遼寧省聯(lián)盟2023屆高考模擬調(diào)研卷數(shù)學(xué)（三）

2023年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試模擬試題

數(shù)學(xué)試卷(三)

本試卷共4頁(yè)，22小題，滿分150分.考試用時(shí)120分鐘.

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目

要求的.

1.已知集合A=2)v3},B=x---->1>,則AuB=()

A.{川一1<%<3}B.^x|-l<x<41C.1x|x<4|D.^x|-l<x<4}

2.己知復(fù)數(shù)一上為純虛數(shù)，且二=1,則z=()

1+i|l+i|

A.1—iB.l+iC.—l+i或l—iD.—l—i或l+i

22

3.己知雙曲線C:二一與=1(a>0,b>0)的離心率為2,點(diǎn)〃為左頂點(diǎn),點(diǎn)尸為右焦點(diǎn)，過點(diǎn)產(chǎn)作

a~b~

x軸的垂線交C于A,B兩點(diǎn)，則()

A.45°B.60°

5.北京2022年冬奧會(huì)的吉祥物冰墩墩和雪容融非?？蓯?，某教師用吉祥物的小掛件作為獎(jiǎng)品鼓勵(lì)學(xué)生學(xué)

習(xí)，設(shè)計(jì)獎(jiǎng)勵(lì)方案如下：在不透明的盒子中放有大小、形狀完全相同的6張卡片，上面分別標(biāo)有編號(hào)1,

2,3,4,5,6,現(xiàn)從中不放回地抽取兩次卡片，每次抽取一張，只要抽到的卡片編號(hào)大于4就可以中獎(jiǎng)，

已知第一次抽到卡片中獎(jiǎng)，則第二次抽到卡片中獎(jiǎng)的概率為()

1112

A.—B.-D.

1555

6.在四棱錐「一ABC。中，底面4BC。為正方形，△PBC為等邊三角形，二面角P-BC—4為30°,則

異面直線PC與AB所成角的余弦值為()

7.已知△A8C中，ZBAC=120°,AC=3AB=3,DC=2AD,在線段8。上取點(diǎn)E,使得3E=

則cosNAEB=()

而

8.已知函數(shù)/（x）為定義在R上的偶函數(shù)，當(dāng)xw（O,z。）時(shí)，f\x）＞2x,/（2）=4,則不等式

4l（x-l）+2x2＞1的解集為（）

A.（-l,0）u（3,+oo）B.（-l,l）u（3,+oo）C.（-oo,-l）u（0,3）D.（-1,3）

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全

部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.

9.隨著我國(guó)碳減排行動(dòng)的逐步推進(jìn)，我國(guó)新能源汽車市場(chǎng)快速發(fā)展，新能源汽車產(chǎn)銷量大幅上升，2017-

2021年全國(guó)新能源汽車保有量y（單位：萬輛）統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表所示：

年份2017年2018年2019年2020年2021年

年份代碼X12345

保有量y/萬輛153.4260.8380.2492784

由表格中數(shù)據(jù)可知y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為y33.64,則（）

A.心=150.24

B.預(yù)測(cè)2023年底我國(guó)新能源汽車保有量高于1000萬輛

C.2017-2021年全國(guó)新能源汽車保有量呈增長(zhǎng)趨勢(shì)

D.2021年新能源汽車保有量的殘差（觀測(cè)值與預(yù)測(cè)值之差）為71.44

10.已知圓O：f+y2=],圓：（x一女）2+（＞一百攵『=4,則（）

A.無論上取何值，圓心。始終在直線y=Gx上

'13一

B.若圓。與圓Ck有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)人的取值范圍為

C.若圓。與圓「的公共弦長(zhǎng)為乎，則k=±1或％=±;

D.與兩個(gè)圓都相切的直線叫做這兩個(gè)圓的公切線，如果兩個(gè)圓在公切線的同側(cè)，則這條公切線叫做這兩

3

個(gè)圓的外公切線，當(dāng)％=±巳時(shí)，兩圓的外公切線長(zhǎng)為20

2

11.已知函數(shù)/（x）=2sin?x+°）—e（其中。＞0,0〈夕〈兀）的圖像與x軸相鄰兩個(gè)交點(diǎn)之間的最小

jr,JT

距禺為一，當(dāng)xe時(shí)，/（X）的圖像與X軸的所有交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為：，則（

42,2

A./^yj=l-V2B/x）在區(qū)間卜看用內(nèi)單調(diào)遞增

C.fCx）的圖像關(guān)于點(diǎn)一對(duì)稱D./（x）的圖像關(guān)于直線x=q對(duì)稱

3

12.已知拋物線C:f=2py（p>0）的焦點(diǎn)為R斜率為1的直線4過點(diǎn)尸交C于4,8兩點(diǎn)，且點(diǎn)B

的橫坐標(biāo)為4,直線4過點(diǎn)B交C于另一點(diǎn)M（異于點(diǎn)A）,交C的準(zhǔn)線于點(diǎn)。，直線AM交準(zhǔn)線于點(diǎn)E,

準(zhǔn)線交y軸于點(diǎn)初則（）

25

A.C的方程為Y=4yB.\AB\=—C.|BD|<|A￡|D.|ND|.|NE|=4

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

2_￡

13.已知log53=—,則3、?272=.

x

14.若卜一?丫（正+J）的展開式中存在常數(shù)項(xiàng)，則〃的一個(gè)值可以是.

15.已知數(shù)列是以2為公比的等比數(shù)列，q=l,4=2,記數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為S“，若不等

式邑；；+2>?對(duì)任意x?0,2023］恒成立’則"的最小值為.

16.我國(guó)古代大多數(shù)城門樓的底座輪廓大致為上、下兩面互相平行，且都是矩形的六面體（如圖），現(xiàn)從某

城樓中抽象出一幾何體ABCQ—EFG4,其中ABC。是邊長(zhǎng)為4的正方形，EFGH為矩形,上、下底面與

左、右兩側(cè)面均垂直，EF=4,FG=2,AE=BF=CG=DH,且平面ABCD與平面EFG4的距離

為4,則異面直線BG與CH所成角的余弦值為.

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.在數(shù)列｛%｝中，?1=20,?！?1=|。"一3卜

（1）求｛%｝的通項(xiàng)公式；

（2）求｛%｝的前"項(xiàng)和S”.

18.如圖，在平面四邊形ABC。中，CDLDB,CD=l,￡>B=6,D4=2.

(I)若NZM5=60°,求cosZACB；

(2)求+的取值范圍.

19.近年來，我國(guó)加速推行垃圾分類制度，全國(guó)垃圾分類工作取得積極進(jìn)展.某城市推出了兩套方案，并

分別在A,B兩個(gè)大型居民小區(qū)內(nèi)試行.方案一：進(jìn)行廣泛的宣傳活動(dòng)，通過設(shè)立宣傳點(diǎn)、發(fā)放宣傳單等

方式，向小區(qū)居民和社會(huì)各界宣傳垃圾分類的意義，講解分類垃圾桶的使用方式，垃圾投放時(shí)間等，定期

召開垃圾分類會(huì)議和知識(shí)宣傳教育活動(dòng)；方案二：智能化垃圾分類，在小區(qū)內(nèi)分別設(shè)立分類垃圾桶，垃圾

回收前端分類智能化，智能垃圾桶操作簡(jiǎn)單，居民可以通過設(shè)備進(jìn)行自動(dòng)登錄、自動(dòng)稱重、自動(dòng)積分等一

系列操作.建立垃圾分類激勵(lì)機(jī)制，比如，垃圾分類換積分，積分可兌換禮品等，激發(fā)了居民參與垃圾分

類的熱情，帶動(dòng)居民積極主動(dòng)地參與垃圾分類.經(jīng)過一段時(shí)間試行之后，在這兩個(gè)小區(qū)內(nèi)各隨機(jī)抽取了100

名居民進(jìn)行問卷調(diào)查，記錄他們對(duì)試行方案的滿意度得分(滿分100分)，將數(shù)據(jù)分成6組：[40,50),

[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100],并整理得到如下頻率分布直方圖：

頻率

(1)請(qǐng)通過頻率分布直方圖分別估計(jì)兩種方案滿意度的平均得分，判斷哪種方案的垃圾分類推廣措施更

受居民歡迎(同一組中的數(shù)據(jù)用該組中間的中點(diǎn)值作代表)；

(2)估計(jì)A小區(qū)滿意度得分的第80百分位數(shù)；

(3)以樣本頻率估計(jì)概率，若滿意度得分不低于70分說明居民贊成推行此方案，低于70分說明居民不

太贊成推行此方案.現(xiàn)從B小區(qū)內(nèi)隨機(jī)抽取5個(gè)人，用X表示贊成該小區(qū)推行方案的人數(shù)，求X的分布列

及數(shù)學(xué)期望.

20.如圖，在多面體以BCFE中，出，平面ABC,PA//CF//BE,且PA=2CF=4BE,D為出的

中點(diǎn)，連接8Q,PC,點(diǎn)M,N滿足PN=2NC.

(1)證明：MN〃平面PEF；

(2)若Q4=2AB=28C=4,cosZPEF=-^,求直線PC與平面PE尸所成角的正弦值.

65

1+>>2

21.己知橢圓C：1Ca>b>0\左頂點(diǎn)為月，上頂點(diǎn)為8,且|A8|=J7,過右焦點(diǎn)尸作直線

/.當(dāng)直線/過點(diǎn)8時(shí)，斜率為—6.

(1)求C的方程；

(2)若/交C于P,。兩點(diǎn)，在/上存在一點(diǎn)M,且QM=FP,則在平面內(nèi)是否存在兩個(gè)定點(diǎn)，使得點(diǎn)

M到這兩個(gè)定點(diǎn)的距離之和為定值？若存在，求出這兩個(gè)定點(diǎn)及定值；若不存在，請(qǐng)說明理由.

22.已知函數(shù)/(x)=evcosx.

(I)求/(x)在區(qū)間(o,'］內(nèi)的極大值；

(2)令函數(shù)/(x)="D—L當(dāng)。〉逑時(shí)，證明：F(X)在區(qū)間(0,工)內(nèi)有且僅有兩個(gè)零點(diǎn).

exk乙)

數(shù)學(xué)(三)

一、選擇題

1.D【解析】由x(x—2)<3得f一2%—3<0,解得A={x|—l<x<3},由二一21得二一一1>0,

X+1X+1

A-X

即一^jZO,即(4—x)(x+l)20且x+IWO,解得3={x[—l<xW4},所以AuB={x|-l<xW4}.故

選D項(xiàng).

_-_、.,.za+b\+—i)a+hh-a.…、.人皿z

2.C【解x析r】設(shè)z=a+Z?i(mb￡R),nl則——；=---=-------------=-----+-----1,因?yàn)閺?fù)數(shù)—；

1+i1+i2221+i

a-\-h

=0,

2a=-b,zi,b-a=1或N

為純虛數(shù)，所以解得又=1,所以----=一1,解得力=1或b=—1,

h-aa手b,1+12

—。0,

12

所以z=—l+i或z=l—i.故選C項(xiàng).

3.C【解析】由題意得0=￡=2,即c=2a,又。2="+/，所以匕2=3。2,設(shè)點(diǎn)A在x軸上方，則

a

又1=3a,所以|A耳=3a,|ME|=a+c=3a,因?yàn)閆AfM=90。，所以ZAMb=45。，

所以NAA汨=90。.故選C項(xiàng).

4.C【解析】由題知段)的定義域?yàn)镽,又/(一月=空界=—/等=—/(x),所以色)為奇函數(shù),

win4

排除A,B項(xiàng)；/(1)=丁<0,排除D項(xiàng).故選C項(xiàng).

5.B【解析】若事件A1為“第一次抽到卡片中獎(jiǎng)”，事件4為“第二次抽到卡片中獎(jiǎng)”，則

==—>P(A)=g=，，故P(4|A)=PC)=：.故選B項(xiàng).

vv

\'C；C；15C'63\”P⑷5

6.A【解析】如圖，由AB〃CD,得NPCQ為異面直線A8與PC所成的角或其補(bǔ)角，設(shè)E,F分別為

BC,A。的中點(diǎn)，連接PE,PF,EF,由底面48C。為正方形，△PBC為等邊三角形，得PELBC,FEX.

BC,所以/PEF=30°.設(shè)48=2,則PE=百，由余弦定理得尸尸1=,XPF1AD,FD=\,所以P0=J5,

4+4-23

又PC=CD=2,所以cos/PC￡>=------=-.故選A項(xiàng).

2x2x24

7.D【解析】由題意知NAEB是向量AE與向量BO的夾角，BD=BA+AD=-AB+-AC,

3

311

AE=AB+BE=AB+-BD=-AB+-AC,

444

BD-AE^\-AB+-Ac\(-AB+-Ac\^-(-AB~--ABAC+-AC~^^-,

I3八44J4133J4

s河|=/*泊.V7

3

./4BD'AE4\p2A*小小一e

則ncosNAEB-r；r—------——?故選D項(xiàng).

H網(wǎng)國(guó)叵7

4

ADC

8.A【解析】因?yàn)?(x)>2x,所以/(x)-2x>0,構(gòu)造函數(shù)9(x)寸x)—f,當(dāng)xC(0,+8)時(shí)，尸㈤寸(%)一2尤

>0,尸(x)在區(qū)間(0,+8)內(nèi)單調(diào)遞增，且尸(2)=0,又八元)是定義在R上的偶函數(shù)，所以尸(x)是定義在R上

的偶函數(shù)，所以F(x)在區(qū)間(一8,0)內(nèi)單調(diào)遞減，且尸(一2)=0.不等式頊整理得求無一

l)+2?-x,-%>0,即xg—1)一(了-1)2]>0,當(dāng)x>0時(shí)，/一1)一(彳-1)2>0,則x—l>2,解得x>3；

當(dāng)x<0時(shí)，兒r-1)一(》—1)2<0,則一2<彳-1<0,解得一1<》<1,又x<0,所以一l<x<0.綜上，不

等式求x—1)+2/>丁+乂的解集為(一1,0)口(3,+8).故選A項(xiàng).

二、選擇題

9.BCD【解析】由題得嚏=3,亍=414.08,代入可得方=149.24,A項(xiàng)錯(cuò)誤；2023年的年份代碼為7,

代入y=149.24x—33.64得y=101L04,高于1000萬輛，B項(xiàng)正確；C項(xiàng)顯然正確；將45,代入

y=149.24x-33.64得y=712.56,相應(yīng)的殘差為784-712.56=71.44,D項(xiàng)正確，故選BCD項(xiàng).

10.ACD【解析】圓心C*的坐標(biāo)為卜,也攵)，在直線>=Gx上，A項(xiàng)正確；若圓。與圓Ci有公共點(diǎn)，

則1W|OQ|W3,所以14\/公+3/<3,解得一一4%?一一或一4女〈二，B項(xiàng)錯(cuò)誤；將圓0與圓Q的

2222

方程作差可得公共弦所在直線的方程為2日+266-4公+3=0,則圓心。到直線的距離

時(shí)，圓。與圓C*外切，圓心距為3,半徑差為1,則外公切線長(zhǎng)為』32—『=2四,D項(xiàng)正確.故選ACD

項(xiàng).

兀3乃…

11.AB【解析】令人x）=0,則sin（（yx+/）=,所以口%+°=^+2%乃，&ez或GX+0=1乙人兀，

'24

7123%

----（P+2攵乃-9+2k兀

k^Z,解得％----------,YZ或無二4------------,kez,所以人x)的圖像與x軸相鄰兩個(gè)交點(diǎn)之

CDCD

間的最小距離為三，所以工=工，解得。=2,所以〃x)=2sin(2x+e)-J5,所以於)的周期

2a)2a)

2萬Jl\

T=——=71,當(dāng)~29~2)12x+°W(-7T+*,萬+0),令於)=0,即sin(2x+°)=T'又。<

2

/-"—c3〃b-兀(p43兀①」兀卬3兀卬兀,071

(p<7T,所以2/+夕=-或2X+Q=—，所以x=-----或1=------，由----—H-------=一得夕=一

448282828236

所以f(x)=2sinf2x4——>/2,ff—]=1—V2,A項(xiàng)正確；由—工<x<工，得—工<2]+2<2,

V6JV3J66662

所以/U)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，B項(xiàng)正確;一百一3,所以見0的圖像不關(guān)于

目=&—行?！?-拒，所以y(x)的圖像不關(guān)于直線x=2對(duì)

稱，D項(xiàng)錯(cuò)誤.故選AB項(xiàng).

12.ABD【解析】由題意得F(0,5),,所以原8=上了2=(,以整理得p2+6p-16=0,又

p>0,解得p=2,所以C的方程為f=4y,A項(xiàng)正確：準(zhǔn)線方程為y=-1,8(4,4),F(0,1),直線6的方

程為y=；尤+1,與『=4y聯(lián)立解得x=-l或戶4,所以A(—1,；),則|AB|=J(4+lp+(4—；25

~4

(^2\1m_1

B項(xiàng)正確；設(shè)點(diǎn)用m,——，由題意知〃?#±1且帆#±4,所以直線—=----(x+1),令尸一

(4J44v7

m+4，即E(-若所I以|NE|=.同理可得。(若—1}|N￡>|

1,得x=一

m-1

4m-4m+42、5\1\7

所以|NZ)HNE卜—,-1，所以|AE|=---,

m+4m-l[374

S/I-Q

忸*三一,則|BD|>|AE|,C項(xiàng)錯(cuò)誤.故選ABD項(xiàng).

三、填空題

122

13.-【解析】由log53=—,得x=-----=21og35=log325,則

5xlog53

3*x275=3啕25x3^'og,25=25x25^=25”=

5

14.4(答案不唯一"解析】(X-石R聯(lián)+福的展開式

n-r〃-7一

的通項(xiàng)公式為（+i=C；（哄）。丫=C/k,取〃=4,r=l,得=&,可得

X

（尤一五『［也+5）的展開式的常數(shù)項(xiàng)為.：=4,所以〃的一個(gè)值可以是4.

15.9【解析】由題知qa,=2,則/。川=2x2"T=2",所以。用《什，=2"7,所以吐=2,所以數(shù)列

%

｛4,i｝是以1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，數(shù)列｛%“｝是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，則

n

l-2,,+12x(l-2)

Stt+a2n+2-3,“2，，=2x2"T=2",

2n+\=(l+?3++生"+1)+(%+/+2n------F

1-21-2

那么X2=J=1.9"，因?yàn)橐亍?|+2〉］-1

對(duì)任意xG（0,2023］恒成立，則只需

4x2”X

1-3〉x-lX—12022

即可，令“X）,則?r）在區(qū)間（0,2023］上單調(diào)遞增，所以

xmaxx2023

1202211

所以1——7>——，即一7<——，即2"2>2023,解得〃29,又〃eN*,所以〃的最小值為9.

2計(jì)220232,,+22023

16.駕史【解析】如圖，把此六面體補(bǔ)成正方體，連接AH,AC,由題可知A//〃BG,所以是

165

異面直線BG與CH所成角或其補(bǔ)角，在△AHC中，AW=>/32+42=5,CH=>/12+42+42.

AH2+CH2-AC225+33-3213733

AC=40,則cosNA/ZC

2xAHxCH2x5x733-165

四、解答題

17.解：(1)因?yàn)閝=20,且20—3X6=2>0,20-3X7=-l<0,

所以當(dāng)〃W7時(shí)，an+l=a,,-3,

此時(shí)｛4｝是以20為首項(xiàng)，―3為公差的等差數(shù)列，則q=20-3x（〃—1）=23-3〃；

當(dāng)九28時(shí)，q=田一3|=〔2—3|=1，%=小—3|=口―3|=2，%=|佝—3]=|2-3]=1，

fl1)=1^-31=11-31=2,…，可得數(shù)列｛%｝是個(gè)擺動(dòng)數(shù)列，則4=3+(T).

23-3〃,〃<7,

，,-1

綜上，an=<3+(-1)

—―,n>8.

2

/、山一qo(20+23-3〃)"43〃—3/

(2)當(dāng)〃W7時(shí)，Sn-----------------=---------；

”22

.、l、i+堂乙」cc172-7_〃-7__371-213〃+133

當(dāng)力28,且〃為奇數(shù)時(shí)，5=5+1x--------F2X=77H-----------=-----------

〃772222

當(dāng)心8,且〃為偶數(shù)時(shí)，S,,=“+—也產(chǎn)+1=即產(chǎn)，

3〃?265+(—1)'-

所以S.~2+4~

43〃-3"

,〃<7,

2

綜上，S=<

n3〃?265+(-1廣

丁廠,/?>8.

18.解：（1）在△ABQ中，因?yàn)?8=6,DA=2,N￡>AB=60°,由余弦定理得

(V3J-=22+AB2-2x2xABcos60°,解得AB=1,由AB?+=D/V,得AB，DB,此時(shí)Rt/XCCB

空RtZxAB。，可得乙4BC=120°.

在△ABC中，AB=1,BC=2,由余弦定理得AC?=/—2xlx2xcosl20°=7,解得AC=J7,所以

c°sZACB=2力=①

2x2xj714

7T

(2)設(shè)NAO8二仇由題意可知0<。<一，

2

在△A3。中，由余弦定理得AB?=2?+(G)-2x2xA/3cos0—1—4>/3cos0,在△ACO中,

乙ADC=8*,由余弦定理得AC?=22+12-2x2xlxcos[e+])=5+4sin。，

所以AB2+8C2+AC2=7-46cosO+5+4sine+22=16+8sin］。一日，

因?yàn)?<?！垂?，所以一工<。一生(工，--<sinf^-->|<-,

23362I3j2

所以AB?+BC2+的取值范圍是(］6一473,20).

19.解：(1)設(shè)A小區(qū)方案一滿意度平均分為申,則嚏=(45X0.006+55X0.014+65X0.018+75X0.032+

85X0.020+95X0.010)X10=72.6,

設(shè)B小區(qū)方案二滿意度平均分為y,則y=(45X0.005+55X0.005+65X0.010+75X0.040+85X0.030+

95X0.010)X10=76.5,

因?yàn)?2.6<76.5,

所以方案二的垃圾分類推行措施更受居民歡迎.

(2)因?yàn)榍?組的頻率之和為0.06+0.14+0.18+0.32=0.7<0.8,

前5組的頻率之和為0.06+0.14+0.18+0.32+0.2=0.9>0.8,所以第80百分位數(shù)在第5組，

設(shè)第80百分位數(shù)為x,則0.7+(X-80)X0.020=0.8,解得485,所以A小區(qū)滿意度得分的第80百分位數(shù)

為85分.

(3)由題意可知方案二中，滿意度不低于70分的頻率為0.8,低于70分的頻率為0.2,現(xiàn)從B小區(qū)內(nèi)隨

機(jī)抽取5個(gè)人，則X?X的所有可能取值為0,1,2,3,4,5,

、5

P(x=o)="1

)—3125,

P(x=i)=咱4

5>=625,

I432

P"=2)=嘿丫(］、

)15？"6251

1128

尸(X=3)=C：C心

-625,

(A256

P(X=4)=C；-務(wù)

625，

\3

1

P"=5)=噬丫-1024

)5-3125，

X的分布列為

X01234

P

31256256256253125

4

由二項(xiàng)分布知E(X)=5xg=4.

PN'PA

20.(1)證明：連接AF交PC于點(diǎn)N,因?yàn)锽4〃CE,PA=2CF,所以——=—=2,又PN=2NC,

N'CCF

則點(diǎn)M與點(diǎn)N重合，所以AN=2NF,

同理，連接AE交于點(diǎn)M,得AM=2ME,所以MN〃EF,

又的V(Z平面PEREbu平面尸EF,所以M?V〃平面PEF.

(2)解：由題意可知PE=JAB2+^PA^=722+32=V13

EF=JBC2+^CF)=石,

在尸中，PF2=P￡2+EF2-2PExEFxcosZPEF=13+5-2x713x75x^^=12,

65

(I丫

AC1=PF2-\-PA=8,所以AC2=AB?+BC2,所以A8_LBC,以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，BC,BA,BE所在的

12>

直線分別為x,y,z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

所以P(0,2,4),E(0,0,1),FQ,0,2),C(2,0,0),PC=(2,—2,T),EF=(2,0,1),

EFtn—2x+z—0

￡P(guān)=(O,2,3),設(shè)平面PE尸的法向量為〃=(x,y,z),貝心‘不妨取x=l,則尸3,z=

EP〃=2y+3z=0,

-2,即〃=(1,3,—2),設(shè)直線PC與平面尸所所成的角為仇

…"—.J|2xl+(-分*?*^)*.2)|4一國(guó)

、/P1百+(-2)2+(-4『小2+32+(—2)2276x71421

所以直線PC與平面PEF所成角的正弦值為工-

21

院+/=7,22

21.解：⑴由題意知|br-又〃=加+。2,解得a