數(shù)學建模第二章

數(shù)學建模第二章第1頁，共67頁，2023年，2月20日，星期六2.1

公平的席位分配系別學生比例20席的分配人數(shù)（%）比例結(jié)果甲10351.5

乙6331.5

丙3417.0總和200100.020.02021席的分配比例結(jié)果10.8156.6153.57021.00021問題三個系學生共200名（甲系100，乙系60，丙系40），代表會議共20席，按比例分配，三個系分別為10，6，4席。現(xiàn)因?qū)W生轉(zhuǎn)系，三系人數(shù)為103,63,34,問20席如何分配。若增加為21席，又如何分配。比例加慣例對丙系公平嗎系別學生比例20席的分配人數(shù)（%）比例結(jié)果甲10351.510.3

乙6331.56.3

丙3417.03.4總和200100.020.020系別學生比例20席的分配人數(shù)（%）比例結(jié)果甲10351.510.310

乙6331.56.36

丙3417.03.44總和200100.020.02021席的分配比例結(jié)果10.815116.61573.570321.00021第2頁，共67頁，2023年，2月20日，星期六“公平”分配方法衡量公平分配的數(shù)量指標人數(shù)席位A方p1

n1B方p2n2當p1/n1=p2/n2

時，分配公平

p1/n1–p2/n2~對A的絕對不公平度p1=150,n1=10,p1/n1=15p2=100,n2=10,p2/n2=10p1=1050,n1=10,p1/n1=105p2=1000,n2=10,p2/n2=100p1/n1–p2/n2=5但后者對A的不公平程度已大大降低!雖二者的絕對不公平度相同若p1/n1>p2/n2，對不公平A

p1/n1–p2/n2=5第3頁，共67頁，2023年，2月20日，星期六公平分配方案應(yīng)使rA

,rB

盡量小設(shè)A,B已分別有n1,n2席，若增加1席，問應(yīng)分給A,還是B不妨設(shè)分配開始時p1/n1>p2/n2，即對A不公平~對A的相對不公平度將絕對度量改為相對度量類似地定義rB(n1,n2)將一次性的席位分配轉(zhuǎn)化為動態(tài)的席位分配,即“公平”分配方法若p1/n1>p2/n2，定義第4頁，共67頁，2023年，2月20日，星期六1）若p1/(n1+1)>p2/n2

，則這席應(yīng)給A2）若p1/(n1+1)<p2/n2

，3）若p1/n1>p2/(n2+1)，應(yīng)計算rB(n1+1,n2)應(yīng)計算rA(n1,n2+1)若rB(n1+1,n2)<rA(n1,n2+1),則這席應(yīng)給應(yīng)討論以下幾種情況初始p1/n1>p2/n2

問：p1/n1<p2/(n2+1)

是否會出現(xiàn)？A否!若rB(n1+1,n2)>rA(n1,n2+1),則這席應(yīng)給B第5頁，共67頁，2023年，2月20日，星期六當rB(n1+1,n2)<rA(n1,n2+1),該席給ArA,rB的定義該席給A否則,該席給B定義該席給Q值較大的一方推廣到m方分配席位該席給Q值最大的一方Q

值方法計算，第6頁，共67頁，2023年，2月20日，星期六三系用Q值方法重新分配21個席位按人數(shù)比例的整數(shù)部分已將19席分配完畢甲系：p1=103,n1=10乙系：p2=63,n2=6丙系：p3=34,n3=3用Q值方法分配第20席和第21席第20席第21席同上Q3最大，第21席給丙系甲系11席，乙系6席，丙系4席Q值方法分配結(jié)果公平嗎？Q1最大，第20席給甲系第7頁，共67頁，2023年，2月20日，星期六進一步的討論Q值方法比“比例加慣例”方法更公平嗎？席位分配的理想化準則已知:m方人數(shù)分別為

p1,p2,…,pm,記總?cè)藬?shù)為P=p1+p2+…+pm,待分配的總席位為N。設(shè)理想情況下m方分配的席位分別為n1,n2,…,nm(自然應(yīng)有n1+n2+…+nm=N)，記qi=Npi/P,i=1,2,…,m,ni應(yīng)是N和p1,…,pm

的函數(shù)，即ni

=ni(N,p1,…,pm)若qi

均為整數(shù)，顯然應(yīng)ni=qi第8頁，共67頁，2023年，2月20日，星期六

qi=Npi/P不全為整數(shù)時，ni

應(yīng)滿足的準則：記[qi]–=floor(qi)~向qi方向取整；[qi]+=ceil(qi)~向

qi方向取整.1)[qi]–ni

[qi]+(i=1,2,…,m),2)ni

(N,p1,…,pm)ni

(N+1,p1,…,pm)(i=1,2,…,m)

即ni必取[qi]–,[qi]+之一即當總席位增加時，ni不應(yīng)減少“比例加慣例”方法滿足1），但不滿足2）Q值方法滿足2）,但不滿足1）。令人遺憾！第9頁，共67頁，2023年，2月20日，星期六問題在一次使用中錄像帶已經(jīng)轉(zhuǎn)過大半，計數(shù)器讀數(shù)為4450，問剩下的一段還能否錄下1小時的節(jié)目？要求不僅回答問題，而且建立計數(shù)器讀數(shù)與錄像帶轉(zhuǎn)過時間的關(guān)系。思考計數(shù)器讀數(shù)是均勻增長的嗎？2.2

錄像機計數(shù)器的用途經(jīng)試驗，一盤標明180分鐘的錄像帶從頭走到尾，時間用了184分，計數(shù)器讀數(shù)從0000變到6061。第10頁，共67頁，2023年，2月20日，星期六錄像機計數(shù)器的工作原理主動輪壓輪0000左輪盤右輪盤磁頭計數(shù)器錄像帶錄像帶運動方向錄像帶運動右輪盤半徑增大右輪轉(zhuǎn)速不是常數(shù)錄像帶運動速度是常數(shù)計數(shù)器讀數(shù)增長變慢問題分析觀察計數(shù)器讀數(shù)增長越來越慢！第11頁，共67頁，2023年，2月20日，星期六模型假設(shè)

錄像帶的運動速度是常數(shù)

v

；

計數(shù)器讀數(shù)

n與右輪轉(zhuǎn)數(shù)

m成正比，記

m=kn；

錄像帶厚度（加兩圈間空隙）為常數(shù)

w；

空右輪盤半徑記作r

；

時間t=0時讀數(shù)n=0.建模目的建立時間t與讀數(shù)n之間的關(guān)系（設(shè)v,k,w,r為已知參數(shù)）第12頁，共67頁，2023年，2月20日，星期六模型建立建立t與n的函數(shù)關(guān)系有多種方法1.右輪盤轉(zhuǎn)第i圈的半徑為r+wi,

m圈的總長度等于錄像帶在時間t內(nèi)移動的長度vt,所以第13頁，共67頁，2023年，2月20日，星期六2.考察右輪盤面積的變化，等于錄像帶厚度乘以轉(zhuǎn)過的長度，即3.考察t到t+dt錄像帶在右輪盤纏繞的長度，有模型建立第14頁，共67頁，2023年，2月20日，星期六思考3種建模方法得到同一結(jié)果但仔細推算會發(fā)現(xiàn)稍有差別，請解釋。模型中有待定參數(shù)一種確定參數(shù)的辦法是測量或調(diào)查，請設(shè)計測量方法。思考第15頁，共67頁，2023年，2月20日，星期六參數(shù)估計另一種確定參數(shù)的方法——測試分析將模型改記作只需估計a,b理論上，已知t=184,n=6061,

再有一組(t,n)數(shù)據(jù)即可實際上，由于測試有誤差，最好用足夠多的數(shù)據(jù)作擬合現(xiàn)有一批測試數(shù)據(jù)：

t020406080n00001141201927603413

t

100120140160184n40044545505155256061用最小二乘法可得第16頁，共67頁，2023年，2月20日，星期六模型檢驗應(yīng)該另外測試一批數(shù)據(jù)檢驗?zāi)Ｐ停耗Ｐ蛻?yīng)用回答提出的問題：由模型算得n=4450時t=116.4分，剩下的錄像帶能錄184-116.4=67.6分鐘的節(jié)目。揭示了“t

與n之間呈二次函數(shù)關(guān)系”這一普遍規(guī)律，當錄像帶的狀態(tài)改變時，只需重新估計a,b

即可。第17頁，共67頁，2023年，2月20日，星期六2d墻室內(nèi)T1室外T2dd墻l室內(nèi)T1室外T2問題雙層玻璃窗與同樣多材料的單層玻璃窗相比，減少多少熱量損失假設(shè)熱量傳播只有傳導，沒有對流T1,T2不變，熱傳導過程處于穩(wěn)態(tài)材料均勻，熱傳導系數(shù)為常數(shù)建模熱傳導定律Q1Q2Q~單位時間單位面積傳導的熱量T~溫差,d~材料厚度,k~熱傳導系數(shù)2.3

雙層玻璃窗的功效第18頁，共67頁，2023年，2月20日，星期六dd墻l室內(nèi)T1室外T2Q1TaTb記雙層玻璃窗傳導的熱量Q1Ta~內(nèi)層玻璃的外側(cè)溫度Tb~外層玻璃的內(nèi)側(cè)溫度k1~玻璃的熱傳導系數(shù)k2~空氣的熱傳導系數(shù)建模第19頁，共67頁，2023年，2月20日，星期六記單層玻璃窗傳導的熱量Q22d墻室內(nèi)T1室外T2Q2雙層與單層窗傳導的熱量之比k1=410-3~810-3,k2=2.510-4,

k1/k2=16~32對Q1比Q2的減少量作最保守的估計，取k1/k2=16建模第20頁，共67頁，2023年，2月20日，星期六hQ1/Q24200.060.030.026模型應(yīng)用取h=l/d=4,則Q1/Q2=0.03即雙層玻璃窗與同樣多材料的單層玻璃窗相比，可減少97%的熱量損失。結(jié)果分析Q1/Q2所以如此小，是由于層間空氣極低的熱傳導系數(shù)k2,而這要求空氣非常干燥、不流通。房間通過天花板、墻壁……損失的熱量更多。雙層窗的功效不會如此之大第21頁，共67頁，2023年，2月20日，星期六2.4

汽車剎車距離美國的某些司機培訓課程中的駕駛規(guī)則：背景與問題正常駕駛條件下,車速每增10英里/小時，后面與前車的距離應(yīng)增一個車身的長度。實現(xiàn)這個規(guī)則的簡便辦法是“2秒準則”：后車司機從前車經(jīng)過某一標志開始默數(shù)

2秒鐘后到達同一標志，而不管車速如何判斷“2秒準則”與“車身”規(guī)則是否一樣；建立數(shù)學模型，尋求更好的駕駛規(guī)則。第22頁，共67頁，2023年，2月20日，星期六問題分析常識：剎車距離與車速有關(guān)10英里/小時(16公里/小時)車速下2秒鐘行駛29英尺(9米)>>車身的平均長度15英尺(=4.6米)“2秒準則”與“10英里/小時加一車身”規(guī)則不同剎車距離反應(yīng)時間司機狀況制動系統(tǒng)靈活性制動器作用力、車重、車速、道路、氣候……最大制動力與車質(zhì)量成正比，使汽車作勻減速運動。車速常數(shù)反應(yīng)距離制動距離常數(shù)第23頁，共67頁，2023年，2月20日，星期六假設(shè)與建模1.剎車距離d等于反應(yīng)距離d1與制動距離d2之和2.反應(yīng)距離d1與車速v成正比3.剎車時使用最大制動力F，F(xiàn)作功等于汽車動能的改變;Fd2=mv2/2F

mt1為反應(yīng)時間且F與車的質(zhì)量m成正比第24頁，共67頁，2023年，2月20日，星期六反應(yīng)時間t1的經(jīng)驗估計值為0.75秒?yún)?shù)估計利用交通部門提供的一組實際數(shù)據(jù)擬合k模型最小二乘法k=0.06計算剎車距離、剎車時間車速(英里/小時)(英尺/秒)實際剎車距離（英尺）計算剎車距離（英尺）剎車時間（秒）2029.342（44）39.01.53044.073.5（78）76.61.84058.7116（124）126.22.15073.3173（186）187.82.56088.0248（268）261.43.070102.7343（372）347.13.680117.3464（506）444.84.3第25頁，共67頁，2023年，2月20日，星期六“2秒準則”應(yīng)修正為“t秒準則”模型車速(英里/小時)剎車時間（秒）201.5301.8402.1502.5603.0703.6804.3車速（英里/小時）0~1010~4040~6060~80t（秒）1234第26頁，共67頁，2023年，2月20日，星期六2.5

劃艇比賽的成績賽艇2000米成績t(分)種類1234平均單人7.167.257.287.177.21雙人6.876.926.956.776.88四人6.336.426.486.136.32八人5.875.925.825.735.84艇長l

艇寬b(米)(米)l/b7.930.29327.09.760.35627.411.750.57421.018.280.61030.0空艇重w0(kg)

漿手數(shù)n

16.313.618.114.7對四種賽艇（單人、雙人、四人、八人）4次國際大賽冠軍的成績進行比較，發(fā)現(xiàn)與漿手數(shù)有某種關(guān)系。試建立數(shù)學模型揭示這種關(guān)系。問題準備調(diào)查賽艇的尺寸和重量l/b,w0/n

基本不變第27頁，共67頁，2023年，2月20日，星期六問題分析前進阻力~浸沒部分與水的摩擦力前進動力~漿手的劃漿功率分析賽艇速度與漿手數(shù)量之間的關(guān)系賽艇速度由前進動力和前進阻力決定劃漿功率

賽艇速度賽艇速度前進動力前進阻力漿手數(shù)量艇重浸沒面積

對漿手體重、功率、阻力與艇速的關(guān)系等作出假定運用合適的物理定律建立模型第28頁，共67頁，2023年，2月20日，星期六模型假設(shè)1）艇形狀相同(l/b為常數(shù)),w0與n成正比2）v是常數(shù)，阻力f與sv2成正比符號：艇速v,浸沒面積

s,浸沒體積A,空艇重w0,阻力f,漿手數(shù)n,漿手功率

p,漿手體重

w,艇重W艇的靜態(tài)特性艇的動態(tài)特性3）w相同，p不變，p與w成正比漿手的特征模型建立f

sv2p

wv

(n/s)1/3s1/2

A1/3A

W(=w0+nw)

ns

n2/3v

n1/9比賽成績

t

n

–1/9npfv第29頁，共67頁，2023年，2月20日，星期六模型檢驗n

t17.2126.8846.3285.84最小二乘法利用4次國際大賽冠軍的平均成績對模型

t

n

–1/9進行檢驗tn12487.216.886.325.84????與模型巧合！第30頁，共67頁，2023年，2月20日，星期六問題甲有物品X,乙有物品Y,雙方為滿足更高的需要，商定相互交換一部分。研究實物交換方案。yxp.用x,y分別表示甲(乙)占有X,Y的數(shù)量。設(shè)交換前甲占有X的數(shù)量為x0,乙占有Y的數(shù)量為y0,作圖：若不考慮雙方對X,Y的偏愛，則矩形內(nèi)任一點p(x,y)都是一種交換方案：甲占有(x,y)，乙占有(x0-x,y0-y)xyyo0xo??2.6

實物交換第31頁，共67頁，2023年，2月20日，星期六xyyoy1y20x1x2xop1p2..甲的無差別曲線分析與建模如果甲占有(x1,y1)與占有(x2,y2)具有同樣的滿意程度，即p1,p2對甲是無差別的，MN將所有與p1,p2無差別的點連接起來，得到一條無差別曲線MN,線上各點的滿意度相同,線的形狀反映對X,Y的偏愛程度，N1M1p3(x3,y3).比MN各點滿意度更高的點如p3，在另一條無差別曲線M1N1上。于是形成一族無差別曲線（無數(shù)條）。第32頁，共67頁，2023年，2月20日，星期六p1.p2.c1y0xf(x,y)=c1無差別曲線族的性質(zhì)：單調(diào)減(x增加,y減小)下凸(凸向原點)互不相交在p1點占有x少、y多，寧愿以較多的y換取較少的x;在p2點占有y少、x多，就要以較多的

x換取較少的y。甲的無差別曲線族記作f(x,y)=c1c1~滿意度（f~等滿意度曲線）第33頁，共67頁，2023年，2月20日，星期六xyOg(x,y)=c2c2乙的無差別曲線族g(x,y)=c2具有相同性質(zhì)（形狀可以不同）雙方的交換路徑xyyoOxof=c1O‘x’y’g=c2乙的無差別曲線族g=c2

(坐標系x’O’y’,且反向）甲的無差別曲線族f=c1ABp

P’

雙方滿意的交換方案必在AB（交換路徑）上因為在AB外的任一點p’,(雙方)滿意度低于AB上的點p兩族曲線切點連線記作AB第34頁，共67頁，2023年，2月20日，星期六ABp交換方案的進一步確定交換方案~交換后甲的占有量(x,y)0xx0,0yy0矩形內(nèi)任一點交換路徑AB雙方的無差別曲線族等價交換原則X,Y用貨幣衡量其價值，設(shè)交換前x0,y0價值相同，則等價交換原則下交換路徑為CD(x0,0),(0,y0)兩點的連線CDAB與CD的交點p設(shè)X單價a,Y單價b,則等價交換下ax+by=s(s=ax0=by0)yyo0xo..x第35頁，共67頁，2023年，2月20日，星期六2.7

核軍備競賽冷戰(zhàn)時期美蘇聲稱為了保衛(wèi)自己的安全，實行“核威懾戰(zhàn)略”，核軍備競賽不斷升級。隨著前蘇聯(lián)的解體和冷戰(zhàn)的結(jié)束，雙方通過了一系列的核裁軍協(xié)議。在什么情況下雙方的核軍備競賽不會無限擴張，而存在暫時的平衡狀態(tài)。當一方采取加強防御、提高武器精度、發(fā)展多彈頭導彈等措施時，平衡狀態(tài)會發(fā)生什么變化。估計平衡狀態(tài)下雙方擁有的最少的核武器數(shù)量，這個數(shù)量受哪些因素影響。背景第36頁，共67頁，2023年，2月20日，星期六以雙方(戰(zhàn)略)核導彈數(shù)量描述核軍備的大小。假定雙方采取如下同樣的核威懾戰(zhàn)略：認為對方可能發(fā)起所謂第一次核打擊，即傾其全部核導彈攻擊己方的核導彈基地；乙方在經(jīng)受第一次核打擊后，應(yīng)保存足夠的核導彈，給對方重要目標以毀滅性的打擊。在任一方實施第一次核打擊時，假定一枚核導彈只能攻擊對方的一個核導彈基地。摧毀這個基地的可能性是常數(shù)，它由一方的攻擊精度和另一方的防御能力決定。模型假設(shè)第37頁，共67頁，2023年，2月20日，星期六圖的模型y=f(x)~甲方有x枚導彈，乙方所需的最少導彈數(shù)x=g(y)~乙方有y枚導彈，甲方所需的最少導彈數(shù)當x=0時y=y0，y0~乙方的威懾值xyy00y0~甲方實行第一次打擊后已經(jīng)沒有導彈，乙方為毀滅甲方工業(yè)、交通中心等目標所需導彈數(shù)x1x0y1P(xm,ym)x=g(y)xy0y0y=f(x)y=f(x)乙安全區(qū)甲安全區(qū)雙方安全區(qū)P~平衡點(雙方最少導彈數(shù))乙安全線第38頁，共67頁，2023年，2月20日，星期六精細模型乙方殘存率

s~甲方一枚導彈攻擊乙方一個基地，基地未被摧毀的概率。sx個基地未摧毀，y–x個基地未攻擊。x<y甲方以x攻擊乙方y(tǒng)個基地中的x個,y0=sx+y–xx=yy0=sy乙的x–y個被攻擊2次，s2(x–y)個未摧毀；y–(x–y)=2y–x個被攻擊1次，s(2y–x)個未摧毀y0=s2(x–y)+s(2y–x)x=2yy0=s2yy<x<2yy=y0+(1-s)xy=y0/sy=y0/s2第39頁，共67頁，2023年，2月20日，星期六

a~交換比(甲乙導彈數(shù)量比)x=ay,精細模型x=y,y=y0/sx=2y,y=y0/s2y0~威懾值s~殘存率y=f(x)y是一條上凸的曲線y0變大，曲線上移、變陡s變大，y減小，曲線變平a變大，y增加，曲線變陡xy0y0x<y,y=y0+(1-s)xx=yx=2yy<x<2y,第40頁，共67頁，2023年，2月20日，星期六甲方增加經(jīng)費保護及疏散工業(yè)、交通中心等目標乙方威懾值y0變大xy0y0x0P(xm,ym)x=g(y)y=f(x)甲方的被動防御也會使雙方軍備競賽升級。（其它因素不變）乙安全線y=f(x)上移模型解釋平衡點PP′第41頁，共67頁，2023年，2月20日，星期六甲方將固定核導彈基地改進為可移動發(fā)射架乙安全線y=f(x)不變甲方殘存率變大威懾值x0和交換比不變x減小，甲安全線x=g(y)向y軸靠近xy0y0x0P(xm,ym)x=g(y)y=f(x)模型解釋甲方這種單獨行為，會使雙方的核導彈減少PP′第42頁，共67頁，2023年，2月20日，星期六雙方發(fā)展多彈頭導彈，每個彈頭可以獨立地摧毀目標(x

,y仍為雙方核導彈的數(shù)量)雙方威懾值減小，殘存率不變，交換比增加y0減小

y下移且變平xy0y0x0P(xm,ym)x=g(y)y=f(x)a變大y增加且變陡雙方導彈增加還是減少，需要更多信息及更詳細的分析模型解釋乙安全線y=f(x)第43頁，共67頁，2023年，2月20日，星期六帆船在海面上乘風遠航，確定最佳的航行方向及帆的朝向簡化問題AB

風向北航向帆船海面上東風勁吹，設(shè)帆船要從A點駛向正東方的B點，確定起航時的航向，帆以及帆的朝向2.8

啟帆遠航第44頁，共67頁，2023年，2月20日，星期六模型分析風(通過帆)對船的推力w風對船體部分的阻力p推力w的分解

wp阻力p的分解w=w1+w2w1w2w1=f1+f2f1f2p2p1p=p1+p2模型假設(shè)

w與帆迎風面積s1成正比，p與船迎風面積s2成正比，比例系數(shù)相同且

s1遠大于

s2，f1~航行方向的推力p1~航行方向的阻力第45頁，共67頁，2023年，2月20日，星期六w1=wsin(-)f1=w1sin=wsinsin(-)p1=pcos模型假設(shè)

wpw1w2f1f2p2p1

w2與帆面平行，可忽略

f2,p2垂直于船身，可由舵抵消模型建立w=ks1,p=ks2船在正東方向速度分量v1=vcos航向速度v與力f=f1-p1成正比v=k1(f1-p1)v1v第46頁，共67頁，2023年，2月20日，星期六2)令=/2,

v1=k1[w(1-cos)/2

-pcos]cos求使v1最大（w=ks1,p=ks2）1)當固定時求使f1最大f1=w[cos(-2)-cos]/2=/2時f1=w(1-cos)/2最大=k1(f1-p1)cosf1=w1sin=wsinsin(-)p1=pcos求,,使v1最大模型建立v1=vcos

wpw1w2f1f2p2p1v1v模型求解第47頁，共67頁，2023年，2月20日，星期六60o

<<75o

1<t<2v1最大備注

只討論起航時的航向，是靜態(tài)模型航行過程中終點B將不在正東方

記t=1+2s2/s1,k2=k1w/2

=(

k1w/2)[1-(1+2p/w)cos]cos

w=ks1,p=ks21/4<cos<1/2模型求解v1=k1[w(1-cos)/2

-pcos]coss1>>

s2第48頁，共67頁，2023年，2月20日，星期六2.9

量綱分析與無量綱化物理量的量綱長度

l的量綱記L=[l]質(zhì)量

m的量綱記M=[m]時間t

的量綱記T=[t]動力學中基本量綱

L,M,T速度v的量綱[v]=LT-1導出量綱加速度a

的量綱[a]=LT-2力f

的量綱[f]=LMT-2引力常數(shù)

k

的量綱[k]對無量綱量，[]=1(=L0M0T0)2.9.1量綱齊次原則=[f][l]2[m]-2=L3M-1T-2第49頁，共67頁，2023年，2月20日，星期六量綱齊次原則等式兩端的量綱一致量綱分析~利用量綱齊次原則尋求物理量之間的關(guān)系例：單擺運動lmgm求擺動周期t

的表達式設(shè)物理量t,m,l,g

之間有關(guān)系式1,2,3

為待定系數(shù)，為無量綱量(1)的量綱表達式對比第50頁，共67頁，2023年，2月20日，星期六對x,y,z的兩組測量值x1,y1,z1

和x2,y2,z2，

p1=f(x1,y1,z1),p2=f(x2,y2,z2)為什么假設(shè)這種形式設(shè)p=f(x,y,z)x,y,z的量綱單位縮小a,b,c倍p=f(x,y,z)的形式為第51頁，共67頁，2023年，2月20日，星期六單擺運動中t,m,l,g

的一般表達式y(tǒng)1~y4為待定常數(shù),為無量綱量第52頁，共67頁，2023年，2月20日，星期六設(shè)f(q1,q2,,qm)=0

ys

=(ys1,ys2,…,ysm)T,s=1,2,…,m-rF(

1,

2,…,

m-r)=0與

f(q1,q2,,qm)=0等價,F未定Pi定理(Buckingham)是與量綱單位無關(guān)的物理定律，X1,X2,,

Xn

是基本量綱,nm,q1,q2,,

qm

的量綱可表為量綱矩陣記作線性齊次方程組有m-r

個基本解，記作為m-r

個相互獨立的無量綱量,且則第53頁，共67頁，2023年，2月20日，星期六[g]=LT-2,[l]=L,[]=L-3M,[v]=LT-1,,[s]=L2,[f]=LMT-2量綱分析示例：波浪對航船的阻力航船阻力f航船速度v,船體尺寸l,浸沒面積s,海水密度,重力加速度g。m=6,n=3第54頁，共67頁，2023年，2月20日，星期六Ay=0有m-r=3個基本解rankA=3rankA=rAy=0有m-r個基本解ys

=(ys1,ys2,…,