數(shù)理統(tǒng)計(jì)引言及總體與樣本

數(shù)理統(tǒng)計(jì)引言及總體與樣本課件1第1頁，共65頁，2023年，2月20日，星期六1.某電視機(jī)廠全年生產(chǎn)的電視機(jī)，2.某個(gè)交通路口，3.某汽車在高速公路上行駛,4.有一大批工業(yè)產(chǎn)品,其中參數(shù)電視機(jī)的壽命，設(shè)X為任一服從什么分布？在任意一個(gè)小時(shí)內(nèi)通過的車輛服從什么分布？任一時(shí)刻的速度服從什么分布？其中有正品和次品,任取一件,記服從0—1分布:數(shù)為X，為X,從中該產(chǎn)品為正品該產(chǎn)品為次品2第2頁，共65頁，2023年，2月20日，星期六數(shù)理統(tǒng)計(jì)就是研究怎樣有效地收集、整理和帶有隨機(jī)性的數(shù)據(jù),以便對(duì)所考察的問題作出推斷和預(yù)測(cè),分析,直至為采取一定的決策和行動(dòng)提供依據(jù)和建議.這種由局部觀察來對(duì)總體下結(jié)論必須建立在科學(xué)的方法基礎(chǔ)上,否則就會(huì)犯錯(cuò)誤.數(shù)理統(tǒng)計(jì)的就是給出這種統(tǒng)計(jì)推斷任務(wù)之一以科學(xué)的理論及方法.3第3頁，共65頁，2023年，2月20日，星期六數(shù)理統(tǒng)計(jì)1.如何從總體中抽樣?2.如何用所抽樣品對(duì)總體進(jìn)行推斷?抽樣全面調(diào)查(如人口普查)部分調(diào)查總體部分抽樣統(tǒng)計(jì)推斷估計(jì)假設(shè)檢驗(yàn)主要研究?jī)煞矫娴膯栴}:4第4頁，共65頁，2023年，2月20日，星期六由于抽樣是一個(gè)隨機(jī)現(xiàn)象,對(duì)總體所作的推斷不可能絕對(duì)準(zhǔn)確,多少含有一定程度的不確定性,這種不確定性概率大推斷比較可靠概率小推斷不太可靠數(shù)理統(tǒng)計(jì)的核心問題是:從總體中抽取樣本并且必須伴有一定的概率這種伴有一定概率的推斷所以根據(jù)部分觀測(cè)或試驗(yàn)的結(jié)果用概率的大小表示.(部分資料),

根據(jù)樣本所得到的部分信息對(duì)該總體作出推斷(檢驗(yàn)、估計(jì))以表明推斷的稱為統(tǒng)計(jì)推斷.要求每個(gè)推斷可靠程度.5第5頁，共65頁，2023年，2月20日，星期六1.抽樣分布是進(jìn)行統(tǒng)計(jì)推斷的基礎(chǔ)理論部分.2.參數(shù)估計(jì)假設(shè)總體的分布類型已知,3.假設(shè)檢驗(yàn)對(duì)總體的分布估計(jì)其中的參數(shù).或分布中的參數(shù)提出假設(shè),討論樣本信息對(duì)假設(shè)作出成立與否的判斷.怎樣利用4.回歸分析之間的相互關(guān)系,根據(jù)樣本信息,對(duì)兩個(gè)或兩個(gè)以上隨機(jī)變量進(jìn)行統(tǒng)計(jì)推斷.6第6頁，共65頁，2023年，2月20日，星期六§4.1總體與樣本一、總體與總體分布總體：研究的對(duì)象的全體構(gòu)成的集合.個(gè)體：組成總體的每一個(gè)成員.統(tǒng)計(jì)學(xué)中關(guān)心的不是每個(gè)個(gè)體的所有特性,而僅僅關(guān)心它的某一項(xiàng)或某幾項(xiàng)數(shù)量指標(biāo).總體是一個(gè)隨機(jī)變量.(或隨機(jī)向量)總體的分布稱為總體分布.定義4.1統(tǒng)計(jì)學(xué)中稱隨機(jī)變量(或隨機(jī)向量)X為總體,并把隨機(jī)變量(或隨機(jī)向量)X的分布稱為總體分布.用X表示每個(gè)個(gè)體的這一項(xiàng)數(shù)量指標(biāo).（幾項(xiàng)）7第7頁，共65頁，2023年，2月20日，星期六總體中所含個(gè)體的數(shù)量容量有限的總體容量無限的總體稱為總體容量.稱為無限總體;稱為有限總體;8第8頁，共65頁，2023年，2月20日，星期六說明:表示總體的X既可以是隨機(jī)變量，也可以是隨機(jī)向量.如果只關(guān)心每一個(gè)體的一項(xiàng)數(shù)量指標(biāo)，則總體是隨機(jī)變量；數(shù)量指標(biāo)，如果關(guān)心兩項(xiàng)或兩項(xiàng)以上則總體就是隨機(jī)向量.但為簡(jiǎn)化討論，本書只考察一項(xiàng)數(shù)量指標(biāo)的情形,因此,今后總體都是隨機(jī)變量.9第9頁，共65頁，2023年，2月20日，星期六二、樣本與樣本分布10第10頁，共65頁，2023年，2月20日，星期六由于所以樣本通常但當(dāng)一次抽樣實(shí)現(xiàn)后,稱它們?yōu)闃颖局狄皇侵改炒纬槿〉挠袝r(shí)泛指一次抽取的可能結(jié)果,從總體X中隨機(jī)抽取n個(gè)個(gè)體稱為總體X的這n個(gè)一個(gè)容量為

的樣本,n稱為是從總體X中可能結(jié)果,是n個(gè)隨機(jī)變量,也把它們看成一個(gè)元隨機(jī)向量它們就變成了n個(gè)具體的或樣本觀測(cè)值.常有一個(gè)容量為n的樣本時(shí),每當(dāng)提到總體的雙重意義:具體數(shù)值,即樣本值這時(shí)個(gè)體樣本容量.隨機(jī)抽取出來的數(shù)值:是指樣本隨機(jī)變量11第11頁，共65頁，2023年，2月20日，星期六抽樣應(yīng)滿足下面兩個(gè)條件:(1)隨機(jī)性:(2)獨(dú)立性:滿足以上兩個(gè)條件的抽樣簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本一定相互獨(dú)立,有了簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，都與總體總體中的每一個(gè)個(gè)體有同等的機(jī)會(huì)每次抽取的結(jié)果,不受其它抽取結(jié)果也不影響其它抽取結(jié)果.稱為簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣且每個(gè)有相同的分布.被抽到.的影響,就可以利用概率論中獨(dú)立，同分布條件下的一系列結(jié)論.12第12頁，共65頁，2023年，2月20日，星期六定義4.2是一組相互獨(dú)立，在一次試驗(yàn)中,稱為樣本值設(shè)X是總體,的隨機(jī)變量.且與有相同分布則稱簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本,簡(jiǎn)稱樣本.為來自總體的稱為樣本容量,樣本的具體觀測(cè)值或樣本觀測(cè)值.13第13頁，共65頁，2023年，2月20日，星期六設(shè)總體X的分布函數(shù)為故樣本的分布函數(shù)為：因都與總體同分布，故的分布函數(shù)也是14第14頁，共65頁，2023年，2月20日，星期六由于相互獨(dú)立,所以(1)若總體X

是連續(xù)型的與總體有相同的分布,所以由于所以的聯(lián)合密度函數(shù)為其概率分布為由于獨(dú)立,是離散型的,(2)若總體X

與X同分布,15第15頁，共65頁，2023年，2月20日，星期六§4.2統(tǒng)計(jì)量定義4.3的函數(shù),任一不含未知參數(shù)為統(tǒng)計(jì)量.說明:也是隨機(jī)變量.(2)統(tǒng)計(jì)量中可以有參數(shù),是來自總體X的樣本,稱(1)統(tǒng)計(jì)量但不能有未知參數(shù).設(shè)16第16頁，共65頁，2023年，2月20日，星期六例當(dāng)μ已知時(shí),當(dāng)μ未知時(shí),的一次觀測(cè)值由于統(tǒng)計(jì)量就可以算出稱為統(tǒng)計(jì)量觀測(cè)值.設(shè)總體是來自

的一個(gè)樣本,是統(tǒng)計(jì)量;不是統(tǒng)計(jì)量.中不含未知參數(shù),對(duì)樣本的17第17頁，共65頁，2023年，2月20日，星期六二、常用的統(tǒng)計(jì)量是來自總體X的樣本,設(shè)1.樣本均值2.樣本方差未修正樣本方差修正樣本方差要估計(jì)總體的方差用比用更好,簡(jiǎn)稱為樣本方差.18第18頁，共65頁，2023年，2月20日，星期六未修正樣本方差樣本方差當(dāng)n較大時(shí),19第19頁，共65頁，2023年，2月20日，星期六樣本方差3.樣本標(biāo)準(zhǔn)差4.樣本k階原點(diǎn)矩5.樣本k階中心矩1~5統(tǒng)稱為矩統(tǒng)計(jì)量,簡(jiǎn)稱為樣本矩.它們都可表為樣本的顯式函數(shù).20第20頁，共65頁，2023年，2月20日，星期六5.樣本k階中心矩時(shí)，21第21頁，共65頁，2023年，2月20日，星期六6.順序統(tǒng)計(jì)量是來自總體X的樣本,設(shè)將各分量按由小到大的次序排列成稱為樣本的一組稱為樣本極小值;稱為樣本極大值;稱為樣本的極差.順序統(tǒng)計(jì)量.22第22頁，共65頁，2023年，2月20日，星期六三、樞軸量定義

的分布已知,中僅包含總體的一個(gè)則稱是來自總體X的樣本,設(shè)如果函數(shù)未知參數(shù)θ并且設(shè)總體X的分布中含有未知參數(shù)θ,為了估計(jì)θ,需構(gòu)造一個(gè)包含θ的樣本函數(shù)其分布已知.已知分布為樞軸量.23第23頁，共65頁，2023年，2月20日，星期六§4.3常用的統(tǒng)計(jì)分布24第24頁，共65頁，2023年，2月20日，星期六給定的一、分位數(shù)定義4.4設(shè)隨機(jī)變量X對(duì)給定的實(shí)數(shù)α,如果實(shí)數(shù)滿足條件則稱為X的分布的水平α的上側(cè)分位數(shù).當(dāng)X是連續(xù)型隨機(jī)變量時(shí)，其密度函數(shù)為的分布函數(shù)為25第25頁，共65頁，2023年，2月20日，星期六為的水平α的上側(cè)分位數(shù).給定的為的水平1-α的上側(cè)分位數(shù).26第26頁，共65頁，2023年，2月20日，星期六例求標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的上側(cè)分位數(shù)：解27第27頁，共65頁，2023年，2月20日，星期六如果連續(xù)型隨機(jī)變量X的密度函數(shù)是偶函數(shù).即密度函數(shù)的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱.稱X是對(duì)稱分布的隨機(jī)變量,此時(shí)可定義定義4.5其分布函數(shù)對(duì)給定的實(shí)數(shù)α,如果正實(shí)數(shù)滿足條件則稱水平α的雙側(cè)分位數(shù).雙側(cè)分位數(shù).設(shè)X是對(duì)稱分布的隨機(jī)變量,為為X的分布的注意:只有具有對(duì)稱分布的隨機(jī)變量,才有雙側(cè)分位數(shù).28第28頁，共65頁，2023年，2月20日，星期六具有對(duì)稱分布水平α的雙側(cè)分位數(shù).為X的分布的對(duì)于的隨機(jī)變量X29第29頁，共65頁，2023年，2月20日，星期六例求標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的水平α=0.05,的雙側(cè)分位數(shù).及α=0.1解α=0.05時(shí),設(shè)對(duì)應(yīng)的雙側(cè)分位數(shù)為λα=0.1時(shí),設(shè)對(duì)應(yīng)的雙側(cè)分位數(shù)為ν30第30頁，共65頁，2023年，2月20日，星期六Γ函數(shù):如Γ函數(shù)有性質(zhì)如31第31頁，共65頁，2023年，2月20日，星期六1.定義定義4.6記為則稱X服從自由度為的其中時(shí)與有關(guān).若隨機(jī)變量的密度函數(shù)為n為給定自然數(shù).32第32頁，共65頁，2023年，2月20日，星期六即當(dāng)時(shí),指數(shù)分布.就是參數(shù)為的當(dāng)時(shí),密度函數(shù)的圖像皆為單峰曲線，n越大,峰值越靠右,曲線越平緩.33第33頁，共65頁，2023年，2月20日，星期六定理4.2推論相互獨(dú)立，設(shè)隨機(jī)變量與都服從則若隨機(jī)變量相互獨(dú)立,則分布,都服從分布,34第34頁，共65頁，2023年，2月20日，星期六定理設(shè)則因?yàn)槎ɡ砣綦S機(jī)變量相互獨(dú)立,且則證相互獨(dú)立,所以也相互獨(dú)立.根據(jù)分布的可加性,即P66，例2.29當(dāng)n較大時(shí),可用正態(tài)分布近似.35第35頁，共65頁，2023年，2月20日，星期六例且求解設(shè)相互獨(dú)立,則分布的自由度就是其數(shù)學(xué)期望.進(jìn)而可求出設(shè)36第36頁，共65頁，2023年，2月20日，星期六設(shè)對(duì)于給定的水平α的上側(cè)分位數(shù)給定的37第37頁，共65頁，2023年，2月20日，星期六例設(shè)例例設(shè)當(dāng)n較大時(shí),可用正態(tài)分布近似.當(dāng)n≤45時(shí),有表可查.的上側(cè)分位數(shù)38第38頁，共65頁，2023年，2月20日，星期六例設(shè)解求解求例設(shè)總體一個(gè)簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本,為來自的39第39頁，共65頁，2023年，2月20日，星期六相互獨(dú)立也相互獨(dú)立.求例設(shè)總體一個(gè)簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本,為來自的解40第40頁，共65頁，2023年，2月20日，星期六Β函數(shù)如Β函數(shù)有性質(zhì)在區(qū)間41第41頁，共65頁，2023年，2月20日，星期六三、F分布1.定義定義4.7的概率密度函數(shù)為若隨機(jī)變量則稱X服從記為自由度為m和n其中是給定自然數(shù).的F分布,稱為第一自由度,稱為第二自由度.42第42頁，共65頁，2023年，2月20日，星期六即43第43頁，共65頁，2023年，2月20日，星期六2.F分布的典型模式定理4.3則設(shè)隨機(jī)變量X和Y相互獨(dú)立,推論若隨機(jī)變量則44第44頁，共65頁，2023年，2月20日，星期六3.F分布的設(shè)對(duì)于給定的α水平α的上側(cè)分位數(shù)給定的45第45頁，共65頁，2023年，2月20日，星期六例(P276)即即當(dāng)α≤0.1時(shí),可查表.46第46頁，共65頁，2023年，2月20日，星期六在F分布表中，當(dāng)較大時(shí),例設(shè)求λ0.975可用結(jié)論:解47第47頁，共65頁，2023年，2月20日，星期六一般地，對(duì)有證設(shè)α證畢48第48頁，共65頁，2023年，2月20日，星期六四、t分布1.定義定義4.8的概率密度函數(shù)為若隨機(jī)變量則稱X服從記為t分布,其中

是給定自然數(shù).說明:為偶函數(shù),其圖象關(guān)于軸對(duì)稱.軸為的漸近線.與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的密度函數(shù)接近.(4)當(dāng)

較大時(shí),自由度為n的為函數(shù)的最大值.49第49頁，共65頁，2023年，2月20日，星期六即是偶函數(shù),得到由分布的密度函數(shù)50第50頁，共65頁，2023年，2月20日，星期六定理4.42.分布的典型模式設(shè)隨機(jī)變量且X與Y獨(dú)立,則51第51頁，共65頁，2023年，2月20日，星期六設(shè)對(duì)于給定的水平α的上側(cè)分位數(shù)給定的給定的52第52頁，共65頁，2023年，2月20日，星期六例設(shè)P28653第53頁，共65頁，2023年，2月20日，星期六例設(shè)54第54頁，共65頁，2023年，2月20日，星期六§4.4抽樣分布55第55頁，共65頁，2023年，2月20日，星期六定理設(shè)則定理若隨機(jī)變量相互獨(dú)立,且則定理4.3則設(shè)隨機(jī)變量X和Y相互獨(dú)立,定理4.4設(shè)隨機(jī)變量且X與Y獨(dú)立,則56第56頁，共65頁，2023年，2月20日，星期六一、正態(tài)總體的抽樣分布定理一個(gè)簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本,證故它們的X的則因?yàn)楠?dú)立,即且都與同分布,線性組合設(shè)總體是來自57第57頁，共65頁，2023年，2月20日，星期六在此定理的條件下，定理一個(gè)簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本,X的則設(shè)總體是來自58第58頁，共65頁，2023年，2月20日，星期六定理4.1一個(gè)簡(jiǎn)單隨