數(shù)值分析牛頓插值法

數(shù)值分析牛頓插值法第1頁，共27頁，2023年，2月20日，星期六華長生制作2我們知道,Lagrange插值多項式的插值基函數(shù)為形式上太復(fù)雜,計算量很大,并且重復(fù)計算也很多由線性代數(shù)的知識可知,任何一個n次多項式都可以表示成共n+1個多項式的線性組合那么，是否可以將這n+1個多項式作為插值基函數(shù)呢？第2頁，共27頁，2023年，2月20日，星期六華長生制作3顯然，多項式組線性無關(guān)，因此，可以作為插值基函數(shù)第3頁，共27頁，2023年，2月20日，星期六華長生制作4有再繼續(xù)下去待定系數(shù)的形式將更復(fù)雜為此引入差商和差分的概念第4頁，共27頁，2023年，2月20日，星期六華長生制作5一、差商(均差)定義1.稱依此類推第5頁，共27頁，2023年，2月20日，星期六華長生制作6差商具有如下性質(zhì)(請同學(xué)們自證)：顯然第6頁，共27頁，2023年，2月20日，星期六華長生制作7(2)差商具有對稱性,即任意調(diào)換節(jié)點的次序,差商的值不變?nèi)缬糜囗椀南嗤C明第7頁，共27頁，2023年，2月20日，星期六華長生制作8差商的計算方法(表格法):規(guī)定函數(shù)值為零階差商差商表Chashang.m第8頁，共27頁，2023年，2月20日，星期六華長生制作9xif[xi]f[xi,xi+1]f[xi,xi+1,xi+2]f[xi,xi+1,xi+2,xi+2]002832751256216例1

求f(xi)=x3在節(jié)點x=0,2,3,5,6上的各階差商值解:計算得如下表第9頁，共27頁，2023年，2月20日，星期六華長生制作10二、Newton基本插值公式設(shè)插值多項式滿足插值條件則待定系數(shù)為第10頁，共27頁，2023年，2月20日，星期六華長生制作11稱定義3.由插值多項式的唯一性,Newton基本插值公式的余項為為k次多項式第11頁，共27頁，2023年，2月20日，星期六華長生制作12因此可得下面推導(dǎo)余項的另外一種形式第12頁，共27頁，2023年，2月20日，星期六華長生制作13因此一般Newton插值估計誤差的重要公式另外第13頁，共27頁，2023年，2月20日，星期六華長生制作14kxkf(xk)一階差商二階差商三階差商四階差商012341234514786

3301-1-1/3-2-3/2-1/61/24第14頁，共27頁，2023年，2月20日，星期六華長生制作152.2.3等距節(jié)點插值公式定義.第15頁，共27頁，2023年，2月20日，星期六華長生制作16依此類推可以證明如第16頁，共27頁，2023年，2月20日，星期六華長生制作17差分表第17頁，共27頁，2023年，2月20日，星期六華長生制作18在等距節(jié)點的前提下,差商與差分有如下關(guān)系第18頁，共27頁，2023年，2月20日，星期六華長生制作19依此類推第19頁，共27頁，2023年，2月20日，星期六華長生制作20由差商與向前差分的關(guān)系Newton插值基本公式為如果假設(shè)1.Newton向前(差分)插值公式第20頁，共27頁，2023年，2月20日，星期六華長生制作21則插值公式化為其余項化為第21頁，共27頁，2023年，2月20日，星期六華長生制作22稱為Newton向前插值公式（又稱為表初公式）插值余項為第22頁，共27頁，2023年，2月20日，星期六華長生制作23插值余項為根據(jù)向前差分和向后差分的關(guān)系如果假設(shè)可得Newton向后插值公式2.Newton向后(差分)插值公式第23頁，共27頁，2023年，2月20日，星期六華長生制作24

例4

設(shè)x0=1.0,h=0.05,給出在處的函數(shù)值如表2-5的第3列，試用三次等距節(jié)點插值公式求f(1.01)和f(1.28)的近似值。

01.001.000000.0247011.051.024700.02411-0.0005921.101.048810.02357-0.00054-0.0000531.151.07238……

……

……41.201.095440.02307-0.00048-0.0000351.251.118030.02259-0.0004561.301.140170.02214表2-5第24頁，共27頁，2023年，2月20日，星期六華長生制作25解用Newton向前插值公式來計算f(1.01)的近似值。先構(gòu)造與均差表相似的差分表，見表2-5得上半部分。由t=(x-x0)/h=0.2的得用Newton向后插值公式計算f(1.28)的近似值，可利用表2-5中的下半部分。由t=(x-x6)/h=-0.4，得事實上，f(1.01)和f(1.28)的真值分別為1.00498756和1.13137085。由此看出，計算結(jié)果是相當(dāng)精確的。例2.5

已知f(x)=sinx的數(shù)值如表2-6的第2列，分別用Newton向前、向后插值公式求sin0.57891的近似值。第25頁，共27頁，2023年，2月20日，星期六華長生制作260.40.389420.50.479430.090010.60.564640.085210.004800.70.644220.07958-0.00563-0.00083

xsinx△

△2△3表2-6解作差分表如表2-6，使用Newton向前差分公式x0=0.5,x1=0.6,x2=0.7,x=0.57891,h=0.1,則