數(shù)學試卷講評課教學的掃描與特寫

數(shù)學試卷講評課教學的“掃描”與“特寫”

數(shù)學試卷講評課在整個高三復習教學中占有相當?shù)谋戎兀ㄓ绕涫窃趶土暤淖詈鬀_刺階段），其功能不可替代，其作用舉足輕重。伴隨著信息技術輔助教學的常態(tài)化進行，不可避免地給以紙質(zhì)文本為主要載體的試卷講評課教學造成一定的沖擊。面對整份試卷，立足一節(jié)課，如何提高試卷講評課的可操作性和時效性？這就成了數(shù)學教師普遍關心的一個教學疑難問題。本文所談及的試卷講評課指處在復習沖刺階段的數(shù)學試卷講評課，它既不同于第一輪基礎復習的單元練習講評課（通常是拉網(wǎng)式的），也不同于第二輪專題復習的章節(jié)考試講評課（通常是板塊式的）。而數(shù)學試卷講評課（通常是直入式的）的根本要求和鮮明特點是縱向深入推進，“點、線、面、體”結合，珍視學生勞動，強調(diào)解法優(yōu)化。提高試卷講評課的可操作性和時效性，其基礎工作就是要仔細統(tǒng)計學生各題的答題正確率（簡稱正答率），從而準確判斷學生答題的成敗、得失和優(yōu)劣，全面把握試卷的結構、難度和特點。下面筆者圍繞“浙江省測試卷”講評課的教學設計談些體會。首先感謝這份測試卷的設計者和提供者，因為它是一份嘔心瀝血的精品，不可多得之佳作。全卷與浙江省2009年高考試卷題型相同，結構相仿，難度相當。選擇題有10道題，每題5分，共50分；填空題有7道題，每題4分，共28分；解答題有5道題，共72分。選擇題和填空題第1～17題主要考查數(shù)學基礎知識、基本方法和基本技能。第18題主要考查正弦、余弦定理，三角公式變換，三角形面積公式及向量數(shù)量積運算等基礎知識，同時考查運算求解能力。第19題主要考查排列組合、隨機事件的概率和隨機變量的分布列、數(shù)學期望等概念，同時考查抽象概括能力。第20題主要考查空間線線、線面、面面位置關系，空間向量的概念與運算等基礎知識，同時考查空間想象能力和推理運算能力。第21題主要考查拋物線的幾何性質(zhì)，直線與拋物線的位置關系等基礎知識，考查解析幾何的基本思想方法和綜合解題能力。第22題主要考查函數(shù)的基本性質(zhì)、導數(shù)的概念、導數(shù)的應用等基礎知識，同時考查邏輯推理能力和創(chuàng)新意識。以下是筆者所任教班級學生考試中各題的正答率統(tǒng)計表。由上表我們可以把全卷試題大致分為三類：容易題為第1，2，3，5，6，7，11，12，13，14，16，18，19題；中等題為第4，8，9，10，15，17題；難題為第20，21，22題。針對考情，結合學情，確定出該試卷講評課的如下總體思路。一、用“掃描”方法講評試卷中的中等題和容易題1.中等題講評教學中的“慢移”數(shù)學試卷講評課也要有一個“早進高潮”的考量。針對試卷中學生錯誤較多、解法欠佳的中等難度題（尤其是選擇題和填空題），我們應毫不吝嗇地給以“慢移”掃描。通常采用實物投影儀展示，以及學生板演抄錄解答過程兩種方法，讓學生們共同分享學習成果，一起分析問題癥結。本節(jié)課筆者主要采用了后者，即在批改試卷、了解實情的基礎上，有選擇地請6位學生（以學習中等生為主）板演抄錄以下6題的解答過程（為方便讀者審視全卷，筆者保留了題序）。情景回放：設z=a+bi(a,b∈R)，通過解方程組求出z，然后檢驗排除，故答案選A。課堂反饋這是對而不好！它的奇思妙想由另一位學生給出：由可知，z、是方程的兩個根，故答案選A。這里的“妙”在于靈活運用了兩個共軛復數(shù)的性質(zhì)。(8)若某多面體的三視圖（單位：cm）如圖1所示，則此多面體的體積是()。圖1情景回放：畫出這個多面體的直觀圖，如圖2所示，（單位正方體中削去一個正四面體），故答案選C。圖2課堂反饋師生的強烈感覺是三視圖作為必考知識點，有可能成為命題的“實驗田”，涉及多面體的三視圖的考題，似乎難度會有所提高。(9)過雙曲線(a＞0，b＞0)的右焦點F作圓的切線FM（切點為M），交y軸于點P，如圖3所示．若M為線段FP的中點，則雙曲線的離心率是()。圖3情景回放：設出直線FP的方程，然后用直線FP與圓相切的條件，以及利用中點的坐標公式直接求解，故答案選A。課堂反饋其實這是在殺雞用牛刀。如果運用圓的切線性質(zhì)和根據(jù)中點條件，就會判斷出△OFP是等腰直角三角形，從而，我們的解題體會是解析幾何問題的解決需要重視發(fā)揮平面幾何知識的功能。(10)在直角坐標系中，如果兩點A(a，b)，B(-a，-b)在函數(shù)y=f(x)的圖象上，那么稱[A，B]為函數(shù)f(x)的一組關于原點的中心對稱點（[A，B]與[B，A]看作一組）。函數(shù)，關于原點的中心對稱點的組數(shù)為()。(A)1(B)2(C)3(D)4情景回放：畫出了函數(shù)圖象，但接下來無所適從。課堂反饋大家經(jīng)過討論（如圖4所示），得出解答：圖4畫出y軸右側的圖象關于原點對稱的部分，兩者有2個交點，故答案選B。解完這道題，仿佛喝了一杯香茶，值得細細品味。這是一道絕好的試題，既考查了對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)、分段函數(shù)的圖象和性質(zhì)，又考查了靈活運用對稱性解題的基本技能。(15)如圖5所示，某城市的電視發(fā)射塔CD建在市郊的小山上，小山的高BC為35米，在地面上有一點A，測得A、C間的距離為91米，從A觀測電視發(fā)射塔CD的視角（∠CAD）為45°，則這座電視發(fā)射塔的高度CD為______米。圖5情景回放：著眼于CD=BD-BC，然后解BD、BC所在的兩個直角三角形，得CD=169。課堂反饋另一位學生提出“一步到位”：設，從而CD=169。這樣求解更為直接、簡捷！(17)若函數(shù)，在區(qū)間(0，+∞)上單調(diào)遞增，則實數(shù)a的取值范圍是＿＿。情景回放：畫出函數(shù)圖象，如圖6所示，由，解得a的取值范圍。課堂反饋學生們再一次強烈感受到了“畫圖一遍，思路出現(xiàn)”的解題成功體驗！2.容易題講評課教學中的“快閃”數(shù)學試卷講評課還有一個節(jié)奏變化的問題。教學的前段節(jié)奏明快、內(nèi)容豐富、信息量大、興奮點多，根據(jù)心理學原理，教學的中段應該適當做些調(diào)整，其主色調(diào)是通過掃描中的“快閃”鏡頭放飛學習心情、調(diào)節(jié)課堂氣氛、評價試題特點。我們可以讓學生在報告答案的同時，從知識考點、題目難度、關聯(lián)程度等諸方面加以扼要點評，以便大家更好地把握考試的重點、熱點、冷點，做到心中有“點”、心中有“題”、心中有“法”。本卷第2題考查二項展開式的通項，第3題考查充要條件知識和求差比較方法，第5題考查程序框圖的運行，第6題考查向量數(shù)量積的運算，第7題考查解直角三角形知識，第11題考查線性規(guī)劃，第12題考查數(shù)列通項，第14題考查圓心到直線距離的計算，第16題考查均勻分組的方法，第18(1)題利用正弦定理化邊為角，第18(2)題運用三角形面積和向量數(shù)量積公式，第19題雖然考查隨機變量的分布列、數(shù)學期望概念，但更多的是考查排列、組合知識。這些小題大都屬常見題、容易題和易錯題，難度與課本練習題、習題和復習題基本相當，限于篇幅這里就不再一一列出?，F(xiàn)僅分別摘錄兩位學生（以學習后進生為主）對其中兩題的發(fā)言記錄。一言兩語答案選B?？疾榧系母拍?，同時又與簡易邏輯中的全稱量詞和存在量詞的知識綜合在一起，雖屬基礎題，但可謂“小而新”。一言兩語答案為。考查歸納推理的知識，難點在于符號的處理，仿佛在觀察數(shù)列的通項，答案一般不寫成分段形式。二、用“特寫”鏡頭講評試卷中的難題數(shù)學試卷講評課既要注重廣度，又要挖掘深度；既要關注學生的“面”，也要照顧學生的“片”。難題猶如堡壘，雖攻之不易，但解題的成就感高，學習的幸福感強。在講評難題的過程中，都會使各個層次的學生都學有所得，學有所長，學有所進。由此可見，講評難題應成為數(shù)學試卷講評課教學的重頭戲。1.讓解題的思路來得寬廣些培養(yǎng)學生的發(fā)散性思維能力，是數(shù)學課堂教學的一項任務。具體到高三數(shù)學試卷講評課，我們決不能因時間緊而忽視這項任務一而貫之的落實。其實，數(shù)學解題的“強攻”和“輕取”“通法”和“技巧”有時是同樣重要的，考場中妙法解決固然可賀，但“笨法”成功更加可喜。因此，在試卷講評課中，我們兩手都要抓，兩手都要硬，要讓解決難題的思路盡可能來得寬廣些。(20)如圖7所示，在平面內(nèi)直線EF與線段AB相交于C點，∠BCF=30°，且AC=CB=4，將此平面沿直線EF折成60°的二面角α-EF-β，BP⊥平面α，點P為垂足。圖7(1)求△ACP的面積；(2)求異面直線AB與EF所成角的正切值。對這道題目，許多學生第一念頭就是用向量的方法，這樣去解難度有些大，成功率不很高。如果把向量方法的參考答案用投影儀展示出來，就會發(fā)現(xiàn)：建立坐標系不易，運算量頗大，功底不深厚的學生算出最后結果很困難。（投影儀展示。）向量方法的參考答案(1)解：如圖8所示，在平面α內(nèi)，過點P作PM⊥EF，點M為垂足，連接BM，則∠BMP為二面角α-EF-β的平面角。以點P為坐標原點，以直線PM為x軸，與EF平行的直線為y軸，射線PB為z軸的正半軸，建立如圖8所示的空間直角坐標系P-xyz。圖8考試中，不少學生用傳統(tǒng)的方法去解居然旗開得勝，大獲成功，（投影儀展示。）傳統(tǒng)方法的參考答案(1)解：如圖9所示，在平面α內(nèi)，過點P作PM⊥EF，點M為垂足，連接BM，則∠BMP為二面角α-EF-β的平面角。圖9教學隨想為了順利地實施新課程，我們刻意營造了立體幾何學習的一個“向量氛圍”，命制立體幾何高考題時也給向量方法做了一些傾斜，這樣處理在實施伊始，人們還是可以理解的。但傳統(tǒng)方法解立體幾何題，畢竟是立體幾何學習的本質(zhì)和精髓。那種厚“向量方法”，薄“傳統(tǒng)方法”的教學現(xiàn)象應該終結。浙江省這份測試卷所傳遞出的信息多么清晰，何等重要！對于(1)，傳統(tǒng)方法的參考答案還可以進一步改進，課堂上請生，做了展示。如圖10所示，在平面α內(nèi)，過點P作PM⊥EF，點M為垂足，連接BM，則∠BMP為二面角α-EF-β的平面角。圖10圖112.讓解題的思路來得簡捷些讓解決難題的思路既來得寬廣些，又來得更優(yōu)些、更好些，這是我們課堂教學的不懈追求。對于試卷講評課，我們更關注學生解題品質(zhì)的提高，由此，后者往往比前者更為重要。教學中要通過比較學生各種思路和方法的好壞，摸索出解決難題的規(guī)律，總結出解決難題的捷徑，并讓學生們在方法的取舍中學會交流、合作和共享。(21)如圖12所示，已知拋物線C的頂點在原點，焦點為F(0，1)。(1)求拋物線C的方程；(2)在拋物線C上是否存在點P，使得過點P的直線交C于另一點Q，滿足PF⊥QF，且PQ與C在點P處的切線垂直？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由。圖12對于(1)，學生幾乎都能運用拋物線的標準形式，求出拋物線C的方程。（投影儀展示。）(2)解：設，則拋物線C在點P處的切線方程是，直線PQ的方程是。將上式代入拋物線C的方程，得，經(jīng)檢驗，符合題意。所以，滿足條件的點P存在，其坐標為P（±4，4）。教學隨想提高解析幾何解題品質(zhì)的關鍵是重視運算的方法和技巧?，F(xiàn)在，許多學生對解析幾何問題是“思路想得到，結果做不出”。究其原因，大多是被過程中的運算卡住了殼，這顯然是平時不重視運算的簡捷性所產(chǎn)生的后果。因此，講評解析幾何問題中“只講思路分析、輕視運算過程”的現(xiàn)象要加以改變，要多讓學生展示中間運算少而巧的解題過程。對(2)，給出了新思路和好方法，其運算量明顯減少。①當QP斜率不存在時，不滿足題意；②設直線QP的方程為了y=kx+b，又因為PQ與C在點P處切線垂直，所以。所以P(-4，4)或(4，4)。3.讓解題的思路來得自然些思路、方法、技巧是數(shù)學試卷講評課教學的三個關鍵詞。思路打不開，方法怎形成？方法沒掌握，技巧哪會來？技巧不講究，魅力咋感受？說實在的，如果數(shù)學里沒有技巧性的東西，就會大大削弱其吸引力。但“傳授”技巧不能“從天而降”，要讓學生在熟練掌握方法的基礎上自然形成解題技巧，要讓學生明白“不是技巧的技巧才是最好的技巧”，要使技巧“常態(tài)化”，要讓技巧“草根化”。(1)當a=0時，求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)若函數(shù)f(x)在區(qū)間[0，2]上的最大值為2，求a的取值范圍。對(1)，學生們不難求出函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增。（投影儀展示。）(2)解：一方面由題意，得且f(2)=2，所以當時，f(x)在區(qū)間[0，2]上的最大值是2。綜上，所求a的取值范圍是。教學隨想對本題第(2)題，命題者提供了以上這種技巧性極強的解法?？疾焯厥馇樾?、猜想取值范圍、驗證結論正確，太不常規(guī)了。難怪在測試中竟然沒有一位學生按照這種思路和方法來求解。由此可見，這種解法雖然巧妙，但很不自然，學生高不可攀。事實上，這類問題并不