數(shù)學分析第十二章函數(shù)項級數(shù)

數(shù)學分析第十二章課件函數(shù)項級數(shù)第1頁，共59頁，2023年，2月20日，星期六§1函數(shù)序列的一致收斂概念第2頁，共59頁，2023年，2月20日，星期六例1解：第3頁，共59頁，2023年，2月20日，星期六例2解：故連續(xù)，但卻不連續(xù)第4頁，共59頁，2023年，2月20日，星期六例3解：連續(xù)，但卻不連續(xù)第5頁，共59頁，2023年，2月20日，星期六（一）概念①函數(shù)序列一致收斂定義２第6頁，共59頁，2023年，2月20日，星期六一致收斂的等價敘述第7頁，共59頁，2023年，2月20日，星期六②函數(shù)項級數(shù)一致收斂定義２′第8頁，共59頁，2023年，2月20日，星期六（二）幾何描述第9頁，共59頁，2023年，2月20日，星期六第10頁，共59頁，2023年，2月20日，星期六（三）內閉一致收斂①概念定義３②性質？第11頁，共59頁，2023年，2月20日，星期六例4考慮例1.解：由于則在[0,1]一致收斂于

第12頁，共59頁，2023年，2月20日，星期六例5.證明:解：由于則在一致收斂于

第13頁，共59頁，2023年，2月20日，星期六例6.證明第14頁，共59頁，2023年，2月20日，星期六例7.證明:第15頁，共59頁，2023年，2月20日，星期六定理12.1若函數(shù)列每一項在[a,b]連續(xù)且在[a,b]一致收斂于，則在[a,b]連續(xù)。第16頁，共59頁，2023年，2月20日，星期六定理12.2若函數(shù)列每一項在[a,b]連續(xù)且在[a,b]一致收斂于，則

即下面的例8說明在定理12.2一致收斂的條件不能少第17頁，共59頁，2023年，2月20日，星期六例8解：

在每個x連續(xù)，但卻不一致收斂于0而

第18頁，共59頁，2023年，2月20日，星期六定理12.3若函數(shù)列在[a,b]逐點收斂于而在[a,b]連續(xù)，且一致收斂于

則在[a,b]可微，且即第19頁，共59頁，2023年，2月20日，星期六§2函數(shù)項級數(shù)的一致收斂性

及其判別法第20頁，共59頁，2023年，2月20日，星期六例1求的收斂域與和函數(shù)故收斂域為（-1,1）解：第21頁，共59頁，2023年，2月20日，星期六例2求函數(shù)項級數(shù)的收斂域：故收斂域為解：第22頁，共59頁，2023年，2月20日，星期六函數(shù)項級數(shù)一致收斂定義第23頁，共59頁，2023年，2月20日，星期六一、一致收斂的判別（一）Cauchy收斂原理定理12.4第24頁，共59頁，2023年，2月20日，星期六定理12.4中當p=1時得到:定理12.5第25頁，共59頁，2023年，2月20日，星期六（二）Weierstrass(M-)判別法定理2第26頁，共59頁，2023年，2月20日，星期六例6求在一致收斂例7證明：函數(shù)項級數(shù)在一致收斂例8證明：函數(shù)項級數(shù)在一致收斂第27頁，共59頁，2023年，2月20日，星期六（三）A-D判別法定理3第28頁，共59頁，2023年，2月20日，星期六例11已知收斂，證明在一致收斂第29頁，共59頁，2023年，2月20日，星期六第30頁，共59頁，2023年，2月20日，星期六例9求在一致收斂例10證明：函數(shù)項級數(shù)在一致收斂第31頁，共59頁，2023年，2月20日，星期六§3和函數(shù)的分析性質第32頁，共59頁，2023年，2月20日，星期六函數(shù)項級數(shù)和函數(shù)的分析性質（一）連續(xù)性質76：定理12.1第33頁，共59頁，2023年，2月20日，星期六定理12.9第34頁，共59頁，2023年，2月20日，星期六注1證明:第35頁，共59頁，2023年，2月20日，星期六第36頁，共59頁，2023年，2月20日，星期六（二）積分定理76：定理12.2第37頁，共59頁，2023年，2月20日，星期六定理12.11第38頁，共59頁，2023年，2月20日，星期六（三）微分定理逐點收斂于78：定理12.3第39頁，共59頁，2023年，2月20日，星期六定理12.12逐點收斂于第40頁，共59頁，2023年，2月20日，星期六（四）Dini定理定理7逐點收斂于第41頁，共59頁，2023年，2月20日，星期六定理12.10逐點收斂于第42頁，共59頁，2023年，2月20日，星期六例1因在不一致收斂。第43頁，共59頁，2023年，2月20日，星期六例2在連續(xù)且任意次可導第44頁，共59頁，2023年，2月20日，星期六小結函數(shù)序列的一致收斂概念一致收斂及其判別法第45頁，共59頁，2023年，2月20日，星期六習題(又稱幾何級數(shù))(q

稱為公比)的斂散性.解:1)若從而因此級數(shù)收斂,從而則部分和因此級數(shù)發(fā)散.其和為1、討論等比級數(shù)第46頁，共59頁，2023年，2月20日，星期六2).若因此級數(shù)發(fā)散;因此n

為奇數(shù)n

為偶數(shù)從而綜合1)、2)可知,時,等比級數(shù)收斂;時,等比級數(shù)發(fā)散.則級數(shù)成為不存在,因此級數(shù)發(fā)散.第47頁，共59頁，2023年，2月20日，星期六2、判別級數(shù)的斂散性.解:故原級數(shù)收斂,其和為第48頁，共59頁，2023年，2月20日，星期六3、討論p級數(shù)(常數(shù)p>0)的斂散性.解:1)若因為對一切而調和級數(shù)由比較審斂法可知p級數(shù)發(fā)散.發(fā)散,第49頁，共59頁，2023年，2月20日，星期六證明級數(shù)發(fā)散.證:因為而級數(shù)發(fā)散根據(jù)比較審斂法可知,所給級數(shù)發(fā)散.4、第50頁，共59頁，2023年，2月20日，星期六5、證明級數(shù)在[0,1]上不一致收斂.證:取正數(shù)對無論多么大的正數(shù)N,因此級數(shù)在[0,1]上不一致收斂.第51頁，共59頁，2023年，2月20日，星期六補充題1、研究級數(shù)在區(qū)間[0,+∞)上的收斂性.解:第52頁，共59頁，2023年，2月20日，星期六余項的絕對值:因此,任給>0,取自然數(shù)則當n>N時有這說明級數(shù)在[0,+∞)上一致收斂于第53頁，共59頁，2023年，2月20日，星期六2、

設f(x)是周期為2的周期函數(shù),它在上的表達式為解:先求傅里葉系數(shù)將f(x)展成傅里葉級數(shù).第54頁，共59頁，2023年，2月20日，星期六第55頁，共59頁，2023年，2月20日，星期六3、設正項級數(shù)和也收斂.提示:

因存在N>0,又因利用收斂級數(shù)的性質及比較判斂法易知結論正確.都收斂,證明級數(shù)當n>N時第56頁，共59頁，2023年，2月20日，星期六4、解:

分別考慮偶次冪與奇次冪組成的級數(shù)極限不存在∵原級數(shù)=