（江蘇專用）高考數(shù)學總復習 第二章第8課時 函數(shù)模型及應用課時闖關(guān)（含解析）

PAGEPAGE7（江蘇專用）2023年高考數(shù)學總復習第二章第8課時函數(shù)模型及應用課時闖關(guān)（含解析）[A級雙基穩(wěn)固]一、填空題1．今有一組實驗數(shù)據(jù)如下：t1.993.04.05.16.12v1.54.047.51218.01現(xiàn)準備用以下函數(shù)中的一個近似地表示這些數(shù)據(jù)滿足的規(guī)律，其中最接近的一個是________．①v＝log2t；②v＝logeq\f(1,2)t；③v＝eq\f(t2－1,2)；④v＝2t－2.解析：由表中數(shù)據(jù)可知，當t越大時，v遞增的速度越快，而v＝log2t遞增速度較慢，v＝logeq\f(1,2)t遞減，v＝2t－2勻速，只有v＝eq\f(t2－1,2)符合這一特征．答案：③2．某學校要裝備一個實驗室，需要購置實驗設備假設干套，與廠家協(xié)商，同意按出廠價結(jié)算，假設超過50套就可以以每套比出廠價低30元給予優(yōu)惠，如果按出廠價購置應付a元，但再多買11套就可以按優(yōu)惠價結(jié)算恰好也付a元(價格為整數(shù))，那么a的值為________．解析：設按出廠價y元購置x套(x≤50)應付a元，那么a＝xy，又a＝(y－30)(x＋11)，又x＋11＞50，即x＞39，∴39＜x≤50，∴xy＝(y－30)(x＋11)，∴eq\f(30,11)x＝y(tǒng)－30，又x、y∈N*且39＜x≤50，∴x＝44，y＝150，∴a＝44×150＝6600元．答案：6600元3．某地2002年底人口為500萬，人均住房面積為6m2，如果該城市人口平均每年增長率為1%.問為使2023年底該城市人均住房面積增加到7m2，平均每年新增住房面積至少為________萬m2.(準確到1萬m2,1.0110≈1.1046)解析：到2023年底該城市人口有500×(1＋1%)10≈552.3萬人，那么eq\f(500×1＋1%10×7－500×6,10)≈87(萬m2)．答案：874．某工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品固定本錢為2000萬元，并且每生產(chǎn)一單位產(chǎn)品，本錢增加10萬元．又知總收入K是單位產(chǎn)品數(shù)Q的函數(shù)，K(Q)＝40Q－eq\f(1,20)Q2，那么總利潤L(Q)的最大值是______萬元．答案：25005．(2023·高考山東卷改編)已知某生產(chǎn)廠家的年利潤y(單位：萬元)與年產(chǎn)量x(單位：萬件)的函數(shù)關(guān)系式為y＝－eq\f(1,3)x3＋81x－234，那么使該生產(chǎn)廠家獲取最大年利潤的年產(chǎn)量為________．解析：y′＝－x2＋81，令y′＝0得x＝9，且經(jīng)討論知x＝9是函數(shù)的極大值點，所以廠家獲得最大年利潤的年產(chǎn)量是9萬件．答案：9萬件6．某公司一年購置某種貨物400噸，每次都購置x噸，運費為4萬元/次，一年的總存儲費用為4x萬元，要使一年的總運費與總存儲費用之和最小，那么x＝________噸．解析：每年購置次數(shù)為eq\f(400,x)，∴總費用＝eq\f(400,x)·4＋4x≥2eq\r(6400)＝160.當且僅當eq\f(1600,x)＝4x，即x＝20時等號成立．故x＝20.答案：207．在測量某物理量的過程中，因儀器和觀察的誤差，使得n次測量分別得到a1，a2，…，an共n個數(shù)據(jù)，我們規(guī)定所測量物理量的“最正確近似值a”是這樣一個量：與其它近似值比擬，a與各數(shù)據(jù)的差的平方和最小，依此規(guī)定，從a1，a2，…，an，推出的a＝________.解析：設近似值為x，那么f(x)＝(x－a1)2＋(x－a2)2＋…＋(x－an)2取最小值時的x即為a，由f(x)＝nx2－2(a1＋a2＋…＋an)x＋(aeq\o\al(2,1)＋aeq\o\al(2,2)＋…＋aeq\o\al(2,n))知當x＝eq\f(a1＋a2＋…＋an,n)時，f(x)最小．答案：eq\f(1,n)(a1＋a2＋…＋an)8．某超市為了吸引顧客，采取“滿一百送二十，連環(huán)送”的酬賓促銷方式，即顧客在店內(nèi)花錢滿100元(可以是現(xiàn)金，也可以是現(xiàn)金與獎勵券合計)就送20元獎勵券，滿200元就送40元獎勵券，滿300元就送60元獎勵券….當日一位顧客共花現(xiàn)金7020元，如果按照酬賓促銷方式，他實際最多能購置________元的商品．解析：7000元應給獎勵券1400元，1400元應給獎勵券280元，280元加上7020元余下20元滿300元應給獎勵券60元．故最多能購置7000＋1400＋280＋60＋20＝8760元的商品．答案：8760二、解答題9．某公司是一家專做產(chǎn)品A的國內(nèi)外銷售的企業(yè)，第一批產(chǎn)品A上市銷售40天內(nèi)全部售完．該公司對第一批產(chǎn)品A上市后的國內(nèi)外市場銷售情況進展了跟蹤調(diào)查，調(diào)查結(jié)果如圖中①、②、③所示，其中圖①中的折線表示的是國外市場的日銷售量與上市時間的關(guān)系；圖②中的拋物線表示國內(nèi)市場的日銷售量與上市時間的關(guān)系；圖③中的折線表示的是每件產(chǎn)品A的銷售利潤與上市時間的關(guān)系(國內(nèi)外市場相同)．(1)分別寫出國外市場的日銷售量f(t)、國內(nèi)市場的日銷售量g(t)與第一批產(chǎn)品A上市時間t的關(guān)系式；(2)第一批產(chǎn)品A上市后的哪幾天，這家公司的日銷售利潤超過6300萬元？解：(1)f(t)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2t0≤t≤30,－6t＋24030<t≤40))，g(t)＝－eq\f(3,20)t2＋6t(0≤t≤40)．(2)每件產(chǎn)品A的銷售利潤h(t)與上市時間t的關(guān)系為h(t)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3t0≤t≤20，,6020＜t≤40.))設這家公司的日銷售利潤為F(t)，那么F(t)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3t－\f(3,20)t2＋6t＋2t，0≤t≤20,60－\f(3,20)t2＋6t＋2t，20<t≤30,60－\f(3,20)t2＋6t－6t＋240，30<t≤40))＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3t－\f(3,20)t2＋8t，0≤t≤20,60－\f(3,20)t2＋8t，20＜t≤30,60－\f(3,20)t2＋240.30<t≤40)).當0≤t≤20時，F(xiàn)′(t)＝－eq\f(27,20)t2＋48t＝t(48－eq\f(27,20)t)≥0，故F(t)在[0,20]上單調(diào)遞增，此時F(t)的最大值是F(20)＝6000＜6300；當20＜t≤30時，令60(－eq\f(3,20)t2＋8t)＞6300，解得eq\f(70,3)＜t＜30；當30<t≤40時，F(xiàn)(t)＝60(－eq\f(3,20)t2＋240)＜60(－eq\f(3,20)×302＋240)＝6300.故第一批產(chǎn)品A上市后第24天到第30天前，這家公司的日銷售利潤超過6300萬元．10．某隧道長2150m，通過隧道的車速不能超過20m/s.一列有55輛車身長都為10m的同一車型的車隊(這種型號的車能行駛的最高速為40m/s)，勻速通過該隧道，設車隊的速度為xm/s，根據(jù)平安和車流的需要，當0＜x≤10時，相鄰兩車之間保持20m的距離；當10＜x≤20時，相鄰兩車之間保持(eq\f(1,6)x2＋eq\f(1,3)x)m的距離．自第1輛車車頭進入隧道至第55輛車尾離開隧道所用的時間為y(s)．(1)將y表示為x的函數(shù)；(2)求車隊通過隧道時間y的最小值及此時車隊的速度．(eq\r(3)≈1.73)解：(1)當0＜x≤10時，y＝eq\f(2150＋10×55＋20×55－1,x)＝eq\f(3780,x)，當10＜x≤20時，y＝eq\f(2150＋10×55＋\f(1,6)x2＋\f(1,3)x×55－1,x)＝eq\f(2700,x)＋9x＋18，所以，y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(3780,x)0＜x≤10,\f(2700,x)＋9x＋1810＜x≤20)).(2)當x∈(0,10]時，在x＝10時，ymin＝eq\f(3780,10)＝378(s)．當x∈(10,20]時，y＝eq\f(2700,x)＋9x＋18≥18＋2×eq\r(9x·\f(2700,x))＝18＋180eq\r(3)≈329.4(s)，當且僅當9x＝eq\f(2700,x)，即x≈17.3(m/s)時取等號．因為17.3∈(10,20]，所以當x＝17.3(m/s)時，ymin＝329.4(s)，因為378＞329.4，所以，當車隊的速度為17.3(m/s)時，車隊通過隧道時間y有最小值329.4(s)．[B級能力提升]一、填空題1．某工程由A，B，C，D四道工序組成，完成它們需用時間依次為2,5，x,4天．四道工序的先后順序及相互關(guān)系是：A，B可以同時開工；A完成后，C可以開工；B、C完成后，D可以開工．假設該工程總時間為9天，那么完成工序C需要的天數(shù)x最大是________．解析：分析題意可知，B、D工序不能同時進展，∴B、D工序共需5＋4＝9天，而完成總工序的時間為9天，說明A、B同時開工，A完成后C開工且5≥2＋x，∴x≤3，故x最大值為3.答案：32.為了預防流感，某學校對教室用藥熏消毒法進展消毒．已知藥物釋放過程中，室內(nèi)每立方米空氣中的含藥量y(毫克)與時間t(小時)成正比；藥物釋放完畢后，y與t的函數(shù)關(guān)系式為y＝(eq\f(1,16))t－a(a為常數(shù))，如下圖．根據(jù)圖中提供的信息，答復以下問題：(1)從藥物釋放開場，每立方米空氣中的含藥量y(毫克)與時間t(小時)之間的函數(shù)關(guān)系式為________；(2)據(jù)測定：當空氣中每立方米的含藥量降低到0.25毫克以下時，學生方可進教室，那么從藥物釋放開場，至少需要經(jīng)過________小時，學生才能回到教室．解析：(1)由圖可設y＝kt(0≤t≤eq\f(1,10))，把點(0.1,1)分別代入y＝kt和y＝(eq\f(1,16))t－a，得k＝10，a＝0.1，∴y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(10t0≤t≤\f(1,10),\f(1,16)t－0.1t＞\f(1,10))).(2)由(eq\f(1,16))t－0.1＜0.25，得t＞0.6.答案：(1)y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(10t0≤t≤\f(1,10),\f(1,16)t－0.1t＞\f(1,10)))(2)0.63．江蘇舜天足球俱樂部準備為救助失學兒童在江蘇省體育中心體育場舉行一場足球義賽，預計賣出門票2.4萬張，票價有3元、5元和8元三種，且票價3元和5元的張數(shù)的積為0.6萬張．設x是門票的總收入，經(jīng)預算，扣除其他各項開支后，該俱樂部的純收入為函數(shù)y＝lg2x，那么這三種門票分別為____________萬張時可以為失學兒童募捐的純收入最大．解析：該函數(shù)模型y＝lg2x已給定，因而只需要將條件信息提取出來，按實際情況代入，應用于函數(shù)即可解決問題．設3元、5元、8元門票的張數(shù)分別為a、b、c，那么eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋b＋c＝2.4，①,ab＝0.6，②,x＝3a＋5b＋8c，③))①代入③有x＝19.2－(5a＋3b)≤19.2－2eq\r(15ab)＝13.2(萬元)，當且僅當eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(5a＝3b,ab＝0.6))時等號成立，解得a＝0.6，b＝1，所以c＝0.8.由于y＝lg2x為增函數(shù)，即此時y也恰有最大值．故三種門票分別為0.6、1、0.8萬張時可以為失學兒童募捐的純收入最大．答案：0.6、1、0.84．(2023·高考江蘇卷)將邊長為1m的正三角形薄鐵皮沿一條平行于某邊的直線剪成兩塊，其中一塊是梯形，記s＝eq\f(梯形的周長2,梯形的面積)，那么s的最小值是________．解析：設剪成的小正三角形的邊長為x.那么s＝eq\f(3－x2,\f(\r(3),4)－\f(\r(3),4)x2)＝eq\f(4\r(3),3)·eq\f(3－x2,1－x2)(0＜x＜1)，s′＝eq\f(4\r(3),3)·eq\f(－6x2＋20x－6,1－x22)＝－eq\f(8\r(3),3)·eq\f(3x－1x－3,1－x22)，令s′＝0，得x＝eq\f(1,3)或x＝3(舍去)．即x＝eq\f(1,3)是s的極小值點且是最小值點．∴smin＝eq\f(4\r(3),3)·eq\f(3－\f(1,3)2,1－\f(1,9))＝eq\f(32\r(3),3).答案：eq\f(32\r(3),3)二、解答題5．某商品每件本錢9元，售價30元，每星期賣出432件，如果降低價格，銷售量可以增加，且每星期賣出的商品件數(shù)與商品單價的降低值x(單位：元，0≤x≤30)的平方成正比．已知商品單價降低2元時，一星期賣出24件．(1)將一個星期的商品銷售利潤表示成x的函數(shù)；(2)如何定價才能使一個星期的商品銷售利潤最大？解：(1)設商品降價x元，那么多賣的商品數(shù)為kx2，假設記商品在一個星期的獲利為f(x)，那么依題意有f(x)＝(30－x－9)(432＋kx2)＝(21－x)(432＋kx2)．又由已知條件可知，24＝k·22，于是有k＝6，所以f(x)＝－6x3＋126x2－432x＋9072，x∈[0,30]．(2)根據(jù)(1)，可得f′(x)＝－18x2＋252x－432＝－18(x－2)(x－12).x[0,2)2(2,12)12(12,30]f′(x)－0＋0－f(x)↘極小↗極大↘故x＝12時，f(x)取極大值，因為f(0)＝9072，f(12)＝11664，所以定價為30－12＝18(元)能使一個星期的商品銷售利潤最大．6．(2023·高考湖南卷)如圖，長方體物體E在雨中沿面P(面積為S)的垂直方向作勻速移動，速度為v(v>0)，雨速沿E移動方向的分速度為c(c∈R)．E移動時單位時間內(nèi)的淋雨量包括兩局部：(1