2017屆湖南省湘中名校教研教改聯(lián)合體高三12月聯(lián)考數(shù)學(xué)（文）試題

2017屆湖南省湘中名校教研教改聯(lián)合體高三12月聯(lián)考數(shù)學(xué)（文）試題數(shù)學(xué)（文）第Ⅰ卷（共60分）一、選擇題：本大題共12個(gè)小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A． B． C． D．2.“”是“”是（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件3.已知，是兩條不同直線，，，是三個(gè)不同平面，下列命題中正確的是（）A．若，，則 B．若，，則C．若，，則 D．若，，則4.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，如果運(yùn)行結(jié)果為，那么判斷框中應(yīng)填入（）A． B． C． D．5.根據(jù)如下樣本數(shù)據(jù)得到的回歸方程為，若，則每增加個(gè)單位，就（）A．增加個(gè)單位 B．減少個(gè)單位C．增加個(gè)單位 D．減少個(gè)單位6.已知某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（）A． B． C． D．7.從集合中隨機(jī)選取一個(gè)數(shù)記為，從集合中隨機(jī)選取一個(gè)數(shù)記為，則直線不經(jīng)過(guò)第四象限的概率為（）A． B． C． D．8.若是等差數(shù)列，首項(xiàng)，，，則使前項(xiàng)和成立的最大正整數(shù)是（）A． B． C． D．9.已知函數(shù)，，且，．若的最小值為，則函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（）A．， B．，C．， D．，10.若點(diǎn)是的外心，且，，則實(shí)數(shù)的值為（）A． B． C． D．11.過(guò)雙曲線（，）的右焦點(diǎn)且垂直于軸的直線與雙曲線交于，兩點(diǎn)，與雙曲線的漸近線交于，兩點(diǎn)，若，則雙曲線離心率的取值范圍為（）A． B． C． D．12.已知函數(shù)（，為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）與的圖象上存在關(guān)于軸對(duì)稱的點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．第Ⅱ卷（共90分）二、填空題（每題5分，滿分20分，將答案填在答題紙上）13.已知復(fù)數(shù)滿足，則__________．14.已知實(shí)數(shù)，滿足，則的最小值是__________．15.已知，，若直線與圓相切，則的取值范圍是__________．16.對(duì)于數(shù)列，定義為的“優(yōu)值”，現(xiàn)在已知某數(shù)列的“優(yōu)值”，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，若對(duì)任意的恒成立，則實(shí)數(shù)的最大值為__________．三、解答題（本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.）17.（本小題滿分12分）已知函數(shù)．（1）求的最小值；（2）在中，角，，的對(duì)邊分別是，，，若，，，求的周長(zhǎng)．18.（本小題滿分12分）某大學(xué)生在開學(xué)季準(zhǔn)備銷售一種文具盒進(jìn)行試創(chuàng)業(yè)，在一個(gè)開學(xué)季內(nèi)，每售出盒該產(chǎn)品獲利潤(rùn)元，未售出的產(chǎn)品，每盒虧損元．根據(jù)歷史資料，得到開學(xué)季市場(chǎng)需求量的頻率分布直方圖，如圖所示．該同學(xué)為這個(gè)開學(xué)季購(gòu)進(jìn)了盒該產(chǎn)品，以（單位：盒，）表示這個(gè)開學(xué)季內(nèi)的市場(chǎng)需求量，（單位：元）表示這個(gè)開學(xué)季內(nèi)經(jīng)銷該產(chǎn)品的利潤(rùn)．（1）根據(jù)直方圖估計(jì)這個(gè)開學(xué)季內(nèi)市場(chǎng)需求量的眾數(shù)和平均數(shù)；（2）將表示為的函數(shù)；（3）根據(jù)直方圖估計(jì)利潤(rùn)不少于元的概率．19.（本小題滿分12分）如圖所示的幾何體為一簡(jiǎn)單組合體，在底面中，，，，平面，，，．（1）求證：平面平面；（2）求該組合體的體積．20.（本小題滿分12分）已知經(jīng)過(guò)拋物線：焦點(diǎn)的直線：與拋物線交于、兩點(diǎn)，若存在一定點(diǎn)，使得無(wú)論怎樣運(yùn)動(dòng)，總有直線的斜率與的斜率互為相反數(shù)．（1）求與的值；（2）對(duì)于橢圓：，經(jīng)過(guò)它左焦點(diǎn)的直線與橢圓交于、兩點(diǎn)，是否存在定點(diǎn)，使得無(wú)論怎樣運(yùn)動(dòng)，都有？若存在，求出坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．21.（本小題滿分12分）已知，，直線：．（1）曲線在處的切線與直線平行，求實(shí)數(shù)的值；（2）若至少存在一個(gè)使成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）設(shè)，當(dāng)時(shí)的圖象恒在直線的上方，求的最大值．請(qǐng)考生在22、23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分.22.（本小題滿分10分）選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程已知直線：（為參數(shù)），曲線：（為參數(shù)）．（1）設(shè)與相交于，兩點(diǎn)，求；（2）若把曲線上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)壓縮為原來(lái)的倍，縱坐標(biāo)壓縮為原來(lái)的倍，得到曲線，設(shè)點(diǎn)是曲線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求它到直線距離的最小值．23.（本小題滿分10分）選修4-5：不等式選講已知函數(shù)，．（1）當(dāng)時(shí)，解不等式；（2）若存在滿足，求實(shí)數(shù)的取值范圍．“湖南省湘中名校教研教改聯(lián)合體”2017屆高三12月聯(lián)考·數(shù)學(xué)（文）參考答案、提示及評(píng)分細(xì)則一、選擇題1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.11.12.二、填空題13.14.15.16.三、解答題17.解：（1），，．，，由余弦定理得，即，，所以的周長(zhǎng)為．………………（12分）18.解：（1）由頻率直方圖得：最大需求量為的頻率．這個(gè)開學(xué)季內(nèi)市場(chǎng)需求量的眾數(shù)估計(jì)值是；需求量為的頻率，需求量為的頻率，需求量為的頻率，需求量為的頻率，需求量為的頻率．則平均數(shù)．……（5分）（2）因?yàn)槊渴鄢龊性摦a(chǎn)品獲利潤(rùn)元，未售出的產(chǎn)品，每盒虧損元，所以當(dāng)時(shí)，，………………（7分）當(dāng)時(shí)，，…………（9分）所以．（3）因?yàn)槔麧?rùn)不少于元所以，解得，解得．所以由（1）知利潤(rùn)不少于元的概率．………（12分）19.（1）證明：因?yàn)槠矫?，，所以平面．又因?yàn)槠矫?，所以，又因?yàn)?，且，所以平面，又因?yàn)槠矫?，所以平面平面．………………?分）（2）面將幾何體分成四棱錐和三棱錐兩部分，過(guò)作，因?yàn)槠矫?，平面，所以，又因?yàn)椋?，所以平面，即為四棱錐的高，并且，，所以，因?yàn)槠矫?，且已知，為頂角等于的等腰三角形，，，所以，所以組合體的體積為．………………（12分）20.解：（1）直線：經(jīng)過(guò)拋物線：的焦點(diǎn)為，，直線代入得，設(shè)，則，，得無(wú)論怎樣運(yùn)動(dòng)，直線的斜率與的斜率互為相反數(shù)．無(wú)論、怎樣變化，總有，即．，．………………（5分）（2）直線垂直于軸時(shí)，、兩點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱，，要使，則必在軸上，設(shè)點(diǎn)直線不垂直于軸時(shí)，設(shè)：，設(shè)，．：代入得．，，直線的斜率與的斜率互為相反數(shù)．即，以上每步可逆，存在定點(diǎn)，使得．………（12分）21.解：（1）由已知得，，且在處的切線與直線平行，所以，解得，解得．……………（2分）（2）由于至少存在一個(gè)使成立，所以成立至少存在一個(gè)，即成立至少存在一個(gè)．令，當(dāng)時(shí)，恒成立，因此在單調(diào)遞增．故當(dāng)時(shí)，，即實(shí)數(shù)的取值范圍為．…………………（6分）（3）由已知得，在時(shí)恒成立，即．令，則，令，則在時(shí)恒成立．所以在上單調(diào)遞增，且，，所以在上存在唯一實(shí)數(shù)（）使.當(dāng)時(shí)，即，當(dāng)時(shí)，即，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．故．故（），所以的最大值為．……………………（12分）22.解：（1）的普通方程為，的普通方程為，聯(lián)立方程組解得與的交點(diǎn)為，，則．……（5分）（2）的參數(shù)方程為（為參數(shù)），故點(diǎn)的坐標(biāo)是，從而點(diǎn)到直線的距離是，