高等幾何模擬試題(范本模板)

《高等幾何》試題(A)3、過點(diǎn)(1,i,0)的實(shí)直線方程為三角形()3、一個(gè)角的內(nèi)外角平分線調(diào)和分離角的兩邊()4、歐氏幾何是射影幾何的子幾何，所以對應(yīng)內(nèi)容是射影幾何對應(yīng)內(nèi)容的子集()5、共線點(diǎn)的極線必共點(diǎn)，共點(diǎn)線的極點(diǎn)必共線()iii五、(10分)設(shè)一直線上的點(diǎn)的射影變換是x/=為常數(shù)。證明變換有兩個(gè)自對應(yīng)點(diǎn)，且這兩六、(10分)求證：兩直線所成角度是相似群的不變量。(1)求點(diǎn)(5，1，7)關(guān)于二階曲線2x2+3x2+x26xx2xx4xx=0的極線(2)已知二階曲線外一點(diǎn)P求作其極線。(寫出作法，并畫圖)八、(10分)敘述并證明德薩格定理的逆定理3《高等幾何》試題(B)(x/=7x-y+13、直線[i,2，1-i]上的實(shí)點(diǎn)為3、兩點(diǎn)列的底只要相交構(gòu)成的射影對應(yīng)就是透視對應(yīng)5、二階曲線上任一點(diǎn)向曲線上四定點(diǎn)作直線，四直線的交比為常數(shù)()() () 四、(8分)試證：歐氏平面上的所有平移變換的集合構(gòu)成一個(gè)變換群LLLL方程分別為：12341234利用德薩格定理證明：任意四邊形各對對邊中點(diǎn)的連線與二對角線中點(diǎn)的連線相交于七、(10分)求(1)二階曲線x22x2+3x2xx=0過點(diǎn)12313123八、(10分)敘述并證明德薩格定理定理(可用代數(shù)法)x(2)求直線3xx+6x=0關(guān)于曲線的極點(diǎn)123試證:圓上任一點(diǎn)與圓內(nèi)接正方形各頂點(diǎn)連線構(gòu)成一個(gè)調(diào)和線束15分)8、過點(diǎn)(1，-i,2)的實(shí)直線方程為10、二級曲線u2+u217u2=0在直線上[1,4,1]的切點(diǎn)方程1232、射影對應(yīng)保持交比不變，也保持單比不變遠(yuǎn)點(diǎn)調(diào)和分離兩端點(diǎn)5、不共線五點(diǎn)可以確定一條二階曲線三、(7分)已知OX軸上的射影變換x'=，求坐標(biāo)原點(diǎn),無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)() ()()()123123133F1212-1高等幾何標(biāo)準(zhǔn)答案(A)312310分)由A(1,0))A(1,0),B(-1,1))B(-1,1),(1,-1))(-1,2)22233330-5ii1x2x2即有兩個(gè)自對應(yīng)點(diǎn)2注：結(jié)果有也對,不過順序有別。511221同理可得k'=a-kb2a-kb211)(x)2121即兩直線的夾角是相似群的不變量10分七、解：(1)設(shè)(5，1,7)為P點(diǎn)坐標(biāo)，二階曲線矩陣為(|2_3_1)|(2_3_3_33 (_1_2P|_1)(x)||1||||_2||x2|=|||3x=02(2)略十若此直線屬于二階曲線則有39kk2k32k33八、德薩格定理的逆定理:如果兩個(gè)三點(diǎn)形的對應(yīng)邊的交點(diǎn)共線，則對應(yīng)頂點(diǎn)的連線共點(diǎn)。OOABCLMNC1B1yyybyyb21y'=y+b1+b2高等幾何標(biāo)準(zhǔn)答案(B)214、5、如果P點(diǎn)的極線過點(diǎn)Q則Q點(diǎn)的極線也過P點(diǎn)。222所以(ABP)=17分(x'=x+ayybyyb又對任意變換T：〈(x=x'+a則T1:〈(x'=xa也是一個(gè)平移變換y=y'+by'=yb所以平移變換的集合關(guān)于變換的乘法構(gòu)成群.8分xxxxxxxxxx=02分1231231213312=0且710312=0且710=0所以四直線共點(diǎn).6分710501因?yàn)椋篖=2L+L,L=L+L312412所以:(LL,LL)=2故(LL,LL)=213412342AGDHPRMCBE考慮三點(diǎn)形PEH與RGM則GH平行BC，RM也平行BC所以GH與RM相交于無窮遠(yuǎn)處。同理HE與GM,PE與GR相交于無窮遠(yuǎn)處。故共線。有的薩格定理,三點(diǎn)形對應(yīng)頂七、(1)因?yàn)辄c(diǎn)P在二階曲線上，所以切線方程為:15|10-2|(|x1|SP=(2,2,1)|||=3x1-210x2+4x3=02(2)因?yàn)橹本€[1，4，1]在二級曲線上所以切點(diǎn)方程為(1|TL=(1，4,1)|0|0303(1)如果兩個(gè)三點(diǎn)形對應(yīng)頂點(diǎn)的連線交于一點(diǎn)(1)如果兩個(gè)三點(diǎn)形對應(yīng)頂點(diǎn)的連線交于一點(diǎn),則對應(yīng)線的交點(diǎn)在一條線上。(2)如圖OABCLMNCB1A1111111111111111111111112212三式相加得L+M+N=0所以三點(diǎn)共線.3)|(|x1)|(2)設(shè)直線的極點(diǎn)為(a,b,c)則有十、證明：如圖DDPCEAB同理可證明PC是角EPB平分線。即PA,PC是角DPB的內(nèi)外角平分線。所以直線高等幾何標(biāo)準(zhǔn)答案(C)13123(px'=2x-x三、解：變(—1，3)和(2，1)5所以k=355所以k=353123312323五、解：在直線上建立適當(dāng)坐標(biāo)系使A,B,C的坐標(biāo)分別為則有A(0,1))B(1,1),B(1,1))C(1,0),C(1,0))A(0,1)lpx2'(lpx2'(px'=x〈1221111122將坐標(biāo)代入可求得111122將坐標(biāo)代入可求得x211221a-kb2a-kb2量11-入0011-入00032得x=022八、對任意一個(gè)內(nèi)接于非退化二階曲線的簡單六點(diǎn)形,它的三對對邊的交點(diǎn)在一條直線上.A5A1A5A1EA3FNLMLA4A6A2131426534265A1426545342656546555463416kk解得k=-,k=-所求直線的坐標(biāo)[1，2，2]和[-1,—14，10]111而(PP,EF)=1所以(PP,EF)=11(PP,EF)1(PP,EF)111。123123().5、已知(pp,pp)=3,則(pp,pp)=()，(pp,pp)=()。1234432113246、如果四直線p,p,p,p滿足(pp,pp)=1,則稱線偶p,p和p,p123412343412()。8、不在二階曲線上的兩個(gè)點(diǎn)P(ppp)，Q(qqq)關(guān)于二階曲線123123S=axx=0成共軛點(diǎn)的充要條件是().ijij11223344123231122336、調(diào)和分離在仿射變換①之下，A)A,，B)B,,O)O,,所以AOB對應(yīng)A,OB,，橢圓面積圓面積=SA,OB1122xlxkx121122213231424121112233441234(_k+k)(_k+k1234(_k+k)(_k+k)2314001_山21以P點(diǎn)在二階曲線上，故切線方程為S=0p1231