怎樣用求解差分方程題

怎樣用求解差分方程題第1頁(yè)，共34頁(yè)，2023年，2月20日，星期六一、一階線性常系數(shù)差分方程瀕危物種的自然演變和人工孵化問(wèn)題Florida沙丘鶴屬于瀕危物種，它在較好自然環(huán)境下，年均增長(zhǎng)率僅為1.94%，而在中等和較差環(huán)境下年均增長(zhǎng)率分別為-3.24%和

-3.82%，如果在某自然保護(hù)區(qū)內(nèi)開(kāi)始有100只鶴，建立描述其數(shù)量變化規(guī)律的模型，并作數(shù)值計(jì)算。第2頁(yè)，共34頁(yè)，2023年，2月20日，星期六模型建立記第k年沙丘鶴的數(shù)量為xk,年均增長(zhǎng)率為r，則第k+1年鶴的數(shù)量為

xk+1=(1+r)xkk=0,1,2······已知x0=100,在較好，中等和較差的自然環(huán)境下r=0.0194,-0.0324,和-0.0382我們利用Matlab編程，遞推20年后觀察沙丘鶴的數(shù)量變化情況第3頁(yè)，共34頁(yè)，2023年，2月20日，星期六Matlab實(shí)現(xiàn)首先建立一個(gè)關(guān)于變量n，r的函數(shù)functionx=sqh(n,r)a=1+r;x=100;fork=1:nx(k+1)=a*x(k);end第4頁(yè)，共34頁(yè)，2023年，2月20日，星期六在command窗口里調(diào)用sqh函數(shù)

k=(0:20)';>>y1=sqh(20,0.0194);>>y2=sqh(20,-0.0324);>>y3=sqh(20,-0.0382);>>round([k,y1',y2',y3'])第5頁(yè)，共34頁(yè)，2023年，2月20日，星期六利用plot繪圖觀察數(shù)量變化趨勢(shì)可以用不同線型和顏色繪圖rgbcmykw分別表示紅綠蘭蘭綠洋紅黃黑白色：+o*.Xsd表示不同的線型第6頁(yè)，共34頁(yè)，2023年，2月20日，星期六plot(k,y1,k,y2,k,y3)在同一坐標(biāo)系下畫(huà)圖

plot(k,y2,':')>>plot(k,y2,'--')>>plot(k,y2,'r')>>plot(k,y2,'y')>>plot(k,y2,'y',k,y1,':')>>plot(k,y2,k,y1,':')>>plot(k,y2,'oy',k,y1,':')用gtext(‘r=0.0194’),gtext(‘r=-0.0324’),gtext(‘r=-0.0382’)在圖上做標(biāo)記。第7頁(yè)，共34頁(yè)，2023年，2月20日，星期六人工孵化是挽救瀕危物種的措施之一，如果每年孵化5只鶴放入保護(hù)區(qū)，觀察在中等自然條件下沙丘鶴的數(shù)量如何變化Xk+1=aXk+5,a=1+r如果我們想考察每年孵化多少只比較合適，可以令Xk+1=aXk+b,a=1+r第8頁(yè)，共34頁(yè)，2023年，2月20日，星期六functionx=fhsqh(n,r,b)a=1+r;X=100;Fork=1:nX(k+1)=a*x(k)+b;end第9頁(yè)，共34頁(yè)，2023年，2月20日，星期六k=(0:20);%一個(gè)行向量y1=(20,-0.0324,5);也是一個(gè)行向量round([k’,y1’])對(duì)k,y1四舍五入，但是不改變變量的值

plot(k,y1)ky1是行向量列向量都可以也可以觀察200年的發(fā)展趨勢(shì)，以及在較差條件下的發(fā)展趨勢(shì)，也可以考察每年孵化數(shù)量變化的影響。第10頁(yè)，共34頁(yè)，2023年，2月20日，星期六一階線性常系數(shù)差分方程的解、平衡點(diǎn)及其穩(wěn)定性

自然環(huán)境下,b=0人工孵化條件下令xk=xk+1=x得差分方程的平衡點(diǎn)k→∞時(shí)，xk→x,稱平衡點(diǎn)是穩(wěn)定的第11頁(yè)，共34頁(yè)，2023年，2月20日，星期六高階線性常系數(shù)差分方程

如果第k+1時(shí)段變量Xk+1不僅取決于第k時(shí)段變量Xk，而且與以前時(shí)段變量有關(guān)，就要用高階差分方程來(lái)描述第12頁(yè)，共34頁(yè)，2023年，2月20日，星期六一年生植物的繁殖一年生植物春季發(fā)芽，夏天開(kāi)花，秋季產(chǎn)種，沒(méi)有腐爛，風(fēng)干，被人為掠取的那些種子可以活過(guò)冬天，其中一部分能在第2年春季發(fā)芽，然后開(kāi)花，產(chǎn)種，其中的另一部分雖未能發(fā)芽，但如又能活過(guò)一個(gè)冬天，則其中一部分可在第三年春季發(fā)芽，然后開(kāi)花，產(chǎn)種，如此繼續(xù)，一年生植物只能活1年，而近似的認(rèn)為，種子最多可以活過(guò)兩個(gè)冬天，試建立數(shù)學(xué)模型研究這種植物數(shù)量變化的規(guī)律，及它能一直繁殖下去的條件。第13頁(yè)，共34頁(yè)，2023年，2月20日，星期六模型及其求解記一棵植物春季產(chǎn)種的平均數(shù)為c,種子能活過(guò)一個(gè)冬天的(1歲種子)比例為b,活過(guò)一個(gè)冬天沒(méi)有發(fā)芽又活過(guò)一個(gè)冬天的（2歲種子）比例仍為b,1歲種子發(fā)芽率a1，2歲種子發(fā)芽率a2。設(shè)c,a1,a2固定，b是變量，考察能一直繁殖的條件記第k年植物數(shù)量為Xk，顯然Xk與Xk-1,Xk-2有關(guān)，由

Xk-1決定的部分是a1bcXk-1,由Xk-2決定的部分是

a2b(1-a1)bcXk-2

Xk=a1bcXk-1+a2b(1-a1)bcXk-2第14頁(yè)，共34頁(yè)，2023年，2月20日，星期六Xk=a1bcXk-1+a2b(1-a1)bcXk-2實(shí)際上，就是Xk=pXk-1+qXk-2我們需要知道x0,a1,a2,c,考察b不同時(shí)，種子繁殖的情況。在這里假設(shè)X0=100,a1=0.5,a2=0.25,c=10,b=0.18~0.20這樣可以用matlab計(jì)算了第15頁(yè)，共34頁(yè)，2023年，2月20日，星期六Xk=a1bcXk-1+a2b(1-a1)bcXk-2Functionx=zwfz(x0,n,b)C=10;a1=0.5;a2=0.25;p=a1*b*c;q=a2*b*(1-a1)*b*c;X1=x0;X2=p*(x1);fork=3:nX(k)=p*(xk-1)+q*(xk-2);end第16頁(yè)，共34頁(yè)，2023年，2月20日，星期六K=(0:20)’;Y1=zwfz(100,21,0.18);Y2=zwfz(100,21,0.19);Y3=zwfz(100,21,0,20);Round([k,y1’,y2’,y3’])Plot(k,y1,k,y2,’:’,k,y3,’o’),Gtext(‘b=0.18’),gtext(‘b=0.19’),gtext(‘b=0.20’)第17頁(yè)，共34頁(yè)，2023年，2月20日，星期六結(jié)果分析：Xk=pXk-1+qXk-2(1)

x1+px0=0(2)

對(duì)高階差分方程可以尋求形如的解。代入(1)式得稱為差分方程的特征方程。差分方程的特征根：方程(1)的解可以表為C1,c2由初始條件x0,x1確定。第18頁(yè)，共34頁(yè)，2023年，2月20日，星期六本例中，用待定系數(shù)的方法可以求出b=0.18時(shí),c1=95.64,c2=4.36，這樣實(shí)際上，植物能一直繁殖下去的條件是b>0.191第19頁(yè)，共34頁(yè)，2023年，2月20日，星期六線性常系數(shù)差分方程組汽車租賃公司的運(yùn)營(yíng)一家汽車租賃公司在3個(gè)相鄰的城市運(yùn)營(yíng)，為方便顧客起見(jiàn)公司承諾，在一個(gè)城市租賃的汽車可以在任意一個(gè)城市歸還。根據(jù)經(jīng)驗(yàn)估計(jì)和市場(chǎng)調(diào)查，一個(gè)租賃期內(nèi)在A市租賃的汽車在A,B,C市歸還的比例分別為0.6,0.3,0.1;在B市租賃的汽車歸還比例0.2,0.7,0.1;C市租賃的歸還比例分別為0.1,0.3,0.6。若公司開(kāi)業(yè)時(shí)將600輛汽車平均分配到3個(gè)城市，建立運(yùn)營(yíng)過(guò)程中汽車數(shù)量在3個(gè)城市間轉(zhuǎn)移的模型，并討論時(shí)間充分長(zhǎng)以后的變化趨勢(shì)。第20頁(yè)，共34頁(yè)，2023年，2月20日，星期六0.60.3ABCABCABC假設(shè)在每個(gè)租賃期開(kāi)始能把汽車都租出去，并都在租賃期末歸還0.10.70.20.10.60.30.1第21頁(yè)，共34頁(yè)，2023年，2月20日，星期六模型及其求解記第k個(gè)租賃期末公司在ABC市的汽車數(shù)量分別為x1(k),x2(k),x3(k)（也是第k+1個(gè)租賃期開(kāi)始各個(gè)城市租出去的汽車數(shù)量），很容易寫(xiě)出第k+1個(gè)租賃期末公司在ABC市的汽車數(shù)量為(k=0,1,2,3···)第22頁(yè)，共34頁(yè)，2023年，2月20日，星期六用矩陣表示用matlab編程，計(jì)算x(k),觀察n年以后的3個(gè)城市的汽車數(shù)量變化情況第23頁(yè)，共34頁(yè)，2023年，2月20日，星期六functionx=czqc(n)A=[0.6,0.2,0.1;0.3,0.7,0.3;0.1,0.1,0.6];x(:,1)=[200,200,200]';fork=1:nx(:,k+1)=A*x(:,k);end如果直接看10年或者20年發(fā)展趨勢(shì)，可以直接在命令窗口（commondwindow）作，而不是必須編一個(gè)函數(shù)第24頁(yè)，共34頁(yè)，2023年，2月20日，星期六A=[0.6,0.2,0.1;0.3,0.7,0.3;0.1,0.1,0.6];>>n=10;>>fork=1:nx(:,1)=[200,200,200]';x(:,k+1)=A*x(:,k);end>>round(x)第25頁(yè)，共34頁(yè)，2023年，2月20日，星期六作圖觀察數(shù)量變化趨勢(shì)k=0:10;plot(k,x)，gridgtext('x1(k)'),gtext('x2(k)'),gtext('x3(k)')第26頁(yè)，共34頁(yè)，2023年，2月20日，星期六可以看到時(shí)間充分長(zhǎng)以后3個(gè)城市汽車數(shù)量趨于180，300，120可以考察這個(gè)結(jié)果與初始條件是否有關(guān)若最開(kāi)始600輛汽車都在A市，可以看到變化時(shí)間充分長(zhǎng)以后，各城市汽車數(shù)量趨于穩(wěn)定，與初始值無(wú)關(guān)第27頁(yè)，共34頁(yè)，2023年，2月20日，星期六直接輸入x（:,1）的值即可x(:,1)=[600,0,0];round(x');plot(k,x),grid第28頁(yè)，共34頁(yè)，2023年，2月20日，星期六按年齡分組的種群增長(zhǎng)野生或飼養(yǎng)的動(dòng)物因繁殖而增加，因自然死亡和人為屠殺而減少，不同年齡動(dòng)物的繁殖率，死亡率有較大差別，因此在研究某一種群數(shù)量的變化時(shí)，需要考慮年齡分組的種群增長(zhǎng)。將種群按年齡等間隔的分成若干個(gè)年齡組，時(shí)間也離散化為時(shí)段，給定各年齡組種群的繁殖率和死亡率，建立按年齡分組的種群增長(zhǎng)模型，預(yù)測(cè)未來(lái)各年齡組的種群數(shù)量，并討論時(shí)間充分長(zhǎng)以后的變化趨勢(shì)。第29頁(yè)，共34頁(yè)，2023年，2月20日，星期六模型及其求解設(shè)種群按年齡等間隔的分成n個(gè)年齡組，記i=1,2,···，n,時(shí)段記作k=0,1,2···,且年齡組區(qū)間與時(shí)段長(zhǎng)度相等(若5歲為一個(gè)年齡組，則5年為一個(gè)時(shí)段)。以雌性個(gè)體為研究對(duì)象記在時(shí)段k第i年齡組的數(shù)量為xi(k);第i年齡組的繁殖率為bi，表示每個(gè)個(gè)體在一個(gè)時(shí)段內(nèi)繁殖的數(shù)量；第i年齡組死亡率為di，表示一個(gè)時(shí)段內(nèi)死亡數(shù)與總數(shù)的比，si=1-di是存活率。第30頁(yè)，共34頁(yè)，2023年，2月20日，星期六注意：第k時(shí)段的第i年齡組活過(guò)來(lái)的，是第k+1時(shí)段的第i+1年齡組Xi+1(k+1)=sixi(k)i=1，2,···,n-1,k=0,1,····各年齡組在第k時(shí)段繁殖的數(shù)量和是第k+1時(shí)段的第1年齡組X1(k+1)=k=0,1,····記在時(shí)段k種群各年齡組的數(shù)量為X(k)=[x1(k),x2(k),····,xn(k)]’第31頁(yè)，共34頁(yè)，2023年，2月20日，星期六這樣，有x(k+1)=Lx(k),k=0,1,··