《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》chap06-normal distribu

第六章連續(xù)型概率分布

Chapter6ContinuousProbabilityDistribution錢小軍清華大學(xué)經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院偉倫樓南456B電話:62789934電子郵箱：qianxj@2023/4/201.Agenda主要內(nèi)容ProbabilityDensityFunction

概率密度函數(shù)UniformProbabilityDistribution

均勻概率分布NormalDistribution

正態(tài)分布2023/4/202.ProbabilityDensityFunction

概率密度函數(shù)Concreterandomvariablesassumeparticularvalueswithcertainprobabilities.Butitisimpossibletotalkabouttheprobabilityofaspecificvaluetakenbyacontinuousrandomvariable.對(duì)于離散型隨機(jī)變量，我們可以計(jì)算取特定值的概率。而連續(xù)型隨機(jī)變量可以在某一區(qū)間取任意值，因而可以取不可數(shù)無(wú)窮多個(gè)數(shù)值。這樣，討論隨機(jī)變量的特定值的概率變得不可能。Instead,wediscussprobabilitydensityfunction.在連續(xù)情況下，我們引入概率密度函數(shù).

是這樣一個(gè)函數(shù)，

圖形下給定區(qū)間的相應(yīng)面積就是連續(xù)型隨機(jī)變量在那一區(qū)間上取值的概率。2023/4/203.UniformProbabilityDistribution

均勻概率分布考慮隨機(jī)變量，其代表一個(gè)航班從芝加哥飛往紐約的飛行時(shí)間。假定飛行時(shí)間可以是從120分鐘至140分鐘區(qū)間內(nèi)的任意值，即x是一連續(xù)隨機(jī)變量。在區(qū)間120～140分鐘內(nèi)，飛行時(shí)間在任一分鐘內(nèi)取值的可能性相等。我們說(shuō)隨機(jī)變量

服從區(qū)間120～140上的均勻概率分布。ProbabilityDensityFunction

ofuniformdistribution該均勻分布的概率密度函數(shù)：

2023/4/204.

UNIFORMPROBABILITYDENSITYFUNCTIONFORFLIGHTTIME

飛行時(shí)間的均勻概率密度函數(shù)120120140xf(x)2023/4/205.UniformProbabilityDensityunction

均勻概率密度函數(shù)：2023/4/206.AreaasaMeasureofProbability

作為概率度量的面積120120140130P(120≤x≤130)=面積＝0.52023/4/207.TheExpectationandVarianceoftheUniformDistribution

均勻分布的數(shù)學(xué)期望和方差2023/4/208.NormalDistribution

正態(tài)分布NormalDistributionisoneofthemostimportantdistributionsintheprobabilitystatistics.Onehand,itisverycommoninnature;theotherhand,ithassomanyexcellentproperties.Alotofdistributionscanbedescribedbyit.

正態(tài)分布是概率統(tǒng)計(jì)中最重要的一種分布。一方面，正態(tài)分布是自然界最常見(jiàn)的一種分布;另一方面，正態(tài)分布具有許多良好的性質(zhì)，很多分布可以用正態(tài)分布來(lái)近似描述。2023/4/209.NormalProbabilityDensityFunction

正態(tài)概率密度函數(shù)2023/4/2010.PropertiesoftheNormalProbabilityDistribution

正態(tài)概率分布的性質(zhì)Theentirefamilyofnormalprobabilitydistributionsisdifferentiatedbyitsmeananditsstandarddeviation.

正態(tài)概率分布有一完整的家族，每一特定正態(tài)分布通過(guò)來(lái)區(qū)分Thetotalareaunderthecurveforthenormalprobabilitydistributionis1.

正態(tài)分布曲線下的面積總為1Thehighestpointonthenormalcurveisatthemean,（whichisalsothemedianandmodeofthedistribution.）

正態(tài)曲線的最高點(diǎn)發(fā)生在均值（它也是中位數(shù)和眾數(shù)）2023/4/2011.PropertiesoftheNormalProbabilityDistribution

正態(tài)概率分布的性質(zhì)Normalprobabilitydistributionissymmetric.

正態(tài)分布是對(duì)稱的Themeanofthedistributioncanbeanynumericalvalue,itdeterminesthepositionofthecurve.

分布的均值可以是任意數(shù)值，它決定了概率密度曲線的位置Thestandarddeviationdeterminesthewidthofthecurve.

標(biāo)準(zhǔn)差決定曲線的寬度Probabilityforthenormalrandomvariablearegivenbyareasunderthecurve.

正態(tài)隨機(jī)變量的概率由相應(yīng)區(qū)間曲線下的面積給出2023/4/2012.不同均值對(duì)正態(tài)分布曲線位置的影響NormalProbabilitywithdifferentmeansμ1μ2μ32023/4/2013.不同標(biāo)準(zhǔn)差對(duì)正態(tài)分布曲線形狀的影響NormalProbabilitywithdifferentstandarddeviationσ1σ2σ3σ1>σ2>σ32023/4/2014.TheStandardNormalDistribution

標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)概率分布TheNormalProbabilityDistributionwithmean0andstandarddeviation1iscalledthestandardNormalDistributionanddenotedasN(0,1).總體均值為0方差為1的正態(tài)分布稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，記為N(0,1)。ThepdfofN(0,1)is標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率密度函數(shù)為2023/4/2015.StandardNormalProbabilityDistribution

標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)概率分布標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布曲線下某一區(qū)間的面積可以通過(guò)查表得到例：求標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表.xls中文版：參加附贈(zèng)CDEnglishVersion:AppendixBA-42023/4/2016.-3-2.50-2.00-1.50-1.00-0.500.000.501.001.502.002.503.00ProbabilityDensityFunctionofStandardNormal2023/4/2017.ProbabilityofStandardNormalDistribution-3-2.50-2.00-1.50-1.00-0.500.000.501.001.502.002.503.00zP(0Zz)2023/4/2018.2023/4/2019.已知查找概率的z值Exercise練習(xí)：2023/4/2020.ComputingProbabilitiesforAnyNormalProbabilityDistribution

計(jì)算任一正態(tài)概率分布的概率Convertanynormalrandomvariablexwithmeanμandstandarddeviationσtothestandardnormaldistribution.

把具有均值μ和標(biāo)準(zhǔn)差σ的正態(tài)隨機(jī)變量轉(zhuǎn)換為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布：

2023/4/2021.對(duì)于的正態(tài)分布，求解：

問(wèn)題轉(zhuǎn)換為求2023/4/2022.假設(shè)X~N(0,1),那么

P(0X1)=

P(0X1.6)=

P(0X1.64)=

P(0X1.65)= P(–1X0)=P(0X1),為什么?對(duì)于任意xP(–x

X0)=P(0Xx)P(–3X3)=

P(–1X2)=2023/4/2023.EXERCISES

查表練習(xí)假設(shè)正態(tài)隨機(jī)變量的均值為1標(biāo)準(zhǔn)差為2，求。假設(shè)正態(tài)隨機(jī)變量的均值為0標(biāo)準(zhǔn)差為2，求。對(duì)于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)隨機(jī)變量，大于什么數(shù)值的概率等于0.05?對(duì)于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)隨機(jī)變量，小于什么數(shù)值的概率等于0.95?2023/4/2024.EXERCISES

查表練習(xí)對(duì)于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)隨機(jī)變量，小于什么數(shù)值的概率等于0.05?-3-2.50-2.00-1.50-1.00-0.500.000.501.001.502.002.503.00p=0.05p=0.052023/4/2025.ApplicationofNormalDistribution

正態(tài)分布的實(shí)際應(yīng)用Example:Thelifeofacertaintypeofbatteriesapproximatesanormaldistributionwithmeanlifeforaparticularusebeforefailure19hoursandstandarddeviation1.2hours.某種電池的壽命近似服從平均壽命為19小時(shí)，標(biāo)準(zhǔn)差為1.2小時(shí)的正態(tài)分布。About68.26%ofthebatteriesfailedbetweenwhattwovalues?電池壽命在哪個(gè)范圍內(nèi)的概率約為68.26%?About95.44%ofthebatteriesfailedbetweenwhattwovalues?電池壽命在哪個(gè)范圍內(nèi)的概率約為95.44%?About99.74%ofthebatteriesfailedbetweenwhattwovalues?電池壽命在哪個(gè)范圍內(nèi)的概率約為99.74%?2023/4/2026.Ex.(EnglishVersionp.260)Theweeklyincomesoflargegroupofmiddlemanagersarenormallydistributedwithameanof$1000andastandarddeviationof$100.一大批中層管理人員的周工資服從均值為1000美元、標(biāo)準(zhǔn)差為100美元的正態(tài)分布。WhatisthezvalueforanincomeXof$1100?收入為1100美元的標(biāo)準(zhǔn)化數(shù)值為多少？WhatisthezvalueforanincomeXof$900?收入為900美元的標(biāo)準(zhǔn)化數(shù)值為多少？Whatpercentageofthemanagerswhoseincomesarebetween$790and$1200?收入在790美元和1200美元之間的管理人員占全體管理人員的百分之多少？Whatpercentageofthemanagerswhoseincomesarebelow$790?收入低于790美元的管理人員占全體管理人員的百分之多少？2023/4/2027.Ex.(EnglishVersionp.268)SupposeatiremanufacturerwantstosetamileageguaranteeonitsnewMX100tire.Lifetestsrevealedthatthemeanmileageis47900andthestandarddeviationofthenormaldistributionofmileagesis2050miles.Themanufacturerwantstosettheguaranteedmileagesothatnomorethan5%ofthetireswillhavetobereplaced.Whatguaranteedmileageshouldthemanufacturerannounce?

一個(gè)輪胎生產(chǎn)廠商想要為新型輪胎MX100確定一個(gè)里程低限保障。輪胎壽命試驗(yàn)說(shuō)明這種輪胎的壽命服從均值為47900英里，標(biāo)準(zhǔn)差為2050英里的正態(tài)分布。廠商希望確定的里程低限能夠確保需要免費(fèi)更換的輪胎不超過(guò)5％，這個(gè)里程低限應(yīng)該定為多少？2023/4/2028.Whatisthemeaningoftheproblem?這是個(gè)什么問(wèn)題？Whatiftheguaranteedmileageistoohigh?Whatiftheguaranteedmileageistoolow?如果里程低限定得太高會(huì)怎么樣？如果定得太低怎么樣？Solution:Letz0denotetheguaranteedmileage,then解：令z0表示里程低限，則

2023/4/2029. Thestandardnormaldistributionisoftenusedtocomparetwoormoreobservationsthatareondifferentscalesorindifferentunits.

標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布經(jīng)常被用來(lái)比較兩個(gè)或更多不同性質(zhì)不同單位的觀測(cè)。2023/4/2030.Ex.(EnglishVersionp.270)Supposeastudyoftheinmatesatacorrectionalinstitutionisconcernedwiththesocialadjustmentoftheinmatesinprisonandtheirprospectsforrehabilitationuponbeingreleased.Eachinmatewasgivenatestregardingsocialadjustment.Thescoresarenormallydistributed,withameanof100andastandarddeviationof20.Prisonpsychologistsratedeachoftheinmateswithrespecttotheprospectforrehabilitation.Theseratingswerealsonormallydistributed,withameanof500andastandarddeviationof100.例：對(duì)監(jiān)獄犯人的一項(xiàng)研究涉及對(duì)犯人在監(jiān)獄中的社交能力和他們未來(lái)刑滿釋放后回歸社會(huì)的能力的調(diào)查。每一個(gè)犯人都接受有關(guān)社交能力的檢測(cè)，這項(xiàng)檢測(cè)所得到的數(shù)據(jù)服從均值為100和標(biāo)準(zhǔn)差為20的正態(tài)分布。心理學(xué)者對(duì)犯人回歸社會(huì)能力做評(píng)估，評(píng)估結(jié)果服從均值為500和標(biāo)準(zhǔn)差為100的正態(tài)分布。2023/4/2031.ToraCarneyscored146onthesocialadjustmenttest,andherratingwithrespecttorehabilitationis335.HowdoesToracomparewiththegroupwithrespecttosocialadjustmentandtheprospectforrehabilitation?ToraCarney的在監(jiān)社交能力得分為146，而她刑滿釋放都回歸社會(huì)能力得分為335。請(qǐng)對(duì)她的在監(jiān)社交能力與回歸社會(huì)能力進(jìn)行比較。2023