圖形變換考法分析

圖形變換考法分析第1頁，共24頁，2023年，2月20日，星期六圖形變換內(nèi)容:平移、軸對(duì)稱、旋轉(zhuǎn)、相似四類

近年各地中考試題特點(diǎn):對(duì)“空間與圖形”的考查體現(xiàn)出降低嚴(yán)格邏輯證明的要求,加強(qiáng)對(duì)實(shí)驗(yàn)操作,讀圖作圖,合情推理等能力的要求,強(qiáng)化圖形變換的應(yīng)用,適當(dāng)滲透空間觀念,側(cè)重考查數(shù)學(xué)思想方法以及運(yùn)用幾何知識(shí)解決實(shí)際問題的能力等特點(diǎn).

這部分內(nèi)容在初中數(shù)學(xué)中的地位主要體現(xiàn)在：第一，從變換的角度來研究一些圖形（如等腰三角形、平行四邊形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形、圓等），可對(duì)這些幾何圖形形成更為概括的認(rèn)識(shí)；第二，這四種圖形變換在作圖、探索與發(fā)現(xiàn)圖形性質(zhì)及圖形關(guān)系等方面有著極為廣泛的作用，可作為重要的研究手段和方法。注意:(1)注重考查對(duì)變換性質(zhì)的理解和運(yùn)用

(2)強(qiáng)化考查變換在推理論證中的工具作用第2頁，共24頁，2023年，2月20日，星期六

例1（2007麗水24壓軸題）：如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直角梯形ABCO的邊OC落在x軸的正半軸上，且AB∥OC，BC⊥OC，AB=4，BC=6，OC=8．正方形ODEF的兩邊分別落在坐標(biāo)軸上，且它的面積等于直角梯形ABCO面積．將正方形ODEF沿x軸的正半軸平行移動(dòng)，設(shè)它與直角梯形ABCO的重疊部分面積為S．（1）分析與計(jì)算：求正方形ODEF的邊長；（2）操作與求解：①正方形ODEF平行移動(dòng)過程中，通過操作、觀察，試判斷S（S＞0）的變化情況是

；

A．逐漸增大B．逐漸減少C．先增大后減少D．先減少后增大②當(dāng)正方形ODEF頂點(diǎn)O移動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)，求S的值；（3）探究與歸納：設(shè)正方形ODEF的頂點(diǎn)O向右移動(dòng)的距離為x，求重疊部分面積S與x的函數(shù)關(guān)系式．（備用圖）ABCDEFOABCOxxyy典例分析:圖形的平移第3頁，共24頁，2023年，2月20日，星期六點(diǎn)評(píng):

命題意圖:1.落實(shí)新課程理念，重視對(duì)重點(diǎn)內(nèi)容的考查:平移與旋轉(zhuǎn)(既是新增又是重點(diǎn))。較好地體現(xiàn)了接受與創(chuàng)新同途的新課程理念，突出了課改的導(dǎo)向。2.圍繞圖形的平移，把方程、特殊四邊形、相似三角形、一次函數(shù)、二次函數(shù)、圖形的面積等知識(shí)與操作探究融合為一體，既考查了學(xué)生綜合運(yùn)用知識(shí)解決問題的能力，又突出了學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)活動(dòng)的過程性，體現(xiàn)了一定的區(qū)分度?？忌痤}情況及失誤分析:（1）題求邊長用直觀方法去判斷，沒有求解過程；（2）對(duì)不規(guī)則圖形的面積求法，不能用分割或補(bǔ)差法求解；（3）對(duì)數(shù)學(xué)思想方法（運(yùn)動(dòng)思想、分類思想）缺乏，“動(dòng)”中求“靜”的思維方法不能掌握。在求解時(shí)不能很好地利用操作的過程去完成解答。感受不到工具作用

難度值:0.36

第4頁，共24頁，2023年，2月20日，星期六例2（2008麗水24壓軸題）：

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)坐標(biāo)為（2，4），直線與x軸相交于點(diǎn)，連結(jié)，拋物線從點(diǎn)沿方向平移，與直線交于點(diǎn)，頂點(diǎn)到點(diǎn)時(shí)停止移動(dòng)．（1）求線段所在直線的函數(shù)解析式；（2）設(shè)拋物線頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)為m,①用m的代數(shù)式表示點(diǎn)P的坐標(biāo)；②當(dāng)m為何值時(shí)，線段PB最短；（3）當(dāng)線段PB最短時(shí)，相應(yīng)的拋物線上是否存在點(diǎn)，使△QMA的面積與△PMA的面積相等，若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．OPM（第24題）PAB第5頁，共24頁，2023年，2月20日，星期六點(diǎn)評(píng):

命題意圖:在新課程理念指導(dǎo)下，借助拋物線的平移,融操作探究為一體.3個(gè)問題由易到難、循序漸進(jìn),使不同層次的學(xué)生都有不同的發(fā)揮空間,不同的人獲得不同的數(shù)學(xué)發(fā)展.錯(cuò)因分析:對(duì)拋物線的平移性質(zhì)理解不夠.(跟平常教學(xué)中普遍關(guān)注幾何圖形有關(guān).)第6頁，共24頁，2023年，2月20日，星期六地市麗水07麗水08基本圖形四邊形拋物線載體坐標(biāo)系坐標(biāo)系方式圖形平移線平移麗水近2年壓軸題題型情況第7頁，共24頁，2023年，2月20日，星期六感悟近幾年學(xué)業(yè)考試壓軸題的熱點(diǎn)問題（一）、以動(dòng)態(tài)幾何為主線的壓軸題

1、點(diǎn)動(dòng)問題

2、線動(dòng)問題3、面動(dòng)問題（二）、以拋物線為主線的壓軸題

2、拋物線與四邊形的折疊問題相結(jié)合的壓軸題（三）、以圖形變換為主線的壓軸題

（四）、以基本問題模型為主線的壓軸題1、拋物線與動(dòng)態(tài)問題相結(jié)合的壓軸題3、拋物線與四邊形的探索問題相結(jié)合的壓軸題4、拋物線與方程相結(jié)合的壓軸題1、圖形的平移2、圖形的翻折3、圖形的旋轉(zhuǎn)（五）、以新概念為主線的壓軸題第8頁，共24頁，2023年，2月20日，星期六例3（2008麗水10）：如圖，已知⊙是以數(shù)軸的原點(diǎn)為圓心，半徑為1的圓，,點(diǎn)在數(shù)軸上運(yùn)動(dòng)，若過點(diǎn)且與平行的直線與⊙有公共點(diǎn),設(shè)，則的取值范圍是()A．O≤≤B．≤≤C．－1≤≤1D．＞PAOB（第10題）點(diǎn)評(píng):受線的直觀平移影響,忽略思維的嚴(yán)謹(jǐn)性、嚴(yán)密性.

同時(shí)也反映了讀題能力、分析題意、解題習(xí)慣的欠缺.難度值:0.29(全卷第三)第9頁，共24頁，2023年，2月20日，星期六例4（2008年·東莞市題）：

（本題滿分9分）將兩塊大小一樣含30°角的直角三角板，疊放在一起，使得它們的斜邊AB重合，直角邊不重合，已知AB=8，BC=AD=4，AC與BD相交于點(diǎn)E，連結(jié)CD．(1)填空：如圖9，AC=

，BD=

；四邊形ABCD是

梯形.(2)請(qǐng)寫出圖9中所有的相似三角形（不含全等三角形）.(3)如圖10，若以AB所在直線為軸，過點(diǎn)A垂直于AB的直線為軸建立如圖10的平面直角坐標(biāo)系，保持ΔABD不動(dòng)，將ΔABC向軸的正方向平移到ΔFGH的位置，F(xiàn)H與BD相交于點(diǎn)P，設(shè)AF=t，ΔFBP面積為S，求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出t的取值值范圍.DCBAE圖9EDCHFGBAPyx圖1010第10頁，共24頁，2023年，2月20日，星期六

圖形的旋轉(zhuǎn)例5（2004江西壓軸題）：如圖，在矩形ABCD中，AB=3，AD=2，點(diǎn)E、F分別在AB、DC上，AE=DF=2.再把一塊直徑為2的量角器（圓心為O）放置在圖形上，使其0°線MN與EF重合；若將量角器0°線上的端點(diǎn)N固定在點(diǎn)F上，再把量角器繞點(diǎn)F順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)∠α（0°<α<90°）,此時(shí)量角器的半圓弧與EF相交于點(diǎn)P，設(shè)點(diǎn)P處量角器的讀數(shù)為n°.（1）用含n°的代數(shù)式表示∠α的大小；（2）當(dāng)n°等于多少時(shí)，線段PC與

M′F平行？

(3)在量角器旋轉(zhuǎn)的過程中,過點(diǎn)M′作

GH⊥M′F,交AE于G,交AD于H,設(shè)

GE=x,⊿AGH的面積為S,試求出S關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式,并寫出自變量范圍.

第11頁，共24頁，2023年，2月20日，星期六例6（2008恩施自治州壓軸題）：如圖11，在同一平面內(nèi),將兩個(gè)全等的等腰直角三角形ABC和AFG擺放在一起，A為公共頂點(diǎn)，∠BAC=∠AGF=90°，它們的斜邊長為2，若?ABC固定不動(dòng)，?AFG繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，AF、AG與邊BC的交點(diǎn)分別為D、E(點(diǎn)D不與點(diǎn)B重合,點(diǎn)E不與點(diǎn)C重合),設(shè)BE=m，CD=n.（1）請(qǐng)?jiān)趫D中找出兩對(duì)相似而不全等的三角形，并選取其中一對(duì)進(jìn)行證明.（2）求m與n的函數(shù)關(guān)系式，直接寫出自變量n的取值范圍.（3）以?ABC的斜邊BC所在的直線為x軸，BC邊上的高所在的直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系(如圖12).在邊BC上找一點(diǎn)D，使BD=CE，求出D點(diǎn)的坐標(biāo)，并通過計(jì)算驗(yàn)證BD＋CE=DE.（4）在旋轉(zhuǎn)過程中,(3)中的等量關(guān)系BD＋CE=DE是否始終成立,若成立,請(qǐng)證明,若不成立,請(qǐng)說明理由.G圖11FEDCBAGyx圖12OFEDCBA第12頁，共24頁，2023年，2月20日，星期六例7（2008年武漢市壓軸題）：

如圖1，拋物線經(jīng)過A（－1，0），C（3，2）兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)D，與軸交于另一點(diǎn)B。⑴求此拋物線的解析式；⑵若直線將四邊形ABCD面積二等分，求的值；⑶如圖2，過點(diǎn)E（1，－1）作EF⊥軸于點(diǎn)F，將△AEF繞平面內(nèi)某點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°后得△MNQ（點(diǎn)M，N，Q分別與點(diǎn)A，E，F(xiàn)對(duì)應(yīng)），使點(diǎn)M，N在拋物線上，求點(diǎn)M，N的坐標(biāo)．ACOBD圖1第13頁，共24頁，2023年，2月20日，星期六例8（2008年寧波市)如圖，菱形中，，，將菱形繞點(diǎn)按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，則圖中由，，，圍成的陰影部分的面積是

．（2008年麗水市)如圖，以點(diǎn)為為旋轉(zhuǎn)中心，將按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，得到．若，則=▲度．

ABCO（第18題）A12（第13題）第14頁，共24頁，2023年，2月20日，星期六ABCDEFD′例9(2007青島）：

將平行四邊形紙片ABCD按如圖方式折疊，使點(diǎn)C與A重合，點(diǎn)D落到D′處，折痕為EF．（1）求證：△ABE≌△AD′F；（2）連接CF，判斷四邊形AECF是什么特殊四邊形？證明你的結(jié)論.例10（2008年江西?。┤鐖D，把矩形紙片ABCD沿EF折疊，使點(diǎn)B落在邊AD上的點(diǎn)B′處，點(diǎn)A落在點(diǎn)A′處，(1)求證：B′E=BF；(2)設(shè)AE=a，AB=b,BF=c,試猜想a、b、c之間有何等量關(guān)系，并給予證明.

圖形的翻折ABCDEFA′B′第15頁，共24頁，2023年，2月20日，星期六

圖形的軸對(duì)稱例11（2008年湖北省咸寧市）

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線l是第一、三象限的角平分線．實(shí)驗(yàn)與探究：由圖觀察易知A（0，2）關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，0），請(qǐng)?jiān)趫D中分別標(biāo)明B(5,3)

、C(-2,5)關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)、的位置，并寫出他們的坐標(biāo):

、

；歸納與發(fā)現(xiàn)：結(jié)合圖形觀察以上三組點(diǎn)的坐標(biāo)，你會(huì)發(fā)現(xiàn)：坐標(biāo)平面內(nèi)任一點(diǎn)P(a,b)關(guān)于第一、三象限的角平分線l的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為

（不必證明）；運(yùn)用與拓廣：已知兩點(diǎn)D(1,-3)、E(-1,-4)，試在直線l上確定一點(diǎn)Q，使點(diǎn)Q到D、E兩點(diǎn)的距離之和最小，并求出Q點(diǎn)坐標(biāo)．第16頁，共24頁，2023年，2月20日，星期六

圖形的位似例12（2008年云南省）．如圖，在所給網(wǎng)格圖（每小格均為邊長是1的正方形）中完成下列各題：（1）圖形與圖形關(guān)于直線成軸對(duì)稱，請(qǐng)?jiān)趫D中畫出對(duì)稱軸并標(biāo)注上相應(yīng)字母、；（2）以圖中點(diǎn)為位似中心，將圖形放大，得到放大后的圖形，則圖形與圖形的對(duì)應(yīng)邊的比是多少？（注：只要寫出對(duì)應(yīng)邊的比即可）（3）求圖形的面積．第17頁，共24頁，2023年，2月20日，星期六

圖形的平移、軸對(duì)稱、旋轉(zhuǎn)、中心對(duì)稱綜合例12

（2008年南京市）22．如圖，菱形（圖1）與菱形（圖2）的形狀、大小完全相同．（1）請(qǐng)從下列序號(hào)中選擇正確選項(xiàng)的序號(hào)填寫；①點(diǎn)；②點(diǎn)；③點(diǎn)；④點(diǎn)．如果圖1經(jīng)過一次平移后得到圖2，那么點(diǎn)對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別是

；如果圖1經(jīng)過一次軸對(duì)稱后得到圖2，那么點(diǎn)對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別是

；如果圖1經(jīng)過一次旋轉(zhuǎn)后得到圖2，那么點(diǎn)對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別是

；（2）①圖1，圖2關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱，請(qǐng)畫出對(duì)稱中心（保留畫圖痕跡，不寫畫法）；②寫出兩個(gè)圖形成中心對(duì)稱的一條性質(zhì)：

．（可以結(jié)合所畫圖形敘述）

圖1A（第22題）BCD圖2EFGH第18頁，共24頁，2023年，2月20日，星期六例13第19頁，共24頁，2023年，2月20日，星期六

圖形與變換試題編制舉例二、填空題:

如圖,平面直角坐標(biāo)系中,射線OA與x軸正半軸的夾角為30°,⊙P的圓心P在x軸上,半徑為2,⊙P在x軸上左右平移,且⊙P與射線OA有公共點(diǎn)。設(shè)OP的長為a,則a的取值范圍為

。APyxo_第20頁，共24頁，2023年，2月20日，星期六1.如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,Rt△AOB的兩條直角邊OA、OB,分別在y軸的正半軸、x軸的正半軸上,且OA=2,OB=1。有以下三種變換:①繞O點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°;②沿x軸的正方向平移2個(gè)單位;③關(guān)于y軸作軸對(duì)稱。(1)選擇一種自己喜歡的變換,在圖一中作出相應(yīng)的圖形;(2)設(shè)計(jì)一組變換(三種變換可自由組合,每種變換也可重復(fù)使用),使得變換后A與A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)之間的距離恰為1。(在圖二中按作出相應(yīng)組合變換的各種圖形)yxBAoyxBAo圖一圖二

選擇變換