單擺控制與仿真

1引言在機(jī)械系統(tǒng)中，單擺運(yùn)動(dòng)是一種典型而具有代表性的運(yùn)動(dòng)之一，長(zhǎng)期以來(lái)人們對(duì)單擺運(yùn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)方程以及周期公式都進(jìn)行了大量的研究，對(duì)于有阻力的單擺運(yùn)動(dòng)的認(rèn)識(shí)也一步步加深．然而，對(duì)于單擺運(yùn)動(dòng)的跟蹤與控制，往往接觸的很少．為了使兩個(gè)不同系統(tǒng)的單擺實(shí)現(xiàn)同步跟蹤，尋求控制力的控制規(guī)律以及最優(yōu)解，本文在合理的假設(shè)下，針對(duì)該問(wèn)題，建立了單擺追蹤的模型．并利用線性系統(tǒng)的漸進(jìn)穩(wěn)定性原理及狀態(tài)反饋控制對(duì)模型進(jìn)行了求解，得出單擺控制力的最優(yōu)解力，然后利用數(shù)學(xué)軟件MATLAB進(jìn)行了單擺運(yùn)動(dòng)的仿真模擬．2預(yù)備知識(shí)——線性系統(tǒng)的漸近穩(wěn)定性2．12．1線性系統(tǒng)狀態(tài)空間的基本概念．狀態(tài):表征系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的信息和行為．．狀態(tài)變量：完全表征系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的最小一組變量．?狀態(tài)向量：設(shè)系統(tǒng)有n個(gè)狀態(tài)變量，用X(t),X(t),…,X(t)表示，而且把這些狀態(tài)變1 2 n量看做向量X(t)的分量，則向量X(t)稱(chēng)為狀態(tài)向量，記為X=[x,X，…,X]r?1 2 n.狀態(tài)空間：以n個(gè)狀態(tài)變量作為坐標(biāo)軸所組成的n維空間.?狀態(tài)方程：描述系統(tǒng)狀態(tài)變量與輸入變量之間關(guān)系的一階微分方程組(連續(xù)時(shí)間系統(tǒng))或一階差分方程組(離散時(shí)間系統(tǒng))稱(chēng)為系統(tǒng)的狀態(tài)方程，它表征了輸入對(duì)內(nèi)部狀態(tài)的變換過(guò)程，其一般形式為：X(t)=f[x(t),u(t),t_,其中，t是時(shí)間變量，u(t)是輸入變量.輸出方程：描述系統(tǒng)輸出量與系統(tǒng)狀態(tài)變量和輸入變量之間函數(shù)關(guān)系的代數(shù)方程稱(chēng)為輸出方程，它表征了系統(tǒng)內(nèi)部狀態(tài)變化和輸入所引起的系統(tǒng)輸出變換，是一個(gè)變化過(guò)程?輸出方程的一般形式為：y(t)=gx(t),u(t),t?狀態(tài)空間表達(dá)式：狀態(tài)方程與輸出方程的組合稱(chēng)為狀態(tài)空間表達(dá)式，也稱(chēng)動(dòng)態(tài)方程，它表征一個(gè)系統(tǒng)完整的動(dòng)態(tài)過(guò)程，其一般形式為：X(t)=f[x(t),u(t),ty(t)=g[x(t),u(t),t通常，對(duì)于線性定常系統(tǒng)，狀態(tài)方程為X=Ax+BuV ,y=Cx+Du其中，x=(x,x,???x)T表示n維狀態(tài)向量，A=C)GRnxn表示系統(tǒng)內(nèi)部狀態(tài)的系數(shù)矩陣,12 n ijnxn稱(chēng)為系統(tǒng)矩陣A,B=()GRnxr表示輸入對(duì)狀態(tài)作用的矩陣，稱(chēng)為輸入(或控制)矩nxn ijnxr陣B，C=(C)GRmxn表示輸出對(duì)狀態(tài)關(guān)系的矩陣，稱(chēng)為輸出矩陣C，nxr ijmxn mxnD=C)GRmxr表示輸入直接對(duì)輸出作用的矩陣，稱(chēng)為直接轉(zhuǎn)移矩陣D，也稱(chēng)前饋系ijmxr mxr數(shù)矩陣．A由系統(tǒng)內(nèi)部結(jié)構(gòu)及其參數(shù)決定，體現(xiàn)了系統(tǒng)內(nèi)部的特性，而B(niǎo)則主要體現(xiàn)了系統(tǒng)輸入的施加情況，通常情況下D二0?2．2線性定常連續(xù)系統(tǒng)的能控性定義2.1設(shè)x=Ax+Bu(xgRn,ugRp,AgRnJ,若存在一分段連續(xù)控制向量u(t),能在「t,t］內(nèi)，將系統(tǒng)從任意的初態(tài)x(t)轉(zhuǎn)移至任意終態(tài)x(t)，則系統(tǒng)完全能控.0f0f定理2.1系統(tǒng)完全能控的充要條件：rankSc-n,其中，Sc-［B,AB,…,An-iB］，稱(chēng)為能控矩陣.2.3線性狀態(tài)反饋控制律線性狀態(tài)反饋控制律為u-V-Kx式中，V是參考輸入，KGRpxn稱(chēng)為狀態(tài)反饋增益矩陣?系統(tǒng)動(dòng)態(tài)方程變?yōu)椋篔x-(A-BK)x+BVjy=(C-DK)x+DV'當(dāng)D-0時(shí)x-(A-BK)x+BV,y-Cx,式中,A-BV為閉環(huán)系統(tǒng)的系統(tǒng)矩陣?閉環(huán)傳遞函數(shù)和特征方程為卜I-A+BK|-0?2.4線性系統(tǒng)穩(wěn)定性以及漸進(jìn)穩(wěn)定性理論穩(wěn)定性基本概念--平衡狀態(tài)

自治系統(tǒng)：輸入為0的系統(tǒng) X=Ax+Bu(u=0).初態(tài)X=/(x,T)的解為x(T,x,T)?00平衡狀態(tài)：X=/(X,t)=0XT系統(tǒng)的平衡狀態(tài).e e e李雅普諾夫意義下的穩(wěn)定及漸進(jìn)穩(wěn)定穩(wěn)定：如果對(duì)每個(gè)實(shí)數(shù)e>0都對(duì)應(yīng)存在另一個(gè)實(shí)數(shù)5(e,t°)>0滿(mǎn)足||x°-x||<5(e,t°)其中有：[x,X，…X]r10 20 n0[x,X，…X]r10 20 n01e2e ne且lim||x（t,x,t）-x||<et-g漸近穩(wěn)定：t>t則稱(chēng)0X是李氏意義下的穩(wěn)定.5與t無(wú)關(guān)n一致穩(wěn)定.e0是李氏意義下的穩(wěn)定；lim”x(t,x,t)-x||f0tfg 00 e大范圍內(nèi)漸進(jìn)穩(wěn)定性5與t無(wú)關(guān)n一致漸進(jìn)穩(wěn)定；0對(duì)Vxgs（5）5f0都有l(wèi)im”x（t,x,t）-x||f0

0 tfg 00 exllfgnx大范圍穩(wěn)定.e定理2?2[1]對(duì)n維連續(xù)線性系統(tǒng)，系統(tǒng)內(nèi)部穩(wěn)定即漸進(jìn)穩(wěn)定的充分必要條件為系統(tǒng)矩陣A所有特征值九（A）,I=1,2,...,n均有負(fù)實(shí)部即成立iRe{x（A）}<0,1=1,2,...,n.i3單擺運(yùn)動(dòng)問(wèn)題的提出對(duì)于單擺系統(tǒng)，擺球的初始狀態(tài)、質(zhì)量、擺長(zhǎng)都影響著單擺的周期，對(duì)兩個(gè)受空氣阻力的單擺系統(tǒng)中的一個(gè)加以控制，使兩個(gè)單擺系統(tǒng)的擺角漸近相等．此問(wèn)題的關(guān)鍵在于使兩個(gè)系統(tǒng)的擺角之間的誤差趨向于零，運(yùn)用線性系統(tǒng)的漸進(jìn)穩(wěn)定原理，建立模型，并利用數(shù)學(xué)軟件MATLAB進(jìn)行了單擺運(yùn)動(dòng)的仿真模擬．研究此問(wèn)題的具體要求：1）兩個(gè)單擺系統(tǒng)的擺球的初始狀態(tài)、質(zhì)量、擺長(zhǎng)各不相同；2）對(duì)其中一個(gè)加以控制力；3）利用數(shù)學(xué)軟件MATLAB對(duì)得到的控制律進(jìn)行仿真，得出其圖像.4問(wèn)題分析與模型建立4.1單擺跟蹤問(wèn)題分析現(xiàn)有兩個(gè)單擺系統(tǒng)，如圖4-1所示，擺球質(zhì)量分別為m、m，擺長(zhǎng)分別為1、4問(wèn)題分析與模型建立4.1單擺跟蹤問(wèn)題分析現(xiàn)有兩個(gè)單擺系統(tǒng)，如圖4-1所示，擺球質(zhì)量分別為m、m，擺長(zhǎng)分別為1、l，擺r r球的初始狀態(tài)與豎直方向的夾角為0、0，根據(jù)單擺的性質(zhì)可知，兩個(gè)單擺系統(tǒng)的擺角不r相等，在單擺4-1中施加一個(gè)控制力u，使兩個(gè)單擺達(dá)到漸進(jìn)跟蹤，即0與0之差趨向于0?r對(duì)單擺系統(tǒng)進(jìn)行受力分析，可知對(duì)于擺球m有運(yùn)動(dòng)方程u-mgsinO=ma (1)又有aU=31 w=0可知整理可知a=010=-—sin0+—1 ml(2)圖4-1單擺跟蹤系統(tǒng)對(duì)于擺球m，有運(yùn)動(dòng)方程(3)r(3)mgsin0=ma,r r rra=U Ua=U U=31w=0,rr r rr r r??

a=01,r rr可知整理推得0=-gsin0 .r1rr4.2單擺跟蹤問(wèn)題模型的建立令0=x,i0=x，再代入（2）式得狀態(tài)方程2再令設(shè)則可知x=x12?g? ux= sinxH I2l1ml9=x再代入（4）式得狀態(tài)方程r 2rx=x1r 2r.g?x=一一sinx2rl 1rz=9一91rz=0-0=x—x2 r 2 2rg?g?

=——sinx+sinxlilirru=uHu，12+——ml.g.g. u+uz=—2sinx+sinx+ 2l1l 1r mlrug?g?片=sinx—sinx,u=—kz—kz

mll 1l 1r 2 11 22r并代入（7）（8）式整理得z=z12._1?

z u〔2ml2狀態(tài)方程如下（z1Iz、2八z2丿若使得當(dāng)時(shí)間tfg時(shí)，zt0,即兩個(gè)單擺系統(tǒng)的擺角差逐漸趨向于0,1擺系統(tǒng)的漸進(jìn)跟蹤?（5）（6）（7）（8）（9）（10）則達(dá)到了不同單5單擺跟蹤問(wèn)題控制器設(shè)計(jì)5．1單擺跟蹤問(wèn)題能控性的檢測(cè)方程（10）可以轉(zhuǎn)化為z=Az+Bu?11)其中Af0、B= 1 ,則能控矩陣Iml丿0Sr=[bAB]=1ml0rankSc=2，由定理1可知該系統(tǒng)完全能控.5．2單擺跟蹤問(wèn)題控制器的設(shè)計(jì)針對(duì)單擺跟蹤系統(tǒng)，不涉及最優(yōu)解，則控制器的設(shè)計(jì)實(shí)質(zhì)上就是該系統(tǒng)穩(wěn)定性的分析?現(xiàn)令u=-kz，代入（11）式整理可得z=Az，其中12)k=(k,k),A=A-Bk=r01、r0、1(kk)=r0k1]k12V0 0丿Vml丿12vmlml丿對(duì)微分方程（12）求解，有z（t）=eAC-tdz（t）?0現(xiàn)驗(yàn)證通過(guò)調(diào)節(jié)k的取值，可使A有具有負(fù)實(shí)部的特征值.因?yàn)閞iV01]rX—1]k—kkcJml丿Vml ml丿0kml所以有2ml丿+丄二0,ml利用求根公式求得k—^2+aml九= 1V不妨設(shè)九=-1,12-4丄ml15)k—^2—

ml九= 22-4丄ml九=—2,代入(15)可以求的k二2ml,k二3ml,即當(dāng)k二2ml,k二3ml時(shí),21212A有具有負(fù)實(shí)部的特征值.根據(jù)定理2可知，此系統(tǒng)漸進(jìn)穩(wěn)定.6單擺跟蹤問(wèn)題的仿真與動(dòng)態(tài)模擬1gL-Or-1匚 11gL-Or-1匚 1224 5 3Titp(Rj''3 3^0」口」』20.C匚-1-I.C匸 1」口」』20.C匚-1-I.C匸 12 u4 j □Time(Se:;Zi E) "0二E匚4匚L二E匚4匚L-7r匚 12 34 5 5Time(Se;：3 3 '0圖6.1單擺跟蹤系統(tǒng)仿真結(jié)果圖基于系統(tǒng)（5）和（6）,假設(shè)兀0(t)=cost-

r3狀態(tài)反饋控制律ru=u+u=mlu=u+u=ml12-kz-kz1122—sinx一一sinx

(l1l1rr初值兀 兀0(0)=-y，0(0)=字4r3參數(shù)m=1kg，g=9.8N/kg，l二1m，l=1.5m，k=40，k=35-r12上圖說(shuō)明跟蹤誤差可漸進(jìn)調(diào)節(jié)到0．[2][3]7結(jié)束語(yǔ)單擺跟蹤系統(tǒng)作為動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)，往往表現(xiàn)出強(qiáng)非線性、不定量性、模型不精確或模型未知等復(fù)雜特征，其控制也因此而變得有些困難．本文中單擺跟蹤系統(tǒng)的控制模型是在一些比較合理的變量轉(zhuǎn)化下建立的線性模型，這避免不了與實(shí)際情況有一些差異．但總的來(lái)說(shuō)是比較合理的，模型的建立和仿真模擬與實(shí)際也比較接近了．當(dāng)然針對(duì)單擺跟蹤的模型，我們也可以建立擺長(zhǎng)相等的不同單擺系統(tǒng)的跟蹤模型，與本文所建立的模型進(jìn)行比較分析．為進(jìn)一步