高考數(shù)學重點難點13數(shù)列的通項與求和

高中數(shù)學難點13數(shù)列的通項與求和

數(shù)列是函數(shù)概念的繼續(xù)和延伸，數(shù)列的通項公式及前n項和公式都可以看作項數(shù)n的函

數(shù)，是函數(shù)思想在數(shù)列中的應用.數(shù)列以通項為綱，數(shù)列的問題，最終歸結為對數(shù)列通項的

研究，而數(shù)列的前〃項和S”可視為數(shù)列｛S“｝的通項。通項及求和是數(shù)列中最基本也是最重要

的問題之與數(shù)列極限及數(shù)學歸納法有著密切的聯(lián)系，是高考對數(shù)列問題考查中的熱點，

本點的動態(tài)函數(shù)觀點解決有關問題，為其提供行之有效的方法.

?難點磁場

(★★★★★曠設｛為｝是正數(shù)組成的數(shù)列，其前n項和為S?,并且對于所有的自然數(shù)〃，

?！芭c2的等差中項等于S”與2的等比中項.

(1)寫出數(shù)列｛”“｝的前3項.

(2)求數(shù)列｛a,,｝的通項公式(寫出推證過程)

(3)令+2-)(“6N"),求lim(,b\+b2+b3+—+bn—ri).

2anan+i28

?案例探究

［例1］已知數(shù)列｛%｝是公差為d的等差數(shù)列，數(shù)列｛兒｝是公比為q的(qdR且qWl)

的等比數(shù)列，若函數(shù)7(X)=(X—if,且刁儂-1),03;挑此1)，仇刁(4+1)，必力0—1)，

⑴求數(shù)列｛%｝和｛b“｝的通項公式;

⑵設數(shù)列&｝的前〃項和為S,”對一切〃GN*,都有?+?+…+'=%成立，求

3b2

命題意圖：本題主要考查等差、等比數(shù)列的通項公式及前〃項和公式、數(shù)列的極限，以

及運算能力和綜合分析問題的能力.屬★★★★★級題目.

知識依托：本題利用函數(shù)思想把題設條件轉化為方程問題非常明顯，而(2)中條件等式

的左邊可視為某數(shù)列前n項和，實質上是該數(shù)列前n項和與數(shù)列｛6｝的關系，借助通項與前

n項和的關系求解c,是該條件轉化的突破口.

錯解分析：本題兩問環(huán)環(huán)相扣，(1)問是基礎，但解方程求基本量0、6、d、q,計算

不準易出錯；(2)問中對條件的正確認識和轉化是關鍵.

技巧與方法：本題(1)問運用函數(shù)思想轉化為方程問題，思路較為自然，(2)問“借雞生

蛋”構造新數(shù)列｛4,｝,運用和與通項的關系求出4,絲絲入扣.

解：(1)'."|=/口-1)=3—2)2,&3=/3+1)才,

(73-。?=』一(d-2y=2d,

2

d=2,；.<7“=ai+(〃-1)公2(〃-1)；又/>IR(4+1)=4\b3=f(q—1)=(q-2),

~義―=q\山夕eR,且1>得q=~2,

b\q

n]

bn=h?q=4?(—2)"'

(2)令鄉(xiāng)=乩，則d\+d2+,??+dn=an+],(wN*),

,?d而a〃+\-?！?2,

，3二2,即c〃=2?“產8?(―2)”一；.??S,產g[1—(-2)M].

bn3

.52n+11-(-2嚴?(一步+252?+1_

??——=------?*=------:---------Jim——=一'

3

［例2］設4為數(shù)列｛〃〃｝的前〃項和，4尸］3〃-1），數(shù)列｛6〃｝的通項公式為“尸4〃+3;

（1）求數(shù)列｛□〃｝的通項公式；

（2）把數(shù)列｛四｝與｛6〃｝的公共項按從小到大的順序排成一個新的數(shù)列，證明：數(shù)列｛4｝的

通項公式為乩=3加1;

（3）設數(shù)列｛"“｝的第n項是數(shù)列｛?。械牡诎隧?，以為數(shù)列也,｝的前r項的和；D,為數(shù)列

｛4｝的前n項和，T,=B,—Dn，求Jim.

"T8（%）

命題意圖：本題考查數(shù)列的通項公式及前〃項和公式及其相互關系；集合的相關概念,

數(shù)列極限，以及邏輯推理能力.

知識依托：利用項與和的關系求?！笆潜绢}的先決；（2）問中探尋｛%｝與｛%｝的相通之處，

須借助于二項式定理；而（3）問中利用求和公式求和則是最基本的知識點.

錯解分析：待證通項d,R22與團的共同點易被忽視而寸步難行；注意不到/■與〃的關

系，使7“中既含有〃，又含有尸，會使所求的極限模糊不清.

技巧與方法：（1）問中項與和的關系為常規(guī)方法，（2）問中把3拆解為4-1,再利用二項

式定理，尋找數(shù)列通項在形式上相通之處堪稱妙筆；（3）問中挖掘出n與r的關系，正確表

示反，問題便可迎刃而解.

3,3

解：（1）由1），可知4+1=；（即111），

22

.'.a?+i—an=—3”+|一四),即凹四＞=3,而。|=小=。(a,—1),得。尸3,所以數(shù)列是以3

2??2

為首項，公比為3的等比數(shù)列，數(shù)列{小}的通項公式％=3".

(2)V32n+1=3?3竊=3?(4-1產=3?[V'+C；,,?4?|(—1)+…+C#?4?(—1)+(-1產]

=4/7+3,

.?.3叫16體}.而數(shù)32"=(4—I)2"=42"+C；“?4?(-1)+(—1產=(4%+1),

.,?32ng{M，而數(shù)列g”}=3向}U{%},."“=32叫

(3)由3?川=4?r+3,可知=----—,

4

.??B產“7+4〃+3)=+32w+1-332w+l+72L.(1_9〃)=2(9〃-1),

242H1-98

=?3"'_3,32"+：,(/)4=34",

9

8

?錦囊妙計

1.數(shù)列中數(shù)的有序性是數(shù)列定義的靈魂，要注意辨析數(shù)列中的項與數(shù)集中元素的異同.

因此在研究數(shù)列問題時既要注意函數(shù)方法的普遍性，又要注意數(shù)列方法的特殊性.

Sn=1

2.數(shù)列｛a“｝前〃項和S”與通項％的關系式：a,,=-P

3.求通項常用方法

①作新數(shù)列法.作等差數(shù)列與等比數(shù)列.

②累差疊加法.最基本形式是:i+a”-2)+…+(。2—。1)+<2|.

③歸納、猜想法.

4.數(shù)列前n項和常用求法

①重要公式

1+2+,,?+?=—〃(〃+1)

/+22+…(〃+1)(2〃+1)

13+23+,"+/73=(1+2+…+〃尸=—/(〃+1)

4

②等差數(shù)列中Sm+n=Sm+S?+mnd,等比數(shù)列中Sm+?=S?+q"Sm=Sm+q"'Sn.

③裂項求和：將數(shù)列的通項分成兩個式子的代數(shù)和，即?！?/(〃+然后累加時抵

消中間的許多項.應掌握以下常見的裂項：

(M+1)!〃！(〃+1)!

④錯項相消法

⑤并項求和法

數(shù)列通項與和的方法多種多樣，要視具體情形選用合適方法.

?殲滅難點訓練

一、填空題

1.(★★★★★)設z”=(——(〃6N"),記S“=II+Iz

2

則limS?=.

2.(*****M乍邊長為“的正三角形的內切圓，在這個圓內作新的內接正三角形，在

新的正三角形內再作內切圓，如此繼續(xù)下去，所有這些圓的周長之和及面積之和分別為

二、解答題

2

3.(***初數(shù)列｛<7"｝滿足。1=2,對于任意的“6N*都有4J?>0,K(M+1)<7?+<7?,an+\—

〃%2=0,又知數(shù)列也｝的通項為b,,=2n-'+\.

(1)求數(shù)列｛為｝的通項勾,及它的前n項和S”；

(2)求數(shù)列｛①｝的前〃項和

(3)猜想S,與T”的大小關系，并說明理由.

4.(★★★★)數(shù)列｛斯｝中，“1=8,44=2且滿足<7?+2=2a?+i—a?,(wGN).

(1)求數(shù)列｛a“｝的通項公式；

(2)設S?=IaiI+II+,"+Ia”I,求S?;

(3)設b?----------(〃GN*),7.=bi+&+....+4,(〃GN*),是否存在最大的整數(shù)m,使得對

”(12-%)

任意〃GN*均有乙>2■成立？若存在，求出加的值；若不存在，說明理由.

32

5.*****)設數(shù)列｛斯｝的前n項和為S,,,且S”=(m+1)一對任意正整數(shù)n都成立,

其中，〃為常數(shù)，且加<—1.

(1)求證：｛4｝是等比數(shù)列；

(2)設數(shù)列｛為｝的公比數(shù)列｛/>〃｝滿足：仇=^。1,6行/(與一|)(〃㈢2,"￡1^*).試問當m

為何值時，limSa/g/Xlim^｛b｝b2+與&+…+”,-也)成立？

H—>a>"—>8

★★汜知數(shù)列也｝是等差數(shù)列,*1,仇+慶+…+仇0=145.

(1)求數(shù)列｛兒｝的通項兒；

(2)設數(shù)列｛斯｝的通項斯=1<^“(1+-!-)(其中a>Q且&N1),記S“是數(shù)列｛%｝的前n項和，

b,

試比較&與1log力前的大小，并證明你的結論.

7.(*****)設數(shù)列｛%｝的首項a,=l,前n項和S”滿足關系式：36“一(2/+3周一尸3/(/

>0,〃=2,3,4…).

(1)求證：數(shù)列｛冊｝是等比數(shù)列；

(2)設數(shù)列｛%｝的公比為/(/),作數(shù)列｛“J,使方產1,仇,=八」一)(〃=2,3,4…)，求數(shù)列｛/>“｝的

hn-\

通項b?-.

(3)求和:b\b2~b2b3+b3b4----g2〃一b2nb2n+1.

參考答案

難點磁場

解析：⑴由題意，當〃=1時，有&1工=2何，S尸a]，

；2=2^^,解得0=2.當〃=2時，有色；2=,$2=。|+。2，將。產2代入，

整理得(。212)2=16,由。2>0，解得。2=6.當77=3時，有"^一二12s3,53=。]+。2+。3,將。1=2,

。2=6代入，整理得(的-2)2=64,由〃3>0，解得。3=10.故該數(shù)列的前3項為2,6,10.

(2)解法一：由(1)猜想數(shù)列｛恁｝.有通項公式%=4〃-2.下面用數(shù)學歸納法證明｛%｝的通

項公式是%=4〃一2,(〃￡N“).

①當〃二1時，因為4X1—2=2,,又在⑴中已求出0=2,所以上述結論成立.

②假設當時，結論成立，即有必=4L2,由題意，有竺產=必7,將必=4?

2.代入上式，解得2仁而T，得風=2必，由題意，有%=j2Sk+i,Sk+i=Sk+ak+i,將

5k2必代入得(""I+?下=2(%?+2的,整理得四+/一4?！癩+4—16爐=0,由a*+i>0,解得

2

%產2+4攵，所以。川=2+4h4(左+1)—2,即當〃=1+1時，上述結論成立.根據①②，上述結論

對所有的自然數(shù)成立.

解法二：由題意知幺上2，5eN).整理得,s“=!(恁+2)2,由此得當+產』m“+i+2)2,

2v88

1=S?+|—S?=i[(a“+]+2)2—(%+2)2].整理得(％+]+%)(a“+i—q“-4)=0,由題意知恁+i+q”

o

WO,???a〃+i—07=4,即數(shù)列｛%｝為等差數(shù)列，其中。尸2,公差d=4./.an=a\+(/?-1)rf=2+4(/7

—1),即通項公式為o〃=4〃-2.

解法三：由已知得%y=M，(〃WN*)①，所以有色(工=阿；②，由②式得

鼠匚產工=阿；，整理得S,,+1—2行?標T+2—Sk0,解得際=6土E，由

于數(shù)列｛為｝為正項數(shù)列，而歷=后,.?.瘋「+庖>忘，因而瘋；=血+后，即｛&｝

是以質=行為首項，以上為公差的等差數(shù)列.所以叵=拒+(〃-1)

2

\[2=V2n,Sn=2n,

'()即0尸4〃一2(〃￡N*).

故a=

nS-a=而-2g2)

⑶令cn=b?-\,則c?=?(■+2-2)

2an%

12w+1八2n-1211

=rz---7-1)+(----7-1)]=-----~----

22〃-12〃+12〃-12〃+1

b、+6,+???+/>“一〃=。]+G+,,?+0〃

八1、41、/I1、I1

=(1—)+(----)+…+(--------------)=1-------

3352/7-12〃+12〃+1

?，?limS]+h+…-w)=lim(l------)=1.

M-X?2M-X?2〃+1

殲滅難點訓練

一、1.解析:設"-日"嚴-號"1=（孝嚴,

:口-(爭”]

S〃=q+Q+…+c“=Z----左—

2-A/2

+在

lim-S1,,=----7==1+2

2—A/2

答案:4

2.解析：由題意所有正三角形的邊長構成等比數(shù)列{%},可得%=號，正三角形的內

—r4a1

切圓構成等比數(shù)列{%},可得廿不標》，

7r

這些圓的周長之和c=lim2=（尸|+尸2+…+固=3"

n-><x>2

面積之和S=lim71（/72+/^2+,,,+^2）=-J

W->009

答案：周長之和逋4a,面積之和巴/

29

二、3.解：（1）可解得&=——,從而0尸2力，有S尸勿

Q”〃+1

(2)乙產2"+〃一1.

n21

(3)Tn—Sn=2—n—1,驗證可知,n=l時,7\=Si，n=2時T?(S公n=3時,73Vs3；〃=4

時，T4<S4；〃=5時，T5>S5；”6時〃>S6.猜想當〃25時，Tn>Sn,即2〃>/+]

可用數(shù)學歸納法證明(略).

4.解：(1)由%+2=2%+[—0?n%+2—。用=%+1—?！芍Αǎ傻炔顢?shù)列，

d=———=—2,/.a=10-2n.

4-1n

(2)illa〃=10—2〃20可得〃W5,當打W5時，S〃=—/+9〃，當n>5時，S?=/?2-9/7+40,

..[一〃2+9〃1<A?<5

故S〃=<

n~-9/?+40n>5

(3)6〃=-------=--------=1(------------)

〃(2〃+2)2nn+1

__...11.,11、,11._n...??i_777

.-.7；=/>!+/>+??-+/>?=-r[(l--)+(---)+---+(--------)]=—―-；要使—

22223nn+l2(〃+1)32

總成立，需2<T尸,成立，即加V8且加￡Z,故適合條件的根的最大值為7.

324

5.解：(1)由已知“1=(m+1)—加①，S〃=()%+1)—加。〃②，由①一②，得a"+i="?a〃一

man+],即(加+1對任意正整數(shù)n都成立.

二,根為常數(shù)，且mV—1

...也=」一,即｛4｝為等比數(shù)列.

*m+1%+i

(2)當胃=1時，a\=m+\—ma\f/.(7i=l,從而加二’.

3

山⑴知q=j｛m)=—2一，hn=j[bn-\)=—一(〃GN：且〃22)

機+1bn_x+1

—=1H——,即'....-=1>:?｛」-｝為等差數(shù)列.?、」-=3+(〃-1)="+2,

2〃一1bnbn_xbnbn

?*.b=—(〃￡N).

n+n2

/mxM-i〃i、rw-1.m、、m

van=(-------)lim(bn?lgo〃)=lim[------lg-------]=lg------

W+1“TOOn->oo77+2"2+1/W+l

而lim3(帥2+b2b3H-----F2一也?)=lim3(———+———H------1----------------)—1

〃->8?->oo344577+1n+2

由題意知lg———=1,/.———=10,.*.m=——

m+1m+\9

“=1

6.解：⑴設數(shù)列｛“的公差為H由題意得：10(10-1)解得仇=1,注3,

10"+——__-6/=145

/.bn=3n—2.

(2)由b“=3〃-2,知S?=log?(1+1)+log?(1+^-)+???+log?(1+-)

43〃-2

=logaL(l+l)(l+-^)—(l+—logA+i=log?V3w+l-

43〃-23

因此要比較S“與Log也+i的大小，可先比較(1+1)(1+l)…(1+」一)與逐泮T的大

343〃一2

小，

取n=\時，有(1+1)>W3〉+1

取〃=2時，有(1+1)(1+工)>^3-2+1…

4

由此推測(1+1)(1+,)…(1+」一)>，3〃+1①

43〃-2

若①式成立，則由對數(shù)函數(shù)性質可判定：

當a>1時，S?>glog。4,+i,②

當0<。<1時，，S?<|log?6?+1,③

下面用數(shù)學歸納法證明①式.

(1)當〃=1時，已驗證①式成立.

(止)假設當“=無時(欄1),①式成立,即:

(1+1)(1+-)???(1+