數(shù)值分析課件第三章函數(shù)逼近與計(jì)算

數(shù)值分析課件第三章函數(shù)逼近與計(jì)算第1頁，共40頁，2023年，2月20日，星期六實(shí)例：考察某種纖維的強(qiáng)度與其拉伸倍數(shù)的關(guān)系,下表是實(shí)際測定的24個(gè)纖維樣品的強(qiáng)度與相應(yīng)的拉伸倍數(shù)是記錄:1、引言第2頁，共40頁，2023年，2月20日，星期六纖維強(qiáng)度隨拉伸倍數(shù)增加而增加并且24個(gè)點(diǎn)大致分布在一條直線附近---------(1)必須找到一種度量標(biāo)準(zhǔn)來衡量什么曲線最接近所有數(shù)據(jù)點(diǎn)。第3頁，共40頁，2023年，2月20日，星期六一般使用在回歸分析中稱為殘差稱為平方誤差。在回歸分析中稱為殘差平方和.從而確定(1)中的待定系數(shù):注意(1)式是一條直線,因此將問題一般化為:什么是最小二乘法第4頁，共40頁，2023年，2月20日，星期六仍然定義平方誤差第5頁，共40頁，2023年，2月20日，星期六我們選取的度量標(biāo)準(zhǔn)是---------(2)---------(3)第6頁，共40頁，2023年，2月20日，星期六第7頁，共40頁，2023年，2月20日，星期六由可知因此可假設(shè)因此求最小二乘解轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)7.1最小二乘法的求法第8頁，共40頁，2023年，2月20日，星期六由多元函數(shù)取極值的必要條件得即第9頁，共40頁，2023年，2月20日，星期六---------(4)即第10頁，共40頁，2023年，2月20日，星期六引入記號則由內(nèi)積的概念可知---------(5)---------(6)顯然內(nèi)積滿足交換律第11頁，共40頁，2023年，2月20日，星期六方程組(4)便可化為---------(7)將其表示成矩陣形式-----(8)第12頁，共40頁，2023年，2月20日，星期六并且其系數(shù)矩陣為對稱陣所以法方程組的系數(shù)矩陣非奇異,即根據(jù)Cramer法則,法方程組有唯一解第13頁，共40頁，2023年，2月20日，星期六即是的最小值所以因此第14頁，共40頁，2023年，2月20日，星期六作為一種簡單的情況,基函數(shù)之間的內(nèi)積為平方誤差第15頁，共40頁，2023年，2月20日，星期六例1.回到本節(jié)開始的實(shí)例，從散點(diǎn)圖可以看出纖維強(qiáng)度和拉伸倍數(shù)之間近似與線性關(guān)系故可選取線性函數(shù)為擬合函數(shù)，其基函數(shù)為建立法方程組根據(jù)內(nèi)積公式，可得第16頁，共40頁，2023年，2月20日，星期六法方程組為解得平方誤差為第17頁，共40頁，2023年，2月20日，星期六擬合曲線與散點(diǎn)的關(guān)系如右圖:第18頁，共40頁，2023年，2月20日，星期六例2.求擬合下列數(shù)據(jù)的最小二乘解x=.24.65.951.241.732.012.232.522.772.99y=.23-.26-1.10-.45.27.10-.29.24.561解:從數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖可以看出因此假設(shè)擬合函數(shù)與基函數(shù)分別為第19頁，共40頁，2023年，2月20日，星期六6.7941-5.347563.2589-5.34755.1084-49.008663.2589-49.00861002.51.6163-2.382726.7728通過計(jì)算,得法方程組的系數(shù)矩陣及常數(shù)項(xiàng)矩陣為Go!Go!第20頁，共40頁，2023年，2月20日，星期六用Gauss列主元消去法,得-1.0410-1.26130.030735擬合的平方誤差為圖象如圖第21頁，共40頁，2023年，2月20日，星期六例3.在某化學(xué)反應(yīng)里,測得生成物濃度y%與時(shí)間t的數(shù)據(jù)如下，試建立y關(guān)于t的經(jīng)驗(yàn)公式t=1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16y=4.00,6.40,8.00,8.80,9.22,9.50,9.70,9.86,10.00,10.20,10.32,10.42,10.50,10.55,10.58,10.60解:具有圖示的圖形的曲線很多，本題特提供兩種形式第22頁，共40頁，2023年，2月20日，星期六兩邊取對數(shù),得得即為擬合函數(shù)基函數(shù)為解法方程組得平方誤差為第23頁，共40頁，2023年，2月20日，星期六用最小二乘法得即無論從圖形還是從平方誤差考慮在本例中指數(shù)函數(shù)擬合比雙曲線擬合要好平方誤差為第24頁，共40頁，2023年，2月20日，星期六從本例看到，擬合曲線的數(shù)學(xué)模型并不是一開始就能選好的，往往要通過分析確定若干模型之后，再經(jīng)過實(shí)際計(jì)算，才能選到較好的模型。第25頁，共40頁，2023年，2月20日，星期六各點(diǎn)的重要性可能是不一樣的重度:即權(quán)重或者密度，統(tǒng)稱為權(quán)系數(shù)定義加權(quán)平方誤差為:-----(9)關(guān)于加權(quán)最小二乘法第26頁，共40頁，2023年，2月20日，星期六使得第27頁，共40頁，2023年，2月20日，星期六由多元函數(shù)取極值的必要條件得即第28頁，共40頁，2023年，2月20日，星期六引入記號定義加權(quán)內(nèi)積-----(10)第29頁，共40頁，2023年，2月20日，星期六矩陣形式(法方程組)為方程組(10)式化為-----(11)---(12)第30頁，共40頁，2023年，2月20日，星期六平方誤差為作為特殊情形,用多項(xiàng)式作擬合函數(shù)的法方程組為-----(13)第31頁，共40頁，2023年，2月20日，星期六即正交多項(xiàng)式如何選取呢---(14)7、2用正交多項(xiàng)式作最小二乘擬合第32頁，共40頁，2023年，2月20日，星期六第33頁，共40頁，2023年，2月20日，星期六使得由正交多項(xiàng)式的性質(zhì),法方程組第34頁，共40頁，2023年，2月20日，星期六-----(16)-----(17)可化為即得即為利用正交多項(xiàng)式的最小二乘解第35頁，共40頁，2023年，2月20日，星期六平方誤差為第36頁，共40頁，2023年，2月20日，星期六例4.是用最小二乘法求擬合這組數(shù)據(jù)的多項(xiàng)式解:從散點(diǎn)圖可知數(shù)據(jù)和二次多項(xiàng)式擬合較好因此選用二次多項(xiàng)式作