線性代數(shù)第四章

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考慮所有的n維行(或列)向量形成的集合,由于這些行(列)向量均可看成1n(n1)的矩陣,可以進行加法運算和數(shù)乘運算,并且運算的結(jié)果仍然是n維行(列)向量.即該集合關于加法運算和數(shù)乘運算是封閉的，在數(shù)學上我們稱該集合關于這兩個運算構(gòu)成了一個運算系統(tǒng)，這個系統(tǒng)就是我們本章要定義的向量空間.：第四章向量間的線性關系與線性方程組空間2

向量之間關于這兩個運算的關系,即所謂的線性關系則是線性代數(shù)所要研究的核心內(nèi)容.利用這些理論去解釋線性方程組求解過程,將會發(fā)現(xiàn)對線性方程組的系數(shù)矩陣施行初等行變換并將其化為行階梯型時,這些階梯型矩陣中其元素不全為零的行的數(shù)目其實是該矩陣行向量間和列向量間所共有的一個十分重要的數(shù)字特征,從而我們能夠更深入地了解線性方程組解的結(jié)構(gòu).3§4.1

向量空間和子空間的定義§4.2

線性組合與線性表出§4.3線性相關與線性無關§4.4向量空間的基和維數(shù)§4.5極大無關組和向量組的秩§4.6矩陣的秩§4.7線性方程組解的結(jié)構(gòu)§4.8基變換和坐標變換*4§4.1

定義及性質(zhì)

一、向量空間的定義如上定義的n維向量也稱為n維行向量.n維向量也可以用列的形式寫出,稱為列向量:

任意n個(實)數(shù)a1,a2,…,an

構(gòu)成的如下的n元有序組(a1,a2,…,an)稱為n維(實)向量,每一ai稱為此向量的第i個分量.5其中，b1,b2,…,bn 為任意（實）數(shù).如無特別申明，n維向量均為實向量.6通常,記為R所有實數(shù)的集合,并記Rn為所有n維行向量的集合或所有n維列向量的集合.現(xiàn)考慮為所有n維行向量的集合的情形（同理可討論為所有n維列向量的集合的情形）.7向量的相等:兩個向量=(a1,a2,…,an)和=(b1,b2,…,bn)相等，當且僅當ai=

bi,i=1,2,…,n,并記為=.零向量:分量全為零的向量稱為零向量，記為O=(0,0,…,0)負向量:任一向量=(a1,a2,…,an)的各分量反號得到的向量稱為的負向量，記為=(a1,

a2,…,

an)

8向量的和:設=(a1,a2,…,an)，=(b1,b2,…,bn),則與的和為

+=(a1+b1,a2+b2,…,an+

bn)

數(shù)乘向量:設=(a1,a2,…,an)，k是任一實數(shù)，則數(shù)k與向量的積為

k=k(a1,a2,…,an)=(ka1,

ka2,…,

kan)向量的差:設=(a1,a2,…,an)，=(b1,b2,…,bn),則與的差為

=(a1b1,a2b2,…,an

bn)

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顯然,關于向量的加法和數(shù)乘,定理中運算律成立.我們現(xiàn)在定義：10所有n維實向量的集合Rn中定義了如上的向量加法和數(shù)乘向量兩種運算,(并滿足如下的8條運算律)稱為n維實向量空間.1．+=+ （加法交換律）2．+(+)=(+)+（加法結(jié)合律）3．+O=4．+(-)=O5．1=6．k(l)=(kl)7.

k(+)=k+k

8.

(k+l)=k+l其中,,,是任意向量,k,l是任意的實數(shù).11特別地我們有：設,是Rn中任意兩個向量，則(i)

0

=O，kO=O；k為任意實數(shù)；(ii)

如k=O，那么k=0或者=O；(iii)

如+=O，那么=

；(iv)

(1)

=12二.向量子空間定義4.1.3設W是的Rn一個非空子集.如果(i)對任意的,∈W，均有+∈W;(ii)對任意的∈W和任意的k∈R，有k∈W.則稱W是Rn的一個子空間.子空間中向量加法和數(shù)乘向量滿足向量空間定義中的八條運算律.從而將向量空間和它的子空間均稱為向量空間.13例1證明:如果W是Rn的一個子空間,則必有OW.例2

設S為R2中所有形如(a為任意實數(shù))

的向量的集合,驗證S是R2的一個子空間.例3驗證下述集合是Rn(n2)的一個子空間.

14例4驗證如下形式的向量的全體構(gòu)成的集合

不是

的子空間.

明顯地，Rn是Rn自身的子空間;另外,只含零向量的子集={O}也是Rn

的一個子空間.15§4.2線性組合與線性表出一、

線性組合與線性表出

定義

設1,2,…,mRn,k1,k2,…,km

為m個數(shù),稱向k11+k22+…+kmm為向量組1,2,…,m的一個線性組合.，16

定義

設1,2,…,m,Rn,如果存在數(shù)l1,l2,…,lm

使得=l11+l22+…+lmm則稱向量

可由向量組1,2,…,m線性表出.，17例4.2.1線性方程組的向量形式:給定一線性方程組令系數(shù)矩陣

[aij]mn的列向量組為1,2,…,n,而且令向量=(b1,b2,…,bm)T,則該線性方程組可以表示為以下向量形式：

x11+x22+…+xnn=從而,線性方程組(4.2.1)是否有解當且僅當該方程組的常數(shù)項向量是否可由其系數(shù)矩陣的列向量組1,1,…,n線性表出.18例4.2.2試判定向量=(1,2,0,2)T是否可由向量組線性表出.1=(1,1,1,0)T,2=(1,1,0,1)T,3=(1,0,1,1)T,4=(0,1,1,1)T19定理4.2.1設1,2,…,m是一組向量，則span(1,2,…,m)是一個向量空間.二、生成子空間*20推論設W是Rn的一個子空間,1,2,…,m是W中一組向量,則W=span(1,2,…,m)（即W由向量組1,2,…,m所生成）的充分必要條件是：W中每一向量可由1,2,…,m線性表出.定理4.2.2設W是Rn的一個子空間,1,2,…,m是W中一組向量,則span(1,2,…,m)W

21注.

若W=span(1,2,…,m),則稱1,2,…,m是子空間W的一組生成元,并稱W為1,2,…,m生成的子空間.22一．

定義線性相關與線性無關是線性代數(shù)中十分重要的概念，是理解向量空間構(gòu)成的關鍵性概念.§4.3線性相關與線性無關23

取,為平面

上起點在原點且不共線的兩個向量.則,

生成了

的一個子空間.由,

不共線知,對任意的兩個不全為零的數(shù)k和l,線性組合k+l

不是零向量.否則,如有不全為零的數(shù)k和l,使得

k+l=O不妨設l≠0，則有

=(k/l)

從而

與共線(即

是

的

倍),矛盾.因此,等式

k+l=O，

k，lR

要成立,必須有

k0和

l0同時成立.此時稱與是線性無關的.

24

另外，由,

生成W知，W中任意向量可由,

線性表出,即存在實數(shù)c和d，使得

=c+d

即有

c+d

=O

(4.3.1)從而,有不全為零的數(shù)c,d,和1,使得(4.3.1)成立.這時稱向量組

,

,

是線性相關的.25設1,2,…,m是向量空間V的一組向量.如存在一組不全為零的數(shù)k1,k2,…,km使得

k11+k22

+…+kmm=O (4.3.2)則稱1,2,…,m是線性相關的；否則,當且僅當k1,k2,…,km全為零時(4.3.2)式才成立,則稱1,2,…,m是線性無關的.26①單獨一個向量線性相關當且僅當它是零向量．單獨一個向量線性無關當且僅當它是非零向量兩向量線性相關兩向量對應元素成比例兩向量線性無關兩向量不對應成比例．注.27⑤一向量組中存在一個Ｏ向量，則一定線性相關．⑥幾何上：兩向量線性相關兩向量共線；三向量線性相關三向量共面.2829分析.判斷1，2，3是否線性相關，即，求是否存在非零常數(shù)k1，k2，k3使得k11＋k22＋k33＝0寫成方程組的形式為利用行初等變換的方法解此方程組.30(1)

解.因為故1，2，3線性無關.31(2)

解.因為故1，2，3，4線性相關.3233小結(jié)：判定給定的一向量組1,2,…,m是否線性相關或線性無關，通常運用“待定系數(shù)法”，即設待定系數(shù)

滿足關系式再根據(jù)向量相等則各對應分量分別相等而得到一個關于這m個待定系數(shù)（做為未知量）的齊次線性方程組，并進一步求解.如有非零解,則1,2,…,m線性相關.否則,1,2,…,m線性無關.在本章第六節(jié)我們還將引入初等變換的方法對向量組的線性相關性進行判定.3435向量組

(m2)線性相關的充分必要條件是此向量組中至少有一個向量是其余向量的線性組合.二.性質(zhì)證.必要性.∵Ａ線性相關，∴至少有一個系數(shù)ki≠0，使得36充分性.所以A線性相關.37設1,

2,…,

m和1,

2,…,

s是兩組向量.如果每一i

均可由1,

2,…,

m線性表出,則稱向量組1,

2,…,

s可由向量組1,

2,

…,

m線性表出;進一步,如果向量組1,

2,…,

m也可由向量組1,

2,…,

s線性表出,則稱兩向量組等價.38注線性表出具有“傳遞性”，即，設向量組1,

2,…,

m也可由向量組1,

2

,…,

s線性表出，而1,

2,…,

s可由1,

2,…,

t線性表出，則2,…,

m也可由向量組1,

2,…,

t線性表出.39設向量組1,

2,…,

m可由向量組1,

2,

…,

s線性表出,即，寫成矩陣形式40設向量組1,

2,…,

m可由向量組1,

2,

…,

s線性表出,并且m>s，則1,

2,…,

m線性相關.通俗地：“多的如能被少的表出，則相關”.*如向量組1,

2,…,

m可由向量組1,

2,…,

s線性表出，并且1,

2,…,

m線性無關，則必有ms.此定理可等價地敘述為：通俗地說，“少的不能表出多的無關組”.41推論4.3.1兩組線性無關的向量組如果等價則所含向量個數(shù)相等.推論4.3.2

多于n個的n維向量組線性相關.證明.由與例3可以得出結(jié)論.42434445定理4.3.3一組線性無關的n維向量添加k個同序號分量后得到的n+k維向量組仍然線性無關.（“原無關，添加分量后仍無關”）此定理可等價地表述為:定理4.3.3*

設i=(ai1,ai2,…,aim),i=1,2,…,s是一組線性相關的n維向量.則去掉每一i中第j1,j2,…,jk位上的分量(1<j1<j1<…<jk<m)后得到向量組也線性相關.（“原相關，去掉分量后仍相關”）.46注：“原無關，去掉分量后可能相關”；“原相關，添加分量后可能無關”.

47定理

一個向量組中若部分向量線性相關，則整個向量組也線性相關．證.設向量組中有r個向量線性相關，不妨設線性相關，則存在一組不全為零的數(shù)，使得因而存在不全為零的數(shù)使得故線性相關.48定理*線性無關的向量組中任一部分向量組也線性無關．49答案：應用定理4.3.5.50例6.若向量組線性相關，而向量組線性無關，則向量可由線性表出，且表示法唯一.證明.51§4.4向量空間的基和維數(shù)

向量空間V中一組向量1,

2,…,

m如滿足(i)

1,

2,…,

m線性無關;(ii)

V中任一向量可由此向量組線性表出.則稱1,

2,…,

m為V中的一個基.5253設1,2,…,s和1,2,…,t均為向量空間W的基.那么必有s=t.證明.由推論直接可得.一向量空間V{O}時,V的任一基所含向量個數(shù)稱為V的維數(shù);當V={O}時,稱V的維數(shù)為0.54注.

由此例子可看到,一向量空間的向量是n維的,但此空間的維數(shù)卻可能小于n.例

取上一節(jié)例5中的向量組55§4.5極大無關組與向量組的秩給定一組向量,它們可能是線性相關的,但其部分向量組可能是線性無關的.而確定其部分向量組線性無關向量的最大個數(shù)則十分重要.它不但可確定這組向量生成的子空間的維數(shù),而且在定義矩陣的秩,討論線性方程組解的結(jié)構(gòu)等都起著關鍵的作用.

56例如,下述五個四維向量顯然線性相關.57稱一向量組1,2,…,m

的部分向量組i1,i2,…,ir(i1<i2<…<ir)為一極大線性無關組(簡稱極大無關組),如果(i)i1,i2,…,ir線性無關;(ii)每一j,1jm,

可由i1,i2,…,ir

線性表出.注.由例6可知，(ii)可等價地表示為(ii)’每一j(1jm),

j,i1,i2,…,ir

線性相關.58一向量組的任一極大無關組所含向量的個數(shù)稱為此向量組的秩.

一向量組的任意兩個極大無關組所含向量個數(shù)相等.證明.由推論直接可得.59定理4.5.2*

i1,i2,…,ir是向量組1,2,…,m的極大無關組，當且僅當i1,i2,…,ir是向量空間span(1,…,m)的基.注.向量組1,2,…,m與它的任一極大無關組i1,i2,…,ir等價.定理

設向量組可由向量組1,2,…,s線性表出,則向量組60定理4.5.3設向量組1,2,…,m可由向量組1,2,…,s線性表出,則向量組1,2,…,m的秩不大于向量組1,2,…,s的秩.定理

設向量組可由向量組1,2,…,s線性表出,則向量組61例１求向量組

1=(0,2,6,0,8)，2=(1,3,2,0,4),

3=(1,2,5,0,0)，4=(3,8,5,2,11)的秩，一個極大無關組，并將其它向量用此極大無關組線性表出．

解.

626364故向量組1,2,

3,4的秩為3，1,2,

4是一個極大無關組，且有65§4.6矩陣的秩

66定理4.6.1初等變換不改變矩陣的秩.由于任意矩陣的行秩與列秩相等，則統(tǒng)稱矩陣的行秩和列秩為此矩陣的秩,并記一矩陣A的秩為r(A).一矩陣A的行向量組的秩稱為A的行秩;而其列向量組的秩稱為A的列秩.定理4.6.2

矩陣的行秩與列秩相等.由此定理和定理2.4.1(3),我們得到又一個方陣可逆的充分必要條件:推論

一階方陣可逆的充分必要條件為r(A)=n.

67在一個mn級矩陣A中,任取其中不同的k行和不同的k列(km,n)交叉位上的k2個元素構(gòu)成的k階行列式稱為A的一個k階子式.

定理4.6.3

矩陣A的秩為r當且僅當A中存在一個不等于0的r階子式，并且A中所有r+1子式(如存在)均等于0.

68對于向量組，將此向量組作為列行向量構(gòu)造一個矩陣A，并對A僅施行初等行變換將其化為行最簡形矩陣B，則B保持A的列向量組間的線性關系.從而有:求矩陣的秩以及向量組的秩的方法：對于矩陣，對其施行初等行變換化成行階梯形，而階梯形中不全為零的行的個數(shù)即為其秩，而這些不全為零的行對應于原矩陣的行的行向量組即為原矩陣行向量組的一個極大無關組.69(i)

如j1,j2,…,jr

是B的不全為零的行的第一個不為零的數(shù)所在列的列向量,則A中對應于j1,j2,…,jr的列向量是j1,

j2,…,jr的列向量組的極大無關組；

(ii)如j是B的一個列向量,且j=k1j1+k2j2+…+krjr,則A中對應于j的列向量j=k1j1+k2j2+…+krjr.707172即，1,2,,s可由1,2,,n線性表出，同理可證總之，故1,2,,s的任一極大無關組可由1,2,,n的任一極大無關組線性表出，從而73§4.７線性方程組解的結(jié)構(gòu)

4.7.1.齊次線性方程組的基礎解系和通解從第一章我們知道，齊次線性方程組若有非零解，則必有無窮多解．當然，人們不可能逐一寫出全部解．但是，這些解之間存在一定的線性關系．由這些線性關系，就可給出齊次線性方程組的通解．74定理４.7.1齊次線性方程組(4.7.1)有非零解的充分必要條件為r(A)<n；而只有零解的充分必要條件為r(A)＝n．75如果向量1,2是齊次線性方程組(4.7.1)解向量，k是任意常數(shù)，則1＋2，k1均是(4.7.1)的解向量．推論

n階方陣A可逆的充分必要條件是r(A)=n．從而，(4.7.1)的全體解向量構(gòu)成了一個向量空間，稱為(4.7.1)的解空間.76定義４.7.1一齊次線性方程組如有非零解，則其解空間的一個基稱為此齊次線性方程組的一個基礎解系．

設齊次線性方程組(4.7.1)的系數(shù)矩陣的秩r<n,則(4.7.1)的基礎解系由nr個解向量組成．77此行最簡型作為系數(shù)矩陣所對應的方程組為，即78令79顯然是齊次方程組的一組解，且由于右邊的向量組無關，故以上的向量組也是一個無關組.80另一方面，把上述方程組寫成向量的形式，這表示，方程組的任意一組解均可表示為向量的線性組合,故其為基礎解系.81定義４.7.2設齊次線性方程組(16)的系數(shù)矩陣的秩r＜n，而向量組1,2,…,n-r

是其基礎解系，則稱向量k11+k22+…+kn-rn-r為(16)的通解，其中k1,k2,…,kn-r為任意常數(shù)．82例求下述齊次線性方程組的一個基礎解系，并寫出其通解.解.對系數(shù)矩陣作初等行變換83所以84從而基礎解系為通解為85解.對系數(shù)矩陣作初等行變換補充例1求下列齊次線性方程組的基礎解系與通解.86從而基礎解系為通解為所以87補充例2求下列以A為系數(shù)矩陣齊次方程組的基礎解系與通解88所以，基礎解系為所以線性方程組的通解為894.7.2.非齊次的線性方程組的解的討論

設非齊次線性方程組AX=(4.7.5)其中A=(aij)mn,X=(x1,x2,…,xn)T,＝(b1,b2,…,bm)T,并且b1,b2,…,bm不全為零.上述方程組有解時,其解與對應的齊次線性方程組AX=O(4.7.6)的解有著密切的聯(lián)系.90定義4.7.3

稱齊次線性方程組(4.7.6)為線性方程組(4.7.5)的導出方程組．設非齊次線性方程組(4.7.5)有解,并且其系數(shù)矩陣A的秩為r<n,0是其一個特定的解向量(稱為特解)，而1,2,…,n-r是導出方程組(4.7.6)的一個基礎解系，則非齊次線性方程組的全部解(也稱為(4