資料【創(chuàng)新設(shè)計(jì)】2015年高考數(shù)學(xué)(人教A版,理)一輪復(fù)習(xí)配套講義：第4篇 第1講 平面向量的概念及其線性運(yùn)算

第1講平面向量的概念及其線性運(yùn)算[最新考綱]1．了解向量的實(shí)際背景．2．理解平面向量的概念，理解兩個向量相等的含義．3．理解向量的幾何表示．4．掌握向量加法、減法的運(yùn)算，并理解其幾何意義．5．掌握向量數(shù)乘的運(yùn)算及其幾何意義，理解兩個向量共線的含義．6．了解向量線性運(yùn)算的性質(zhì)及其幾何意義.知識梳理1．向量的有關(guān)概念名稱定義備注平行向量方向相同或相反的非零向量0與任一向量平行或共線共線向量方向相同或相反的非零向量又叫做共線向量相等向量長度相等且方向相同的向量兩向量只有相等或不等，不能比較大小相反向量長度相等且方向相反的向量0的相反向量為02.向量的線性運(yùn)算向量運(yùn)算定義法則(或幾何意義)運(yùn)算律加法求兩個向量和的運(yùn)算三角形法則平行四邊形法則(1)交換律：a＋b＝b＋a.(2)結(jié)合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)續(xù)表減法求a與b的相反向量－b的和的運(yùn)算叫做a與b的差三角形法則a－b＝a＋(－b)數(shù)乘求實(shí)數(shù)λ與向量a的積的運(yùn)算(1)|λa|＝|λ||a|；(2)當(dāng)λ＞0時，λa的方向與a的方向相同；當(dāng)λ＜0時，λa的方向與a的方向相反；當(dāng)λ＝0時，λa＝0λ(μa)＝λμa；(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb3.共線向量定理向量a(a≠0)與b共線的充要條件是存在唯一一個實(shí)數(shù)λ，使得b＝λa.辨析感悟1．對共線向量的理解(1)若向量a，b共線，則向量a，b的方向相同． (×)(2)若a∥b，b∥c，則a∥c. (×)(3)(2013·鄭州調(diào)研改編)設(shè)a與b是兩個不共線向量，且向量a＋λb與2a－b共線，則λ＝－eq\f(1,2). (√)(4)(2013·陜西卷改編)設(shè)a，b為向量，則“|a·b|＝|a|·|b|”是“a∥b”的充分必要條件． (√)2．對向量線性運(yùn)算的應(yīng)用(5)eq\o(AB,\s\up12(→))＋eq\o(BC,\s\up12(→))＋eq\o(CD,\s\up12(→))＝eq\o(AD,\s\up12(→)). (√)(6)(教材習(xí)題改編)在△ABC中，D是BC的中點(diǎn)，則eq\o(AD,\s\up12(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AC,\s\up12(→))＋eq\o(AB,\s\up12(→)))． (√)學(xué)生用書第69頁[感悟·提升]1．一個區(qū)別兩個向量共線與兩條線段共線不同，前者的起點(diǎn)可以不同，而后者必須在同一直線上．同樣，兩個平行向量與兩條平行直線也是不同的，因?yàn)閮蓚€平行向量可以移到同一直線上．2．兩個防范一是兩個向量共線，則它們的方向相同或相反；如(1)；二是注重零向量的特殊性，如(2).考點(diǎn)一平面向量的有關(guān)概念【例1】給出下列命題：①若|a|＝|b|，則a＝b；②若A，B，C，D是不共線的四點(diǎn)，則eq\o(AB,\s\up12(→))＝eq\o(DC,\s\up12(→))是四邊形ABCD為平行四邊形的充要條件；③若a＝b，b＝c，則a＝c；④a＝b的充要條件是|a|＝|b|且a∥b.其中真命題的序號是________．解析①不正確．兩個向量的長度相等，但它們的方向不一定相同．②正確．∵eq\o(AB,\s\up12(→))＝eq\o(DC,\s\up12(→))，∴|eq\o(AB,\s\up12(→))|＝|eq\o(DC,\s\up12(→))|且eq\o(AB,\s\up12(→))∥eq\o(DC,\s\up12(→))，又∵A，B，C，D是不共線的四點(diǎn)，∴四邊形ABCD為平行四邊形；反之，若四邊形ABCD為平行四邊形，則eq\o(AB,\s\up12(→))∥eq\o(DC,\s\up12(→))且|eq\o(AB,\s\up12(→))|＝|eq\o(DC,\s\up12(→))|，因此，eq\o(AB,\s\up12(→))＝eq\o(DC,\s\up12(→)).③正確．∵a＝b，∴a，b的長度相等且方向相同；又b＝c，∴b，c的長度相等且方向相同，∴a，c的長度相等且方向相同，故a＝c.④不正確．當(dāng)a∥b且方向相反時，即使|a|＝|b|，也不能得到a＝b，故|a|＝|b|且a∥b不是a＝b的充要條件，而是必要不充分條件．綜上所述，正確命題的序號是②③.答案②③規(guī)律方法對于向量的概念應(yīng)注意以下幾條：(1)向量的兩個特征：有大小和方向，向量既可以用有向線段和字母表示，也可以用坐標(biāo)表示；(2)相等向量不僅模相等，而且方向要相同，所以相等向量一定是平行向量，而平行向量則未必是相等向量；(3)向量與數(shù)量不同，數(shù)量可以比較大小，向量則不能，但向量的模是非負(fù)實(shí)數(shù)，故可以比較大?。居?xùn)練1】設(shè)a0為單位向量，①若a為平面內(nèi)的某個向量，則a＝|a|a0；②若a與a0平行，則a＝|a|a0；③若a與a0平行且|a|＝1，則a＝a0.上述命題中，假命題的個數(shù)是(,,,)．A．0B．1C．2解析向量是既有大小又有方向的量，a與|a|a0的模相等，但方向不一定相同，故①是假命題；若a與a0平行，則a與a0的方向有兩種情況：一是同向，二是反向，反向時a＝－|a|a0，故②③也是假命題．綜上所述，假命題的個數(shù)是3.答案D考點(diǎn)二平面向量的線性運(yùn)算例2】如圖，在平行四邊形OADB中，設(shè)eq\o(OA,\s\up12(→))＝a，eq\o(OB,\s\up12(→))＝b，Beq\o(M,\s\up12(→))＝eq\f(1,3)eq\o(BC,\s\up12(→))，eq\o(CN,\s\up12(→))＝eq\f(1,3)eq\o(CD,\s\up12(→)).試用a，b表示eq\o(OM,\s\up12(→))，eq\o(ON,\s\up12(→))及eq\o(MN,\s\up12(→)).解由題意知，在平行四邊形OADB中，eq\o(BM,\s\up12(→))＝eq\f(1,3)Beq\o(C,\s\up12(→))＝eq\f(1,6)eq\o(BA,\s\up12(→))＝eq\f(1,6)(eq\o(OA,\s\up12(→))－eq\o(OB,\s\up12(→)))＝eq\f(1,6)(a－b)＝eq\f(1,6)a－eq\f(1,6)b，則eq\o(OM,\s\up12(→))＝eq\o(OB,\s\up12(→))＋eq\o(BM,\s\up12(→))＝b＋eq\f(1,6)a－eq\f(1,6)b＝eq\f(1,6)a＋eq\f(5,6)b.eq\o(ON,\s\up12(→))＝eq\f(2,3)eq\o(OD,\s\up12(→))＝eq\f(2,3)(eq\o(OA,\s\up12(→))＋eq\o(OB,\s\up12(→)))＝eq\f(2,3)(a＋b)＝eq\f(2,3)a＋eq\f(2,3)b，eq\o(MN,\s\up12(→))＝eq\o(ON,\s\up12(→))－eq\o(OM,\s\up12(→))＝eq\f(2,3)(a＋b)－eq\f(1,6)a－eq\f(5,6)b＝eq\f(1,2)a－eq\f(1,6)b.規(guī)律方法(1)進(jìn)行向量運(yùn)算時，要盡可能地將它們轉(zhuǎn)化到三角形或平行四邊形中，充分利用相等向量、相反向量，三角形的中位線及相似三角形對應(yīng)邊成比例等性質(zhì)，把未知向量用已知向量表示出來．(2)向量的線性運(yùn)算類似于代數(shù)多項(xiàng)式的運(yùn)算，實(shí)數(shù)運(yùn)算中的去括號、移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)、提取公因式等變形手段在線性運(yùn)算中同樣適用．【訓(xùn)練2】(1)(2013·四川卷)如圖，在平行四邊形ABCD中，對角線AC與BD交于點(diǎn)O，eq\o(AB,\s\up12(→))＋eq\o(AD,\s\up12(→))＝λeq\o(AO,\s\up12(→))，則λ＝________.(2)(2013·泉州模擬)已知P，A，B，C是平面內(nèi)四點(diǎn)，且eq\o(PA,\s\up12(→))＋eq\o(PB,\s\up12(→))＋eq\o(PC,\s\up12(→))＝eq\o(AC,\s\up12(→))，那么一定有(,,,)．A.eq\o(PB,\s\up12(→))＝2eq\o(CP,\s\up12(→)) B.eq\o(CP,\s\up12(→))＝2eq\o(PB,\s\up12(→))C.eq\o(AP,\s\up12(→))＝2eq\o(PB,\s\up12(→)) D.eq\o(PB,\s\up12(→))＝2eq\o(AP,\s\up12(→))解析(1)∵eq\o(AB,\s\up12(→))＋eq\o(AD,\s\up12(→))＝eq\o(AC,\s\up12(→))＝2eq\o(AO,\s\up12(→))，∴λ＝2.(2)∵eq\o(PA,\s\up12(→))＋eq\o(PB,\s\up12(→))＋eq\o(PC,\s\up12(→))＝eq\o(AC,\s\up12(→))＝eq\o(PC,\s\up12(→))－eq\o(PA,\s\up12(→))，∴eq\o(PB,\s\up12(→))＝－2eq\o(PA,\s\up12(→))＝2eq\o(AP,\s\up12(→)).答案(1)2(2)D考點(diǎn)三向量共線定理及其應(yīng)用【例3】(2013·鄭州一中月考)設(shè)兩個非零向量a與b不共線．(1)若eq\o(AB,\s\up12(→))＝a＋b，eq\o(BC,\s\up12(→))＝2a＋8b，eq\o(CD,\s\up12(→))＝3(a－b)．求證：A，B，D三點(diǎn)共線；(2)試確定實(shí)數(shù)k，使ka＋b和a＋kb共線．審題路線(1)由向量的加法，得eq\o(BD,\s\up12(→))＝eq\o(BC,\s\up12(→))＋eq\o(CD,\s\up12(→))?用a，b表示eq\o(BD,\s\up12(→))?得到eq\o(BD,\s\up12(→))與eq\o(AB,\s\up12(→))的關(guān)系式?由向量共線定理，得eq\o(BD,\s\up12(→))與eq\o(AB,\s\up12(→))共線?再看是否有公共點(diǎn)?得到證明的結(jié)論．(2)假設(shè)存在實(shí)數(shù)k?利用向量共線定理?列出方程?根據(jù)a，b是兩個不共線的向量?得出方程組?解得k值．(1)證明∵eq\o(AB,\s\up12(→))＝a＋b，eq\o(BC,\s\up12(→))＝2a＋8b，eq\o(CD,\s\up12(→))＝3(a－b)．∴eq\o(BD,\s\up12(→))＝eq\o(BC,\s\up12(→))＋eq\o(CD,\s\up12(→))＝2a＋8b＋3(a－b)＝5(a＋b)＝5eq\o(AB,\s\up12(→)).∴eq\o(AB,\s\up12(→))，eq\o(BD,\s\up12(→))共線，又它們有公共點(diǎn)B，∴A，B，D三點(diǎn)共線．(2)解假設(shè)ka＋b與a＋kb共線，則存在實(shí)數(shù)λ，使ka＋b＝λ(a＋kb)，即(k－λ)a＝(λk－1)b.又a，b是兩不共線的非零向量，∴k－λ＝λk－1＝0.∴k2－1＝0.∴k＝±1.規(guī)律方法(1)證明三點(diǎn)共線問題，可用向量共線解決，但應(yīng)注意向量共線與三點(diǎn)共線的區(qū)別與聯(lián)系，當(dāng)兩向量共線且有公共點(diǎn)時，才能得出三點(diǎn)共線．(2)向量a，b共線是指存在不全為零的實(shí)數(shù)λ1，λ2，使λ1a＋λ2b＝0成立，若λ1a＋λ2b＝0，當(dāng)且僅當(dāng)λ1＝λ2＝0時成立，則向量a，b學(xué)生用書第70頁【訓(xùn)練3】(2014·西安模擬)已知向量a，b不共線，且c＝λa＋b，d＝a＋(2λ－1)b，若c與d同向，則實(shí)數(shù)λ的值為_____．解析由于c與d同向，所以c＝kd(k＞0)，于是λa＋b＝k[a＋(2λ－1)b]，整理得λa＋b＝ka＋(2λk－k)b.由于a，b不共線，所以有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝k，,2λk－k＝1，))整理得2λ2－λ－1＝0，所以λ＝1或λ＝－eq\f(1,2).又因?yàn)閗＞0，所以λ＞0，故λ＝1.答案11．向量的加、減法運(yùn)算，要在所表達(dá)的圖形上多思考，多聯(lián)系相關(guān)的幾何圖形，比如平行四邊形、菱形、三角形等，可多記憶一些有關(guān)的結(jié)論．2．對于向量共線定理及其等價(jià)定理，關(guān)鍵要理解為位置(共線或不共線)與向量等式之間所建立的對應(yīng)關(guān)系．要證明三點(diǎn)共線或直線平行都是先探索有關(guān)的向量滿足向量等式b＝λa，再結(jié)合條件或圖形有無公共點(diǎn)證明幾何位置．,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,方法優(yōu)化3——準(zhǔn)確把握平面向量的概念和運(yùn)算【典例】(2012·浙江卷)設(shè)a，b是兩個非零向量．(,,,)．A．若|a＋b|＝|a|－|b|，則a⊥bB．若a⊥b，則|a＋b|＝|a|－|b|C．若|a＋b|＝|a|－|b|，則存在實(shí)數(shù)λ，使得b＝λaD．若存在實(shí)數(shù)λ，使得b＝λa，則|a＋b|＝|a|－|b|[一般解法](排除法)選項(xiàng)A，若b＝－a，則等式|a＋b|＝|a|－|b|成立，顯然a⊥b不成立；選項(xiàng)B，若a⊥b且|a|＝|b|，則|a|－|b|＝0，顯然，|a＋b|＝eq\r(2)|a|≠0，故|a＋b|＝|a|－|b|不成立；選項(xiàng)D，若b＝a，則|a|－|b|＝0，顯然，|a＋b|＝2|a|≠0，故|a＋b|＝|a|－|b|不成立．綜上，A，B，D都不正確，故選C.[優(yōu)美解法](數(shù)量積法)把等式|a＋b|＝|a|－|b|兩邊平方，得(a＋b)2＝(|a|－|b|)2，即2a·b＝－2|a|·|b|，而a·b＝|a||b|cos<a，b>，所以cos<a，b>＝－1.又因?yàn)?lt;a，b>∈[0，π]，所以<a，b>＝π，即a，b為方向相反的共線向量．故C正確．[反思感悟]部分學(xué)生做錯的主要原因是：題中的條件“|a＋b|＝|a|－|b|”在處理過程中誤認(rèn)為“|a＋b|＝|a－b|”，從而得到“a⊥b”這個錯誤的結(jié)論．【自主體驗(yàn)】在△OAB中，eq\o(OA,\s\up12(→))＝a，eq\o(OB,\s\up12(→))＝b，OD是AB邊上的高，若eq\o(AD,\s\up12(→))＝λeq\o(AB,\s\up12(→))，則實(shí)數(shù)λ＝(,,,)．,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,A.eq\f(a·a－b,|a－b|) B.eq\f(a·b－a,|a－b|)C.eq\f(a·a－b,|a－b|2) D.eq\f(a·b－a,|a－b|2)解析由eq\o(AD,\s\up12(→))＝λeq\o(AB,\s\up12(→))，∴|eq\o(AD,\s\up12(→))|＝λ|eq\o(AB,\s\up12(→))|.又∵|eq\o(AD,\s\up12(→))|＝|a|cosA＝|a|·eq\f(a·a－b,|a||b－a|)＝eq\f(a·a－b,|b－a|)，|eq\o(AB,\s\up12(→))|＝|b－a|，∴λ＝eq\f(a·a－b,|b－a|2)＝eq\f(a·a－b,|a－b|2).故選C.答案C基礎(chǔ)鞏固題組(建議用時：40分鐘),,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,一、選擇題1．若O，E，F(xiàn)是不共線的任意三點(diǎn)，則以下各式中成立的是(,,,)．A.eq\o(EF,\s\up12(→))＝eq\o(OF,\s\up12(→))＋eq\o(OE,\s\up12(→))B.eq\o(EF,\s\up12(→))＝eq\o(OF,\s\up12(→))－eq\o(OE,\s\up12(→))C.eq\o(EF,\s\up12(→))＝－eq\o(OF,\s\up12(→))＋eq\o(OE,\s\up12(→))D.eq\o(EF,\s\up12(→))＝－eq\o(OF,\s\up12(→))－eq\o(OE,\s\up12(→))解析由圖可知eq\o(EF,\s\up12(→))＝eq\o(OF,\s\up12(→))－eq\o(OE,\s\up12(→)).答案B2.(2014·汕頭二模)如圖，在正六邊形ABCDEF中，eq\o(BA,\s\up12(→))＋eq\o(CD,\s\up12(→))＋eq\o(EF,\s\up12(→))等于(,,,)．A．0B.eq\o(BE,\s\up12(→))C.eq\o(AD,\s\up12(→))D.eq\o(CF,\s\up12(→))解析因?yàn)锳BCDEF是正六邊形，故eq\o(BA,\s\up12(→))＋eq\o(CD,\s\up12(→))＋eq\o(EF,\s\up12(→))＝eq\o(DE,\s\up12(→))＋eq\o(CD,\s\up12(→))＋eq\o(EF,\s\up12(→))＝eq\o(CE,\s\up12(→))＋eq\o(EF,\s\up12(→))＝eq\o(CF,\s\up12(→)).答案D3．對于非零向量a，b，“a＋b＝0”是“a∥b”的(,,,)．A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件解析若a＋b＝0，則a＝－b，所以a∥b.若a∥b，則a＝λb，a＋b＝0不一定成立，故前者是后者的充分不必要條件．答案A4．(2014·開封模擬)下列命題中，正確的是(,,,)．A．若|a|＝|b|，則a＝b或a＝－bB．若a·b＝0，則a＝0或b＝0C．若ka＝0，則k＝0或a＝0D．若a，b都是非零向量，則|a＋b|＞|a－b|解析對于A，顯然不能得知a＝b或a＝－b，因此選項(xiàng)A不正確；對于B，易知不正確；對于C，易知正確；對于D，注意到(a＋b)2－(a－b)2＝4a·b，顯然a·b與零的大小關(guān)系不確定，因此選項(xiàng)D不正確．綜上所述，選C.答案C5．(2014·蘭州質(zhì)檢)若點(diǎn)M是△ABC所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，且滿足5eq\o(AM,\s\up12(→))＝eq\o(AB,\s\up12(→))＋3eq\o(AC,\s\up12(→))，則△ABM與△ABC的面積比為(,,,)．A.eq\f(1,5)B.eq\f(2,5)C.eq\f(3,5)D.eq\f(4,5)解析設(shè)AB的中點(diǎn)為D，由5eq\o(AM,\s\up12(→))＝eq\o(AB,\s\up12(→))＋3eq\o(AC,\s\up12(→))，得3eq\o(AM,\s\up12(→))－3eq\o(AC,\s\up12(→))＝2eq\o(AD,\s\up12(→))－2eq\o(AM,\s\up12(→))，即3eq\o(CM,\s\up12(→))＝2eq\o(MD,\s\up12(→)).如圖所示，故C，M，D三點(diǎn)共線，且eq\o(MD,\s\up12(→))＝eq\f(3,5)eq\o(CD,\s\up12(→))，也就是△ABM與△ABC對于邊AB的兩高之比為3∶5，則△ABM與△ABC的面積比為eq\f(3,5)，選C.答案C二、填空題6．(2014·湖州月考)給出下列命題：①向量eq\o(AB,\s\up12(→))的長度與向量eq\o(BA,\s\up12(→))的長度相等；②向量a與b平行，則a與b的方向相同或相反；③兩個有共同起點(diǎn)而且相等的向量，其終點(diǎn)必相同；④兩個有公共終點(diǎn)的向量，一定是共線向量；⑤向量eq\o(AB,\s\up12(→))與向量eq\o(CD,\s\up12(→))是共線向量，則點(diǎn)A，B，C，D必在同一條直線上．其中不正確命題的序號是________．解析①中，∵向量eq\o(AB,\s\up12(→))與eq\o(BA,\s\up12(→))為相反向量，∴它們的長度相等，此命題正確．②中若a或b為零向量，則滿足a與b平行，但a與b的方向不一定相同或相反，∴此命題錯誤．③由相等向量的定義知，若兩向量為相等向量，且起點(diǎn)相同，則其終點(diǎn)也必定相同，∴該命題正確．④由共線向量知，若兩個向量僅有相同的終點(diǎn)，則不一定共線，∴該命題錯誤．⑤∵共線向量是方向相同或相反的向量，∴若eq\o(AB,\s\up12(→))與eq\o(CD,\s\up12(→))是共線向量，則A，B，C，D四點(diǎn)不一定在一條直線上，∴該命題錯誤．答案②④⑤7．在?ABCD中，eq\o(AB,\s\up12(→))＝a，eq\o(AD,\s\up12(→))＝b，eq\o(AN,\s\up12(→))＝3eq\o(NC,\s\up12(→))，M為BC的中點(diǎn)，則eq\o(MN,\s\up12(→))＝________(用a，b表示)．解析由eq\o(AN,\s\up12(→))＝3eq\o(NC,\s\up12(→))，得4eq\o(AN,\s\up12(→))＝3eq\o(AC,\s\up12(→))＝3(a＋b)，eq\o(AM,\s\up12(→))＝a＋eq\f(1,2)b，所以eq\o(MN,\s\up12(→))＝eq\o(AN,\s\up12(→))－eq\o(AM,\s\up12(→))＝eq\f(3,4)(a＋b)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,2)b))＝－eq\f(1,4)a＋eq\f(1,4)b.答案－eq\f(1,4)a＋eq\f(1,4)b8．(2014·泰安模擬)設(shè)a，b是兩個不共線向量，eq\o(AB,\s\up12(→))＝2a＋pb，eq\o(BC,\s\up12(→))＝a＋b，eq\o(CD,\s\up12(→))＝a－2b，若A，B，D三點(diǎn)共線，則實(shí)數(shù)p的值為________．解析∵eq\o(BD,\s\up12(→))＝eq\o(BC,\s\up12(→))＋eq\o(CD,\s\up12(→))＝2a－b，又A，B，D三點(diǎn)共線，∴存在實(shí)數(shù)λ，使eq\o(AB,\s\up12(→))＝λeq\o(BD,\s\up12(→)).即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2＝2λ，,p＝－λ，))∴p＝－1.答案－1三、解答題9．在△ABC中，D，E分別為BC，AC邊上的中點(diǎn)，G為BE上一點(diǎn)，且GB＝2GE，設(shè)eq\o(AB,\s\up12(→))＝a，eq\o(AC,\s\up12(→))＝b，試用a，b表示eq\o(AD,\s\up12(→))，eq\o(AG,\s\up12(→)).解eq\o(AD,\s\up12(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up12(→))＋eq\o(AC,\s\up12(→)))＝eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b；eq\o(AG,\s\up12(→))＝eq\o(AB,\s\up12(→))＋eq\o(BG,\s\up12(→))＝eq\o(AB,\s\up12(→))＋eq\f(2,3)eq\o(BE,\s\up12(→))＝eq\o(AB,\s\up12(→))＋eq\f(1,3)(eq\o(BA,\s\up12(→))＋eq\o(BC,\s\up12(→)))＝eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up12(→))＋eq\f(1,3)(eq\o(AC,\s\up12(→))－eq\o(AB,\s\up12(→)))＝eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up12(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up12(→))＝eq\f(1,3)a＋eq\f(1,3)b.10．若a，b是兩個不共線的非零向量，a與b起點(diǎn)相同，則當(dāng)t為何值時，a，tb，eq\f(1,3)(a＋b)三向量的終點(diǎn)在同一條直線上？解設(shè)eq\o(OA,\s\up12(→))＝a，eq\o(OB,\s\up12(→))＝tb，eq\o(OC,\s\up12(→))＝eq\f(1,3)(a＋b)，∴eq\o(AC,\s\up12(→))＝eq\o(OC,\s\up12(→))－eq\o(OA,\s\up12(→))＝－eq\f(2,3)a＋eq\f(1,3)b，eq\o(AB,\s\up12(→))＝eq\o(OB,\s\up12(→))－eq\o(OA,\s\up12(→))＝tb－a.要使A，B，C三點(diǎn)共線，只需eq\o(AC,\s\up12(→))＝λeq\o(AB,\s\up12(→)).即－eq\f(2,3)a＋eq\f(1,3)b＝λ(tb－a)＝λtb－λa.又∵a與b為不共線的非零向量，∴有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)＝－λ，,\f(1,3)＝λt))?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝\f(2,3)，,t＝\f(1,2).))∴當(dāng)t＝eq\f(1,2)時，三向量終點(diǎn)在同一直線上．能力提升題組(建議用時：25分鐘)一、選擇題1．(2013·濟(jì)南一模)已知A，B，C是平面上不共線的三點(diǎn)，O是△ABC的重心，動點(diǎn)P滿足eq\o(OP,\s\up12(→))＝eq\f(1,3)eq\b\lc\(\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)\o(OA,\s\up12(→))＋\f(1,2)\o(OB,\s\up12(→))＋))eq\b\lc\\rc\)(\a\vs4\al\co1(2\o(OC,\s\up12(→))))，則點(diǎn)P一定為三角形ABC的(,,,)．A．AB邊中線的中點(diǎn)B．AB邊中線的三等分點(diǎn)(非重心)C．重心D．AB邊的中點(diǎn)解析設(shè)AB的中點(diǎn)為M，則eq\f(1,2)eq\o(OA,\s\up12(→))＋eq\f(1,2)eq\o(OB,\s\up12(→))＝eq\o(OM,\s\up12(→))，∴eq\o(OP,\s\up12(→))＝eq\f(1,3)(eq\o(OM,\s\up12(→))＋2eq\o(OC,\s\up12(→)))＝eq\f(1,3)eq\o(OM,\s\up12(→))＋eq\f(2,3)eq\o(OC,\s\up12(→))，即3eq\o(OP,\s\up12(→))＝eq\o(OM,\s\up12(→))＋2eq\o(OC,\s\up12(→))，也就是eq\o(MP,\s\up12(→))＝2eq\o(PC,\s\up12(→))，∴P，M，C三點(diǎn)共線，且P是CM上靠近C點(diǎn)的一個三等分點(diǎn)．答案B2．在△ABC中，點(diǎn)O在線段BC的延長線上，且與點(diǎn)C不重合，若eq\o(AO,\s\up12(→))＝xeq\o(AB,\s\up12(→))＋(1－x)eq\o(AC,\s\up12(→))，則實(shí)數(shù)x的取值范圍是(,,,)．A．(－∞，0)B．(0，＋∞)C．(－1,0)D．(0,1)解析設(shè)eq\o(BO,\s\up12(→))＝λeq\o(BC,\s\up12(→))(λ＞1)，則eq\o(AO,\s\up12(→))＝eq\o(AB,\s\up12(→))＋eq\o(BO,\s\up12(→))＝eq\o(AB,\s\up12(→))＋λeq\o(BC,\s\up12(→))＝(1－λ)eq\o(AB,\s\up12(→))＋λeq\o(AC,\s\up12(→))，又eq\o(AO,\s\up12(→))＝xeq\o(AB,\s\up12(→))＋(1－x)eq\o(AC,\s\up12(→))，所以xeq\o(AB,\s\up12(→))＋(1－x)eq\o(AC,\s\up12(→))＝(1－λ)eq\o(AB,\s\up12(→))＋λeq\o(AC,\s\up12(→)).所以λ＝1－x＞1，得x＜0.答案A二、填空題3．若點(diǎn)O是△ABC所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，且滿足|eq\o(OB,\s\up12(→))－eq\o(OC,\s\up12(→))|＝|eq\o(OB,\s\up12(→))＋eq\o(OC,\s\up12(→))－2eq\o(OA,