數(shù)學(xué)建模最佳選址類問題分析

數(shù)學(xué)建模最佳選址類問題分析第1頁(yè)，共11頁(yè)，2023年，2月20日，星期六

一、問題的提出

如圖1，有一條河，兩個(gè)工廠P和Q位于河岸L（直線）的同一側(cè)，工廠P和Q距離河岸L分別為8千米和10千米，兩個(gè)工廠的距離為14千米，現(xiàn)要在河的工廠一側(cè)選一點(diǎn)R，在R處建一個(gè)水泵站，向兩工廠P、Q輸水，請(qǐng)你給出一個(gè)經(jīng)濟(jì)合理的設(shè)計(jì)方案。8l10Q14P河圖1R即找一點(diǎn)R，使R到P、Q及直線l

的距離之和為最小。第2頁(yè)，共11頁(yè)，2023年，2月20日，星期六二、提出方案8l10Q14P河圖1第3頁(yè)，共11頁(yè)，2023年，2月20日，星期六水泵站R建立在河邊（即L上），則問題轉(zhuǎn)化為在L上找一點(diǎn)R，使|RP|＋|RQ|為最小。方案一：8l10Q14P河圖1水泵站R不建在河邊，則問題轉(zhuǎn)化為要在L的P、Q一側(cè)找點(diǎn)R，使R到P、Q及L的距離之和最小。方案二：8l10Q14P河圖2RR第4頁(yè)，共11頁(yè)，2023年，2月20日，星期六三、論證方案8l10Q14P河圖1R8l10Q14P河圖2R方案一：方案二：第5頁(yè)，共11頁(yè)，2023年，2月20日，星期六１、對(duì)于方案一：聯(lián)想平幾知識(shí)，用光學(xué)性質(zhì)建模：作點(diǎn)Q關(guān)于直線L的對(duì)稱點(diǎn)Q'，連PQ'交L于R，則R為所求（如圖２）．這樣所需直線輸水管的總長(zhǎng)度為：S(R)＝|PQ'|＝22.72千米。lPQRQ'S第6頁(yè)，共11頁(yè)，2023年，2月20日，星期六2、對(duì)于方案二PQRQ'這里建立的是關(guān)于x、y的二元函數(shù)模型，但求解困難。yxO思路一：圖３建立如圖３的坐標(biāo)系，則易得P（0，10）、Q（8，8）設(shè)點(diǎn)R(x,y)，則S(R)＝|PR|+|RQ|+|RM|＝ 。第7頁(yè)，共11頁(yè)，2023年，2月20日，星期六用判別式法可得S(R)≥21或S(R)≤－3.因?yàn)镾(R)≥0故S(R)的最小值是21，代入(1)中得y＝5，于是Q'(,2)PQ'的直線方程為y＝，把y＝5代入得x＝5，故|RP|==10(km),|RQ|==6(km),R到河岸的距離為5(km)。yx如圖4，過R作L‘//x軸，則問題轉(zhuǎn)化為在L'上找點(diǎn)R，使RP＋RQ為最小。作Q關(guān)于L'的對(duì)稱點(diǎn)Q'，則S(R)＝|RP|＋|RQ|＋y≥|PQ'|＋y，取這樣的R，使S(R)＝|PQ'|＋y則S(R)＝(1)思路二PQRMl'圖4Q第8頁(yè)，共11頁(yè)，2023年，2月20日，星期六若把|PR|＋|RQ|看作定值，則R在以P、Q為焦點(diǎn)的橢圓上，故這需在橢圓找點(diǎn)R，作R到L的距離最小，因此可考慮運(yùn)用橢圓的定義和直線與橢圓的關(guān)系建模。思路三：PQ圖5o如圖5所示，建立直角坐標(biāo)系，P、Q為橢圓的焦點(diǎn)，L//L，且L'切橢圓于R，根據(jù)題意，易求出直線L為：x－4

y－63＝0

(1)設(shè)L'為：x－4

y＋n＝0

(2)yxLLR第9頁(yè)，共11頁(yè)，2023年，2月20日，星期六橢圓方程為：(3)聯(lián)立(2)(3)，化簡(jiǎn)得(4)

根據(jù)L'為橢圓的切線，得△＝0解得：n2＝49（a2－48）。由題意n<0，則n＝－7，所以直線L'為：x－4y－7＝0.所以L'與L的距離為：故輸水管的總長(zhǎng)度：S(R)＝2a＋9－(5)用△法，可得S(R)≥21或S(R)≤－3，由于S(R)≥0，則S(R)≥21，即S(R)的最小值為21,代入(5),解得a＝8,從而d＝5,進(jìn)一步可求出|PR|＝10,|PQ|＝6。第10頁(yè)，共11頁(yè)，2023年，2月20日，星期六四、論證結(jié)論R8l10Q14P河*****方案二更經(jīng)濟(jì)合理