數學分析 第七章 課件 定積分

數學分析第七章課件定積分第1頁，共84頁，2023年，2月20日，星期六第一節(jié) 定積分的概念例1：變力作功例2：變速直線運動的路程例3：曲邊梯形的面積這些例子，都歸結為一種和式的極限，我們把它抽象出來，得到定積分的定義:一.背景（引入）第2頁，共84頁，2023年，2月20日，星期六思路：把整段時間分割成若干小段，每小段上速度看作不變，求出各小段的路程再相加，便得到路程的近似值，最后通過對時間的無限細分過程求得路程的精確值．（二）變速直線運動的距離第3頁，共84頁，2023年，2月20日，星期六（1）分割部分路程值某時刻的速度（2）求和（3）取極限路程的精確值第4頁，共84頁，2023年，2月20日，星期六xyoab(三)求曲邊梯形的面積第5頁，共84頁，2023年，2月20日，星期六abxyo用矩形面積近似取代曲邊梯形面積顯然，小矩形越多，矩形總面積越接近曲邊梯形面積．（四個小矩形）（九個小矩形）第6頁，共84頁，2023年，2月20日，星期六觀察下列演示過程，注意當分割加細時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關系．第7頁，共84頁，2023年，2月20日，星期六觀察下列演示過程，注意當分割加細時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關系．第8頁，共84頁，2023年，2月20日，星期六觀察下列演示過程，注意當分割加細時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關系．第9頁，共84頁，2023年，2月20日，星期六觀察下列演示過程，注意當分割加細時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關系．第10頁，共84頁，2023年，2月20日，星期六觀察下列演示過程，注意當分割加細時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關系．第11頁，共84頁，2023年，2月20日，星期六觀察下列演示過程，注意當分割加細時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關系．第12頁，共84頁，2023年，2月20日，星期六觀察下列演示過程，注意當分割加細時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關系．第13頁，共84頁，2023年，2月20日，星期六觀察下列演示過程，注意當分割加細時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關系．第14頁，共84頁，2023年，2月20日，星期六觀察下列演示過程，注意當分割加細時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關系．第15頁，共84頁，2023年，2月20日，星期六觀察下列演示過程，注意當分割加細時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關系．第16頁，共84頁，2023年，2月20日，星期六觀察下列演示過程，注意當分割加細時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關系．第17頁，共84頁，2023年，2月20日，星期六觀察下列演示過程，注意當分割加細時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關系．第18頁，共84頁，2023年，2月20日，星期六觀察下列演示過程，注意當分割加細時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關系．第19頁，共84頁，2023年，2月20日，星期六觀察下列演示過程，注意當分割加細時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關系．第20頁，共84頁，2023年，2月20日，星期六觀察下列演示過程，注意當分割加細時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關系．第21頁，共84頁，2023年，2月20日，星期六曲邊梯形面積求法：第22頁，共84頁，2023年，2月20日，星期六曲邊梯形面積為第23頁，共84頁，2023年，2月20日，星期六二、定積分的定義定義7.1設函數在區(qū)間上有定義，(1)分割在內任意插入個分點。

它將分成個小區(qū)間，第個小區(qū)間的長度記為在每個小區(qū)間上任取一點(2)取點(3)作和 記作和式第24頁，共84頁，2023年，2月20日，星期六（4）求極限令若和式的極限存在（設為I）且不依賴于分法，也不依賴于的選取，則稱在是可積的，否則稱為不可積。稱為在的定積分，記為即第25頁，共84頁，2023年，2月20日，星期六上述定義用語言給出。有了積分概念以后，上面的例子便可用其表示。例1：變力使質點從移到所作的功為例2：變速直線運動的路程，就是速度在時間段上的定積分，即第26頁，共84頁，2023年，2月20日，星期六例3：曲邊梯形（由軸及曲線所圍成的圖形）的面積為幾點說明：定義中的兩個任意性。2.定義中，表示對無限細分的過程，但第27頁，共84頁，2023年，2月20日，星期六3.當我們已知可積的情況下，可取區(qū)間的特殊分法和的特殊取法來求積分和。這就是用定義求積分的依據。4.定積分只與被積函數和積分區(qū)間（上、下限）有關，與積分變量無關。即例用定義求積分：第28頁，共84頁，2023年，2月20日，星期六5.規(guī)定：第29頁，共84頁，2023年，2月20日，星期六第二節(jié) 定積分的基本性質定理7.1(可積函數必有界)在上可積，則在上有界。但反過來不成立。例如：函數在是不可積的第30頁，共84頁，2023年，2月20日，星期六定理7.2(積分的線性性質)第31頁，共84頁，2023年，2月20日，星期六定理7.3（定積分區(qū)間的可加性）第32頁，共84頁，2023年，2月20日，星期六定理7.4（積分的單調性）推論7.1第33頁，共84頁，2023年，2月20日，星期六若在可積，則定理7.5第34頁，共84頁，2023年，2月20日，星期六函數的一致連續(xù)性概念設在某一區(qū)間（或開，或閉）連續(xù)，按照定義，也就是在區(qū)間中的每一點都連續(xù)，即使當時，一般說來：對同一個，當不同時，也不同

用符號：當時，第35頁，共84頁，2023年，2月20日，星期六例：圖7.7曲線對接近于原點的就取得小一些，而當離原點較遠時，卻可以取大一些，對后者所取的值，對前者就不一定適用。能否找到（是否存在）一個對區(qū)間內所有點都適用的。從圖大致看出，在中就沒有公共的，有時卻需要這種對所有點都適用的存在，這就需要第36頁，共84頁，2023年，2月20日，星期六設函數在區(qū)間有定義，若對任給存在只與有關而與內的點無關的，使得對任意只要就有則稱在區(qū)間一致連續(xù)。用符號：當時，一致連續(xù)的定義第37頁，共84頁，2023年，2月20日，星期六將函數在區(qū)間的定義加以比較，可見它們截然不同：前者（連續(xù)）：給定了和來決定。一般說來，隨和而改變，記為而后者（一致連續(xù)）：是只給了就能決定即只隨而變，我們記為第38頁，共84頁，2023年，2月20日，星期六而這種對任意的都可用。仍拿的情形看：對我們不妨求出滿足時，的的最大值，來看看依賴于的情況。從得：第39頁，共84頁，2023年，2月20日，星期六不妨設從而或故只要取則它是使成立的最大的第40頁，共84頁，2023年，2月20日，星期六顯然，當時可見的確依賴于我們得不到一個對中每點都適用的函數也就是說在不一致連續(xù)現設是一個小于1的函數下面在來考慮由前面難導，當時則對中任意和只要就有即在區(qū)間是一致連續(xù)的第41頁，共84頁，2023年，2月20日，星期六應當注意：函數在某區(qū)間的連續(xù)性，只與區(qū)間中每一點及其附近的的情形有關,是局部性質而一致連續(xù)性，是整體性質函數在區(qū)間非一致連續(xù)的肯定敘述：若存在某個對任意都存在兩點使得但則得在非一致收斂第42頁，共84頁，2023年，2月20日，星期六例1：證明在一致連續(xù)，其中而在連續(xù)但不一致連續(xù)。證明:在某區(qū)間上:連續(xù)與一致連續(xù)的關系引出：定理：定理7.6：閉區(qū)間上的連續(xù)函數一定在一致連續(xù)第43頁，共84頁，2023年，2月20日，星期六若在連續(xù)，則在可積一個有界函數但不可積的例子。例2函數在是不可積的定理7.6康托（Cantor）定理閉區(qū)間上的連續(xù)函數一定在一致連續(xù)定理7.7第44頁，共84頁，2023年，2月20日，星期六定理7.8：（積分第一中值定理）第45頁，共84頁，2023年，2月20日，星期六特別：當時的情形，第46頁，共84頁，2023年，2月20日，星期六在可積，令則是上的連續(xù)函數。定理7.9第47頁，共84頁，2023年，2月20日，星期六第三節(jié)微積分基本定理第48頁，共84頁，2023年，2月20日，星期六（一）變上限積分的定義定義

第49頁，共84頁，2023年，2月20日，星期六（二）變上限積分的性質：定理1第50頁，共84頁，2023年，2月20日，星期六二、微積分基本定理（一）Newton-Leibniz公式定理2牛頓—萊布尼茨公式第51頁，共84頁，2023年，2月20日，星期六證令令第52頁，共84頁，2023年，2月20日，星期六注:①②第53頁，共84頁，2023年，2月20日，星期六（二）例題例2求原式解第54頁，共84頁，2023年，2月20日，星期六例3求解由圖形可知第55頁，共84頁，2023年，2月20日，星期六第四節(jié)定積分的計算（一）定積分的換元法定理7.13設函數在連續(xù)，單值函數滿足:1)2)在上則有連續(xù)微商，第56頁，共84頁，2023年，2月20日，星期六證:

所證等式兩邊被積函數都連續(xù),因此積分都存在,是的原函數,因此有且它們的原函數也存在.第57頁，共84頁，2023年，2月20日，星期六說明:1)當<,即區(qū)間換為定理1仍成立.2)必需注意換元必換限

,原函數中的變量不必代回.3)換元公式也可反過來使用,即或配元配元不換限第58頁，共84頁，2023年，2月20日，星期六例1.

計算解:

令則∴原式=且第59頁，共84頁，2023年，2月20日，星期六例3.證:(1)若(2)若偶倍奇零第60頁，共84頁，2023年，2月20日，星期六定理2.

則證:二、定積分的分部積分法第61頁，共84頁，2023年，2月20日，星期六例7.

證明證:令

n

為偶數

n

為奇數則則第62頁，共84頁，2023年，2月20日，星期六由此得遞推公式于是而故所證結論成立.第63頁，共84頁，2023年，2月20日，星期六第五節(jié)定積分在物理學中的

應用初步第64頁，共84頁，2023年，2月20日，星期六小窄條上各點的壓強例4.

的液體,

求桶的一個端面所受的側壓力.解:

建立坐標系如圖.所論半圓的利用對稱性,側壓力元素端面所受側壓力為方程為一水平橫放的半徑為R的圓桶,內盛半桶密度為第65頁，共84頁，2023年，2月20日，星期六說明:當桶內充滿液體時,小窄條上的壓強為側壓力元素故端面所受側壓力為奇函數第66頁，共84頁，2023年，2月20日，星期六例5.設有一長度為l,線密度為的均勻細直棒,其中垂線上距a

單位處有一質量為

m

的質點

M,該棒對質點的引力.解:

建立坐標系如圖.細棒上小段對質點的引力大小為故垂直分力元素為在試計算第67頁，共84頁，2023年，2月20日，星期六利用對稱性棒對質點引力的水平分力故棒對質點的引力大小為棒對質點的引力的垂直分力為第68頁，共84頁，2023年，2月20日，星期六說明:2)若考慮質點克服引力沿y

軸從a

處1)

當細棒很長時,可視

l

為無窮大,此時引力大小為方向與細棒垂直且指向細棒.移到b

(a<b)處時克服引力作的功,則有第69頁，共84頁，2023年，2月20日，星期六引力大小為注意正負號3)當質點位于棒的左端點垂線上時,第70頁，共84頁，2023年，2月20日，星期六1.定積分的定義—乘積和式的極限2.定積分的性質3.積分中值定理矩形公式梯形公式連續(xù)函數在區(qū)間上的平均值公式近似計算內容小結第71頁，共84頁，2023年，2月20日，星期六則有4.微積分基本公式積分中值定理微分中值定理牛頓–萊布尼茲公式5.變限積分求導公式第72頁，共84頁，2023年，2月20日，星期六

6.基本積分法換元積分法分部積分法換元必換限配元不換限邊積邊代限第73頁，共84頁，2023年，2月20日，星期六習題例1.

求解:

令則原式第74頁，共84頁，2023年，2月20日，星期六例2.

求解:第75頁，共84頁，2023年，2月20日，星期六例3.選擇一個常數c,使解:

令則因為被積函數為奇函數,故選擇c使即可使原式為0.第76頁，共84頁，2023年，2月20日，星期六例4.若解:

令試證:則第77頁，共84頁，2023年，2月20日，星期六因為對右端第二個積分令綜上所述