試驗設(shè)計課件

第十二章試驗設(shè)計下一張

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*正交設(shè)計

在試驗研究中，對于單因素或兩因素試驗，因其因素少，試驗的設(shè)計、實施與分析都比較簡單。但在實際工作中，常常需要同時考察3個或3個以上的試驗因素，若進(jìn)行全面試驗，則試驗的規(guī)模將很大，往往因試驗條件的限制而難于實施。正交設(shè)計就是安排多因素試驗、尋求最優(yōu)水平組合的一種高效率試驗設(shè)計方法。

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一、正交設(shè)計的概念及原理

(一)正交設(shè)計的基本概念

正交設(shè)計是利用正交表來安排與分析多因素試驗的一種設(shè)計方法。它利用從試驗的全部水平組合中，挑選部分有代表性的水平組合進(jìn)行試驗，通過對這部分試驗結(jié)果的分析了解全面試驗的情況，找出最優(yōu)的水平組合。下一張

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正交設(shè)計的基本特點是：用部分試驗來代替全面試驗，通過對部分試驗結(jié)果的分析，了解全面試驗的情況。

正因為正交試驗是用部分試驗來代替全面試驗，它不可能像全面試驗?zāi)菢訉Ω饕蛩匦?yīng)、交互作用一一分析；當(dāng)交互作用存在時，有可能出現(xiàn)交互作用的混雜。雖然正交設(shè)計有上述不足，但它能通過部分試驗找到最優(yōu)水平組合，因而很受實際工作者青睞。

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如對于上述3因素3水平試驗，若不考慮交互作用，可利用正交表L9(34)安排，試驗方案僅包含9個水平組合，就能反映試驗方案包含27個水平組合的全面試驗的情況，找出最佳的生產(chǎn)條件。

(二)正交設(shè)計的基本原理

在試驗安排中，每個因素在研究的范圍內(nèi)選幾個水平，就好比在選優(yōu)區(qū)內(nèi)打上網(wǎng)格，如果網(wǎng)上的每個點都做試驗，就是全面試驗。如上例中，3個因素的選優(yōu)區(qū)可以用一個立方體表示(圖12-2)，3個因素各取3個水平，把立方體劃分成27個格點，反映在圖12-2上就是立方體內(nèi)的27個“.”。若27個網(wǎng)格點都試驗，就是全面試驗，其試驗方案如表12-20所示。

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3因素3水平的全面試驗水平組合數(shù)為33=27，4因素3水平的全面試驗水平組合數(shù)為34=81，5因素3水平的全面試驗水平組合數(shù)為35=243，這在動物試驗中是不可能做到的。

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上述選擇，保證了A因素的每個水平與B因素、C因素的各個水平在試驗中各搭配一次。對于A、B、C3個因素來說，是在27個全面試驗點中選擇9個試驗點，僅是全面試驗的三分之一。從圖12-2中可以看到，9個試驗點在選優(yōu)區(qū)中分布是均衡的，在立方體的每個平面上，都恰是3個試驗點；在立方體的每條線上也恰有一個試驗點。9個試驗點均衡地分布于整個立方體內(nèi)，有很強(qiáng)的代表性，能夠比較全面地反映選優(yōu)區(qū)內(nèi)的基本情況。

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二、正交表及其特性

(一)正交表

由于正交設(shè)計安排試驗和分析試驗結(jié)果都要用正交表，因此，我們先對正交表作一介紹。表12-20是一張正交表，記號為L8(27)，其中“L”代表正交表；L右下角的數(shù)字“8”表示有8行，用這張正交表安排試驗包含8個處理(水平組合)；括號內(nèi)的底數(shù)“2”表示因素的水平數(shù)，括號內(nèi)2的指數(shù)“7”表示有7列，用這張正交表最多可以安排7個2水平因素。

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常用的正交表已由數(shù)學(xué)工作者制定出來，供進(jìn)行正交設(shè)計時選用。2水平正交表除L8(27)外，還有L4(23)、L16(215)等；3水平正交表有L9(34)、L27(213)……等（詳見附表14及有關(guān)參考書）。(二)正交表的特性

任何一張正交表都有如下兩個特性：1、任一列中，不同數(shù)字出現(xiàn)的次數(shù)相等

例如L8(27)中不同數(shù)字只有1和2，它們各出現(xiàn)4次；L9(34)中不同數(shù)字有1、2和3，它們各出現(xiàn)3次。下一張

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2、任兩列中，同一橫行所組成的數(shù)字對出現(xiàn)的次數(shù)相等

例如L8(27)中(1,1),(1,2),(2,1),(2,2)各出現(xiàn)兩次；L9(34)中(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3)各出現(xiàn)1次。即每個因素的一個水平與另一因素的各個水平互碰次數(shù)相等，表明任意兩列各個數(shù)字之間的搭配是均勻的。

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根據(jù)以上兩個特性，我們用正交表安排的試驗，具有均衡分散和整齊可比的特點。所謂均衡分散，是指用正交表挑選出來的各因素水平組合在全部水平組合中的分布是均勻的。由圖12-2可以看出，在立方體中，任一平面內(nèi)都包含3個“(·)”，任一直線上都包含1個“(·)”，因此，這些點代表性強(qiáng)，能夠較好地反映全面試驗的情況。

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在這9個水平組合中，A因素各水平下包括了B、C因素的3個水平，雖然搭配方式不同，但B、C皆處于同等地位，當(dāng)比較A因素不同水平時，B因素不同水平的效應(yīng)相互抵消，C因素不同水平的效應(yīng)也相互抵消。所以A因素3個水平間具有可比性。同樣，B、C因素3個水平間亦具有可比性。下一張

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(三)正交表的類別1、相同水平正交表各列中出現(xiàn)的最大數(shù)字相同的正交表稱為相同水平正交表。如L4(23)、L8(27)、L12(211)等各列中最大數(shù)字為2，稱為兩水平正交表；L9(34)、L27(313)等各列中最大數(shù)字為3，稱為3水平正交表。2、混合水平正交表各列中出現(xiàn)的最大數(shù)字不完全相同的正交表稱為混合水平正交表。如L8(4×24)表中有一列最大數(shù)字為4，有4列最大數(shù)字為2。也就是說該表可以安排一個4水平因素和4個2水平因素。再如L16(44×23)，L16(4×212)等都混合水平正交表。下一張

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三、正交設(shè)計方法

【例12.7】在進(jìn)行礦物質(zhì)元素對架子豬補(bǔ)飼試驗中，考察補(bǔ)飼配方、用量、食鹽3個因素，每個因素都有3個水平。試安排一個正交試驗方案。

正交設(shè)計一般有以下幾個步驟：

(一)確定因素和水平

影響試驗結(jié)果的因素很多，我們不可能把所有影響因素通過一次試驗都予以研究，只能根據(jù)以往的經(jīng)驗，挑選和確定若干對試驗指標(biāo)影響最大、有較大經(jīng)濟(jì)意義而又了解不夠清楚的因素來研究。同時還應(yīng)根據(jù)實際經(jīng)驗和專業(yè)知識，定出各因素適宜的水平，列出因素水平表?！纠?2.7】的因素水平表如表12-22所示。

(二)選用合適的正交表

確定了因素及其水平后，根據(jù)因素、水平及需要考察的交互作用的多少來選擇合適的正交表。選用正交表的原則是：既要能安排下試驗的全部因素，又要使部分水平組合數(shù)（處理數(shù)）盡可能地少。一般情況下，試驗因素的水平數(shù)應(yīng)恰好等于正交表記號中括號內(nèi)的底數(shù)；因素的個數(shù)（包括交互作用）應(yīng)不大于正交表記號中括號內(nèi)的指數(shù)；各因素及交互作用的自由度之和要小于所選正交表的總自由度，以便估計試驗誤差。若各因素及交互作用的自由度之和等于所選正交表總自由度，則可采用有重復(fù)正交試驗來估計試驗誤差。

此例有3個3水平因素，若不考察交互作用，則各因素自由度之和為因素數(shù)個數(shù)×(水平數(shù)-1)=3(3-1)=6，小于L9(34)總自由度9-1=8，故可以選用L9(34)；若要考察交互作用，則應(yīng)選用L27(313)，此時所安排的試驗方案實際上是全面試驗方案。

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(三)表頭設(shè)計

所謂表頭設(shè)計，就是把挑選出的因素和要考察的交互作用分別排入正交表的表頭適當(dāng)?shù)牧猩?。在不考察交互作用時，各因素可隨機(jī)安排在各列上；若考察交互作用，就應(yīng)按該正交表的交互作用列表安排各因素與交互作用。此例不考察交互作用，可將礦物質(zhì)元素補(bǔ)飼配方(A)、用量(B)和食鹽(C)依次安排在L9(34)的第1、2、3列上，第4列為空列，見表12-23。

根據(jù)表12-23，1號試驗處理是A1B1C1，即配方I、用量15g、食鹽為0；2號試驗處理是A1B2C2，即配方II、用量25g、食鹽為4g，…；9號試驗處理為A3B3C2，即配方III、用量20g、食鹽4g。

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四、正交試驗結(jié)果的統(tǒng)計分析

若各號試驗處理都只有一個觀測值，則稱之為單獨觀測值正交試驗；若各號試驗處理都有兩個或兩個以上觀測值，則稱之為有重復(fù)觀測值正交試驗。下面分別介紹單獨觀測值和有重復(fù)觀測正交試驗結(jié)果的方差分析。下一張

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表12-24中，Ti為各因素同一水平試驗指標(biāo)（增重）之和。如A因素第1水平T1=y1+y2+y3=63.4+68.9+64.9=197.2，A因素第2水平T2=y4+y5+y6=64.3+70.2+65.8=200.3，A因素第3水平T3=y7+y8+y9=71.4+69.5+73.7=214.6；下一張

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B因素第1水平T1=y1+y4+y7=63.4+64.3+71.4=199.1，……，B因素第3水平T3=y3+y6+y9=64.9+65.8+73.7=204.4。同理可求得C因素各水平試驗指標(biāo)之和。為各因素同一水平試驗指標(biāo)的平均數(shù)。如A因素第1水平=197.2/3=65.7333，A因素第2水平=200.3/3=66.7667，A因素第3水平=214.6/3=71.5333。同理可求得B、C因素各水平試驗指標(biāo)的平均數(shù)。下一張

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1、計算各項平方和與自由度矯正數(shù)

C=T2/n=612.12/9=41629.6011總平方和

SST=Σy2-C

=63.42+68.92+…+73.72-41629.6011=101.2489

A因素平方和

SSA=Σ/a-C

=(197.22+200.32+214.62)/3–

41629.6011=57.4289B因素平方和SSB

=Σ/b-C=(199.12+208.62+204.42)/3-41629.6011=15.1089C因素平方和

SSC=ΣT2C/c-C=(198.72+206.92+206.52)/3–誤差平方和

SSe=SST-SSA-SSB-SSC=101.2489-57.4289-15.1089-下一張

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41629.6011=14.248914.2489=14.4622總自由度dfT=n-1=9-1=8

A因素自由度dfA=ka-1=3-1=2

B因素自由度dfB=kb-1=3-1=2

C因素自由度dfC=kc-1=3-1=2誤差自由度dfe=dfT-dfA-dfB-dfC

=8-2-2-2=22、列出方差分析表，進(jìn)行F檢驗下一張

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F檢驗結(jié)果表明，三個因素對增重的影響都不顯著。究其原因可能是本例試驗誤差大且誤差自由度小(僅為2)，使檢驗的靈敏度低，從而掩蓋了考察因素的顯著性。由于各因素對增重影響都不顯著，不必再進(jìn)行各因素水平間的多重比較。此時，可直觀地從表12-17中選擇平均數(shù)大的水平A3、B3、C2組合成最優(yōu)水平組合A3B3C2。下一張

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上述無重復(fù)正交試驗結(jié)果的方差分析，其誤差是由“空列”來估計的。然而“空列”并不空，實際上是被未考察的交互作用所占據(jù)。這種誤差既包含試驗誤差，也包含交互作用，稱為模型誤差。若交互作用不存在，用模型誤差估計試驗誤差是可行的；若因素間存在交互作用，則模型誤差會夸大試驗誤差，有可能掩蓋考察因素的顯著性。這時，試驗誤差應(yīng)通過重復(fù)試驗值來估計。所以，進(jìn)行正交試驗最好能有二次以上的重復(fù)。正交試驗的重復(fù)，可采用完全隨機(jī)或隨機(jī)單位組設(shè)計。下一張

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(二)有重復(fù)觀測值正交試驗結(jié)果的方差分析

【例12.7】試驗重復(fù)了兩次，且重復(fù)采用隨機(jī)單位組設(shè)計，試驗結(jié)果列于表12-26。試對其進(jìn)行方差分析。用n表示試驗(處理)號數(shù)，r表示試驗處理的重復(fù)數(shù)。a、b、c、ka、kb、kc的意義同上。此例n=9、r=2、a=b=c=3、ka=kb=dc=3。下一張

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對于有重復(fù)、且重復(fù)采用隨機(jī)單位組設(shè)計的正交試驗，總變異可以劃分為處理間、單位組間和誤差變異三部分，而處理間變異可進(jìn)一步劃分為A因素、B因素、C因素與模型誤差變異四部分。此時，平方和與自由度劃分式為：

SST=SSt+SSr+SSe2

dfT=dft+dfr+dfe2而SSt=SSA+SSB+SSC+SSe1dft=dfA+dfB+dfC+dfe1于是SST=SSA+SSB+SSC+SSr+SSe1+SSe2dfT=dfA+dfB+dfC+dfr+dfe1+dfe2(12-7)

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式中：SSr為單位組間平方和；SSe1為模型誤差平方和；SSe2為試驗誤差平方和；SSt為處理間平方和；dfr、dfe1、dfe2、dft為相應(yīng)自由度。注意，對于重復(fù)采用完全隨機(jī)設(shè)計的正交試驗，在平方和與自由度劃分式中無SSr、dfr項。1、計算各項平方和與自由度矯正數(shù)

C=T2/rn=1347.42/2×9=100860.3756下一張

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總平方和

SST=Σy2-C

=63.42+68.92+…+92.82-100860.3756=1978.5444單位組間平方和

SSr=ΣT2r/n-C

=(612.12+735.32)/9-100860.3756=843.2355處理間平方和SSt=ΣT2t/r-C=(130.82+156.12+…+166.52)/2-100860.3756=819.6244A因素平方和

SSA=ΣT2A/ar-C=(418.12+441.72+487.62)/3×2-100860.3756=416.3344

B因素平方和

SSB=ΣT2B/br-C

=(411.82+475.52+430.12)/3×2-100860.3756=185.2077C因素平方和SSC=ΣT2C/cr-C=(423.92+473.22+450.32)/3×2-100860.3756=202.8811模型誤差平方和SSe1=SSt–SSA–SSB-SSC=819.6244-416.3344-185.2077-202.8811=15.2012試驗誤差平方和

SSe2=SST–SSr-SSt=1978.5444-843.2355-819.6244=315.6845總自由度dfT=rn-1=2×9-1=17單位組自由度dfr=r-1=2-1=1處理自由度dft=n-1=9-1=8A因素自由度dfA=ka-1=3-1=2B因素自由度dfB=kb-1=3-1=2C因素自由度dfC=kc-1=3-1=2下一張

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模型誤差自由度dfe1=dft-dfA-dfB-dfC=8-2-2-2-2=2試驗誤差自由度dfe2=dfT-dft=17-1-8=8

2、列出方差分析表，進(jìn)行F檢驗下一張

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首先檢驗MSe1與MSe2差異的顯著性，若經(jīng)F檢驗不顯著，則可將其平方和與自由度分別合并，計算出合并的誤差均方，進(jìn)行F檢驗與多重比較，以提高分析的精度；若F檢驗顯著，說明存在交互作用，二者不能合并，此時只能以MSe2進(jìn)行F檢驗與多重比較。本例MSe1/MSe2<1，MSe1與MSe2差異不顯著，故將誤差平方和與自由度分別合并計算出合并的誤差均方MSe，即

MSe=(SSe1+SSe2)/(dfe1+dfe2)=(15.2012+315.6845)/(2+8)=33.09并用合并的誤差均方MSe進(jìn)行F檢驗與多重比較。

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F檢驗結(jié)果表明，礦物質(zhì)元素配方對架子豬增得有顯著影響，另外兩個因素作用不顯著；二個單位組間差異極顯著。3、

A因素各水平平均數(shù)的多重比較表12-28A因素各水平平均數(shù)多重比較表(SSR法)單位：kg下一張

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因為，由dfe=10和k=2,3,查得SSR值并計算出LSR值列于表12-30。表12-29SSR值與LSR值表多重比較結(jié)果表明：A因素A3水平的平均數(shù)顯著或極顯著地高于A2、A1；A2與A1間差異不顯著。

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此例因模型誤差不顯著，可以認(rèn)為因素間不存在顯著的交互作用?？捎葾、B、C因素的最優(yōu)水平組合成最優(yōu)水平組合。A因素的最優(yōu)水平為A3；因為B、C因素水平間差異均不顯著，故可任選一水平。如B、C因素選擇使增重達(dá)較高水平的B2及C2，則得最優(yōu)水平組合為A3B2C2，即配方III、用量25克、食鹽4克。若模型誤差顯著，表明因素間交互作用顯著，則應(yīng)進(jìn)一步試驗，以分析因素間的交互作用。

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五、因素間有交互作用的正交設(shè)計與分析在實際研究中，有時試驗因素之間存在交互作用。對于既考察因素主效應(yīng)又考察因素間交互作用的正交設(shè)計，除表頭設(shè)計和結(jié)果分析與前面介紹略有不同外，其它基本相同?！纠?2.8】某一種抗菌素的發(fā)酵培養(yǎng)基由A、B、C3種成分組成，各有兩個水平，除考察A、B、C三個因素的主效外，還考察A與B、B與C的交互作用。試安排一個正交試驗方案并進(jìn)行結(jié)果分析。

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(一)選用正交表，作表頭設(shè)計由于本試驗有3個兩水平的因素和兩個交互作用需要考察，各項自由度之和為：3×(2-1)+2×(2-1)×(2-1)=5，因此可選用L8(27)來安排試驗方案。正交表L8(27)中有基本列和交互列之分，基本列就是各因素所占的列，交互列則為兩因素交互作用所占的列。可利用L8(27)二列間交互作用列表(見表12-30)來安排各因素和交互作用。下一張

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如果將A因素放在第1列，B因素放在第2列，查表12-30可知，第1列與第2列的交互作用列是第3列，于是將A與B的交互作用A×B放在第3列。這樣第3列不能再安排其它因素，以免出現(xiàn)“混雜”。然后將C放在第4列，查表12-30可知，B×C應(yīng)放在第6列，余下列為空列，如此可得表頭設(shè)計，見表12-31。

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(二)列出試驗方案

根據(jù)表頭設(shè)計，將A、B、C各列對應(yīng)的數(shù)字“1”、“2”換成各因素的具體水平，得出試驗方案列于表12-32。下一張

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(三)結(jié)果分析按表12-33所列的試驗方案進(jìn)行試驗，其結(jié)果見表12-34。表中Ti、計算方法同前。此例為單獨觀測值正交試驗，總變異劃分為A因素、B因素、C因素、A×B、B×C、與誤差變異5部分，平方和與自由度劃分式為：

SST=SSA+SSB+SSC+SSA×B+SSB×C+SSedfT=dfA+dfB+dfC+dfA×B+dfB×C+dfe

(12-8)

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1、計算各項平方和與自由度矯正數(shù)

C=T2/n=6652/8=55278.1250總平方和

SST=Σy2-C

=552+382+…+612-55278.1250=6742.8750A因素平方和

SSA=ΣT2A/a-C=(2792+3862)/4-55278.1250=1431.1250B因素平方和

SSB=ΣT2B/b-C=(3392+3262)/4-55278.1250=21.1250C因素平方和SSC=ΣT2C/c-C=(3532+3122)/4-55278.1250=210.1250A×B平方和

SSA×B=ΣT2A×B/4-C=(2332+4322)/4-55278.1250=4950.1250下一張

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B×C平方和

SSB×C=ΣT2B×C/4-C=(3272+3382)/4-55278.1250=15.1250誤差平方和

SSe=SST-SSA-SSB-SSA×B-SSB×C=6742.8750-1431.1250