用二元一次方程組解決問題+導學課件蘇科版七年級數(shù)學下冊

10.5用二元一次方程組解決問題第10章二元一次方程組逐點學練本節(jié)小結作業(yè)提升本節(jié)要點1學習流程2列二元一次方程組解應用題列二元一次方程組解應用題的常見題型建立二元一次方程組的模型對實際問題進行判斷或方案設計知識點列二元一次方程組解應用題11.基本思想方法(1)列方程組解應用題是把“未知”轉化成“已知”的過程，它的關鍵是把未知量與已知量聯(lián)系起來，找出題目中的相等關系并列出方程組.(2)一般情況下，設幾個未知數(shù)就必須列出幾個方程，所列方程必須滿足：①方程兩邊表示的是同類量；②同類量的單位要統(tǒng)一；③方程兩邊的數(shù)值要相等.●●

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●●●特別解讀：1.一般設幾個未知數(shù)就列幾個方程.2.設未知數(shù)和寫答案時，都要寫清楚單位名稱.2.列二元一次方程組解應用題的一般步驟(1)審：審清題意，找出已知量、未知量及相等關系；(2)設：直接或間接設出未知數(shù)；(3)列：根據(jù)相等關系列出方程組；(4)解：解這個方程組，求出未知數(shù)的值；(5)檢：檢驗所求的未知數(shù)的值是否為所列方程組的解，是否符合實際問題；(6)答：寫出答案(包括單位名稱).例1某船的載重為300噸，容積為1200立方米，現(xiàn)有甲、乙兩種貨物要運，其中甲種貨物每噸體積為6立方米，乙種貨物每噸體積為2立方米，要充分利用這艘船的載重和容積，甲、乙兩種貨物應各裝多少噸？解題秘方：分析題目中的已知量和未知量，找準題目中的相等關系，列出方程組解決問題.已知量：(1)甲種貨物每噸體積為6立方米；(2)乙種貨物每噸體積為2立方米；(3)船的載重為300噸；(4)船的容積為1200立方米.未知量：甲、乙兩種貨物應各裝多少噸.若分別用x、y

表示它們的噸數(shù)，則甲種貨物的體積為6x立方米，乙種貨物的體積為2y立方米.相等關系：“要充分利用這艘船的載重和容積”的意思是“甲、乙兩種貨物的總質量等于船的載重”且“甲、乙兩種貨物的總體積等于船的容積”，即：解法提醒：●列方程組解應用題的關鍵是準確地找出題中的相等關系，并正確地列出方程組.●找相等關系的方法：(1)抓住題目中的關鍵詞，常見的關鍵詞有：“比”“是”“等于”等；(2)根據(jù)常見的數(shù)量關系，如體積公式、面積公式等，找相等關系；(3)挖掘題目中的隱含條件，如飛機沿同一航線航行，順風航行與逆風航行的路程相等；(4)借助列表格、畫線段示意圖等方法找相等關系.解：設甲種貨物應裝x

噸，乙種貨物應裝y

噸.由題意，得x+y=300，解得x=150，6x+2y=1200.y=150.答：甲、乙兩種貨物應各裝150噸.知識點列二元一次方程組解應用題的常見題型2根據(jù)在實際問題中相等關系的不同類型，歸納出應用題幾種常見的題型：(1)和、差、倍、分問題；(2)數(shù)字問題；(3)配套問題；(4)銷售問題；(5)行程問題；(6)百分比問題；(7)年齡問題；(8)圖形面積問題.特別提醒：●不同類型的問題中都有各自的代表性詞語，如配套問題中的“配套”，銷售問題中的“售價”“標價”“折扣”等等.●不同類型的問題中都有不同的相等關系.例2

方法點撥：設未知數(shù)時，一般是求什么，設什么，并且所列方程的個數(shù)與未知數(shù)的個數(shù)相等.解和、差、倍、分問題的應用題時，要抓住題中反映數(shù)量關系的關鍵字：和、差、倍、幾分之幾、比、大、小、多、少、增加、減少等，明確各種反映數(shù)量關系的關鍵字的含義.

例3有一個三位數(shù)，現(xiàn)將最左邊的數(shù)字移到最右邊，則比原來的數(shù)小45；又知原百位數(shù)字的9倍比原三位數(shù)去掉百位數(shù)字后的兩位數(shù)小3，求原三位數(shù).解題秘方：設出數(shù)位上的數(shù)字，利用數(shù)位上的數(shù)字表示出數(shù)，根據(jù)題目中的數(shù)量關系列出方程組.解法提醒：一個三位數(shù)的表示方法：當它的百位數(shù)字為a，十位數(shù)字為b，個位數(shù)字為c

時，這個三位數(shù)可表示為100a+10b+c.注意最高位上的數(shù)字不能為0.解：設原百位數(shù)字為x，原三位數(shù)去掉百位數(shù)字后的兩位數(shù)為y.由題意，得9x=y-3，解得x=4，10y+x=100x+y-45. y=39.4×100+39=439.答：原三位數(shù)為439.例4某服裝廠準備生產(chǎn)一批秋裝，已知每2m的某種布料可做衣身3個或衣袖5只，現(xiàn)計劃用132m這種布料生產(chǎn)這批秋裝(不考慮布料的損耗)，應分別用多少米布料做衣身和衣袖，才能使做的衣身和衣袖恰好配套？解題秘方：緊扣配套規(guī)則列方程，如本題衣身與衣袖的比是1∶2.技巧點撥：解決配套問題的技巧：制作的工件由若干種零件組成，如果a個甲零件和b

個乙零件配成一套，那么甲零件的個數(shù)∶乙零件的個數(shù)=a∶b，即b×甲零件的個數(shù)=a×乙零件的個數(shù).

例5某商場購進甲、乙兩種商品后，甲種商品加價50%、乙種商品加價40%作為標價，適逢元旦，商場舉辦促銷活動，甲種商品打八折銷售，乙種商品打八五折銷售.某顧客購買甲、乙兩種商品各1件，共付款538元，已知商場共盈利88元，求甲、乙兩種商品的進價各是多少元.

解題秘方：緊扣銷售問題中每個量的意義，及各個量之間的相等關系列出方程組，解決問題.解：設甲種商品的進價是x元，乙種商品的進價是y元.根據(jù)題意，得x+y+88=538，x(1+50%)×80%+y(1+40%)×85%=538.化簡，得x+y=450，

解得x=250，1.2x+1.19y=538. y=200.答：甲種商品的進價是250元，乙種商品的進價是200元.例6張明沿公路勻速前進，每隔4min就迎面開來一輛公共汽車，每隔6min就有一輛公共汽車從背后超過他.假定所有的公共汽車勻速行駛且速度相同，迎面開來的相鄰兩車的距離和從背后開來的相鄰兩車的距離都是1200m，求張明前進的速度和公共汽車的速度.解題秘方：分析相遇或追及問題中兩者運動的路程與相隔路程之間的關系，列出方程組，解決問題.方法點撥：1.“相向而遇”時，兩者所走的路程之和等于它們原來的距離.2.“同向追及”時，快者所走的路程減去慢者所走的路程等于它們原來的距離.3.行程問題可以通過畫線段示意圖描述相等關系.▲▲▲▲▲▲▲▲解：設張明前進的速度是xm/min，公共汽車的速度是y

m/min.由題意，得4x+4y=1200，解這個方程組，得x=50，6y-6x=1200. y=250.答：張明前進的速度是50m/min，公共汽車的速度是250m/min.例7某人騎自行車從A地出發(fā)去B

地，先以每小時12km的速度下坡，再以每小時9km的速度在平路上行駛至B地，共用時55min；回來時他以每小時8km的速度通過平路后，再以每小時4km的速度上坡至A地，共用時1.5h.求A、B兩地之間的路程是多少千米.特別提醒：解本題的關鍵是弄清從A地到B地的下坡路程，在從B地到A地時變?yōu)樯掀侣烦?，以時間為相等關系建立方程組.解題秘方：解決上、下坡路程的往返問題時，雖然往返的路程不變，但速度發(fā)生了改變.根據(jù)時間總量列出方程組解決問題.

例8A，B

兩碼頭相距140km，一艘輪船在其間航行，順水航行用了7h，逆水航行用了10h，求這艘輪船在靜水中的速度和水流的速度.解題秘方：本題的關鍵是找到各速度之間的關系：順速=靜速+水速，逆速=靜速-水速，再結合公式“路程=速度×時間”列出方程組.解法提醒：列表描述相等關系：設這艘輪船在靜水中的速度為xkm/h，水流的速度為ykm/h，列表如下：路程速度時間順水140km(x＋y)km/h7h逆水140km(x－y)km/h10h解：設這艘輪船在靜水中的速度為xkm/h，水流的速度為ykm/h.由題意，得7(x+y)=140，解得x=17，10(x-y)=140.

y=3.答：這艘輪船在靜水中的速度為17km/h，水流的速度為3km/h.例9在當?shù)剞r業(yè)技術部門的指導下，李明家增加了種植菠蘿的投資，使今年的菠蘿喜獲豐收.如圖10.5-1是李明和他的爸爸、媽媽的一段對話.請你用學過的知識幫助李明算出他家今年種植菠蘿收入了多少元.(收入-投資=凈賺)解題秘方：緊扣今年與去年的收入和投資之間的數(shù)量關系，其中增長率揭示了這個數(shù)量關系.方法點撥：在此類相等關系比較復雜的題目中，僅靠想象尋找相等關系、列方程組時，難免會出現(xiàn)顧此失彼的錯誤，如果能借助于表格分析，將會幫助我們理清解題思路，列出便于解題的方程組.投資/元收入/元利潤/元去年yx8000今年(1+10%)y(1+35%)x11800解：設李明家去年種植菠蘿的收入為x

元，投資為y

元.由題意，得x-y=8000，(1+35%)x-(1+10%)y=11800.解這個方程組，得x=12000，

y=4000.所以(1+35%)x=1.35×12000=16200.答：李明家今年種植菠蘿收入了16200元.例10父親給兒子出了一道題，要兒子算出答案：有一對母女，5年前母親的年齡是女兒年齡的15倍，15年后，母親的年齡比女兒年齡的2倍多6歲，求現(xiàn)在這對母女的年齡分別是多少.解題秘方：分別設出現(xiàn)在這對母女的年齡，再用它們分別表示出5年前這對母女的年齡和15年后這對母女的年齡，則根據(jù)“5年前，母親的年齡是女兒年齡的15倍”和“15年后，母親的年齡比女兒年齡的2倍多6歲”，可列出方程組.方法技巧：解答年齡問題的關鍵是年齡差不變及增長歲數(shù)相同.解答時要以列表作為建模策略，分析問題中所蘊涵的數(shù)量關系，具體如下表：母親女兒現(xiàn)在的年齡/歲xy5年前的年齡/歲x-5y-515年后的年齡/歲x+15y+15解：設現(xiàn)在這對母女的年齡分別是x

歲和y

歲.由題意，得x-5=15(y-5)，解得x=35，x+15=2(y+15)+6.y=7.答：現(xiàn)在這對母女的年齡分別是35歲和7歲.例11小敏做拼圖游戲時，把8個一樣大小的小長方形拼成一個大的長方形，如圖10.5-2所示.小穎看見了，也來試一試，結果拼成了如圖10.5-3所示的大正方形，不過中間留下了一個邊長為2cm的小正方形的空白，你能算出小長方形的長和寬各是多少嗎？解題秘方：根據(jù)拼圖方式列出小長方形的長和寬之間的數(shù)量關系.思路點撥：在圖10.5-2中大長方形的長有兩種表示形式，一種是5個小長方形的寬的和，另一種是3個小長方形的長的和；在圖10.5-3中大正方形的邊長也有兩種表示形式，一種是1個小長方形的長和2個小長方形的寬的和，另一種從中間看為2個小長方形的長和小正方形的邊長的和，由此可設未知數(shù)并列出方程組求解.解：設小長方形的長是xcm，寬是ycm.由題意，得3x=5y，①整理得3x-5y=0，③2x+2=x+2y.②x-2y=-2.④③-④×3，得y=6.將y=6代入④，得x=10.所以原方程組的解是x=10，y=6.答：小長方形的長是10cm，寬是6cm.也可寫為x+2=2y知識點建立二元一次方程組的模型對實際問題進行判斷或方案設計3建立二元一次方程組的模型就是為了解決實際問題.對某個問題要進行判斷或設計方案時，關鍵之處在于：(1)要分析解決此問題時需要解決哪幾個未知量，然后根據(jù)需要設未知數(shù)；(2)看方程組的解是否符合實際問題的限制條件.特別提醒：設計方案問題應從不同的角度去考慮，先考慮多種可能的方案，最后根據(jù)結果合理地選擇方案.例12某地生產(chǎn)一種綠色蔬菜，若在市場上直接銷售，每噸利潤為1000元；經(jīng)粗加工后銷