二次函數(shù)題型分類總結(jié)

./二次函數(shù)題型總結(jié)[回顧與思考]一、二次函數(shù)的定義定義：一般地,如果是常數(shù),,那么叫做的二次函數(shù).〔考點(diǎn)：二次函數(shù)的二次項(xiàng)系數(shù)不為0,且二次函數(shù)的表達(dá)式必須為整式精典例題：例1：在下列關(guān)系式中,y是x的二次函數(shù)的關(guān)系式是〔A．2xy+x2=1B．y2-ax+2=0C．y+x2-2=0D．x2-y2+4=0考點(diǎn)：二次函數(shù)的定義．分析：根據(jù)二次函數(shù)的定義對四個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行逐一分析即可,即一般地,形如y=ax2+bx+c〔a、b、c是常數(shù),a≠0的函數(shù),叫做二次函數(shù)．解答：解：A、2xy+x2=1當(dāng)x≠0時(shí),可化為的形式的形式,不符合一元二次方程的一般形式,故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；

B、y2-ax+2=0可化為y2=ax-2不符合一元二次方程的一般形式,故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；

C、y+x2-2=0可化為y=x2+2,符合一元二次方程的一般形式,故本選項(xiàng)正確；

D、x2-y2+4=0可化為y2=x2+4的形式,不符合一元二次方程的一般形式,故本選項(xiàng)錯(cuò)誤．

故選C．點(diǎn)評：本題考查的是二此函數(shù)的一般形式,即一般地,形如y=ax2+bx+c〔a、b、c是常數(shù),a≠0的函數(shù),叫做二次函數(shù)．其中x、y是變量,a、b、c是常量,a是二次項(xiàng)系數(shù),b是一次項(xiàng)系數(shù),c是常數(shù)項(xiàng)．y=ax2+bx+c〔a、b、c是常數(shù),a≠0也叫做二次函數(shù)的一般形式．例2：函數(shù)y=<m+3>xm2+m-4,當(dāng)m=時(shí),它的圖象是拋物線．考點(diǎn)：二次函數(shù)的定義．分析：二次函數(shù)的圖象是拋物線的,由二次函數(shù)的定義列出方程與不等式解答即可．解答：解：∵它的圖象是拋物線,

∴該函數(shù)是二次函數(shù),

∴,解得m=2或-3,m≠-3,∴m=2．點(diǎn)評：用到的知識點(diǎn)為：二次函數(shù)的圖象是拋物線；二次函數(shù)中自變量的最高次數(shù)是2,二次項(xiàng)的系數(shù)不為0．例3：若y=xm-2是二次函數(shù),則m=考點(diǎn)：二次函數(shù)的定義．分析：根據(jù)二次函數(shù)的定義列出關(guān)于m的方程,求出m的值即可．解答：解：∵函數(shù)y=xm-2是二次函數(shù),

∴m-2=2,

∴m=4．

故答案為4．點(diǎn)評：本題考查了二次函數(shù)的定義,比較簡單,屬于基礎(chǔ)題．學(xué)以致用：1、下列函數(shù)中,是二次函數(shù)的是.①y=x2－4x+1；②y=2x2； ③y=2x2+4x； ④y=－3x；⑤y=－2x－1； ⑥y=mx2+nx+p； ⑦y=EQ\F<4,x>錯(cuò)誤！未定義書簽。； ⑧y=－5x。2、在一定條件下,若物體運(yùn)動(dòng)的路程s〔米與時(shí)間t〔秒的關(guān)系式為s=5t2+2t,則t＝4秒時(shí),該物體所經(jīng)過的路程為。3、若函數(shù)y=<m2+2m－7>x2+4x+5是關(guān)于x的二次函數(shù),則m的取值范圍為。4、若函數(shù)y=<m－2>xm－2+5x+1是關(guān)于的二次函數(shù),則m的值為。二、二次函數(shù)的對稱軸、頂點(diǎn)、最值考點(diǎn)連接：如果解析式為頂點(diǎn)式：y=a<x－h(huán)>2+k,則對稱軸為：,最值為：；如果解析式為一般式：y=ax2+bx+c,則對稱軸為：,最值為：；如果解析式為交點(diǎn)式：y=<x-x1><x-x2>,則對稱軸為：,最值為：。精典例題：例1．拋物線y=2x2+4x+m2－m經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn),則m的值為。考點(diǎn)：二次函數(shù)圖象與幾何變換．分析：利用二次函數(shù)圖象的性質(zhì)．解答：解：經(jīng)過原點(diǎn),說明〔0,0適合這個(gè)解析式．那么m2+2m-3=0,〔m+3〔m-1=0．解得：m1=-3,m2=1．點(diǎn)評：本題應(yīng)用的知識點(diǎn)為：在函數(shù)圖象上的點(diǎn)一定適合這個(gè)函數(shù)解析式．例2．若拋物線y＝ax2－6x經(jīng)過點(diǎn)<2,0>,則拋物線頂點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離為<> A. B. C.D.考點(diǎn)：二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征．分析：由拋物線y=ax2-6x經(jīng)過點(diǎn)〔2,0,求得a的值,再求出函數(shù)頂點(diǎn)坐標(biāo),求得頂點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離．解答：解：由于拋物線y=ax2-6x經(jīng)過點(diǎn)〔2,0,則4a-12=0,a=3,

拋物線y=3x2-6x,變形,得：y=3〔x-12-3,則頂點(diǎn)坐標(biāo)M〔1,-3,

拋物線頂點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離|OM|=故選B．點(diǎn)評：本題考查了二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征,先求解析式,再求頂點(diǎn)坐標(biāo),最后求距離．學(xué)以致用：1．若直線y＝ax＋b不經(jīng)過二、四象限,則拋物線y＝ax2＋bx＋c<> A.開口向上,對稱軸是y軸B.開口向下,對稱軸是y軸C.開口向下,對稱軸平行于y軸D.開口向上,對稱軸平行于y軸2．當(dāng)n＝______,m＝______時(shí),函數(shù)y＝<m＋n>xn＋<m－n>x的圖象是拋物線,且其頂點(diǎn)在原點(diǎn),此拋物線的開口________.3．已知二次函數(shù)y=mx2+<m－1>x+m－1有最小值為0,則m＝______。三、函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象和性質(zhì)知識點(diǎn)：〔1①當(dāng)時(shí)拋物線開口向上頂點(diǎn)為其最低點(diǎn)；②當(dāng)時(shí)拋物線開口向下頂點(diǎn)為其最高點(diǎn).③｜｜越大,開口越小?！?頂點(diǎn)是,對稱軸是直線〔3①當(dāng)時(shí),在對稱軸左邊,y隨x的增大而減??；在在對稱軸右邊,y隨x的增大而增大；②當(dāng)時(shí),在對稱軸左邊,y隨x的增大而增大；在在對稱軸右邊,y隨x的增大而減小?！?軸與拋物線得交點(diǎn)為<0,>精典例題：例1：〔2002?XX拋物線y=-x2+2x+1的頂點(diǎn)坐標(biāo)是____________,開口方向是____________,對稱軸是___________．考點(diǎn)：二次函數(shù)的性質(zhì)．分析：根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)解題．解答：解：∵y=-x2+2x+1=-〔x2-2x+1=-〔x2-2x+1-1+1=-〔x-12+2,

∴拋物線y=-x2+2x+1的頂點(diǎn)坐標(biāo)是〔1,2,開口方向是向下,對稱軸是x=1．點(diǎn)評：此題考查了二次函數(shù)的性質(zhì),頂點(diǎn)坐標(biāo)、對稱軸及開口方向．例2：〔2010?XX拋物線y=x2+bx+c圖象向右平移2個(gè)單位再向下平移3個(gè)單位,所得圖象的解析式為y=x2-2x-3,則b、c的值?？键c(diǎn)：二次函數(shù)圖象與幾何變換．分析：易得新拋物線的頂點(diǎn),根據(jù)平移轉(zhuǎn)換可得原拋物線頂點(diǎn),根據(jù)頂點(diǎn)式及平移前后二次項(xiàng)的系數(shù)不變可得原拋物線的解析式,展開即可得到b,c的值．解答：解：由題意得新拋物線的頂點(diǎn)為〔1,-4,

∴原拋物線的頂點(diǎn)為〔-1,-1,

設(shè)原拋物線的解析式為y=〔x-h2+k代入得：y=〔x+12-1=x2+2x,

∴b=2,c=0．

故選B．點(diǎn)評：拋物線平移不改變二次項(xiàng)的系數(shù)的值；討論兩個(gè)二次函數(shù)的圖象的平移問題,只需看頂點(diǎn)坐標(biāo)是如何平移得到的即可．學(xué)以致用：1．試寫出一個(gè)開口方向向上,對稱軸為直線x＝－2,且與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為〔0,3的拋物線的解析式。2．通過配方,寫出下列函數(shù)的開口方向、對稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)：〔1y=EQ\F<1,2>x2－2x+1；〔2y=－3x2+8x－2；〔3y=－EQ\F<1,4>x2+x－43．把拋物線y=－2x2+4x+1沿坐標(biāo)軸先向左平移2個(gè)單位,再向上平移3個(gè)單位,問所得的拋物線有沒有最大值,若有,求出該最大值；若沒有,說明理由。4．某商場以每臺2500元進(jìn)口一批彩電。如每臺售價(jià)定為2700元,可賣出400臺,以每100元為一個(gè)價(jià)格單位,若將每臺提高一個(gè)單位價(jià)格,則會(huì)少賣出50臺,那么每臺定價(jià)為多少元即可獲得最大利潤？最大利潤是多少元？四、函數(shù)y=a<x－h(huán)>2的圖象與性質(zhì)知識點(diǎn)回顧：填表：拋物線開口方向?qū)ΨQ軸頂點(diǎn)坐標(biāo)典型例題：例1：拋物線y=x2-4x-3的圖象開口,對稱軸是,頂點(diǎn)坐標(biāo),函數(shù)y有最?？键c(diǎn)：二次函數(shù)的性質(zhì)。分析：二次函數(shù)的二次項(xiàng)系數(shù)a＞0,可以確定拋物線開口方向和函數(shù)有最小值,然后利用y=ax2+bx+c的頂點(diǎn)坐標(biāo)公式就可以得到對稱軸,頂點(diǎn)坐標(biāo)．解答：解：∵二次函數(shù)的二次項(xiàng)系數(shù)a＞0,

∴拋物線開口向上,函數(shù)有最小值,

∵y=x2-4x-3,

∴根據(jù)y=ax2+bx+c的頂點(diǎn)坐標(biāo)公式為,,對稱軸是,

代入公式求值就可以得到對稱軸是x=2,頂點(diǎn)坐標(biāo)是〔2,-7．

故拋物線y=x2-4x-3的圖象開口向上,對稱軸是x=2,頂點(diǎn)坐標(biāo)〔2,-7,函數(shù)y有最小值．

故填空答案：向上,x=2,〔2,-7,小．點(diǎn)評：本題主要是對拋物線一般形式中對稱軸,頂點(diǎn)坐標(biāo)的考查,是中考中經(jīng)常出現(xiàn)的問題．學(xué)以致用：1．已知函數(shù)y=2x2,y=2<x－4>2,和y=2<x+1>2。〔1分別說出各個(gè)函數(shù)圖象的開口方、對稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)?！?分析分別通過怎樣的平移?？梢杂蓲佄锞€y=2x2得到拋物線y=2<x－4>2和y=2<x+1>2？2．試寫出拋物線y=3x2經(jīng)過下列平移后得到的拋物線的解析式并寫出對稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)。〔1右移2個(gè)單位；〔2左移EQ\F<2,3>個(gè)單位；〔3先左移1個(gè)單位,再右移4個(gè)單位。3．二次函數(shù)y=a<x－h(huán)>2的圖象如圖：已知a=EQ\F<1,2>,OA＝OC,試求該拋物線的解析式。五、二次函數(shù)的增減性知識點(diǎn)：<1>.,當(dāng)時(shí),隨的增大而減小；當(dāng)時(shí),隨的增大而增大。<2>.,當(dāng)時(shí),隨的增大而增大；當(dāng)時(shí),隨的增大而減小。典型例題：例1：已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象如圖：

〔1求函數(shù)解析式；

〔2寫出對稱軸,回答x為何值時(shí),y隨著x的增大而減少？考點(diǎn)：待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式；二次函數(shù)的性質(zhì)．分析：〔1根據(jù)圖示知函數(shù)經(jīng)過三點(diǎn)：〔-1,0、〔4,0、〔0,-4,將其代入函數(shù)解析式,列出關(guān)于a、b、c的三元一次方程組,然后解方程組即可；

〔2根據(jù)圖象求得該函數(shù)圖象的對稱軸,然后根據(jù)對稱軸、函數(shù)圖象回答問題．解答：解：〔1根據(jù)圖示知,該函數(shù)圖象經(jīng)過點(diǎn)〔-1,0、〔4,0、〔0,-4,

∴二次函數(shù)的解析式是：y=x2-3x-4；

〔2根據(jù)圖象知,二次函數(shù)y=x2-3x-4與x軸的交點(diǎn)是〔-1,0、〔4,0,

∴對稱軸是x=,

∴根據(jù)圖象知,當(dāng)時(shí),y隨著x的增大而減?。c(diǎn)評：本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式、二次函數(shù)的性質(zhì)．解答該題時(shí),采用了"數(shù)形結(jié)合"的數(shù)學(xué)思想,要求學(xué)生具備一定的讀圖能力,能從圖形中尋取關(guān)鍵性信息．例2：〔2010?呼和浩特已知：點(diǎn)A〔x1,y1、B〔x2,y2、C〔x3,y3是函數(shù)圖象上的三點(diǎn),且x1＜0＜x2＜x3則y1、y2、y3的大小關(guān)系是〔A．y1＜y2＜y3B．y2＜y3＜y1C．y3＜y2＜y1D．無法確定考點(diǎn)：反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征．分析：對,由x1＜0＜x2＜x3知,A點(diǎn)位于第二象限,y1最大,第四象限,y隨x增大而增大,y2＜y3,故y2＜y3＜y1．解答：解：∵中k=-3＜0,

∴此函數(shù)的圖象在二、四象限,

∵點(diǎn)A〔x1,y1、B〔x2,y2、C〔x3,y3是函數(shù)圖象上的三點(diǎn),且x1＜0＜x2＜x3,

∴A點(diǎn)位于第二象限,y1＞0,B、C兩點(diǎn)位于第四象限,

∵0＜x2＜x3,∴y2＜y3,

∴y2＜y3＜y1．

故選B．點(diǎn)評：本題考查了反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征,要學(xué)會(huì)比較圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)．學(xué)以致用：1.二次函數(shù)y=3x2－6x+5,當(dāng)x>1時(shí),y隨x的增大而；當(dāng)x<1時(shí),y隨x的增大而；當(dāng)x=1時(shí),函數(shù)有最值是。2.已知函數(shù)y=4x2－mx+5,當(dāng)x>－2時(shí),y隨x的增大而增大；當(dāng)x<－2時(shí),y隨x的增大而減少；則當(dāng)x＝1時(shí),y的值為。3.已知二次函數(shù)y=x2－<m+1>x+1,當(dāng)x≥1時(shí),y隨x的增大而增大,則m的取值范圍是.4.已知二次函數(shù)y=－EQ\F<1,2>x2+3x+EQ\F<5,2>的圖象上有三點(diǎn)A<x1,y1>,B<x2,y2>,C<x3,y3>且3<x1<x2<x3,則y1,y2,y3的大小關(guān)系為.六、二次函數(shù)的平移知識點(diǎn)：只要兩個(gè)函數(shù)的a相同,就可以通過平移重合。將二次函數(shù)一般式化為頂點(diǎn)式y(tǒng)=a<x－h(huán)>2+k,平移規(guī)律：左加右減,對x；上加下減,直接加減,對y。典型例題：例1：〔2012?XX將拋物線y=x2+1先向左平移2個(gè)單位,再向下平移3個(gè)單位,那么所得拋物線的函數(shù)關(guān)系式是〔A．y=〔x+22+2B．y=〔x+22-2C．y=〔x-22+2D．y=〔x-22-2考點(diǎn)：二次函數(shù)圖象與幾何變換．分析：直接根據(jù)"上加下減,左加右減"的原則進(jìn)行解答即可．解答：解：將拋物線y=x2+1先向左平移2個(gè)單位所得拋物線的函數(shù)關(guān)系式是：y=〔x+22+1；

將拋物線y=〔x+22+1向下平移3個(gè)單位所得拋物線的函數(shù)關(guān)系式是：y=〔x+22+1-3,即y=〔x+22-2．

故選B．點(diǎn)評：本題考查的是二次函數(shù)的圖象與幾何變換,熟知函數(shù)圖象平移的法則是解答此題的關(guān)鍵。例2：〔1已知拋物線y=2x2,把它向右平移p個(gè)單位,或向下平移q個(gè)單位,都能使得拋物線與直線y=x-4恰好有一個(gè)交點(diǎn)．求p、q的值；

〔2把拋物線y=2x2向左平移p個(gè)單位,向上平移q個(gè)單位,則得到拋物線經(jīng)過點(diǎn)〔1,3,〔4,9,求p、q的值；

〔3把拋物線y=ax2+bx+c向左平移三個(gè)單位,向下平移兩個(gè)單位后,所得的圖象是經(jīng)過點(diǎn)的拋物線y=ax2,求原二次函數(shù)的解析式．考點(diǎn)：二次函數(shù)圖象與幾何變換．分析：〔1分為將拋物線向右平移和向下平移兩種情況,設(shè)平移后拋物線的解析式,列方程組,消元成一元二次方程,使△=0即可得出答案,

〔2首先得出拋物線y=2x2向左平移p個(gè)單位,向上平移q個(gè)單位后的解析式,再通過經(jīng)過點(diǎn)〔1,3,〔4,9,列方程組求出結(jié)果,

〔3根據(jù)物線y=ax2經(jīng)過點(diǎn)得出解析式,然后逆向推理得出原解析式．解答：解：〔1①當(dāng)拋物線y=2x2向右平移p個(gè)單位時(shí),

得到拋物線解析式為y=2〔x-p2,

聯(lián)立,

消去y,得2x2-〔1+4px+2p2+4,

∵拋物線與直線y=x-4恰好有一個(gè)交點(diǎn),

∴△=〔1+4p2-8〔2p2+4=0,

解得,

②當(dāng)拋物線y=2x2向下平移q個(gè)單位時(shí),

得到拋物線解析式為y=2x2-q,

聯(lián)立,

消去y,得2x2-x+4-q=0,

∵拋物線與直線y=x-4恰好有一個(gè)交點(diǎn),

∴△=〔-12-8〔4-q=0,

解得

故本題答案為：〔2當(dāng)拋物線y=2x2向左平移p個(gè)單位時(shí),

得到拋物線解析式為y=2〔x+p2,

當(dāng)拋物線y=2〔x+p2,向上平移q個(gè)單位時(shí),

得到拋物線解析式為y=2〔x+p2+q,

∵拋物線經(jīng)過點(diǎn)〔1,3,〔4,9,

∴解得：p=-2,q=1,

〔3∵拋物線y=ax2經(jīng)過點(diǎn),

∴拋物線解析式為：,

∵拋物線y=ax2+bx+c向左平移三個(gè)單位,向下平移兩個(gè)單位后得出拋物線解析式,

∴向右平移三個(gè)單位,向上平移兩個(gè)單位即可得出原解析式為：

。點(diǎn)評：本題考查了拋物線的平移的性質(zhì)、拋物線解析式的確定、拋物線與直線交點(diǎn)問題以及解方程組等,綜合性較強(qiáng),難度適中．學(xué)以致用：1.拋物線y=－EQ\F<3,2>x2向左平移3個(gè)單位,再向下平移4個(gè)單位,所得到的拋物線的關(guān)系式為。2.拋物線y=2x2,,可以得到y(tǒng)=2<x+4}2－3。3.將拋物線y=x2+1向左平移2個(gè)單位,再向下平移3個(gè)單位,所得到的拋物線的關(guān)系式為。4.如果將拋物線y=2x2－1的圖象向右平移3個(gè)單位,所得到的拋物線的關(guān)系式為。5.將拋物線y=ax2+bx+c向上平移1個(gè)單位,再向右平移1個(gè)單位,得到y(tǒng)=2x2－4x－1則a＝,b＝,c＝.6.將拋物線y＝ax2向右平移2個(gè)單位,再向上平移3個(gè)單位,移動(dòng)后的拋物線經(jīng)過點(diǎn)<3,－1>,那么移動(dòng)后的拋物線的關(guān)系式為_.七、函數(shù)的交點(diǎn)1.拋物線y=x2+7x+3與直線y=2x+9的交點(diǎn)坐標(biāo)為。2.直線y=7x+1與拋物線y=x2+3x+5的圖象有個(gè)交點(diǎn)。八、函數(shù)的的對稱1.拋物線y=2x2－4x關(guān)于y軸對稱的拋物線的關(guān)系式為。2.拋物線y=ax2+bx+c關(guān)于x軸對稱的拋物線為y=2x2－4x+3,則a=b=c=。九、函數(shù)的圖象特征與a、b、c的關(guān)系典型例題：例1：拋物線y=ax2+bx+c的圖象如圖所示,則a,b,c的符號為〔A．a(chǎn)＜0,b＞0,c=0B．a(chǎn)＜0,b＜0,c＞0C．a(chǎn)＜0,b＜0,c=0D．a(chǎn)＜0,b＞0,c＜0考點(diǎn)：二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系．分析：由拋物線的開口方向判斷a與0的關(guān)系,由拋物線與y軸的交點(diǎn)判斷c與0的關(guān)系,然后根據(jù)對稱軸及拋物線與x軸交點(diǎn)情況進(jìn)行推理,進(jìn)而對所得結(jié)論進(jìn)行判斷．解答：解：由拋物線的開口方向向下可推出a＜0；

由拋物線與y軸的交點(diǎn)為原點(diǎn)可推出c=0；

因?yàn)閷ΨQ軸在y軸左側(cè),對稱軸為x=-,

又∵a＜0,

∴b＜0．

故選C．點(diǎn)評：二次函數(shù)y=ax2+bx+c系數(shù)符號的確定交點(diǎn)．例2：如圖為二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象,在下列說法中：

①abc＞0；

②方程ax2+bx+c=0的根為x1=-1,x2=3；

③a+b+c＞0；

④當(dāng)x＞1時(shí),y隨著x的增大而增大．

正確的說法個(gè)數(shù)是〔A．1B．2C．3D．4考點(diǎn)：二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系．分析：根據(jù)拋物線的開口向上,對稱軸在y軸的右邊,與y軸的交點(diǎn)在y的負(fù)半軸上即可求出a、b、c的正負(fù),即可判斷①；根據(jù)拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)即可判斷②；把x=1代入拋物線即可判斷③；求出拋物線的對稱軸,根據(jù)圖象即可判斷④．解答：解：∵拋物線的開口向上,對稱軸在y軸的右邊,與y軸的交點(diǎn)在y的負(fù)半軸上,

∴,c＜0,

即b＜0,

∴abc＞0,∴①正確；

根據(jù)圖象可知拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是〔-1,0,〔3,0,

∴方程ax2+bx+c=0的根為x1=-1,x2=3,∴②正確；

把x=1代入拋物線得：a+b+c＜0,∴③錯(cuò)誤；

對稱軸是直線x=,

根據(jù)圖象當(dāng)x＞1時(shí),y隨x的增大而增大,∴④正確；

∴正確的個(gè)數(shù)有3個(gè)．

故選C．點(diǎn)評：本題考查了二次函數(shù)與系數(shù)的關(guān)系的應(yīng)用,主要考查學(xué)生對二次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關(guān)系的理解和運(yùn)用,同時(shí)也考查了學(xué)生觀察圖象的能力,本題是一道比較典型的題目,具有一定的代表性,還是一道比較容易出錯(cuò)的題目．學(xué)以致用：1.已知拋物線y=ax2+bx+c的圖象如右圖所示,則a、b、c的符號為〔 A.a>0,b>0,c>0 B.a>0,b>0,c=0 C.a>0,b<0,c=0 D.a>0,b<0,c<0 2.已知拋物線y=ax2+bx+c的圖象如右圖所示,則下列結(jié)論正確的是〔 A．a(chǎn)+b+c>0 B．b>-2a C．a(chǎn)-b+c>0 D．c<03.拋物線y=ax2+bx+c中,b＝4a,它的圖象如右圖,有以下結(jié)論：①c>0；②a+b+c>0③a-b+c>0 ④b2-4ac<0 ⑤abc<0；其中正確的為〔A．①② B．①④ C．①②③ D．①③⑤4.當(dāng)b<0是一次函數(shù)y=ax+b與二次函數(shù)y=ax2+bx+c在同一坐標(biāo)系內(nèi)的圖象可能是〔5.已知二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c,如果a>b>c,且a＋b＋c＝0,則它的圖象可能是圖所示的<>6．二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象如圖所示,那么abc,b2－4ac,2a＋b,a＋b＋c四個(gè)代數(shù)式中,值為正數(shù)的有<> A.4個(gè) B.3個(gè) C.2個(gè) D.1個(gè)7.在同一坐標(biāo)系中,函數(shù)y=ax2+c與y=EQ\F<c,x><a<c>圖象可能是圖所示的<>ABCD8.反比例函數(shù)y=EQ\F<k,x>的圖象在一、三象限,則二次函數(shù)y＝kx2-k2x-1c的圖象大致為圖中的〔ABCD9.反比例函數(shù)y=EQ\F<k,x>中,當(dāng)x>0時(shí),y隨x的增大而增大,則二次函數(shù)y＝kx2+2kx的圖象大致為圖中的〔ABCD10.已知拋物線y＝ax2＋bx＋c<a≠0>的圖象如圖所示,則下列結(jié)論中：正確的個(gè)數(shù)是〔①a,b同號； ②當(dāng)x＝1和x＝3時(shí),函數(shù)值相同；③4a＋b＝0; ④當(dāng)y＝－2時(shí),x的值只能取0； A．1 B．2 C．3 D．411.已知二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c經(jīng)過一、三、四象限〔不經(jīng)過原點(diǎn)和第二象限則直線y＝ax＋bc不經(jīng)過〔 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限十、二次函數(shù)與x軸、y軸的交點(diǎn)〔二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系[回顧與思考]>0＝0<0方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根方程沒有實(shí)數(shù)根拋物物與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)拋物物與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)拋物物與x軸沒有交點(diǎn)韋達(dá)定理：〔二者都可以用典型例題：例1：〔2012?濱州拋物線y=-3x2-x+4與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)是〔A．3B．2C．1D．0考點(diǎn)：拋物線與x軸的交點(diǎn)．分析：令拋物線解析式中x=0,求出對應(yīng)的y的值,即為拋物線與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo),確定出拋物線與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo),令拋物線解析式中y=0,得到關(guān)于x的一元二次方程,求出方程的解有兩個(gè),可得出拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn),綜上,得到拋物線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)．解答：解：拋物線解析式y(tǒng)=-3x2-x+4,

令x=0,解得：y=4,∴拋物線與y軸的交點(diǎn)為〔0,4,

令y=0,得到-3x2-x+4=0,即3x2+x-4=0,

分解因式得：〔3x+4〔x-1=0,

解得：,

∴拋物線與x軸的交點(diǎn)分別為,

綜上,拋物線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為3．

故選A點(diǎn)評：此題考查了拋物線與x軸的交點(diǎn),以及一元二次方程的解法,其中令拋物線解析式中x=0,求出的y值即為拋物線與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)；令y=0,求出對應(yīng)的x的值,即為拋物線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)．例2：〔2000?XX已知：拋物線y=x2+bx+c的頂點(diǎn)坐標(biāo)為〔1,-4,

〔1求拋物線的解析式；

〔2求該拋物線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)．考點(diǎn)：待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式；拋物線與x軸的交點(diǎn)．分析：〔1可利用頂點(diǎn)公式把對應(yīng)的值代入求解,得出a=1,b=-2,c=-3,所以y=x2-2x-3；

〔2當(dāng)y=0時(shí),x2-2x-3=0,解方程可求得與x軸的交點(diǎn)為〔-1,0,〔3,0；當(dāng)x=0時(shí),y=-3,即求得與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為〔0,-3．解答：解：〔1∵拋物線y=x2+bx+c的頂點(diǎn)坐標(biāo)為〔1,-4

∴∵a=1

∴b=-2,c=-3

∴y=x2-2x-3

〔2當(dāng)y=0時(shí),x2-2x-3=0,解得x1=-1,x2=3,即與x軸的交點(diǎn)為〔-1,0,〔3,0

當(dāng)x=0時(shí),y=-3,即與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為〔0,-3．點(diǎn)評：主要考查了二次函數(shù)解析式中系數(shù)與頂點(diǎn)之間的關(guān)系和二次函數(shù)與一元二次方程之間的關(guān)系．要掌握頂點(diǎn)公式和利用解析式求坐標(biāo)軸的交點(diǎn)的方法．學(xué)以致用：如果二次函數(shù)y＝x2＋4x＋c圖象與x軸沒有交點(diǎn),其中c為整數(shù),則c＝〔寫一個(gè)即可二次函數(shù)y＝x2-2x-3圖象與x軸交點(diǎn)之間的距離為拋物線y＝－3x2＋2x－1的圖象與x軸交點(diǎn)的個(gè)數(shù)是<>A.沒有交點(diǎn)B.只有一個(gè)交點(diǎn)C.有兩個(gè)交點(diǎn)D.有三個(gè)交點(diǎn)如圖所示,二次函數(shù)y＝x2－4x＋3的圖象交x軸于A、B兩點(diǎn),交y軸于點(diǎn)C,則△ABC的面積為<> A.6B.4 C.3D.1已知拋物線y＝5x2＋<m－1>x＋m與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)在y軸同側(cè),它們的距離平方等于為EQ\F<49,25>,則m的值為<> A.－2 B.12 C.24 D.48若二次函數(shù)y＝<m+5>x2+2<m+1>x+m的圖象全部在x軸的上方,則m的取值范圍是已知拋物線y＝x2-2x-8,〔1求證：該拋物線與x軸一定有兩個(gè)交點(diǎn)；〔2若該拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)為A、B,且它的頂點(diǎn)為P,求△ABP的面積。十一、函數(shù)解析式的求法〔一、已知拋物線上任意三點(diǎn)時(shí),通常設(shè)解析式為一般式y(tǒng)=ax2+bx+c,然后解三元方程組求解；[例1]：圖像經(jīng)過〔1,-4,〔-1,0,〔-2,5,求二次函數(shù)的解析式。[解析]：設(shè)二次函數(shù)的解析式為：,依題意得：解得：學(xué)以致用：1．已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過A〔0,3、B〔1,3、C〔－1,1三點(diǎn),求該二次函數(shù)的解析式。2．已知拋物線過A〔1,0和B〔4,0兩點(diǎn),交y軸于C點(diǎn)且BC＝5,求該二次函數(shù)的解析式?！捕?、已知拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo),或拋物線上縱坐標(biāo)相同的兩點(diǎn)和拋物線上另一點(diǎn)時(shí),通常設(shè)解析式為頂點(diǎn)式：y=a<x－h(huán)>2+k求解。[例2]：圖象頂點(diǎn)是〔-2,3,且過〔-1,5,求二次函數(shù)的解析式。[解析]：設(shè)二次函數(shù)解析式為：y=a<x–h>2+k,圖象頂點(diǎn)是〔-2,3h=-2,k=3,依題意得：5=a<-1+2>2+3,解得：a=2y=2<x+2>2+3=學(xué)以致用：3．已知二次函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為〔1,－6,且經(jīng)過點(diǎn)〔2,－8,求該二次函數(shù)的解析式。4．已知二次函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為〔1,－3,且經(jīng)過點(diǎn)P〔2,0點(diǎn),求二次函數(shù)的解析式?！踩?、已知拋物線與軸的交點(diǎn)的坐標(biāo)時(shí),通常設(shè)解析式為交點(diǎn)式y(tǒng)=a<x－x1><x－x2>。[例2]：圖像與x軸交于〔-2,0,〔4,0兩點(diǎn),且過〔1,-,求二次函數(shù)的解析式。[解析]：設(shè)二次函數(shù)解析式為：y=a<x–><x–>．圖像與x軸交于〔-2,0,〔4,0兩點(diǎn),=-2,=4依題意得：-=a<1+2><1–4>a=y=<x+2><x–4>=．學(xué)以致用：5．二次函數(shù)的圖象經(jīng)過A〔－1,0,B〔3,0,函數(shù)有最小值－8,求該二次函數(shù)的解析式。6．已知x＝1時(shí),函數(shù)有最大值5,且圖形經(jīng)過點(diǎn)〔0,－3,則該二次函數(shù)的解析式。7．拋物線y=2x2+bx+c與x軸交于〔－1,0、〔3,0,則b＝,c＝.8．已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與x軸交于<2,0>、〔4,0,頂點(diǎn)到x軸的距離為3,求函數(shù)的解析式。9．y=－x2+2<k－1>x+2k－k2,它的圖象經(jīng)過原點(diǎn),求①解析式②與x軸交點(diǎn)O、A及頂點(diǎn)C組成的△OAC面積。10．拋物線y=<k2－2>x2+m－4kx的對稱軸是直線x=2,且它的最低點(diǎn)在直線y=－EQ\F<1,2>x+2上,求函數(shù)解析式。十二、二次函數(shù)應(yīng)用1、面積問題,主要利用各種圖形的面積公式,如三角形面積＝底2、利潤問題：利潤＝銷量〔售價(jià)－進(jìn)價(jià)－其他〔一、二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用——利潤最大<小>值問題知識要點(diǎn)：定價(jià)；〔商品調(diào)價(jià)；商品銷售量1；銷售量變化率;其他成本。單價(jià)商品利潤=商品定價(jià)－商品售價(jià)1△〔價(jià)格變動(dòng)量=商品定價(jià)－商品售價(jià)2〔或者直接等于商品調(diào)價(jià)；銷售量變化率=銷售變化量÷引起銷售量變化的單位價(jià)格；商品總銷售量=商品銷售量1±△×銷售量變化率；總利潤〔W=單價(jià)商品利潤×總銷售量－其他成本[例1]：某商品現(xiàn)在的售價(jià)為每件60元,每星期可賣出300件,市場調(diào)查反映：每漲價(jià)1元,每星期少賣出10件；每降價(jià)1元,每星期可多賣出20件,已知商品的進(jìn)價(jià)為每件40元,如何定價(jià)才能使利潤最大？解：設(shè)漲價(jià)〔或降價(jià)為每件元,利潤為元,為漲價(jià)時(shí)的利潤,為降價(jià)時(shí)的利潤則：當(dāng),即：定價(jià)為65元時(shí),〔元當(dāng),即：定價(jià)為57.5元時(shí),〔元綜合兩種情況,應(yīng)定價(jià)為65元時(shí),利潤最大．學(xué)以致用：1．某商店購進(jìn)一批單價(jià)為20元的日用品,如果以單價(jià)30元銷售,那么半個(gè)月內(nèi)可以售出400件．根據(jù)銷售經(jīng)驗(yàn),提高單價(jià)會(huì)導(dǎo)致銷售量的減少,即銷售單價(jià)每提高1元,銷售量相應(yīng)減少20件．如何提高售價(jià),才能在半個(gè)月內(nèi)獲得最大利潤？2．某旅行社組團(tuán)去外地旅游,30人起組團(tuán),每人單價(jià)800元．旅行社對超過30人的團(tuán)給予優(yōu)惠,即旅行團(tuán)每增加一人,每人的單價(jià)就降低10元．你能幫助分析一下,當(dāng)旅行團(tuán)的人數(shù)是多少時(shí),旅行社可以獲得最大營業(yè)額？x〔元152030…y〔件252010…3.某產(chǎn)品每件成本10元,試銷階段每件產(chǎn)品的銷售價(jià)<元>與產(chǎn)品的日銷售量<件>之間的關(guān)系如下表：若日銷售量是銷售價(jià)的一次函數(shù)．⑴求出日銷售量<件>與銷售價(jià)<元>的函數(shù)關(guān)系式；⑵要使每日的銷售利潤最大,每件產(chǎn)品的銷售價(jià)應(yīng)定為多少元？此時(shí)每日銷售利潤是多少元？[點(diǎn)評]解決最值問題應(yīng)用題的思路與一般應(yīng)用題類似,也有區(qū)別,主要有兩點(diǎn)：⑴在"當(dāng)某某為何值時(shí),什么最大<或最小、最省>"的設(shè)問中,"某某"要設(shè)為自變量,"什么"要設(shè)為函數(shù)；⑵求解方法是依靠配方法或最值公式,而不是解方程．4．〔2006XX市市"健益"超市購進(jìn)一批20元/千克的綠色食品,如果以30元/千克銷售,那么每天可售出400千克．由銷售經(jīng)驗(yàn)知,每天銷售量<千克>與銷售單價(jià)<元><存在如下圖所示的一次函數(shù)關(guān)系式．⑴試求出與的函數(shù)關(guān)系式；⑵設(shè)"健益"超市銷售該綠色食品每天獲得利潤P元,當(dāng)銷售單價(jià)為何值時(shí),每天可獲得最大利潤？最大利潤是多少？⑶根據(jù)市場調(diào)查,該綠色食品每天可獲利潤不超過4480元,現(xiàn)該超市經(jīng)理要求每天利潤不得低于4180元,請你幫助該超市確定綠色食品銷售單價(jià)的范圍<直接寫出答案>．5．〔2006年XX市在2006年XX嶗山北宅櫻桃節(jié)前夕,某果品批發(fā)公司為指導(dǎo)今年的櫻桃銷售,對往年的市場銷售情況進(jìn)行了調(diào)查統(tǒng)計(jì),得到如下數(shù)據(jù)：銷售價(jià)x〔元/千克…25242322…銷售量y〔千克…2000250030003500…〔1在如圖的直角坐標(biāo)系內(nèi),作出各組有序數(shù)對〔x,y所對應(yīng)的點(diǎn)．連接各點(diǎn)并觀察所得的圖形,判斷y與x之間的函數(shù)關(guān)系,并求出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；〔2若櫻桃進(jìn)價(jià)為13元/千克,試求銷售利潤P〔元與銷售價(jià)x〔元/千克之間的函數(shù)關(guān)系式,并求出當(dāng)x取何值時(shí),P的值最大？6．有一種螃蟹,從海上捕獲后不放養(yǎng),最多只能存活兩天．如果放養(yǎng)在塘內(nèi),可以延長存活時(shí)間,但每天也有一定數(shù)量的蟹死去．假設(shè)放養(yǎng)期內(nèi)蟹的個(gè)體質(zhì)量基本保持不變,現(xiàn)有一經(jīng)銷商,按市場價(jià)收購這種活蟹1000kg放養(yǎng)在塘內(nèi),此時(shí)市場價(jià)為每千克30元,據(jù)測算,此后每千克活蟹的市場價(jià)每天可上升1元,但是,放養(yǎng)一天需支出各種費(fèi)用為400元,且平均每天還有10kg蟹死去,假定死蟹均于當(dāng)天全部銷售出,售價(jià)都是每千克20元．<1>設(shè)x天后每千克活蟹的市場價(jià)為p元,寫出p關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；<2>如果放養(yǎng)x天后將活蟹一次性出售,并記1000kg蟹的銷售總額為Q元,寫出Q關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式．<3>該經(jīng)銷商將這批蟹放養(yǎng)多少天后出售,可獲最大利潤<利潤=Q－收購總額>？7．<2008XXXX>為了落實(shí)國務(wù)院副總理李克強(qiáng)同志到XX考察時(shí)的指示精神,最近,州委州政府又出臺了一系列"三農(nóng)"優(yōu)惠政策,使農(nóng)民收入大幅度增加．某農(nóng)戶生產(chǎn)經(jīng)銷一種農(nóng)副產(chǎn)品,已知這種產(chǎn)品的成本價(jià)為20元/千克．市場調(diào)查發(fā)現(xiàn),該產(chǎn)品每天的銷售量ｗ<千克>與銷售價(jià)ｘ<元/千克>有如下關(guān)系：ｗ=－2ｘ＋80．設(shè)這種產(chǎn)品每天的銷售利潤為ｙ<元>．<1>求ｙ與ｘ之間的函數(shù)關(guān)系式；<2>