2020-2021九年級(jí)數(shù)學(xué)直角三角形的邊角關(guān)系的專項(xiàng)培優(yōu)易錯(cuò)試卷練習(xí)題含答案及詳細(xì)答案

2020-2021九年級(jí)數(shù)學(xué)直角三角形的邊角關(guān)系的專項(xiàng)培優(yōu)易錯(cuò)試卷練習(xí)題（含答

案）及詳細(xì)答案一、直角三角形的邊角關(guān)系1.如圖，平臺(tái)AB高為12m,在B處測(cè)得樓房CD頂部點(diǎn)D的仰角為45°,底部點(diǎn)C的俯角為30°,求樓房CD的高度（*；3=1.7）.【答案】32.4米.【解析】試題分析：首先分析圖形，根據(jù)題意構(gòu)造直角三角形.本題涉及多個(gè)直角三角形，應(yīng)利用其公共邊構(gòu)造關(guān)系式求解.試題解析：如圖，過點(diǎn)B作BE±CD于點(diǎn)E,根據(jù)題意，NDBE=45°,NCBE=30°.;AB±AC,CD±AC,???四邊形ABEC為矩形，「.CE=AB=12m,在RtACBE中，C0tNCBE=BE,CE?.BE=CE%ot30°=12x,.-3=12%汽,在RtABDE中，由NDBE=45°,得DE=BE=12<3.?.CD=CE+DE=12（v3+1），32.4.答：樓房CD的高度約為32.4m.A C考點(diǎn)：解直角三角形的應(yīng)用一一仰角俯角問題.

2.在RtAACB和^AEF中，NACB=ZAEF=90°,若點(diǎn)P是BF的中點(diǎn)，連接PC,PE.特殊發(fā)現(xiàn)：如圖1,若點(diǎn)E、F分別落在邊AB,AC上，則結(jié)論：PC=PE成立(不要求證明).問題探究：把圖1中的△AEF繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn).(1)如圖2,若點(diǎn)E落在邊CA的延長(zhǎng)線上，則上述結(jié)論是否成立？若成立，請(qǐng)給予證明；若不成立，請(qǐng)說明理由；⑵如圖3,若點(diǎn)F落在邊AB上，則上述結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)給予證明；若不成立，請(qǐng)說明理由；AC⑶記了K=k，當(dāng)k為何值時(shí)，△CPE總是等邊三角形？(請(qǐng)直接寫出后的值，不必說)BC【答案】(1)PC=PE成立(2),PC=PE成立(3)當(dāng)k為3時(shí)時(shí)，V2PE總是等邊三3角形【解析】【分析】(1)過點(diǎn)P作PM±CE于點(diǎn)M,由EF±AE,BC^AC,得至UEFIIMPIICB,從而有EMFP= ，再根據(jù)點(diǎn)P是BF的中點(diǎn)，可得EM=MC,據(jù)此得到PC=PE.MCPB(2)過點(diǎn)F作FD±AC于點(diǎn)D,過點(diǎn)P作PM±AC于點(diǎn)M,連接PD,先證△DAFM△EAF,即可得出AD=AE；再證△DAPM△EAP,即可得出PD=PE；最后根據(jù)FD±AC,BC±AC,PM^AC,可得FDIIBCIIPM,再根據(jù)點(diǎn)P是BF的中點(diǎn)，推得PC=PD,再根據(jù)PD=PE,即可得到結(jié)論.(3)因?yàn)椤鰿PE總是等邊三角形，可得NCEP=60°,NCAB=60°；由NACB=90°,求出AC ACNCBA=30°；最后根據(jù) =k, =tan30°,求出當(dāng)△CPE總是等邊三角形時(shí)，k的值是BC BC多少即可.【詳解】解：(1)PC=PE成立，理由如下：如圖2,過點(diǎn)P作PM±CE于點(diǎn)M,;EF±AE,BC±AC,，EFIIMPIICB,MCPB丁點(diǎn)P是BFMCPB丁點(diǎn)P是BF的中點(diǎn)，，EM=MC,又;PM±CE,，PC=PE；(2)PC=PE成立，理由如下:如圖3,過點(diǎn)F作FD_LAC于點(diǎn)D,過點(diǎn)P作PM_LAC于點(diǎn)M,連接PD,丁NDAF=NEAF,ZFDA=ZFEA=90°,在^DAF和^EAF中,ZDAF=ZEAF,ZFDA=ZFEA,AF=AF,△DA咫△EAF(AAS),/.AD=AE,在ADAP和4EAP中，---AD=AE,ZDAP=ZEAP,AP=AP,△DAP蘭△EAP(SAS),PD=PE,FD±AC,BC±AC,PM±AC,FDIIBCIIPM,,DM_FP~mc~~pb'???點(diǎn)P是BF的中點(diǎn)，DM=MC,又DPMJ_AC,PC=PD,又PPD=PE,PC=PE；圖3(3)如圖4,二△CPE總是等邊三角形,ZCEP=60°,ZCAB=60°,ZACB=90°,ZCBA=90°-ZACB=90°-60°=30°,ACBCAC

~BC=tan30°,ACBCAC

~BC=tan30°,「.k=tan30°=、13,3???當(dāng)k為亙時(shí)，△CPE總是等邊三角形.3【點(diǎn)睛】考點(diǎn)：1.幾何變換綜合題；2.探究型；3.壓軸題；4.三角形綜合題；5.全等三角形的判定與性質(zhì)；6.平行線分線段成比例.3.如圖，PB為。O的切線，B為切點(diǎn)，過B作OP的垂線BA,垂足為C,交。O于點(diǎn)A,連接PA,AO.并延長(zhǎng)AO交。O于點(diǎn)E,與PB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)D.（1）求證：PA是。O的切線；0C2⑵若"=；,且OC=4,求PA的長(zhǎng)和tanD的值.5【答案】（1）證明見解析；（2）PA=3」?，tanD=「：【解析】試題分析：（1）連接OB,先由等腰三角形的三線合一的性質(zhì)可得：OP是線段AB的垂直平分線，進(jìn)而可得：PA=PB,然后證明^PA8△PBO,進(jìn)而可得NPBO=NPAO,然后根據(jù)切線的性質(zhì)可得NPBO=90°,進(jìn)而可得：NPAO=90°,進(jìn)而可證：PA是。O的切線；0C2（2）連接BE,由"';且OC=4,可求AC,OA的值，然后根據(jù)射影定理可求PC的值，從而可求OP的值，然后根據(jù)勾股定理可求AP的值.試題解析：（1）連接OB,則OA=OB,「OPLAB,「.AC=BC,「?OP是AB的垂直平分線，，PA=PB,PA-PBPO-PQ<OA-OB在^PAO和^PBO中，丁 ,「.△PAS△PBO(SSS)「.NPBO=NPAO,PB=PA,丁PB為。O的切線，B為切點(diǎn)，，NPBO=90°,「.NPAO=90°,即PA±OA,「.PA是。O的切線；(2)連接BE,OC2;且OC=4,「.AC=6,「.AB=12,TOC\o"1-5"\h\z在RtAACO中，由勾股定理得：AO=\； '\二【「.AE=2OA=4\1：，OB=OA=2\「：，在RtAAPO中，;AC±OP，「.AC2=OCPC，解得：PC=9，「.OP=PC+OC=13,在RtAAPO中，由勾股定理得：AP=\."'''''=3\1：.BEDE DE 16戶 = = ［）C— 、日fADEB-△DOP旨匚DO +OE存力/日 ：］易證 ，所以 ，解得 ，36g PA5AD-2OA+DE - tan/? 則 '，在*J'』， "二考點(diǎn)：1.切線的判定與性質(zhì)；2.相似三角形的判定與性質(zhì)；3.解直角三角形.4.如圖，某校數(shù)學(xué)興趣小組為測(cè)量校園主教學(xué)樓AB的高度，由于教學(xué)樓底部不能直接到達(dá)，故興趣小組在平地上選擇一點(diǎn)C,用測(cè)角器測(cè)得主教學(xué)樓頂端A的仰角為30°,再向主教學(xué)樓的方向前進(jìn)24米，到達(dá)點(diǎn)E處（C,E,B三點(diǎn)在同一直線上），又測(cè)得主教學(xué)樓頂端A的仰角為60°,已知測(cè)角器CD的高度為1.6米，請(qǐng)計(jì)算主教學(xué)樓AB的高度.（J3，1.73,結(jié)果精確到0.1米）AA【答案】22.4m【解析】【分析】首先分析圖形，根據(jù)題意構(gòu)造直角三角形.本題涉及多個(gè)直角三角形，應(yīng)利用其公共邊構(gòu)造等量關(guān)系，進(jìn)而求解.【詳解】解：在RtAAFG中，tanNAFG=J3，AG，AGAG，「.FG= tan/AFGAG在RtAACG中，tanNACG=——,CG「?CG= =<3AG.tan/ACG又「CG-FG=24m,即<3AG-13=24m,「.AG=12《3+1.6,22.4m.??.AB=12v+1.6,22.4m.5.在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形OABC是矩形，點(diǎn)。（0,0），點(diǎn)A（3,0），點(diǎn)C（0,4）,連接OB，以點(diǎn)A為中心，順時(shí)針旋轉(zhuǎn)矩形AOCB，旋轉(zhuǎn)角為a（0o<a<360。），得到矩形ADEF，點(diǎn)O,C,B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為D,E,F.（工）如圖，當(dāng)點(diǎn)D落在對(duì)角線OB上時(shí)，求點(diǎn)D的坐標(biāo);

（口）（口）在（］）的情況下，AB與DE交于點(diǎn)H.①求證ABDE=ADBA；②求點(diǎn)H的坐標(biāo).（叫a為何值時(shí)，F(xiàn)B=FA.（直接寫出結(jié)果即可）.,5472 25【答案】（］）點(diǎn)D的坐標(biāo)為（二,二）；（口）①證明見解析；②點(diǎn)H的坐標(biāo)為（3,—）；2525 8（叫a=60。或300°.【解析】【分析】（I）過A、D分別作AM1OB,DN1OA，根據(jù)點(diǎn)A、點(diǎn)C的坐標(biāo)可得出OA、OC的長(zhǎng)，根據(jù)矩形的性質(zhì)可得AB、OB的長(zhǎng)，在RtAOAM中，利用NBOA的余弦求出OM的長(zhǎng)，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得OA=AD，利用等腰三角形的性質(zhì)可得OD=2OM，在RtAODN中，利用NBOA的正弦和余弦可求出DN和ON的長(zhǎng)，即可得答案；（口）①由等腰三角形性質(zhì)可得NDOA=NODA，根據(jù)銳角互余的關(guān)系可得ZABD=NBDE，利用SAS即可證明△DBAM△BDE；②根據(jù)△DBAM△BDE可得NBEH=NDAH，BE=AD，即可證明△BHEM△DHA，可得DH=BH，設(shè)AH=x，在RtAADH中，利用勾股定理求出x的值即可得答案；（?。┤鐖D，過F作FOLAB，由性質(zhì)性質(zhì)可得NBAF=a，分別討論0<aW180°時(shí)和180°<a<360°時(shí)兩種情況，根據(jù)FB=FA可得OA=OB，利用勾股定理求出FO的長(zhǎng)，由余弦的定義即可求出NBAF的度數(shù).【詳解】（I）.?點(diǎn)A（3,0），點(diǎn)。（0,4），OA=3,OC=4..四邊形OABC是矩形，AB=OC=4，.矩形DAFE是由矩形AOBC旋轉(zhuǎn)得到的AD=AO=3.在RtAOAB中，OB=OJA2+AB2=5，過A、D分別作AM1OB,DN1OA在RtAOAM中，OMcos在RtAOAM中，OMcosZBOA= OA3OAOB59.0M=-5AD=OA,AM±OB,1Q?OD=2OM=—5DN4 ON3在RtAODN9.0M=-5AD=OA,AM±OB,1Q?OD=2OM=—5DN4 ON3在RtAODN中：sinzBOA=一二—,cos/BOA=——=-,OD5 OD572 54..DN=—,ON=——25 25(n)@v矩形DAFE是由矩形AOBC旋轉(zhuǎn)得到的,?OA=AD=3/ADE=90°,DE=AB=4...OD=AD...NDOA=/ODA.又?.NDOA+NOBA=90。，ZBDH+ZADO=90°..ZABD=ZBDE.又.BD=BD,..ABDE=ADBA.②由ABDE二ADBA,得/BEH=/DAH,BE=AD=3,又..ZBHE=ZDHA,..ABHE=ADHA.DH=BH,設(shè)AH=x,則DH=BH=4—x,在RtAADH中，AH2=AD2+DH2,即X2=32+(4-X25AH=—8,(25、.??點(diǎn)H的坐標(biāo)為3,—.I8J(叫如圖，過F作FO±AB,當(dāng)0<aW180°時(shí)，??點(diǎn)B與點(diǎn)F是對(duì)應(yīng)點(diǎn)，A為旋轉(zhuǎn)中心，?.NBAF為旋轉(zhuǎn)角，即NBAF=a,AB=AF=4,;FA=FB,FO±AB,;OA=—AB=2,2? …「OA1..cosNBAF= =一,AF2「.NBAF=60°，即a=60°，當(dāng)180°<a<360°時(shí)，同理解得：nBAF‘=60°，?二旋轉(zhuǎn)角a=360°-60°=300°.綜上所述：a=60?；?00°.【點(diǎn)睛】本題考查矩形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)變換、全等三角形的判定與性質(zhì)、銳角三角函數(shù)的定義等知識(shí)，正確找出對(duì)應(yīng)邊與旋轉(zhuǎn)角并熟記特殊角的三角函數(shù)值是解題關(guān)鍵6.如圖①，拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)A(-2,0)、B(4,0)、C(0,3)三點(diǎn).圖①圖②(1)試求拋物線的解析式；(2)點(diǎn)P是y軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接PA,試求5PA+4PC的最小值；(3)如圖②，若直線l經(jīng)過點(diǎn)T(-4,0),Q為直線l上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)以A、B、Q為頂點(diǎn)所作的直角三角形有且僅有三個(gè)時(shí)，試求直線l的解析式.TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"3 3 -【答案】(1)y=-6x2+x+3；(2)5PA+4PC的最小值為18；(3)直線l的解析式8 4\o"CurrentDocument"3 3為y=-x+3或y———x—3.4 4【解析】【分析】(1)設(shè)出交點(diǎn)式，代入C點(diǎn)計(jì)算即可 (2)連接AC、BC,過點(diǎn)A作AE±BC于點(diǎn)E,過\o"CurrentDocument"PCPD 4點(diǎn)P作PD±BC于點(diǎn)D，易證ACDPs△COB，得到比例式—— ，得至UPD=1PC，所\o"CurrentDocument"BCOB 54以5PA+4PC=5(PA+5PC)=5(PA+PD),當(dāng)點(diǎn)A、P、D在同一直線上時(shí)，5PA+4PC=518(PA+PD)=5AE最小，利用等面積法求出AE=5，即最小值為18(3)取AB中點(diǎn)F,以F為圓心、FA的長(zhǎng)為半徑畫圓,當(dāng)NBAQ=90°或NABQ=90°時(shí)，即AQ或BQ垂直x軸，所以只要直線l不垂直x軸則一定找到兩個(gè)滿足的點(diǎn)Q使NBAQ=90°或NABQ=90°,即NAQB=90°時(shí)，只有一個(gè)滿足條件的點(diǎn)Q,「?直線l與。F相切于點(diǎn)Q時(shí)，滿足NAQB=90°的點(diǎn)Q只有一個(gè)；此時(shí)，連接FQ,過點(diǎn)Q作QG±x軸于點(diǎn)G,利用cosNQFT求出QG,分出情況Q在x軸上方和x軸下方時(shí)，分別代入直接l得到解析式即可【詳解】解：(1);拋物線與x軸交點(diǎn)為A(-2,0)、B(4,0)「.y=a(x+2)(x-4)把點(diǎn)C(0,3)代入得：-82=33「.a=-一83 3 3「?拋物線解析式為y=--(x+2)(x-4)=x2+—x+38 8 4(2)連接AC、BC,過點(diǎn)A作AE±BC于點(diǎn)E,過點(diǎn)P作PD±BC于點(diǎn)D「.NCDP=NCOB=90°丁NDCP=NOCB「.△CDP-△COB.PCPDBC-O丁B(4,0),C(0,3)??.OB=4,0c=3,BC=J0B2+OC2=5「?5PA+4PC=5(PA+4pc)=5(PA+PD)「?當(dāng)點(diǎn)A、P、D在同一直線上時(shí)，5PA+4PC=5(PA+PD)=5AE最小

丁A(-2,0),OC±AB,AE±BC」?SAABC」?SAABC=-AB?OC=-BC?AEABnOCBC6ABnOCBC6義318???5PA+4PC的最小值為18.(3)取AB中點(diǎn)F,以F為圓心、FA的長(zhǎng)為半徑畫圓當(dāng)NBAQ=90°或NABQ=90°時(shí)，即AQ或BQ垂直x軸，「?只要直線l不垂直x軸則一定找到兩個(gè)滿足的點(diǎn)Q使NBAQ=90°或NABQ=90°??.NAQB=90°時(shí)，只有一個(gè)滿足條件的點(diǎn)Q丁當(dāng)Q在。F上運(yùn)動(dòng)時(shí)(不與A、B重合)，NAQB=90°「?直線l與。F相切于點(diǎn)Q時(shí)，滿足NAQB=90°的點(diǎn)Q只有一個(gè)此時(shí)，連接FQ,過點(diǎn)Q作QG±x軸于點(diǎn)G「.NFQT=90°丁F為A(-2,0)、B(4,0)的中點(diǎn)」.F(1,0),FQ=FA=3VT(-4,0)__一FQ3「.TF=5,cosNQFT=——=—TF5- FG3VRtAFGQ中，cosNQFT=——=-FQ5FG=3FQ=9125Q512r- -L(9￥QG=JFQ2-FG2-32--\ 15)_ 412①若點(diǎn)Q在x軸上方，則Q(-5，-5)設(shè)直線l解析式為：y=kx+b-4k+b=0?<4,7 12解得:一一k+b——[5 54 12②若點(diǎn)Q在x軸下方，則Q(-5，-y)3?直線l：y=—-%-34

3 3 -綜上所述,直線1的解析式為，=4%+3或尸一4x一3圖2【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)與圓的綜合題，同時(shí)涉及到三角函數(shù)、勾股定理等知識(shí)點(diǎn)，綜合度比較高，需要很強(qiáng)的綜合能力，第三問能夠找到滿足條件的Q點(diǎn)是關(guān)鍵，同時(shí)不要忘記需要分情況討論1八，7.如圖，已知二次函數(shù)y=5%2+bx+c的圖象經(jīng)過點(diǎn)A(-3,6),并與x軸交于點(diǎn)B(1,0)和點(diǎn)C,頂點(diǎn)為點(diǎn)P.(1)求這個(gè)二次函數(shù)解析式；(2)設(shè)D為x軸上一點(diǎn)，滿足NDPC=ZBAC,求點(diǎn)D的坐標(biāo)；(3)作直線AP,在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在一點(diǎn)M，在直線AP上是否存在點(diǎn)M使AM+MN的值最??？若存在，求出M、N的坐標(biāo)：若不存在，請(qǐng)說明理由.【答案】(1)點(diǎn)C坐標(biāo)為(3,0),點(diǎn)P(1,-2)；(2)點(diǎn)P(7,0)；(3)點(diǎn)N(-

7 145，石)【解析】【分析】(1)將點(diǎn)A、B坐標(biāo)代入二次函數(shù)表達(dá)式，即可求解;(2)利用'△abc=-xACxBH=-xBCxy(2)利用'△abc=-xACxBH=-xBCxyA,求出sina= =—== ，貝Utana=—，在AB2"0-J5 2△PMD中，tana=MDPM=△PMD中，tana=MDPM=x+2、遼2，即可求解;(3)作點(diǎn)A關(guān)于對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)A,(5,6)過點(diǎn)A'作A'N±AP分別交對(duì)稱軸與點(diǎn)M、交AP于點(diǎn)N，交AP于點(diǎn)N，此時(shí)AM+MN最小，即可求解.【詳解】(1)將點(diǎn)4B坐標(biāo)代入二次函數(shù)表達(dá)式得:96=--3b+32] ，解得:0=---b+c21 3，c=-I 21故：拋物線的表達(dá)式為：片5令y=0,則x=-1或3,令x令y=0,則x=-1或3,令x=0,3則y=--，故點(diǎn)C坐標(biāo)為(3，0)，點(diǎn)P(1(2)過點(diǎn)B作BH±AC交于點(diǎn)H，PC=2、2,-2)；過點(diǎn)P作PG±x軸交于點(diǎn)G,設(shè)：NDPC=NBAC=a，由題意得：AB=2<10"，AC=6$△abc=2xACxBH=-xBCx匕，解得：BH=2<2，1貝Utana=—，BH2<2 1貝Utana=—，sina= =——=：=，AB2<10、5由題意得：GC=2=PG，故NPCB=45°,延長(zhǎng)PC，過點(diǎn)D作DM±PC交于點(diǎn)M，則MD=MC=x,MDx1在4PMD中，tana===~^=—，PMx+2<22解得：x=222,貝UCD=22x=4,故點(diǎn)P(7,0)；(3)作點(diǎn)A關(guān)于對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)A(5,6),過點(diǎn)A'作AN±AP分別交對(duì)稱軸與點(diǎn)M、交AP于點(diǎn)N,此時(shí)AM+MN最小，P8 1直線AP表達(dá)式中的k值為：==-2,則直線AN表達(dá)式中的k值為不，—4 21設(shè)直線AN的表達(dá)式為：y=-x+b,7將點(diǎn)A'坐標(biāo)代入上式并求解得：b=-, 1 7?故直線A'N的表達(dá)式為：丫=5x+5…①，當(dāng)x=1時(shí)，y=4,故點(diǎn)M(1,4),同理直線AP的表達(dá)式為：y=-2x…②，聯(lián)立①②兩個(gè)方程并求解得：x=-5,7 14故點(diǎn)N(-5,—).【點(diǎn)睛】本題考查的是二次函數(shù)綜合運(yùn)用，涉及到一次函數(shù)、解直角三角形等知識(shí)，其中(3),利用對(duì)稱點(diǎn)求解最小值，是此類題目的一般方法.8.如圖(1),已知正方形ABCD在直線MN的上方BC在直線MN上，E是BC上一點(diǎn)，以AE為邊在直線MN的上方作正方形AEFG.(1)連接GD，求證：△ADG合△ABE；(2)連接FC,觀察并直接寫出NFCN的度數(shù)(不要寫出解答過程)(3)如圖(2),將圖中正方形ABCD改為矩形ABCD,AB=6,BC=8,E是線段BC上一動(dòng)點(diǎn)(不含端點(diǎn)B、C),以AE為邊在直線MN的上方作矩形AEFG,使頂點(diǎn)G恰好落在射線CD上.判斷當(dāng)點(diǎn)E由B向C運(yùn)動(dòng)時(shí)，NFCN的大小是否總保持不變，若NFCN的大小不變，請(qǐng)求出tanNFCN的值.若NFCN的大小發(fā)生改變，請(qǐng)舉例說明.【答案】(1)見解析；(2)NFCN=45°,理由見解析；(3)當(dāng)點(diǎn)E由B向C運(yùn)動(dòng)時(shí)，4NFCN的大小總保持不變，tanNFCN=-.理由見解析.【解析】【分析】(1)根據(jù)三角形判定方法進(jìn)行證明即可.(2)作FH±MN于H.先證△ABEM△EHF,得到對(duì)應(yīng)邊相等，從而推出△CHF是等腰直角三角形，NFCH的度數(shù)就可以求得了.(3)解法同(2),結(jié)合(1)(2)得：△EFHM△GAD,△EFH-△ABE,得出EH=AD=BC=8,由三角函數(shù)定義即可得出結(jié)論.【詳解】(1)證明：:四邊形ABCD和四邊形AEFG是正方形，「.AB=AD,AE=AG=EF,NBAD=NEAG=NADC=90°,「.NBAE+NEAD=NDAG+NEAD,NADG=90°=NABE,「.NBAE=NDAG,在^ADG和^ABE中，'/ADG=/ABE</DAG=/BAE,AD=AB△ADG合△ABE(AAS).(2)解：NFCN=45°,理由如下:作FH±MN于H，如圖1所示：G貝此EHF=90°=NABE,丁NAEF=ZABE=90°,「.NBAE+NAEB=90°,NFEH+NAEB=90°,「.NFEH=NBAE,在△EFH和^ABE中，叱EHF=ZABE</FEH=/BAE,、EF=AE「.△EFH合△ABE(AAS),「.FH=BE,EH=AB=BC,「.CH=BE=FH,丁NFHC=90°,「.NFCN=45°(3)當(dāng)點(diǎn)E由B向C運(yùn)動(dòng)時(shí)，NFCN的大小總保持不變，理由如下:作FH±MN于H，如圖2所示：G由已知可得NEAG=NBAD=NAEF=90°,結(jié)合（1）（2）得：△EFH合△GAD,△EFH-△ABE,「.EH=AD=BC=8,「.CH=BE,.EH_FH_FHAB-BE-CH；FHEH84在RSFEH中，tanNFCN=--=.== ,CHAB634???當(dāng)點(diǎn)E由B向C運(yùn)動(dòng)時(shí)，NFCN的大小總保持不變，tanNFCN=—3【點(diǎn)睛】本題是四邊形綜合題目，考查了正方形，矩形的判定及全等三角形的判定方法等知識(shí)點(diǎn)的綜合運(yùn)用，其重點(diǎn)是通過證三角形全等或相似來得出線段的相等或成比例.9.現(xiàn)有一個(gè)2，型的工件（工件厚度忽略不計(jì)），如圖所示，其中AB為20cm,BC為60cm,NABC=90,NBCD=60°,求該工件如圖擺放時(shí)的高度（即A到CD的距離）.（結(jié)果精確到0.1m,參考數(shù)據(jù)：」*1.73）C D【答案】工件如圖擺放時(shí)的高度約為61.9cm.【解析】【分析】過點(diǎn)A作AP±CD于點(diǎn)P,交BC于點(diǎn)Q,由NCQP=ZAQB,ZCPQ=ZB=90°知NA=ZC=60°,在4ABQ中求得分別求得AQ、BQ的長(zhǎng)，結(jié)合BC知CQ的長(zhǎng)，在△CPQ中可得PQ,根據(jù)AP=AQ+PQ得出答案.【詳解】解：如圖，過點(diǎn)A作AP±CD于點(diǎn)P,交BC于點(diǎn)Q,A丁ZCQP=ZAQB,ZCPQ=ZB=90°,「.ZA=ZC=60°,AB20 40在^ABQ中，:AQ=1 (cm),BQ=ABtanA=20tan60°=20\:(cm),??.CQ=BC-BQ=60-20「：(cm),在^CPQ中，,：PQ=CQsinC=(60-20\J)sin60°=30(J-1)cm,「.AP=AQ+PQ=40+30(、：-1)=61.9(cm),答：工件如圖擺放時(shí)的高度約為61.9cm.【點(diǎn)睛】本題主要考查解直角三角形的應(yīng)用，熟練掌握三角函數(shù)的定義求得相關(guān)線段的長(zhǎng)度是解題的關(guān)鍵.1 210.已知拋物線y=-7x2--x+2與x軸交于點(diǎn)A,B兩點(diǎn)，交y軸于C點(diǎn)，拋物線的對(duì)6 3稱軸與x軸交于H點(diǎn)，分別以O(shè)C、OA為邊作矩形AECO.(1)求直線AC的解析式；

⑵如圖，P為直線AC上方拋物線上的任意一點(diǎn)，在對(duì)稱軸上有一動(dòng)點(diǎn)M,當(dāng)四邊形AOCP面積最大時(shí)，求|PM-OM|⑵如圖，P為直線AC上方拋物線上的任意一點(diǎn)，在對(duì)稱軸上有一動(dòng)點(diǎn)M,當(dāng)四邊形AOCP面積最大時(shí)，求|PM-OM|的值.(3)如圖，將△AOC沿直線AC翻折得△ACD，再將△ACD沿著直線AC平移得△A'C'D'.使得點(diǎn)A'、C'在直線AC上，是否存在這樣的點(diǎn)D',使得△A'ED'為直角三角形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)D'的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.【答案】(1)y=3X+2；(2)點(diǎn)M坐標(biāo)為(-2,3)時(shí)，四邊形AOCP的面積最大，此時(shí)丫有 一 319|PM-OM|有最大值31；(3)存在，Dz坐標(biāo)為：(0,4)或(-6,2)或(―￡,—).6 5 5【解析】【分析】(1)令x=0,則y=2,令y=0,則x=2或-6,求出點(diǎn)A、B、C坐標(biāo)，即可求解;(2)連接OP交對(duì)稱軸于點(diǎn)M，此時(shí)，|PM-OM|有最大值，即可求解；(3)存在；分①AD」AE；②AD」ED，；③ED」AE三種情況利用勾股定理列方程求解即可.【詳解】(1)令x=0,則Uy=2,令y=0,則x=2或-6,「.A(-6,0)、B(2,0)、C(0,2),函數(shù)對(duì)稱軸為：x=-2,頂點(diǎn)坐標(biāo)為(-2,8)C點(diǎn)坐標(biāo)為(0,C點(diǎn)坐標(biāo)為(0,2),則過點(diǎn)C的直線表達(dá)式為：y=kx+2,將點(diǎn)A坐標(biāo)代入上式，解得：k=3，則：直線AC的表達(dá)式1(2)如圖，過點(diǎn)P作x軸的垂線交AC于點(diǎn)H.(2)如圖，過點(diǎn)P作x軸的垂線交AC于點(diǎn)H.四邊形AOCP面積=△AOC的面積+△ACP的面積，四邊形AOCP面積最大時(shí)，只需要^ACPTOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"1 2 1的面積最大即可，設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為（m,--m2--m+2）,則點(diǎn)G坐標(biāo)為（m,-rn+2）,6 3 3\o"CurrentDocument"1 112 1 1 、S△ACP=3PG?OA——?（——m2——m+2——m-2）*6———m2-3m，當(dāng)m=-3時(shí)，上式乙 乙 Vr J J 乙取得最大值，則點(diǎn)P坐標(biāo)為（-3,5）.連接OP交對(duì)稱軸于點(diǎn)M，此時(shí)，|PM-OM|有\(zhòng)o"CurrentDocument"5最大值，直線OP的表達(dá)式為：y——：x，當(dāng)x=-2時(shí)，y=;，即：點(diǎn)M坐標(biāo)為（-2,35353),|PM-OM|的最大值為:(-3+2)2+(2一|)2—,2+(3)2（3（3）存在.;AE=CD,NAEC=NADC=90°,NEMA=NDMC,，△EAM合△DCM(AAS),DM,AM=MC,設(shè)：EM=a，則：MC=6-a.在RtADCM中，由勾股定理得：MC2=DC2+MD2DC2+MD2,即:(6-a)2=22+a2,解得:8a―3，則:10MC——,過點(diǎn)D作x軸的垂線交x軸于點(diǎn)N軸于點(diǎn)N,交EC于點(diǎn)從在RtADMC中,1 1 108—DH?MC―-MD?DC,即：DH義一二一義2,2 2 33618即：點(diǎn)D的坐標(biāo)為（618即：點(diǎn)D的坐標(biāo)為（—5，不）；貝U：DH-5,HC-vDC2—DH2―5,3mm點(diǎn)D，坐標(biāo)設(shè)：△ACD沿著直線AC平移了m個(gè)單位，則：點(diǎn)A'坐標(biāo)（-6點(diǎn)D，坐標(biāo)63m18m為(-5+-/10，-5+，10)，而點(diǎn)E坐標(biāo)為(-6,2),則/乙，6、-18、 …AD2=(—6/乙，6、-18、 …AD2=(—6+5)2+("5)2=36,AE2=2+4m—2)2-m2—+4=v10 ,243m、 ，8ED'2=(5+贏)2+(5+32m1282=m2+二示+k.若△AED'為直角三角形，,,10 5分三種情況討論:4m 32m128①當(dāng)AD'2+AE2=ED'2時(shí)，36+m2-1萬+4=m2+-=+工，解得:2x/10m= ,563m18m此時(shí)D(-5*-10**而)為(0,4)；32m128 4m②63m18m此時(shí)D(-5*-10**而)為(0,4)；32m128 4m②當(dāng)A'D'2+ED'2=A'E2時(shí)，36+m2* +—=m2—. *4，解得:10 5 y108vTo 63m18 mm= ，此時(shí)D'(-5+—=,5+^7^)為(-6,2)；5 5y105 \104m, 32m128③當(dāng)A'E2+ED'2=A'D'2時(shí)，m2--==+4+m2+ +—%：10 <10 5=36,解得：m=-8'5°.Tn 6 3m18 m或m='，此時(shí)D'(--+-7==,-+ )為(-65 5 105 1102)或3195，T)3綜上所述：D坐標(biāo)為：（0，4）或（-6,2）或（-519了）.【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)知識(shí)綜合運(yùn)用，涉及到一次函數(shù)、圖形平移、解直角三角形等知識(shí)，其中（3）中圖形是本題難點(diǎn)，其核心是確定平移后A、D，的坐標(biāo)，本題難度較大.11.如圖，半圓。的直徑AB=20,弦CDHAB，動(dòng)點(diǎn)M在半徑OD上，射線BM與弦CD相交于點(diǎn)E（點(diǎn)E與點(diǎn)C、D不重合），設(shè)OM=m.（1）求DE的長(zhǎng)（用含m的代數(shù)式表示）；（2）令弦CD所對(duì)的圓心角為a,且sin?=4.①若△DEM的面積為S，求S關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式，并求出m的取值范圍；②若動(dòng)點(diǎn)N在CD上，且CN=OM，射線BM與射線ON相交于點(diǎn)F,當(dāng)NOMF=90°時(shí)，求DE的長(zhǎng).【答案】（1）DE= ；(2)①S【答案】（1）50(―<50(―<m<10),13【分析】(1)由CDHAB知4DEM-△OBM，可得空=DM，據(jù)此可得;OBOM

1(2)①連接OC、作OP±CD、MQ±CD，由OC=OD、OP±CD矢口/DOP=-乙COD，據(jù)止匕TOC\o"1-5"\h\zHYPERLIN