問題。在中學(xué)，已經(jīng)知道函數(shù)在某個區(qū)間單調(diào)增減性的定義。下面利用導(dǎo)數(shù)這一工具來判斷函數(shù)增減性及其確定單調(diào)區(qū)間從圖形直觀分析：若在(a,b),曲線上每一點的線是上升的，即函數(shù)導(dǎo)數(shù)都大于0,即尸(x)>0,利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義知,在(a,b),曲線上每一點的切線斜率都為正，這時曲(如圖2)。反之，若在(a,b),曲線上每一點的導(dǎo)數(shù)都小于0(即曲線上每一點的切線斜率都為負(fù))，這時曲線是下降的，即函數(shù)y=f(x)是單調(diào)遞減的(如y=f(x)是單調(diào)遞增的圖3)對于上升或者下降的曲線，它的切線在個別點可能平行于x軸(此點的導(dǎo)數(shù)值為0,即f'(x)=0)。因此，函數(shù)的增減性反映在導(dǎo)數(shù)上，有如下定理:定理1：設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b)可導(dǎo)，貝I：①若xe(a,b)時恒有f'(x)>0，則f(x)在(a,b)單調(diào)增加；②若xe(a,b)時恒有f'(x)<0，則f(x)在(a,b)單調(diào)減少。例1:求函數(shù)f(x)=xcosx-sinx(x>0)單調(diào)遞增區(qū)間解：因f1(x)=cosx-xsinx-cosx=-xsinx,由f(x)>0得xe(2k兀+兀,2k兀+2兀)(keZ)+所以， f(x)=xcosx-sinx(x>0)單調(diào)遞增區(qū)間為xe(2k兀+兀,2k兀+2兀)(keZ)+例2：已知函數(shù)f(x)=x2eax(a<0,6為自然對數(shù)的底數(shù))，試討論函數(shù)f(x)單調(diào)性。分析：引進(jìn)導(dǎo)數(shù)這一工具之前，判斷函數(shù)單調(diào)性的一般方法是定義法。此題利用定義法就無法的出答案，而有了導(dǎo)數(shù)之后，問題就易解決了。(此題是04年高考題)解：因f'(x)=2xeax+ax2eax=x(ax+2)eax，所以(1)當(dāng)a=0時，令f'(x)=0得x=0;若x>0，則f?(x)>0,從而f(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增；若x<0，則f?(x)<0,從而f(x)在(-8,0)上單調(diào)遞減；2(2)當(dāng)a<0時，令f(x)=0得x=0或x=--；a若x<0，則f■(x)<0,從而f(x)在(-8,0)上單調(diào)遞減；22若0<a<——，則f(x)>0，從而f(x)在［0,--)上單調(diào)遞增；aa22TOC\o"1-5"\h\z若a>-—，則f,(x)<0,從而f(x)在［--,+8)上單調(diào)遞減。a a%1、2利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)凹凸性及拐點 「.//vT在研究函數(shù)圖形的變化狀況時，知道它的上升和下'口 JL廖除顧慮很有好處，但不能完全反映它的變化規(guī)律。如圖4所示的函數(shù)y=f(x)的圖形在區(qū)間(a,b)雖然是一直上升的，但卻有不同的彎曲形狀。因此，研究函數(shù)圖形時，考察它的彎曲形狀以及扭轉(zhuǎn)彎曲方向的點是必要的。從圖4看出，曲線向下彎曲的弧度在這段弧段任意點的切線下方，曲線向上下彎曲的弧度在這段弧段任意點的切線上方，據(jù)此給出定義如下：定義1在某區(qū)間，若曲線弧位于其上任意一點的切線上方，則稱曲線在該區(qū)間是上凸的(也稱在該區(qū)間此函數(shù)為凹函數(shù))；在某區(qū)間，若曲線弧位于其

上任意一點的切線下方，則稱曲線在該區(qū)間是下凹的(也稱在該區(qū)間此函數(shù)為凸函數(shù))那么曲線的凹凸性與導(dǎo)數(shù)之間有什么關(guān)系呢？按定義是很難判斷凹凸性的，，對于凹凸性可以用二介導(dǎo)數(shù)來確定。即有判定定理。定理2：設(shè)函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)上具有二介導(dǎo)數(shù),①當(dāng)f"(x)<0時，則曲線為凸(此時在該區(qū)間為凹函數(shù))②當(dāng)f''(x)>0時，則曲線為凹(此時在該區(qū)間為凸函數(shù))通過圖形的直觀性來說明該定理的正確性(如圖5)若曲線y=f(x)呈現(xiàn)凸?fàn)?，由圖5(1)直觀看出：當(dāng)通過圖形的直觀性來說明該定理的正確性(如圖5)若曲線y=f(x)呈現(xiàn)凸?fàn)?，由圖5(1)直觀看出：當(dāng)x增大時，切線斜率隨之變小，說明一介導(dǎo)數(shù)函數(shù)f'(x)在(a,b)上為減函數(shù),由函數(shù)單調(diào)性判別法，必有[f,(x)]'<0,即f"(x)<0。說明：若曲線為凸性，必有f’‘(x)<0。同理，若曲線為凹，必有f’‘(x)>0。從另一角度講，該定理為二介導(dǎo)數(shù)的幾何意義。定義2：若函數(shù)f(x)在點x二％的左右鄰域上凹凸性相反則點3"(％))叫做曲線的拐點(注意拐點不是xJ由拐點的定義可知，判斷某點是否拐點，只需看該點左右兩側(cè)二介導(dǎo)數(shù)是否異號，與該點一介、二介導(dǎo)數(shù)是否存在無關(guān)例3、求函數(shù)y=3x4—4x3+1的凹凸區(qū)間及拐點。2解：因y'=12x3-12x2，則qy"=36x2-24x=36x（x一3）x(0,0)0嗚3(x(0,0)0嗚3(3,+8)y"+00,y凹拐點凸27拐點凹2令y”=0,得x=0,x=3。所以(1)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值函數(shù)由增加變?yōu)闇p少或由減少變?yōu)樵黾?，都?jīng)過一個轉(zhuǎn)折點，即圖中的“峰”點和“谷”點，這些點是在研究函數(shù)中是十分重要的。1、3利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值和最值定義2、設(shè)函數(shù)f(x)在點x=x0及其某鄰域左右兩側(cè)附近有定義，若對該鄰域的任意點x(x=x0)恒有f(X)<f(X)，則f(x)為極大值；若f(x)域的任意點x(x=x0立則f(x0)為極小值。應(yīng)當(dāng)注意：極值是一個局部概念，它只限于x0的某一鄰域，通過函數(shù)值相比較才能顯示出來。在一個區(qū)間上，函數(shù)可能有幾個極大、極小值?？赡軙袠O大值小于極小值。

注意：①f?(x)=0是點x為極值點的必要條件，但不是充分條件。如y=x3,00y=3x2,yl=0但(0,0)點不是函數(shù)極x=0值點：②函數(shù)f(x)在導(dǎo)數(shù)不存在的點也可1 11能匕有極值。如y—x3,y—x—,yl不32 x=0 _x3 圖丁1y=F與7=尸在點極值情況存在，但(0,0)點不是函數(shù)極值點(如圖7)將導(dǎo)數(shù)為0的點或者不可導(dǎo)的點統(tǒng)稱為駐點。因此函數(shù)的極值必在駐點處取得，但駐點不一定是極值點，所以在求得函數(shù)極值的駐點后，就是找到了所有極值可疑點。下面介紹函數(shù)在駐點或?qū)?shù)不存在的點取得極值的充分條件，即極值的判斷方法。定理31極限存在的充分條件之一) 設(shè)f在x0連續(xù)，在某鄰域Uo(x0;5)可導(dǎo)，①若xG(x一5;x)(x左側(cè))時f,(x)>0,而xG(x;x+5)(x右側(cè))0 0 0 00 0f(x)<0,則函數(shù)f(x)在x處取極大值f(x)00②若xG(x一5;x)(x左側(cè))時f,(x)<0,而xG(x;x+5)(x右側(cè))時0 0 0 00 0f(x)>0,則函數(shù)f(x)在x處取極小值f(x)00③若x兩側(cè)f(x)不變號，則f(x)在x處無極值。00該定理的直觀含義為：函數(shù)由單調(diào)增加(或單調(diào)減少)變成單調(diào)減少(或單調(diào)增加)的轉(zhuǎn)折點，即為極大值點(或極小值點)。32例4、求函數(shù)f(x)=x--x3的單調(diào)區(qū)間和極值21解：f1(x)=1-x-3,當(dāng)x=1時，f1(x)=0；而x=0時f1(x)不存在。因此，函數(shù)只可能在這兩點取得極值。x(—8,0)0(0,1)1[1,+8)f1(x)+不存在0+f(x)/極大值f(0)=0極小值f⑴=-2/由表可見，函數(shù)在區(qū)間(—8,0],[1,+8)單調(diào)遞增；在區(qū)間(0,1)單調(diào)遞減。在x=0處有極大值f(0)=0，在點工=1處有極小值f(1)=—1。若函數(shù)的二介導(dǎo)數(shù)存在，有如下的判定定理；定理4(極限存在的充分條件之二) 設(shè)f'(x)=0,f’'(x)存在，①若f’'(x)>0，則f(x0)為f(x)的極小值；②若f"(x)<0，則f(x0)為f(x)的極小值；③若f"(x)=0,本方法無效，需用極限存在的充分條件之一這個定理來進(jìn)一步判定。因為f"(x)>0，則曲線在x點的左右兩側(cè)呈凹狀，因此f(x)為極小值；反00之，若f"(x)<0，則曲線在x點的左右兩側(cè)呈凸?fàn)睿虼薴(x)為極大值。00例5、求函數(shù)f(x)=(x2—1)3+1的極值。解：如圖8,因為f1(x)=6x(x2—1)2，令f1(x)=0，得駐點x=—1,0,1。所以， ；Xf"(x)=6(x2—1)2+6x義2(x2—1)義2x=6(x2—1)(5x2—1) 限又因為f"(0)=6>0，所以函數(shù)f(x)在x=0處取得極小值f(0)=0。因為f"(—1)=0=f"(1)，則定理應(yīng)用定理4失效。下面利用定理3。當(dāng)x<—1時，f(x)<0；當(dāng)—1<x<0時，f(x)<0,所以函數(shù)f(x)在x=-1處無極值同理函數(shù)在x=1處去極值(2)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值在經(jīng)濟(jì)活動和日常生活中，常遇到在一定條件下。怎樣用料最省、成本最低、效率最高或者效益效率最好的問題，這些歸納到數(shù)學(xué)問題上，即為函數(shù)的最大值或最小值問題。假定函數(shù)f(x)在閉區(qū)間［a,b］上連續(xù)，則必存在最大、最小值，其判定方法為：①找出可能為極值點的函數(shù)值(即區(qū)間使f'(x)=0或f'(x)不存在的所有點的函數(shù)值)②計算出端點處的函數(shù)值f(a),f(b)；③比較極值和端點值的大小；其中最大的就是函數(shù)f(x)在閉區(qū)間［a,b］上的最大值，其中最小的就是函數(shù)f(x)在閉區(qū)間［a,b］上的最小值。最值與極值是不同的：極值反映的是函數(shù)形態(tài)，即極值只是與該點在附近的函數(shù)值比較而言的，而對于遠(yuǎn)離該點的情形不予考慮；而最值則是函數(shù)整體形態(tài)的反映，它是指函數(shù)在所考察的區(qū)間上全部函數(shù)值中的最大者(或最小者)。TOC\o"1-5"\h\z. , 兀兀 ?,例6、求函數(shù)y=sin(2x)-x在區(qū)間［一一，一］上的最大、最小值。22兀 兀解：f(x)=2cos(2x)-1，令f(x)=0即2cos(2x)-1=0解得x=--,x=一,1 626x變化時f'(x),f(x)的變化如下表:x兀吟一常兀(-r6)兀(62)兀f1(x)0+0f(x)兀兀-3事/3木-兀兀由上表可知最大值是3，最小值為-5例7、已知a>0,函數(shù)f(x)=(x2-2ax)ex,當(dāng)x為何值時，f(x)取得最小

值？證明你的結(jié)論。解:f'(x)=[x2+2(1—a)x—2a]ex,由f'(x)=0,得x=a-1土<1+a2(x<x)(a>0),x變化時f(x),f(x)的變化如下表:1,2 1 2x(-8,x)1x1(x,x)1 2x2(x,+8)2f1(x)+00+f(x)/極大值極小值當(dāng)(a>0)時，x<-1,x>0。而當(dāng)x<0時，f(x)=x(x一2a)ex>0；12x=0時，f(0)=0。所以當(dāng)x=a-1+\.'a2+1時，f(x)取得最小值。（3）利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)值域求函數(shù)的值域是中學(xué)數(shù)學(xué)的難點，下面介紹利用高中教材新增加容---導(dǎo)數(shù)來求解值域例8、求函數(shù)y=<2x+4-7x+3的值域。解：函數(shù)的定義域為［-2,+s）,11<2x11<2x+42<x+32、:x+3-2xx+4可見當(dāng)x>-2時，y>0所以y=<2x+4-、；x+3在［-2,+s）上是增函數(shù)。而f（-2）=-1,所以函數(shù)y=<2x+4-vx+3的值域是［-1,+s）（4）實際問題中導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用例9、（2004年全國高考題）甲方是一農(nóng)場，乙方是一工廠，由于乙方生產(chǎn)須占用甲方的資源，因此甲方有權(quán)向乙方索賠以彌補經(jīng)濟(jì)損失并獲得一定的凈收人.在乙方不賠付甲方的情況下，乙方的年利潤了（元）與年產(chǎn)量t（噸）滿足函數(shù)關(guān)系式了二2000\；t.若乙方每生產(chǎn)一噸產(chǎn)品必須賠付甲方S元（以下稱s為賠付價格）。（1）將乙方的年利潤攻（元）表示為年產(chǎn)量t（噸）的函數(shù)，并求出乙方獲的最大利潤的年產(chǎn)量；（2）甲方每年受乙方生產(chǎn)影響的經(jīng)濟(jì)損失金額y=0.00212（元人在乙方按照獲得最大利潤的產(chǎn)量進(jìn)行生產(chǎn)的前提下，甲方要在索賠中獲得最大凈收入，應(yīng)向乙方要求的賠付價格s是多少？解（1）由題意得，乙方的實際年利潤為：攻=20005-st1000、 10002 1000、/一因為攻=2000tt-s（t）2=-s（、.:t ）2+ ，所以當(dāng)t=（ ）2時，收取ss s的最大值，因此乙方獲的最大利潤的年產(chǎn)量t=（1000）2（噸）.s（2）設(shè)甲方在索賠中獲得的凈收為V元，則V=st-0.00212，將乙方獲的最大利潤的年產(chǎn)量t=（1000）2代人上式，可得到甲方凈忙收入V與賠付價格s之間的s函數(shù)關(guān)系式V=st-0.00212=W0里-2義10003,令v'=0得s=20,因當(dāng)s<20時s s4v'>0；當(dāng)s>20時v'<0,所以當(dāng)s=20時，V可取最大值。故甲方向乙方要求的賠付價格s是20（元/噸）時，可獲得最大凈收入。1．4利用導(dǎo)數(shù)知識描繪函數(shù)圖形為有助于某些函數(shù)圖形的描繪，下面介紹曲線的漸近線。

(1)曲線的漸近線定義3若曲線上的一點沿著曲線趨于無窮遠(yuǎn)時，該點與某天直線的距離趨于0，則稱此直線為曲線的漸近線。水平漸近線若曲線y=f(x)的定義域是無限區(qū)間，且有：limf(x)=b,x，一8或limf(x)=b，則直線y=b為曲線y=f(x)的水平漸近線。xf+8垂直漸近線 若曲線y=f(x)有：limf(x)=8,或limf(x)=8,則直線xfc- xfc+x=c為曲線y=f(x)的垂直漸近線。斜漸近線 若lim[f(x)-(ax+b)]=0成立，則y=ax+b是曲線的一條斜漸xf±8近線。下面介紹求a,b的公式。由lim[f(x)-(ax+b)]=0有：xf±8TOC\o"1-5"\h\zf(x) blimx[ a--]=0\o"CurrentDocument"x.±8x x所以 lim[f(x)-a--]=0x.±8x xf(x)即a=lim x.±8x入lim[f(x)-(ax+b)]入lim[f(x)-(ax+b)]=0xf±8即可確定x.±8xb=lim[f(x)-ax]xf±8x2例10、求曲線y=--的漸近線x+1x2解：(1)因lim =8,所以x=-1是曲線的垂直漸近線x+ix+1(2)由a=limf(x)=lim =1xf8x x.8x+1和b=lim[f(和b=lim[f(x)-ax]=lim[xf8xf8-x]=limxf8-xx+1-1可知y=x-1是曲線的斜漸近線(2)函數(shù)圖形的作法導(dǎo)數(shù)未納入高中教材時，做圖形主要依靠描點作圖，這樣的圖形比較粗糙。導(dǎo)數(shù)的出現(xiàn)能更好的反應(yīng)出導(dǎo)數(shù)的各種性態(tài)。描繪圖形的一般步驟如下：①確定函數(shù)的定義域、值域及函數(shù)初等形態(tài)(對稱性、周期性、奇偶性)等;②求出f'(x)，f''(x)；③列表討論函數(shù)單調(diào)性、凹凸性及極值、拐點；④確定曲線的漸近線；⑤由曲線方程找出一些特殊點的坐標(biāo)；⑥用光滑曲線連接，畫出y=f(x)的圖象。. 4(x+1)-..例11、作函數(shù)y= -2的圖形x2解：函數(shù)的定義域為{xIx中0,xeR}4(x+2) 8(x+3)y'= ,y"= x3 x4令y=0，得x=-2；令y”=0,得x=-3。列表如下：x(-8,-3)-3(-3,-2)-2(-2,0)0(0,+8)y,0+不存在y"0+++不存在+y拐點-26極小值/不存在

又lim[4(x+1)—2]=8,，x=—2為曲線的水平漸進(jìn)線xf0 x2..lim[4(x+0一2]=8,，x=0為曲線的鉛垂?jié)u進(jìn)線?xf0 x2曲線經(jīng)過(1+50)，(1一\：’3,0)，一一_.一2....(1,6),(2,1),(3,--)這幾個點99)1、9)1、5利用導(dǎo)數(shù)求參數(shù)問題利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)中參數(shù)的圍，它是利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)性、極值、最值的延伸。例12、(05理)已知向量a=(x2,x+1),b=(1一x,t)，若f(x)=a?b在區(qū)間(-1,1)上是增函數(shù)，求t的取值圍.—? —?解：由向量的數(shù)量積定義，f(x)=a?b=x2(1一x)+1(x+1)=一x3+x2+tx+1，f'(x)=一3x2+2x+1,又f(x)=a?b在區(qū)間(-1,1)上是增函數(shù)，則f(x)>0ot>3x2—2x在(-1,1)上恒成立.令g(x)=3x2—2x在區(qū)間[-1,1]上，則g(x) =g(一1)=5,max故在區(qū)間(-1,1)上使t>g(x)恒成立，只需t>g(—1)即可，即t>5.即t的取值圍是［5,+8).2、導(dǎo)數(shù)在曲線中的應(yīng)用曲線y=f(x)在點x0處的導(dǎo)數(shù)f1(x0)在幾何上表示為：曲線y=f(x)在點

A(x,y)處切線的斜率。即f1(x)=tana。00利用導(dǎo)數(shù)這一幾何意義可以幫助我們解決解析幾何中有關(guān)曲線的一些問題例13、(2003全國高考題)已知拋物線,：y=x2+2x和拋物線c:y=-x2+a,當(dāng)a取何值時，c和c有且僅有一條公切線？寫出公切線的方2 12程。解：函數(shù)y=x2+2x的導(dǎo)數(shù)y=2x+2,曲線c在點p(x,x2+2x)的切線方程1 11 1(1)是y一(x2+2x)=(2x+2)(x一x),即y=(2x+2)x一(1)11函數(shù)y=一x2+a的導(dǎo)數(shù)y=-2x,曲線c在點Q(x,-x2+a)的切線方程是22(2)y一(一x2+a)=-2x(x一x),即y=-2xx+x2(2)22若直線l是過P和若直線l是過P和Q的公切線，則(1)式和(2)式都是l的方程所以y=(2x+2)x一x2y=-2xx+x2+a

21消去x得方程消去x得方程2x2+2x+a+1=0,11由于公切線僅有一條，所以當(dāng)例14、已知P是拋物線例14、已知P是拋物線y2=4x上的動點，求過P到直線x+y+5=0的最小于是曲線y二一2弋x上過點p(x,y)且與直線x+y+5=0平行的斜率為距離最小。由y二一2%:x得=4-8(1+a)=0,即a=—■!~時解得x=一，，此時公切線方程為y=x一工22 4解：(如圖10)由y2=4x得y=±2、：,'x易知y二一2%'x上的點到直線x+y+5=0的k=y'=——L=—1,得x=1,則Jy=-2,、.:x

. ... ...1—2+5,一,那么點p(1,2)到直線x+y+5=0的距離為I ——1=2V22故拋物線y2=4x上的動點，求過P到直線x+y+5=0的最小距離為2<2。3．利用導(dǎo)數(shù)研究方程的根例15、已知f(x)=lnx,g(x)=x，是否存在實數(shù)k，使方程1g(X2)—f(1+X2)=k有四個不同的實數(shù)根，若存在，求出k的取值圍；若不存2在，說明理由。解：令h(x)=2g(x2)—f(1+x2)=2x2-ln(1+x2)=k2x2x貝Ih'(X)=x— 1+X2X3—X X(X-1)(X+1)1+X2 1+X2令h(X)=0,得X=—1,0,1.當(dāng)X變化時，h(X)、h'(X)的變化關(guān)系如下表：X(f,-1)—1(-1,0)0(0,1)1(1,+8)h,(X)0+00+h(X)\極小值2—ln2/極大值極小值2-ln2/故存在ke(1-ln2,0),使方程有4個不同的實數(shù)根24．應(yīng)用導(dǎo)數(shù)證明不等式利用高中新增容的導(dǎo)數(shù)來證明不等式，關(guān)鍵是“構(gòu)造函數(shù)”，解決問題的依據(jù)是函數(shù)的單調(diào)性，這一方法在高等數(shù)學(xué)中應(yīng)用的非常廣泛，體現(xiàn)了導(dǎo)數(shù)的工具，也是與高等數(shù)學(xué)接軌的有力點。例16、若X>—1,證明：ln(x+1)<x

證明：令f(x)=ln(x+1)—x則當(dāng)—1<x<0時，f'(x)>0，f(x)為增函數(shù)當(dāng)x>0時，f'(x)<0,f(x)為減函數(shù)所以當(dāng)x=0時，f(x)取得最大值因此當(dāng)x>—1時恒有f(x)<0，即x>—1時，有l(wèi)n(x+1)<x例17、2004年全國卷理工22題)已知函數(shù)f(x)=ln(1+x)—x,g(x)=xInx,設(shè)0<a<b證明：0<g(a)+g(b)—2g(a^b)<(b—a)ln22證明：由g(x)=xInx有g(shù)1(x)=Inx+1一一 a+x設(shè)F(x)=g(a)+g(x)-2g(--—)a+x a+x則F1(x)=Inx+1—2[g( )]′=Inx—In——22所以o<g(a)+g(b)—2g(當(dāng)0<a<x時，F(xiàn),(x)<0,當(dāng)x>a時，F(xiàn),(x)>0因此，F(xiàn)(x)在區(qū)間(0,a)是減函數(shù)，在區(qū)間[a,+8)函數(shù)，在區(qū)間為增函數(shù)，于是在x=a,F(x)所以o<g(a)+g(b)—2g(設(shè)G(x)設(shè)G(x)=g(a)+g(x)—2g(. )—(x—a)ln2,2a+x則G(x)=g,(x)—2[g( )]′—ln2=Inx—ln(a+x)2當(dāng)x>0時，G(x)<0，因此G(x)在區(qū)間(0,+s)為減函數(shù)；因為G(a)=0,b>a,所以G(b)<0,a+b、即：g(a)+g(b)—2g(—-—)<(b-a)ln2。綜上述：0<g(a)+g(b)—2g(a^b)<(b—a)ln25．導(dǎo)數(shù)在數(shù)列中的應(yīng)用導(dǎo)數(shù)在函數(shù)與不等式方面的應(yīng)用是考試的熱點，而數(shù)列作為實質(zhì)意義上的函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究數(shù)列的單調(diào)性及最值問題更簡便。

例18、已知函數(shù)f(x)=2x—2-x，數(shù)列｛a｝滿足f(loga)=—2nn 2n(1)求a;n(2)證明數(shù)列｛a｝是遞減數(shù)列n1解：nan(1)由已知有a-—=—2n，即a2+2na—1解：nan=-n±nn2+1>0，所以a=—n+nn2+1n(2)令f(x)=—x+xx2+1x因: :<1，所以f'(x)<0xx2+1所以f所以f(x)是遞減函數(shù),則f(n)也是遞減的所以數(shù)列｛a｝是遞減數(shù)列n例19、已知數(shù)列｛高前｝，求此數(shù)列的最大項。x 10000—x解：考察函數(shù)f(x)=———(x>1),則qf，(x)=—= x+10000 2%x(x+10000)令f'(x)=0，則x=10000，而f(10000)=—,f(1)=-200 1001而limf(x)=lim1200X1200將f(10000),f(1)及l(fā)imf(x)比較知，f(x)的最大值為f(10000)=故該數(shù)列最大項為第10000項，這一項的值為-1-

6．利用導(dǎo)數(shù)求極限——洛必達(dá)法則6、1“0”型和“藝”型定理 若函數(shù)f(x)與g(x)滿足條件：(1) lim f(x) =lim g(x)= 0(或8)，xfa(xfa(xf8)(xf8)(2) f'(x(2) f'(x),g'(x)存在，且g(x)′豐0,(3)xfag'(x)(xf8)f(x) f'(x)則必有：lim =lim xfag(x)xfag'(x)(xf8) (xf8)ex-e-x-2x例20、求lim xf0x-sinx解：limxf0ex-e-x-2x ex+e-x解：limxf0ex-e-x-2x ex+e-x-2 ex-e-x ex+e-x =lim =lim =lim =2x-sinxxf01-cosx xf0sinx xf0cosx6、2其他形式洛必達(dá)法則只適應(yīng)于08“0”型和“8”型,對于其他式子，需要經(jīng)過一系列變換轉(zhuǎn)化為“0”型和“-”型，在利用洛必達(dá)法則來求解。其步驟如下：““f”08表示可轉(zhuǎn)化為)①0-8型f--8或0-180②8-8型f——-型，再經(jīng)過通分f00型。③對于00型，18型，80型，先取對數(shù)＞0-8型，在利用①的方法求解。例21、求下列極限, 兀①limx(一一arctanx)xf+8 2②lim(xf111x-1lnx③limxi-xxf1兀一一兀一一arctanx2=lim—1+-x2=1xf+8… 兀解：①(0-8型)limx(--arctanx)=limxf+8 2 xf+8x2TOC\o"1-5"\h\z01 1 xInx-x+1 1(8—8型)lim( - )=lim =—x-1X-1lnx x-1(X-1)-