現(xiàn)代控制論基礎(chǔ)課件

現(xiàn)代控制論基礎(chǔ)課件第1頁(yè)，共151頁(yè)，2023年，2月20日，星期六第2頁(yè)，共151頁(yè)，2023年，2月20日，星期六第3頁(yè)，共151頁(yè)，2023年，2月20日，星期六4第2章系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)分析——控制系統(tǒng)的狀態(tài)方程求解2.1線性定常系統(tǒng)齊次狀態(tài)方程的解2.2線性定常系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的幾種求法2.3線性定常系統(tǒng)非齊次狀態(tài)方程的解2.4

使用MATLAB對(duì)狀態(tài)空間模型進(jìn)行分析2.5線性離散系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式及連續(xù)系統(tǒng)的離散化第4頁(yè)，共151頁(yè)，2023年，2月20日，星期六本章需解決的問(wèn)題:線性定常連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)方程的解理論基本概念:狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣和矩陣指數(shù)函數(shù)eAt的性質(zhì)和計(jì)算如何將線性定常連續(xù)系統(tǒng)離散化線性定常離散系統(tǒng)狀態(tài)方程的解理論第5頁(yè)，共151頁(yè)，2023年，2月20日，星期六6§

2.1.線性定常連續(xù)系統(tǒng)齊次狀態(tài)方程的解

可見(jiàn)，輸出方程求解要依賴狀態(tài)方程的解。關(guān)鍵是求解狀態(tài)方程。本節(jié)重點(diǎn)來(lái)討論這個(gè)問(wèn)題。

前面我們?cè)敿?xì)討論了狀態(tài)空間表達(dá)式的建立及相互轉(zhuǎn)換。在建立了新的數(shù)學(xué)模型之后，接著就是求解問(wèn)題。由于狀態(tài)空間表達(dá)式由兩部分組成,即第6頁(yè)，共151頁(yè)，2023年，2月20日，星期六在討論一般線性定常連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)方程的解之前,先討論線性定常齊次狀態(tài)方程的解,以引入矩陣指數(shù)函數(shù)和狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣等概念。所謂齊次狀態(tài)方程就是指狀態(tài)方程中不考慮輸入項(xiàng)(u(t)=0)的作用,滿足方程解的齊次性。研究齊次狀態(tài)方程的解就是研究系統(tǒng)本身在無(wú)外力作用下的自由(自治)運(yùn)動(dòng)。所謂非齊次狀態(tài)方程就是指狀態(tài)方程中輸入項(xiàng)的作用,狀態(tài)方程解對(duì)輸入具有非齊次性。研究非齊次狀態(tài)方程的解就是研究系統(tǒng)在外力作用下的強(qiáng)迫運(yùn)動(dòng)。第7頁(yè)，共151頁(yè)，2023年，2月20日，星期六8一、齊次狀態(tài)方程的解所謂齊次狀態(tài)方程，與齊次微分方程類似，即輸入u(t)=0的情況。故齊次方程為：

對(duì)于定常系統(tǒng)，設(shè)初始時(shí)刻t0=0，初始狀態(tài)為x0

對(duì)上述齊次狀態(tài)方程,常用的常微分方程求解方法有級(jí)數(shù)展開(kāi)法和拉氏變換法2種。第8頁(yè)，共151頁(yè)，2023年，2月20日，星期六1.級(jí)數(shù)展開(kāi)法第9頁(yè)，共151頁(yè)，2023年，2月20日，星期六

---解的變化是按指數(shù)形式變化的。對(duì)于狀態(tài)方程的解，是否也具有指數(shù)形式呢？第10頁(yè)，共151頁(yè)，2023年，2月20日，星期六第11頁(yè)，共151頁(yè)，2023年，2月20日，星期六12第12頁(yè)，共151頁(yè)，2023年，2月20日，星期六結(jié)論13對(duì)比可知矩陣方程的解：第13頁(yè)，共151頁(yè)，2023年，2月20日，星期六求矩陣指數(shù)函數(shù)：14關(guān)鍵問(wèn)題：第14頁(yè)，共151頁(yè)，2023年，2月20日，星期六2．拉氏變換法若將對(duì)標(biāo)量函數(shù)拉氏變換的定義擴(kuò)展到向量函數(shù)和矩陣函數(shù),定義對(duì)向量函數(shù)和矩陣函數(shù)的拉氏變換為分別對(duì)該向量函數(shù)和矩陣函數(shù)的各個(gè)元素求相應(yīng)的拉氏變換,那么可利用拉氏變換及拉氏反變換的方法求解齊次狀態(tài)方程的解。第15頁(yè)，共151頁(yè)，2023年，2月20日，星期六16齊次方程為：設(shè)初始時(shí)刻t0=0，初始狀態(tài)為x0

采用拉氏變換法求解：對(duì)齊次方程兩邊取拉氏變換.反變換即得齊次狀態(tài)方程的解：第16頁(yè)，共151頁(yè)，2023年，2月20日，星期六第17頁(yè)，共151頁(yè)，2023年，2月20日，星期六18下面就來(lái)討論：---解的變化是按指數(shù)形式變化的。對(duì)于狀態(tài)方程的解，是否也具有指數(shù)形式呢？分析標(biāo)量微分方程可知第18頁(yè)，共151頁(yè)，2023年，2月20日，星期六19第19頁(yè)，共151頁(yè)，2023年，2月20日，星期六20第20頁(yè)，共151頁(yè)，2023年，2月20日，星期六21第21頁(yè)，共151頁(yè)，2023年，2月20日，星期六22第22頁(yè)，共151頁(yè)，2023年，2月20日，星期六23一、齊次狀態(tài)方程的解所謂齊次狀態(tài)方程，與齊次微分方程類似，即輸入u(t)=0的情況。故齊次方程為：設(shè)初始時(shí)刻t0=0，初始狀態(tài)為x0

采用拉氏變換法求解：對(duì)齊次方程兩邊取拉氏變換.反變換即得齊次狀態(tài)方程的解：第23頁(yè)，共151頁(yè)，2023年，2月20日，星期六24下面就來(lái)討論：---解的變化是按指數(shù)形式變化的。對(duì)于狀態(tài)方程的解，是否也具有指數(shù)形式呢？分析標(biāo)量微分方程可知第24頁(yè)，共151頁(yè)，2023年，2月20日，星期六25第25頁(yè)，共151頁(yè)，2023年，2月20日，星期六26逐項(xiàng)變換即x(t)=e-Atx0

當(dāng)初始時(shí)刻為t0≠0,初始狀態(tài)為x(t0)時(shí)所以齊次狀態(tài)方程的解可寫(xiě)為第26頁(yè)，共151頁(yè)，2023年，2月20日，星期六273.求齊次狀態(tài)解的關(guān)鍵是求轉(zhuǎn)移矩陣eAt，前面已給出了兩種方法：2.系統(tǒng)狀態(tài)的變化實(shí)質(zhì)上是從初始狀態(tài)開(kāi)始的狀態(tài)轉(zhuǎn)移，而轉(zhuǎn)移規(guī)律取決于eAt

，eA(t-t0)

故稱其為狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣.一般用1.齊次狀態(tài)方程的解表示了系統(tǒng)在初始條件作用下的自由運(yùn)動(dòng)，又稱為零輸入解；小結(jié)：來(lái)表示。第27頁(yè)，共151頁(yè)，2023年，2月20日，星期六28a)拉氏變換法：例：已知系統(tǒng)的狀態(tài)方程為：試求在初始狀態(tài)時(shí)的狀態(tài)解。

由于按冪級(jí)數(shù)計(jì)算不易寫(xiě)出閉式的結(jié)果，故通常用拉氏變換法。b)冪級(jí)數(shù)法：第28頁(yè)，共151頁(yè)，2023年，2月20日，星期六29解：1.求eAt第29頁(yè)，共151頁(yè)，2023年，2月20日，星期六30所以

2.求x(t):第30頁(yè)，共151頁(yè)，2023年，2月20日，星期六31二.狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣：的解Φ(t),定義為系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣。1.定義：線性定常系統(tǒng)，初始時(shí)刻t0

=0,滿足以下矩陣微分方程和初始條件

在狀態(tài)空間分析中狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣是一個(gè)十分重要的概念。第31頁(yè)，共151頁(yè)，2023年，2月20日，星期六32討論：（1）滿足上述定義的解為Φ(t)=eAt(t0=0)證明：第32頁(yè)，共151頁(yè)，2023年，2月20日，星期六33所以當(dāng)Φ(t)=eAt時(shí)，又因?yàn)棣?t)=eAt(t=0時(shí))eA0=I+A0+...=I

所以Φ(0)=I故eAt

是狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣Φ(t)（2）狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣Φ(t)是A陣同階的方陣，其元素均為時(shí)間函數(shù).第33頁(yè)，共151頁(yè)，2023年，2月20日，星期六34

由于狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣具有矩陣指數(shù)函數(shù)的形式，故可推出如下性質(zhì)2.性質(zhì)：（1）Φ(t-t0)是非奇異陣.且第34頁(yè)，共151頁(yè)，2023年，2月20日，星期六35（2）其中第35頁(yè)，共151頁(yè)，2023年，2月20日，星期六36（3）（4）第36頁(yè)，共151頁(yè)，2023年，2月20日，星期六37由此關(guān)系可用于從eAt

反求A.例：已知（5）第37頁(yè)，共151頁(yè)，2023年，2月20日，星期六38（6）若則第38頁(yè)，共151頁(yè)，2023年，2月20日，星期六39第39頁(yè)，共151頁(yè)，2023年，2月20日，星期六40第40頁(yè)，共151頁(yè)，2023年，2月20日，星期六41當(dāng)系統(tǒng)輸入u≠0

時(shí)，其S-E為.

直接用分離變量法積分求解方程與采用拉式變換法求解方程,其結(jié)果是一致的.只討論第一種方法.三.非齊次狀態(tài)方程的解：第41頁(yè)，共151頁(yè)，2023年，2月20日，星期六42左乘e-

At：移項(xiàng)：即在區(qū)間[t0,t]上積分第42頁(yè)，共151頁(yè)，2023年，2月20日，星期六43結(jié)論：非齊次狀態(tài)方程的解由兩部分組成：a).由初始狀態(tài)產(chǎn)生的自由分量—零輸入解b).由輸入引起的強(qiáng)迫分量—零狀態(tài)解即或：第43頁(yè)，共151頁(yè)，2023年，2月20日，星期六44例：已知系統(tǒng)由前例得：解：1.求eAt

：試求：x(0)=0,u(t)=1(t)時(shí)的狀態(tài)解。第44頁(yè)，共151頁(yè)，2023年，2月20日，星期六452.求x(t)第45頁(yè)，共151頁(yè)，2023年，2月20日，星期六46

所謂脈沖響應(yīng)，即初始條件為零時(shí)，輸入u為單位脈沖函數(shù)δ(t)，系統(tǒng)的輸出稱為脈沖響應(yīng)。四.系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)及脈沖相應(yīng)矩陣：

根據(jù)這個(gè)定義，可求線性定常系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)。但是多變量系統(tǒng)的輸入有r個(gè)，輸出有m個(gè)。則脈沖響應(yīng)顯然與傳遞函數(shù)陣的維數(shù)不同,即系統(tǒng)地輸出為Y(s)=G(s)U(s)是m×1維的列向量.而G(s)是m×r維矩陣.在單變量系統(tǒng)定義脈沖響應(yīng)函數(shù)為h(t)=L-1[G(s)]第46頁(yè)，共151頁(yè)，2023年，2月20日，星期六47即h(t)=L-1[G(s)]

m×r

,而y(t)=L-1[G(s)U(s)]m×1

為了將這一含義推廣到多變量系統(tǒng)，我們按以下方式定義脈沖響應(yīng)函數(shù)陣。以后將會(huì)知道，在多變量系統(tǒng)中,脈沖響應(yīng)函數(shù)陣雖不等于真正的脈沖響應(yīng)輸出y(t),但卻等于傳遞矩陣的拉式反變換。定義：m×r階矩陣h(t)=CeAtB稱為系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)矩陣。第47頁(yè)，共151頁(yè)，2023年，2月20日，星期六48狀態(tài)解為：初始時(shí)刻t0=0初始狀態(tài)x(0)=0

設(shè)系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式為則輸出解為：第48頁(yè)，共151頁(yè)，2023年，2月20日，星期六49討論單變量系統(tǒng)的情況:當(dāng)輸入--卷積第49頁(yè)，共151頁(yè)，2023年，2月20日，星期六50

以上關(guān)系表明h(t)包含了G(s)的全部信息，也反映系統(tǒng)的基本傳遞特性。反之性質(zhì)：1.h(t)是傳遞矩陣的拉式變換第50頁(yè)，共151頁(yè)，2023年，2月20日，星期六512.h(t)在線性變換下的不變性：即證明:令線性變換后.其中: 第51頁(yè)，共151頁(yè)，2023年，2月20日，星期六52則狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣滿足以下性質(zhì)：一般有：第52頁(yè)，共151頁(yè)，2023年，2月20日，星期六531.齊次狀態(tài)方程的解：小結(jié)：本節(jié)主要討論了狀態(tài)求解的問(wèn)題：2.非齊次狀態(tài)方程的解：第53頁(yè)，共151頁(yè)，2023年，2月20日，星期六544.脈沖響應(yīng)矩陣：定義：滿足矩陣微分方程的解Φ（t）3.狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣：第54頁(yè)，共151頁(yè)，2023年，2月20日，星期六55§2.2線性定常連續(xù)系統(tǒng)Φ(t)的算法1.對(duì)低階系統(tǒng)（三階以下）計(jì)算較方便，寫(xiě)出的結(jié)果是解析式，在實(shí)際中最常用。特點(diǎn)：一.拉氏變換法： 前面已在求狀態(tài)解時(shí)推出

在線性定常系統(tǒng)狀態(tài)方程的求解中，關(guān)鍵是求Φ(t),本節(jié)介紹幾種算法:2.對(duì)于高階系統(tǒng)，會(huì)遇到求逆的困難,如第55頁(yè)，共151頁(yè)，2023年，2月20日，星期六56

求逆陣可采用一些數(shù)值計(jì)算方法，用計(jì)算機(jī)計(jì)算。求逆變換關(guān)鍵是高階分解因式，部分分式展開(kāi)很麻煩。二.冪級(jí)數(shù)法：此法是一種直接計(jì)算法，前面已介紹過(guò)。第56頁(yè)，共151頁(yè)，2023年，2月20日，星期六57特點(diǎn)：是一種無(wú)窮開(kāi)式，很難寫(xiě)成閉式，一般采用近似計(jì)算，精度將取決于所取項(xiàng)數(shù)的多少，適合于計(jì)算機(jī)計(jì)算。例：已知系統(tǒng)的狀態(tài)方程為：試求其狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣.解：將A陣代入冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式第57頁(yè)，共151頁(yè)，2023年，2月20日，星期六58第58頁(yè)，共151頁(yè)，2023年，2月20日，星期六59三.對(duì)角形法與約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形法：1.矩陣A的特征值λ1λ2…λn互不相同，其狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣可由下式求得其中：P是使A化成對(duì)角形的線性變換。第59頁(yè)，共151頁(yè)，2023年，2月20日，星期六60則證明：λ1λ2…λn

互異，必有非奇異矩陣P，將A化成對(duì)角形，即：第60頁(yè)，共151頁(yè)，2023年，2月20日，星期六61

小結(jié)：利用對(duì)角線法eAt的方法:1.求λ1λ2…λn（條件：λ1λ2…λn

互異）;2.求特征矢量：P1P2…Pn;

3.寫(xiě)出變換陣P=[P1P2…Pn

],求出P-14.求eAt

：特點(diǎn)：求P陣比較麻煩，常用于理論推導(dǎo)。第61頁(yè)，共151頁(yè)，2023年，2月20日，星期六62例：已知用對(duì)角形求Φ（t）解：1.求特征值：第62頁(yè)，共151頁(yè)，2023年，2月20日，星期六632.求特征矢量：即解出：第63頁(yè)，共151頁(yè)，2023年，2月20日，星期六64第64頁(yè)，共151頁(yè)，2023年，2月20日，星期六65第65頁(yè)，共151頁(yè)，2023年，2月20日，星期六663.求P，P-1：4.求

eAt

：第66頁(yè)，共151頁(yè)，2023年，2月20日，星期六67第67頁(yè)，共151頁(yè)，2023年，2月20日，星期六682.矩陣A有相重特征值:

定理：若矩陣A有相重特征值，其狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣可由下式求得第68頁(yè)，共151頁(yè)，2023年，2月20日，星期六69

eAt=QeJtQ-1

其中：Q是使A化為約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形J的線性變換陣。證明:若A陣具有重特征值，且每個(gè)互異特征值對(duì)應(yīng)一個(gè)獨(dú)立的特征矢量，則必存在一個(gè)非奇異陣Q，使A陣化為約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形J。 即其中

則J=QAQ-1第69頁(yè)，共151頁(yè)，2023年，2月20日，星期六70其中：若Ji為J的約當(dāng)塊，則eJit為Φ（t）中對(duì)應(yīng)的約當(dāng)塊。第70頁(yè)，共151頁(yè)，2023年，2月20日，星期六71證明:以Ji有三重特征值為例證明。此時(shí)第71頁(yè)，共151頁(yè)，2023年，2月20日，星期六72第72頁(yè)，共151頁(yè)，2023年，2月20日，星期六73

步驟：求eAt

的方法同對(duì)角形求法相一致

1.求λi

；

2.求Qi

；

3.求eAt=QeJtQ-1第73頁(yè)，共151頁(yè)，2023年，2月20日，星期六74四.化eAt

為A的有限項(xiàng)法：

由于eAt

可展開(kāi)無(wú)窮級(jí)數(shù)，但計(jì)算時(shí)只取有限項(xiàng)，計(jì)算結(jié)果是不準(zhǔn)確的，若能把無(wú)窮項(xiàng)級(jí)數(shù)化成有限項(xiàng)，則計(jì)算會(huì)簡(jiǎn)便準(zhǔn)確。1.

化有限項(xiàng)的有關(guān)理論：

凱—哈定理及最小多項(xiàng)式的概念在現(xiàn)代理論中經(jīng)常用到.下面簡(jiǎn)要介紹一下有關(guān)內(nèi)容：1）矩陣A的零化多項(xiàng)式： 定理：設(shè)有變量s的多項(xiàng)式，矩陣A是n×n階方陣，若滿足：第74頁(yè)，共151頁(yè)，2023年，2月20日，星期六75

則稱為矩陣Ａ的零化多項(xiàng)式。

2）凱—哈密頓定理 定理：矩陣Ａ的特征多項(xiàng)式是Ａ的零化多項(xiàng)式。即：證明：第75頁(yè)，共151頁(yè)，2023年，2月20日，星期六76

又因?yàn)? 中各元為(n-1)次多項(xiàng)式，故可一般表示為： 代入上式有： 用A代替s將上式展開(kāi)得 第76頁(yè)，共151頁(yè)，2023年，2月20日，星期六773）矩陣A的最小多項(xiàng)式：定義：A的零化多項(xiàng)式中，次數(shù)最低的零化多項(xiàng)式稱為A的最小多項(xiàng)式。用表示。 的求法：定理：設(shè)A的伴隨矩陣全部元素的最大公因子為d(s)則. 第77頁(yè)，共151頁(yè)，2023年，2月20日，星期六78注：1.該定理證明要用到矩陣多項(xiàng)式的概念. 2.計(jì)算要先求。將各元變?yōu)橐蜃酉喑说亩囗?xiàng)式。從中找出各元的最大公因子，且取首1多項(xiàng)式的形式. 例：已知：試求A的最小多項(xiàng)式并驗(yàn)證凱—哈定理。第78頁(yè)，共151頁(yè)，2023年，2月20日，星期六79解：

1.第79頁(yè)，共151頁(yè)，2023年，2月20日，星期六80所以最大因子：故A的最小多項(xiàng)式為：

進(jìn)一步可驗(yàn)證上式是以A為根的零化多項(xiàng)式第80頁(yè)，共151頁(yè)，2023年，2月20日，星期六812.驗(yàn)證凱—哈定理： 第81頁(yè)，共151頁(yè)，2023年，2月20日，星期六82則An可表示成低于n階冪矩陣的線性組合。2.eAt

能化成有限項(xiàng)的依據(jù)：

由凱—哈定理知：矩陣A的特征多項(xiàng)式是A的零化多項(xiàng)式，即第82頁(yè)，共151頁(yè)，2023年，2月20日，星期六83由此可推得：上式表明：對(duì)于k≥n，Ak均可用An-1，…，A,I這n個(gè)獨(dú)立項(xiàng)的線性組合來(lái)表示。所以可將eAt無(wú)窮項(xiàng)化成有限項(xiàng)。第83頁(yè)，共151頁(yè)，2023年，2月20日，星期六84故可令：

設(shè)n個(gè)根為λ1λ2…..λn，按上式對(duì)每個(gè)根都有以下結(jié)果即特征方程第一種情況：A的特征值互異2.待定系數(shù)的求法

式中，—n個(gè)待定系數(shù)，是t的標(biāo)量函數(shù)。第84頁(yè)，共151頁(yè)，2023年，2月20日，星期六85于是對(duì)于其中系數(shù)與前面eAt的系數(shù)相同。當(dāng)k≥n

時(shí)，λik的各項(xiàng)均可用的線性組合表示，得出下列方程組：第85頁(yè)，共151頁(yè)，2023年，2月20日，星期六86解此方程組，得系數(shù)例：已知試用化為A的有限項(xiàng)法求第86頁(yè)，共151頁(yè)，2023年，2月20日，星期六87解：1.求特征值2.求系數(shù)第87頁(yè)，共151頁(yè)，2023年，2月20日，星期六88第88頁(yè)，共151頁(yè)，2023年，2月20日，星期六893.求

第89頁(yè)，共151頁(yè)，2023年，2月20日，星期六90第90頁(yè)，共151頁(yè)，2023年，2月20日，星期六91第二種情況：A有相重特征值設(shè)A有n重特征值λ1

，則按以上方法必有下式

但由于是n重根，不能按同樣形式寫(xiě)出n個(gè)方程，對(duì)上式依次對(duì)λ1求導(dǎo)，直至（n-1）次，可得到（n-1）個(gè)導(dǎo)數(shù)方程。然后聯(lián)立這n個(gè)方程解出n個(gè)待定系數(shù)。即

第91頁(yè)，共151頁(yè)，2023年，2月20日，星期六92解方程組即可求得系數(shù)。第92頁(yè)，共151頁(yè)，2023年，2月20日，星期六93

第三種情況：系統(tǒng)有單根，也有重特征根設(shè)系統(tǒng)矩陣A的特征值中，λ1為m重特征值，λm+1，…，λn為互異的單特征值，根據(jù)情況二列寫(xiě)m個(gè)方程，根據(jù)情況一列寫(xiě)（n?m）個(gè)方程，解上述n個(gè)方程，即可得出系數(shù)的計(jì)算公式。例：已知系統(tǒng)矩陣試用化eAt為A的有限項(xiàng)法求eAt。第93頁(yè)，共151頁(yè)，2023年，2月20日，星期六942.求系數(shù)αi(t)：解：1.求特征值：第94頁(yè)，共151頁(yè)，2023年，2月20日，星期六95

即第95頁(yè)，共151頁(yè)，2023年，2月20日，星期六963.求eAt

：第96頁(yè)，共151頁(yè)，2023年，2月20日，星期六97

可見(jiàn)，以上幾例求出的eAt

中各元都是的線性組合。第97頁(yè)，共151頁(yè)，2023年，2月20日，星期六98§2-3 線性離散系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式及連續(xù)系統(tǒng)的離散化一.離散系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式1.一般形式。由離散狀態(tài)方程和離散輸出方程組成。式中：T是采樣周期。方程中的矢量，各系數(shù)矩陣的名稱和維數(shù)都與連續(xù)系統(tǒng)相同，為簡(jiǎn)單起見(jiàn)常省去T將方程寫(xiě)成如下形式

第98頁(yè)，共151頁(yè)，2023年，2月20日，星期六99即：2.結(jié)構(gòu)圖。上述方程可用結(jié)構(gòu)圖來(lái)表示第99頁(yè)，共151頁(yè)，2023年，2月20日，星期六1003.差分方程和脈沖傳遞函數(shù)與離散狀態(tài)空間表達(dá)式之間的轉(zhuǎn)換在單變量離散系統(tǒng)中，數(shù)學(xué)模型分為差分方程和脈沖傳遞函數(shù)兩類，它們與離散狀態(tài)空間表達(dá)式之間的變換，和連續(xù)系統(tǒng)分析相類似。連續(xù)D.E離散差分方程脈沖傳函狀態(tài)空間表T.FS.E 達(dá)式第100頁(yè)，共151頁(yè)，2023年，2月20日，星期六101解：1,G(z)差分方程狀態(tài)空間表達(dá)式例：已知脈沖傳遞函數(shù)為試求其狀態(tài)空間表達(dá)式差分方程為第101頁(yè)，共151頁(yè)，2023年，2月20日，星期六102所以第102頁(yè)，共151頁(yè)，2023年，2月20日，星期六1032.G（z）部分分式法狀態(tài)空間表達(dá)式則第103頁(yè)，共151頁(yè)，2023年，2月20日，星期六1043.狀態(tài)空間表達(dá)式G（z）第104頁(yè)，共151頁(yè)，2023年，2月20日，星期六105

對(duì)連續(xù)系統(tǒng)，若常用數(shù)字計(jì)算機(jī)進(jìn)行實(shí)時(shí)控制或求解，首先必須把連續(xù)系統(tǒng)轉(zhuǎn)化成離散系統(tǒng)，這個(gè)過(guò)程稱之為連續(xù)系統(tǒng)的離散化。二.定常連續(xù)系統(tǒng)的離散化離散方程設(shè)定常連續(xù)系統(tǒng)第105頁(yè)，共151頁(yè)，2023年，2月20日，星期六106連續(xù)系統(tǒng)其狀態(tài)解為：即取t0=Kt,t=(k+1)T1、直接離散化：離散化的實(shí)質(zhì)就是用一個(gè)矩陣差分方程去代替一個(gè)矩陣微分方程。第106頁(yè)，共151頁(yè)，2023年，2月20日，星期六107在其輸入向量u(t)=u(kT)，初始時(shí)刻t0

=kT，則狀態(tài)方程的解為

對(duì)第二項(xiàng)積分作變量代換：令t=（k+1）T-τ；dt=-dτ上限：τ=（k+1）T，t=(k+1)T-τ=0下限：τ=kT,t=(k+1)T-τ=T第107頁(yè)，共151頁(yè)，2023年，2月20日，星期六108第108頁(yè)，共151頁(yè)，2023年，2月20日，星期六109

例：求的離散化方程解：先求eAt：由拉氏變換法得第109頁(yè)，共151頁(yè)，2023年，2月20日，星期六110第110頁(yè)，共151頁(yè)，2023年，2月20日，星期六111第111頁(yè)，共151頁(yè)，2023年，2月20日，星期六112U(s)G0(s)Y(s)2、由脈沖傳函實(shí)現(xiàn)離散化步驟：1首先求連續(xù)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)2按照離散系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖求脈沖傳函3按脈沖傳函與標(biāo)準(zhǔn)型狀態(tài)空間表達(dá)式的關(guān)系寫(xiě)出離散化的狀態(tài)空間表達(dá)式第112頁(yè)，共151頁(yè)，2023年，2月20日，星期六113U(s)解：因?yàn)殡x散化后的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖為：上圖的傳遞函數(shù)為：例1-26已知連續(xù)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為，試求其離散化狀態(tài)空間表達(dá)式第113頁(yè)，共151頁(yè)，2023年，2月20日，星期六114對(duì)上式取z變換：最后由G（z）寫(xiě)出其能控標(biāo)準(zhǔn)型的狀態(tài)空間表達(dá)式第114頁(yè)，共151頁(yè)，2023年，2月20日，星期六115§2-4離散系統(tǒng)狀態(tài)方程的解k=0時(shí),x(1)=Gx(0)+Hu(0)k=1時(shí),x(2)=Gx(1)+Hu(1)=G2X(0)+GHu(0)+Hu(1) ……一.定常離散系統(tǒng)狀態(tài)方程的解：（兩種方法）1迭代法：狀態(tài)方程本身就是一個(gè)基本的迭代方程依次將采樣時(shí)刻k=0，1，2，3……代入上式即可。已知：初始時(shí)刻KT=0，初始狀態(tài)為x(0)第115頁(yè)，共151頁(yè)，2023年，2月20日，星期六116幾點(diǎn)討論：2).第k個(gè)采樣時(shí)刻的狀態(tài)，只與采樣時(shí)刻0,1,2…k-1時(shí)的輸入值有關(guān)系，而與第k個(gè)次采樣時(shí)刻輸入值無(wú)關(guān)，這是慣性系統(tǒng)的一個(gè)基本特征；由初始狀態(tài)引起的響應(yīng)——反映系統(tǒng)的自由運(yùn)動(dòng)——零輸入響應(yīng)由輸入引起的響應(yīng)——反映系統(tǒng)的強(qiáng)迫運(yùn)動(dòng)——零狀態(tài)響應(yīng)。1).定常離散系統(tǒng)的狀態(tài)解由兩部分組成：第116頁(yè)，共151頁(yè)，2023年，2月20日，星期六117φ(k)也滿足狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的兩個(gè)定義條件：矩陣差分方程：φ(k+1)=Gφ(k)初始條件：φ(0)=

G0=I證明：

3).與連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)解比較上式中的Gk稱為定常離散系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣，記為φ(k)=Gk第117頁(yè)，共151頁(yè)，2023年，2月20日，星期六118

4).φ(k)的基本性質(zhì)第118頁(yè)，共151頁(yè)，2023年，2月20日，星期六119序列：或5).引入φ(k)后，狀態(tài)解又可表示為：序列：第119頁(yè)，共151頁(yè)，2023年，2月20日，星期六1202.z變換法：對(duì)方程兩邊取z變換與第一種方法比較可知：求反變換：第120頁(yè)，共151頁(yè)，2023年，2月20日，星期六121所以第121頁(yè)，共151頁(yè)，2023年，2月20日，星期六1222.迭代法求出的解是一個(gè)數(shù)值解。只能求出某一時(shí)刻的數(shù)值。但迭代公式本身就是狀態(tài)方程，簡(jiǎn)單方便，而且不用求出狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣Gk；如果已求出φ(k)=Gk，則可用解的迭代公式求出自由分量和強(qiáng)迫分量.1.z變換求出的解是一個(gè)完整解，其中解的結(jié)構(gòu)可分為自由解和強(qiáng)迫解兩部分，可分別求出，對(duì)分析運(yùn)動(dòng)過(guò)程有本質(zhì)的幫助。解的形式是一個(gè)閉式，即解析式。注：第122頁(yè)，共151頁(yè)，2023年，2月20日，星期六123例：求線性定常離散系統(tǒng)的解解：(1)用迭代法求解已知第123頁(yè)，共151頁(yè)，2023年，2月20日，星期六124直至第124頁(yè)，共151頁(yè)，2023年，2月20日，星期六125(2)用標(biāo)準(zhǔn)型求Gk,再代入解的迭代公式也可先求出第125頁(yè)，共151頁(yè)，2023年，2月20日，星期六126又知u(k)=1于是（3）用z變換法求解:先計(jì)算(zI

–G

)-1第126頁(yè)，共151頁(yè)，2023年，2月20日，星期六127第127頁(yè)，共151頁(yè)，2023年，2月20日，星期六128令k=0，1，2，3，…

代入上式，可得以上兩種方法計(jì)算結(jié)果完全一致，只是迭代法是一個(gè)數(shù)值解，而z變換法則得到了一個(gè)解析表達(dá)式。第128頁(yè)，共151頁(yè)，2023年，2月20日，星期六129二、離散系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣

離散系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣Φ(k)的求取與連續(xù)系統(tǒng)轉(zhuǎn)移矩陣Φ(t)極為類似。2．z變換法根據(jù)z變換法求取離散系統(tǒng)狀態(tài)方程解中的對(duì)應(yīng)關(guān)系，狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣Φ(k)為來(lái)計(jì)算。該方法簡(jiǎn)單，易于計(jì)算機(jī)來(lái)解，但不易得到Φ(k)的封閉式。1．直接法根據(jù)離散系統(tǒng)遞推迭代法中的定義第129頁(yè)，共151頁(yè)，2023年，2月20日，星期六130那么，離散系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣Φ(k)為式中，為對(duì)角線標(biāo)準(zhǔn)形，若特征方程│λI?G│=0的特征根為λ1，λ2，…，λn，則有3．化系統(tǒng)矩陣G為標(biāo)準(zhǔn)形法（1）當(dāng)離散系統(tǒng)矩陣G的特征值均為單根時(shí)當(dāng)離散系統(tǒng)矩陣G的特征根均為單根時(shí)，經(jīng)過(guò)線性變換可將系統(tǒng)矩陣G化為對(duì)角線標(biāo)準(zhǔn)形，即第130頁(yè)，共151頁(yè)，2023年，2月20日，星期六131式中，P為化系統(tǒng)矩陣G為對(duì)角線標(biāo)準(zhǔn)形的變換矩陣。第131頁(yè)，共151頁(yè)，2023年，2月20日，星期六132例:齊次離散系統(tǒng)狀態(tài)方程為試求其狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣Φ(k)。解：其特征值λ1=?0.2λ2=?0.8化系統(tǒng)矩陣G為對(duì)角線標(biāo)準(zhǔn)形的變換矩陣P為第132頁(yè)，共151頁(yè)，2023年，2月20日，星期六133則第133頁(yè)，共151頁(yè)，2023年，2月20日，星期六134(2)當(dāng)離散系統(tǒng)矩陣G的特征值有重根時(shí)式中J—約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形；

Q—化系統(tǒng)矩陣G為約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形的變換矩陣。4．化為G的有限項(xiàng)法應(yīng)用凱萊-哈密爾頓定理，系統(tǒng)矩陣G滿足其自身的零化多項(xiàng)式。離散系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣可化為G的有限項(xiàng)，即第134頁(yè)，共151頁(yè)，2023年，2月20日，星期六135式中αi(k)(i=0，1，…n?1)為待定系數(shù)，可仿照連續(xù)系統(tǒng)的方法來(lái)求取。例:

線性定常離散系統(tǒng)的狀態(tài)方程為試求系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣Φ(k)。解：離散系統(tǒng)特征方程為第135頁(yè)，共151頁(yè)，2023年，2月20日，星期六136其特征值λ1=?1λ2=?2待定系數(shù)可按下式求取解之得則離散系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣為第136頁(yè)，共