2022江西省新余市高三上學(xué)期期末數(shù)學(xué)（文）試題（解析版）

2022屆江西省新余市高三上學(xué)期期末數(shù)學(xué)（文）試題一、單選題1．已知集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)集合的補(bǔ)集、交集運算求解即可.【詳解】,,故選：D2．在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)Z和（為虛數(shù)單位）表示的點關(guān)于虛軸對稱，則復(fù)數(shù)（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的四則運算化簡復(fù)數(shù)，即可得到答案；【詳解】，，故選：B3．根據(jù)新余市氣象局?jǐn)?shù)據(jù)，本市三個月份在連續(xù)五年內(nèi)的降雨天數(shù)如下表，則下列說法錯誤的是（

）年份20172018201920202021降雨天數(shù)3437434546A．降雨天數(shù)逐年遞增B．五年內(nèi)三個月份平均降雨天數(shù)為41天C．從第二年開始，每一年降雨天數(shù)對比前一年的增加量越來越小D．五年內(nèi)降雨天數(shù)的方差為22【答案】C【分析】根據(jù)表中的數(shù)據(jù)逐個分析判斷即可【詳解】對于A，由表中的數(shù)可知，降雨天數(shù)逐年遞增，所以A正確，對于B，五年內(nèi)三個月份平均降雨天數(shù)為天，所以B正確，對于C，因為，所以降雨天數(shù)的增加量在剛開始的三年內(nèi)變大，所以C錯誤，對于D，，所以D正確，故選：C4．已知，，，則，，三者之間的關(guān)系為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與0,1比較即可求解.【詳解】，，，故選：B5．已知Sn是等比數(shù)列{an}的前n項和，若公比q＝2，則＝（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】由等比數(shù)列的通項公式和前n項和公式，用首項表示，，，即可得出結(jié)果.【詳解】由題意知a1＋a3＋a5＝a1(1＋22＋24)＝21a1，而，所以，故選：A.【點睛】本題考查了等比數(shù)列的通項公式和前n項和公式，考查了運算求解能力，屬于基礎(chǔ)題目.6．已知圓截直線所得線段的長度是，則圓M與圓的位置關(guān)系是（

）A．內(nèi)含 B．相交 C．外切 D．外離【答案】B【分析】根據(jù)圓的弦長求出的值，再根據(jù)圓心距與兩圓的半徑之和大小關(guān)系比較，即可得到答案；【詳解】圓：的圓心為，半徑為，圓心到直線的距離為，，圓的圓心為，半徑為1，，兩圓相交，故選：B7．下列四個結(jié)論中，正確結(jié)論的個數(shù)是（

）①若是真命題，則一定是假命題；②命題“”的否定是“”；③“”是“”成立的充要條件；④（且）的最小值為2．A．0個 B．1個 C．2個 D．3個【答案】B【分析】根據(jù)且命題的真假性可判斷出①，根據(jù)特稱命題的否定可判斷②，結(jié)合指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的知識可判斷③，利用基本不等式可判斷出④【詳解】是真命題，則均為真，一定是假命題，故①正確；命題“”的否定是“，故②錯誤；由得，由得，所以“”是“”成立的必要不充分條件，故③錯誤；當(dāng)時，當(dāng)且僅當(dāng)時，取等號，當(dāng)時，，此時y有最大值，故④錯誤.所以正確結(jié)論的個數(shù)是1故選：B8．已知，則當(dāng)時，的圖像不可能是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】通過圖象可得函數(shù)的奇偶性，結(jié)合函數(shù)值的正負(fù)，即可得到答案；【詳解】令，定義域為關(guān)于原點對稱，，為奇函數(shù)，令，對A，B，為偶函數(shù)，為奇函數(shù)，或，故A，B有可能成立；對C，D，為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，，，當(dāng)時，，故C不可能，故選：C9．已知一個空間幾何體的三視圖如圖所示，若該幾何體的體積為，則其表面積為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)三視圖還原原幾何體可知，原幾何體為半個三棱錐，即可解出．【詳解】由三視圖還原原幾何體可知，原幾何體為半個三棱錐，，解得，所以其表面積為．故選：D．10．在條件下，目標(biāo)函數(shù)的最大值為40，則的最小值是A． B． C． D．2【答案】B【解析】畫出可行域和目標(biāo)函數(shù)，根據(jù)平移得到最值點，再利用均值不等式得到答案.【詳解】如圖所示，畫出可行域和目標(biāo)函數(shù)，根據(jù)圖像知：當(dāng)時，有最大值為，即，故..當(dāng)，即時等號成立.故選：.【點睛】本題考查了線性規(guī)劃中根據(jù)最值求參數(shù)，均值不等式，意在考查學(xué)生的綜合應(yīng)用能力.11．如圖，三棱錐的四個面都為直角三角形，平面，三棱錐的四個頂點都在球O的球面上，現(xiàn)在球O內(nèi)任取一點，則該點取自三棱錐內(nèi)的概率為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】求得三棱錐的外接球O的半徑，以幾何概型即可解決.【詳解】三棱錐中，平面，則，直角三角形中，，則又，，則平面，則則線段中點為三棱錐的外接球的球心，又由，可得，則三棱錐的外接球的半徑為1故在球O內(nèi)任取一點，該點取自三棱錐內(nèi)的概率為故選：D12．已知函數(shù)，若的解集中恰有一個整數(shù)，則的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】由，轉(zhuǎn)化為，令，用導(dǎo)數(shù)法作出其圖象，的解集中恰有一個整數(shù)，再由過定點（0，1）求解.【詳解】，即，即，因為，所以．令，則．當(dāng)時，；當(dāng)時，．所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．畫出的大致圖象，如圖所示．當(dāng)直線與圖象相切時，設(shè)切點為，則，解得，故．當(dāng)直線過點時，，故的取值范圍為．【點睛】方法點睛：用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點，一方面用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，借助零點存在性定理判斷；另一方面，也可將零點問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象的交點問題，利用數(shù)形結(jié)合來解決．二、填空題13．已知函數(shù)為奇函數(shù)，，若當(dāng)時，，則______．【答案】【分析】由可求得；利用可知周期為，由周期可得，進(jìn)而求得結(jié)果.【詳解】為奇函數(shù)，，解得：；，是周期為的周期函數(shù)，.故答案為：.14．已知點是角的終邊上的兩點，若，則的值為________．【答案】【分析】列方程組解得參數(shù)后，即可求得角的正弦值和余弦值，代入即可解決.【詳解】由點是角的終邊上的兩點，可得，解之得，則有，故，則故答案為：15．已知橢圓為C的左、右焦點，P為橢圓C上一點，且的內(nèi)心，若的面積為，則橢圓的離心率e為_______．【答案】0.6【分析】設(shè)延長線交軸于點，作軸于，由內(nèi)角平分線定理得，再由三角形面積求得點縱坐標(biāo)，把與的縱坐標(biāo)聯(lián)系起來可得結(jié)論．【詳解】如圖，設(shè)延長線交軸于點，作軸于，不妨設(shè)在第一象限，，，是內(nèi)心，則，所以，，，．故答案為：．16．如果函數(shù)在區(qū)間上和區(qū)間上都是減函數(shù)，且在上也是減函數(shù)，則稱是上的間減函數(shù)，如是上的間減函數(shù)．是即上的間減函數(shù)，是上的間減函數(shù)，不是上的間減函數(shù)，不是上的間減函數(shù)．以下四個函數(shù)中：①，②，③，④．其中是間減函數(shù)的是______（寫出所有正確答案的序號）．【答案】①③【分析】根據(jù)間減函數(shù)的定義逐一判斷可得答案．【詳解】對于①：是在R上的間減函數(shù)；對于②：在上是減函數(shù)，在上是減函數(shù)，但在不是減函數(shù)，所以在R上不是間減函數(shù)；對于③：在上是減函數(shù)，在上是減函數(shù)，并且在上是減函數(shù)，所以在上是間減函數(shù)；對于④：在上是減函數(shù)，但在是增函數(shù)，所以在R上不是間減函數(shù)，所以是間減函數(shù)的是①③，故答案為：①③．【點睛】關(guān)鍵點睛：本題考查函數(shù)的新定義，關(guān)鍵在于抓住函數(shù)的定義，把握住間減函數(shù)的實質(zhì)，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性得以解決問題．三、解答題17．已知向量，，.(1)求函數(shù)的最小正周期及取得最大值時對應(yīng)的的值；(2)在銳角三角形中，角、、的對邊為、、，若，，求三角形面積的最大值并說明此時該三角形的形狀.【答案】(1)；當(dāng)時，最大值為(2)，等邊三角形【分析】（1）先利用誘導(dǎo)公式化簡的坐標(biāo)，再利用平面向量的數(shù)量積、二倍角公式及輔助角公式化簡表達(dá)式，再利用三角函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解；（2）先利用求出角，再利用余弦公式、基本不等式和三角形的面積公式進(jìn)行求解.(1)由已知可得：，，所以，所以的最小正周期為，當(dāng)即時，取得最大值.(2)在銳角三角形中，由（1）得，所以，所以，因為為銳角，所以，在中，由余弦定理知：，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，所以，當(dāng)三角形為等邊三角形時面積取得最大值為.18．第19屆亞運會將于2022年9月在杭州舉行，志愿者的服務(wù)工作是亞運會成功舉辦的重要保障．某高校承辦了杭州志愿者選拔的面試工作．現(xiàn)隨機(jī)抽取了100名候選者的面試成績，并分成五組：第一組，第二組，第三組，第四組，第五組，繪制成如圖所示的頻率分布直方圖．已知第三、四、五組的頻率之和為0.7，第一組和第五組的頻率相同．(1)求的值；(2)根據(jù)組委會要求，本次志愿者選拔錄取率為，請估算被錄取至少需要多少分；(3)在第四、第五兩組志愿者中，現(xiàn)采用分層抽樣的方法，從中抽取5人，然后再從這5人中選出2人，求選出的兩人來自同組的概率．【答案】(1)，(2)78分(3)【分析】（1）由頻率分布直方圖列方程組即能求出的值；（2）由頻率分布直方圖得和的頻率分別為0.2和0.05，故錄取分?jǐn)?shù)應(yīng)落在第四組，不妨設(shè)錄取分為，則求解即可；（3）根據(jù)分層抽樣，在和中分別選取4人和1人，列舉出這5人中選出2人的總的基本事件數(shù)，和選出的兩人來自同組的基本事件數(shù)，利用古典概型的概率公式求解即可.(1)由題意可知：，，解得，；(2)由頻率分布直方圖得和的頻率分別為0.2和0.05，故錄取分?jǐn)?shù)應(yīng)落在第四組，不妨設(shè)錄取分為，則解得；故被錄取至少需要78分.(3)根據(jù)分層抽樣，和的頻率比為故在和中分別選取4人和1人，分別設(shè)為和則在這5人中隨機(jī)抽取兩個的樣本空間包含的樣本點有共10個，

即，記事件“兩人來自同組”，則事件包含的樣本點有共6個，即，

所以.19．如圖，長方體中，已知．(1)求證：平面平面；(2)在上是否存在一點M，使平面？若存在，請確定點M的位置；若不存在，請說明理由．【答案】(1)證明見解析(2)在上存在點【分析】（1）先利用線面垂直的判定定理證明出平面，再用面面垂直的判定定理即可證明；（2）假設(shè)在上存在點M，使平面，證明出．在矩形中由利用線段的比例關(guān)系即可求出.(1)長方體中，平面．又平面，又平面為正方形．．又平面，且，平面．又平面，平面平面(2)假設(shè)在上存在點M，使平面．設(shè)，連接交于點O．平面．又長方體中，平面．又平面．又平面，且平面．平面．四邊形為矩形，．．在上存在點20．設(shè)拋物線：（）的焦點為，點（）在拋物線上，且滿足．（1）求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過點的直線與拋物線交于，兩點，分別以，為切點的拋物線的兩條切線交于點，求三角形周長的最小值．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）由拋物線定義可得求p，寫出拋物線方程即可；（2）設(shè)，，直線的方程為，聯(lián)立拋物線方程應(yīng)用韋達(dá)定理得，，設(shè)，處的切線斜率分別為，，可得，處的切線方程，聯(lián)立求坐標(biāo)，即知在定直線上，應(yīng)用將軍飲馬模型，即可求三角形周長的最小值．【詳解】（1）由拋物線定義，得，得，∴拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）設(shè)，，直線的方程為，∴聯(lián)立，消掉，得，，∴，，設(shè)，處的切線斜率分別為，，則，，∴在點的切線方程為，即①，同理，在的切線方程為②，由①②得：，代入①或②中可得：，∴，即在定直線上，設(shè)點關(guān)于直線的對稱點為，則，由（1）知，∵，即三點共線時等號成立，∴三角形周長最小值為．【點睛】關(guān)鍵點點睛：第二問，設(shè)交點及直線方程，聯(lián)立拋物線結(jié)合韋達(dá)定理求，，再設(shè)切線方程，求交點坐標(biāo)并可確定其在定直線上，應(yīng)用將軍飲馬模型求三角形周長的最小值.21．已知函數(shù)，其中．（1）討論的單調(diào)性；（2）若有兩個極值點，證明．【答案】（1）答案不唯一，具體見解析；（2）證明見解析．【分析】（1）求出導(dǎo)函數(shù)，結(jié)合二次方程的根的情況分類討論得的正負(fù)，從而得單調(diào)性；（2）由（1）可得，當(dāng)時，有兩個極值點，且，，計算轉(zhuǎn)化為的函數(shù)，再引入新函數(shù)求最值得證得不等式成立．【詳解】解：（1）由題得，其中，考察，，其中對稱軸為，．若，則，此時，則，所以在上單調(diào)遞增；若，則，此時在上有兩個根，即，．且，所以當(dāng)時，，則，單調(diào)遞增；當(dāng)時，，則，單調(diào)遞減；當(dāng)時，，則，單調(diào)遞增，綜上，當(dāng)時，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，在上單調(diào)遞增．在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．（2）證明：由（1）知，當(dāng)時，有兩個極值點，且，，所以．令，，由于，故在上單調(diào)遞增，所以．所以，即．【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，證明與極值點有關(guān)的不等式，解題關(guān)鍵是確定極值點的性質(zhì)，化簡二元函數(shù)為關(guān)于的一元函數(shù)，然后再利用函數(shù)的性質(zhì)求解證明．22．直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程是（是參數(shù)）．以為極點，軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線的極坐標(biāo)方程是．（1）求直線的極坐標(biāo)方程和曲線的直角坐標(biāo)方程；（2）求直線被曲線截得的線段長．【答案】（1），；（2）12.【分析】（1）將，代入直線的參數(shù)方程并消去參數(shù)可得極坐標(biāo)方程，同樣利用，可化曲線極坐標(biāo)方程為直角坐標(biāo)方程．（2）設(shè)直線和曲線兩交點的極坐標(biāo)分別為和，將代入曲線的極坐標(biāo)方程，利用韋達(dá)定理求得即得．【詳解】（1）將，代入?yún)?shù)方程得，，消去參數(shù)得，．所以直線的極坐標(biāo)方程是．將，代入，得，所以，曲線的直角坐標(biāo)方程為．（2）設(shè)直線和曲線兩交點的極坐標(biāo)分別為和．由方程組得得，．∴，，．∴．所以，直線被曲線截得的線段長是12．【點睛】方法點睛：